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Un corps se déplace le long de l’axe des 𝑥. De telle sorte qu’à l’instant 𝑡 secondes, son déplacement depuis l’origine est donné par 𝑠 égale six 𝑡 à la puissance quatre moins 𝑡 au cube moins trois 𝑡 au carré moins quatre 𝑡 plus trois mètres. Ceci, pour les valeurs de 𝑡 où 𝑡 est supérieur ou égal à zéro. Quelle est sa vitesse lorsque son accélération est égale à zéro ?
La question nous dit que le corps se déplace le long de l’axe des 𝑥. On nous donne une fonction polynomiale pour son déplacement, en mètres, depuis l’origine à un instant de 𝑡 secondes. La question veut que nous utilisions cette information pour trouver la vitesse de la particule lorsque son accélération est égale à zéro.
Nous pouvons commencer par poser la question suivante : quand le corps aura-t-il une accélération égale à zéro ? On nous donne une expression pour calculer le déplacement, depuis l’origine, du corps après 𝑡 secondes. Puisque le corps se déplace en ligne droite, nous savons que, pour un déplacement 𝑠, le taux de variation du déplacement nous donne la vitesse. Le taux de variation de la vitesse nous donne l’accélération.
Ainsi, pour trouver les moments où le corps a une accélération de zéro, nous devons trouver la dérivée seconde de la fonction de déplacement par rapport à 𝑡. Nous allons commencer par trouver la dérivée première de 𝑠 par rapport à 𝑡, qui est bien sûr également égale à la vitesse du corps. Cela nous donne la dérivée de six 𝑡 à la puissance quatre moins 𝑡 au cube moins trois 𝑡 au carré moins quatre 𝑡 plus trois par rapport à 𝑡.
Puisque nous dérivons un polynôme, nous pouvons le dériver en utilisant la règle des puissances pour la dérivation. Nous multiplions par l’exposant, puis réduisons l’exposant de un. Cela nous donne que la vitesse du corps au moment 𝑡 est 24𝑡 au cube moins trois 𝑡 au carré moins six 𝑡 moins quatre.
Nous pouvons maintenant l’utiliser pour trouver l’accélération du corps à l’instant 𝑡. Il s’agit de la dérivée seconde du déplacement par rapport à 𝑡, qui est bien sûr juste égale au taux de variation de la vitesse par rapport au temps. Ainsi, l’accélération est égale à la dérivée de 24𝑡 au cube moins trois 𝑡 au carré moins six 𝑡 moins quatre par rapport à 𝑡.
Nous pouvons dériver cela en utilisant la règle des puissances pour la dérivation. Cela nous donne 72𝑡 au carré moins six 𝑡 moins six. Nous voulions savoir quand l’accélération était égale à zéro. Nous fixons donc notre accélération à zéro. Cela signifie que zéro est égal à 72𝑡 carré moins six 𝑡 moins six. Ceci est une équation du second degré. Nous pouvons donc trouver les valeurs de 𝑡.
Nous pouvons simplifier l’équation en divisant les deux côtés de l’équation par six. Cela nous donne que zéro est égal à 12𝑡 au carré moins 𝑡 moins un. Il existe différentes façons de résoudre cette équation du second degré. Par exemple, nous pourrions utiliser la formule quadratique. Cependant, dans ce cas, nous pouvons factoriser.
Nous voulons que nos coefficients de 𝑡 se multiplient pour nous donner 12. Nous pourrions essayer quatre et trois, par exemple. Ensuite, nous voulons que nos constantes se multiplient pour donner moins un. Nous pouvons voir que quatre 𝑡 plus un multiplié par trois 𝑡 moins un nous donne 12𝑡 au carré moins 𝑡 moins un. Ensuite, ceci sera égal à zéro lorsque l’un des facteurs sera égal à zéro. Nous avons donc soit 𝑡 est égal à moins un quart, soit 𝑡 est égal à un tiers.
Cependant, dans ce cas, 𝑡 représente le temps. En fait, on nous dit que 𝑡 doit être supérieur ou égal à zéro. Nous n’avons donc qu’une seule solution : lorsque 𝑡 est égal à un tiers. Alors, la question veut que nous trouvions la vitesse du corps lorsque l’accélération est égale à zéro. De plus, nous venons de montrer que le seul moment où l’accélération est égale à zéro est lorsque 𝑡 est égal à un tiers. Nous devons trouver 𝑣 évaluée en un tiers.
La substitution de 𝑡 est égale à un tiers dans la vitesse nous donne 24 fois un tiers au cube moins trois fois un tiers au carré moins six fois un tiers moins quatre. Nous pouvons évaluer ceci pour nous donner moins 49 divisé par neuf. En fait, puisque nous mesurons le temps en secondes et le déplacement en mètres, notre vitesse, qui est le taux de variation du déplacement, doit avoir pour unités des mètres par seconde.
Par conséquent, nous avons montré que si un corps se déplace le long de l’axe des 𝑥 de telle sorte qu’à un instant 𝑡 secondes, son déplacement par rapport à l’origine soit donné par 𝑠 égale six 𝑡 à la puissance quatre. Moins 𝑡 au cube moins trois 𝑡 au carré moins quatre 𝑡 plus trois mètres, où 𝑡 est supérieur ou égal à zero. Alors sa vitesse lorsque son accélération est égale à zéro est de moins 49 divisé par neuf mètres par seconde.
