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Fiche explicative de la leçon : Applications des dérivées aux mouvements rectiligne Mathématiques

Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre comment appliquer la notion de dérivée pour résoudre des problèmes cinématiques sur une droite.

On peut décrire la position d’une particule dont le mouvement est rectiligne grâce à sa coordonnée 𝑥(𝑡) le long de l’axe duquel elle est en mouvement. On peut exprimer cela comme étant la position de la particule à un temps donné;on parle alors de déplacement de la particule. Si le point de référence est la position de la particule au temps 𝑡=0, alors le déplacement de la particule en tout temps 𝑡 est donné par 𝑠(𝑡)=𝑥(𝑡)𝑥(0). Le déplacement est une quantité vectorielle. Ici, il s’agit d’un vecteur unidimensionnel, et à ce titre il peut être décrit par une fonction à valeurs réelles donnant sa composante sur l’axe du mouvement (l’axe des 𝑥). Le signe de 𝑠(𝑡) donne le sens du vecteur, tandis que la valeur absolue de 𝑠(𝑡) donne sa norme.

Comment déterminer la vitesse à partir du déplacement

Le vecteur vitesse instantanée de la particule, notée 𝑣(𝑡), est la dérivée de 𝑠(𝑡) par rapport au temps, 𝑡. On écrit 𝑣(𝑡)=𝑡𝑠(𝑡).dd

Comment déterminer l’accélération à partir du vecteur vitesse

L’accélération instantanée de la particule, 𝑎(𝑡), est la dérivée de 𝑣(𝑡) par rapport au temps 𝑡. On écrit 𝑎(𝑡)=𝑡𝑣(𝑡).dd

Rappelons que la dérivée d’une fonction polynomiale de la forme 𝑓(𝑥)=𝑎𝑥 par rapport à 𝑥 est égale à dd𝑥(𝑎𝑥)=𝑛𝑎𝑥.

Étudions un exemple de description de mouvement d’une particule en utilisant des dérivées.

Exemple 1: Utilisation des dérivées pour résoudre des problèmes de déplacement et de vecteur vitesse

Une particule se déplace en ligne droite, de telle sorte que son déplacement de 𝑠mètres après 𝑡secondes est donnée par la formule 𝑠=4𝑡55𝑡+208𝑡.

  1. Calculez le vecteur vitesse de la particule au temps 𝑡=8secondes.
  2. Calculez l’intervalle de temps durant lequel la vitesse de la particule décroit.

Réponse

Partie 1

Le déplacement de la particule peut être exprimé en fonction du temps, 𝑠(𝑡). Ceci est donné par 𝑠(𝑡)=4𝑡55𝑡+208𝑡.

La dérivée de 𝑠(𝑡) par rapport à 𝑡 est le vecteur vitesse 𝑣(𝑡), qui est donné par 𝑣(𝑡)=𝑠𝑡=𝑡4𝑡55𝑡+208𝑡𝑣(𝑡)=34𝑡2(55𝑡)+208𝑣(𝑡)=12𝑡110𝑡+208/.ddddms

À l’instant 𝑡=8, la valeur de 𝑣 est donnée par 𝑣(8)=128110(8)+208𝑣(8)=768880+208=96/.ms

Partie 2

Pour déterminer l’intervalle de temps sur lequel 𝑣(𝑡) est décroissante, on doit étudier le signe de la dérivée de 𝑣(𝑡);c’est-à-dire de la fonction d’accélération 𝑎(𝑡).

L’accélération est la dérivée du vecteur vitesse par rapport au temps:𝑎(𝑡)=𝑣𝑡=𝑡12𝑡110𝑡+208𝑎(𝑡)=2(12𝑡)110𝑎(𝑡)=24𝑡110/.ddddms

Ici, la fonction d’accélération est affine et elle est nulle au temps 𝑡 tel que 24𝑡110=024𝑡=110𝑡=11024𝑡=5512.s

Si 𝑡<𝑡, alors 𝑎(𝑡)<0;on peut montrer cela en remarquant que l’accélération est une fonction affine de coefficient directeur positif (donc croissante) ou, simplement, en évaluant le signe de 𝑎 à un temps inférieur à 𝑡, par exemple au temps 𝑡=0:𝑎(0)=24×0110=110<0.

Ainsi, l’accélération est négative pour 0𝑡<5512secondes, et le vecteur vitesse de la particule est donc décroissant pour des valeurs de 𝑡 dans cet intervalle.

Il est bon de noter que dans l’exemple, précédent, sur l’intervalle obtenu, le vecteur vitesse change de signe pour passer de positif à négatif, ce qui est bien cohérent avec une accélération négative. Lorsque l’accélération et le vecteur vitesse sont de signes opposés, le corps décélère, c’est-à-dire que sa vitesse décroit jusqu’à atteindre zéro, à partir de quand il change de sens (le vecteur vitesse change de signe). Le corps accélère ensuite (dans le cas de l’exemple précédent, dans la direction négative), et sa vitesse augmente. Dans notre cas, le vecteur vitesse est négatif et continue donc de décroître.

On peut facilement vérifier nos résultant en traçant le graphique de 𝑣(𝑡), qui est une parabole, comme illustré sur la figure suivante.

Étudions à présent un exemple dans lequel on calcule la valeur maximale de la dérivée.

Exemple 2: Calcul du vecteur vitesse maximale d’une particule de déplacement donné grâce au calcul de dérivées

Une particule se déplace en ligne droite le long de l’axe des 𝑥 de sorte que son déplacement de 𝑠mètres après 𝑡secondes est donné par 𝑠=𝑡+6𝑡+2𝑡. Calculez le vecteur vitesse maximale de la particule dans la direction positive sur l’axe des 𝑥.

Réponse

On peut exprimer le déplacement de la particule comme une fonction du temps 𝑠(𝑡). Cette fonction est définie par 𝑠(𝑡)=𝑡+6𝑡+2𝑡,𝑡0.

La dérivée de 𝑠(𝑡) par rapport à 𝑡 est le vecteur vitesse 𝑣(𝑡), qui est donné par 𝑣(𝑡)=𝑠𝑡=𝑡𝑡+6𝑡+2𝑡𝑣(𝑡)=3𝑡+2(6𝑡)+2𝑣(𝑡)=3𝑡+12𝑡+2/.ddddms

La fonction du vecteur vitesse est une fonction du second degré dont le terme de plus haut degré a un coefficient négatif (3). Ainsi, le graphique de cette fonction est une parabole dont les branches pointent vers le bas. Le sommet de la parabole est donc une valeur maximale du vecteur vitesse.

Il y a deux méthodes pour déterminer les coordonnés du sommet d’une parabole. La première consiste à réécrire son équation sous la forme dite canonique 𝑦=𝑎(𝑥)+𝑘, (;𝑘) sont les coordonnées du sommet de la parabole. Ici, on a 𝑣(𝑡)=3𝑡+12𝑡+2=3𝑡4𝑡+2=3(𝑡2)4+2=3(𝑡2)+14.

Les coordonnées du sommet de la parabole sont (2;14);ainsi, la valeur maximale atteinte par le vecteur vitesse au temps 𝑡=2s est de 14 m/s.

La deuxième méthode est plus générale car elle ne se limite pas au cas de fonctions du second degré mais est valable pour tout type de fonction. Cette méthode consiste à calculer la dérivée du vecteur vitesse (c’est-à-dire l’accélération) et à déterminer ses points d’annulations qui correspondent à des extrema du vecteur vitesse.

L’accélération est la dérivée du vecteur vitesse par rapport au temps:𝑎(𝑡)=𝑣𝑡=𝑡3𝑡+12𝑡+2𝑎(𝑡)=6𝑡+12.dddd

On cherche le temps 𝑡 d’annulation de l’accélération:6𝑡+12=0𝑡=2.s

Au temps 𝑡=2s, le vecteur vitesse est égal à 𝑣(2)=3×2+12×2+2=14/.ms

Nous devons vérifier que 𝑣(2) est un maximum en vérifiant les valeurs de la vitesse avant et après 𝑡, par exemple, 𝑣(0)=3×0+12×0+2=2/,𝑣(3)=3×3+12×3+2=11/,msms ou en vérifiant que le signe de l’accélération (la dérivée première de la vitesse) est positif avant 𝑡 (et la vitesse est donc croissante) et négative après 𝑡 (et la vitesse est donc décroissante), ce qui entraine que la particule atteint bien son vecteur vitesse maximale au temps 𝑡:𝑎(0)=6×0+12=12>0,𝑎(3)=6×3+12=6<0.

Le vecteur vitesse maximale dans la direction positive de l’axe des 𝑥 est de 14 m/s.

Le lien entre le graphique du vecteur vitesse dans l’exemple précédent et le signe de sa dérivée première, c’est-à-dire l’accélération, est donné dans la figure suivante.

On peut voir que lorsque l’accélération et le vecteur vitesse sont tous les deux positifs, le vecteur vitesse croît. Si ces deux quantités sont négatives, le vecteur vitesse décroît. Dans les deux cas, cependant, la norme du vecteur vitesse croît et le corps accélère. Lorsque le vecteur vitesse et l’accélération on des signes opposés, cela signifie qu’une force s’oppose au mouvement:la vitesse est donc décroissante.

Étudions à présent un exemple dans lequel on doit calculer un point d’annulation de la fonction dérivée.

Exemple 3: Calcul de l’accélération instantanée d’une particule de vecteur vitesse donné

Une particule se déplace en ligne droite, de sorte que son déplacement 𝑠, exprimé en mètres, est donné en fonction du temps 𝑡, exprimé en secondes, par la formule suivante 𝑠=5𝑡84𝑡+33𝑡, pour tout temps 𝑡0. Calculez la norme de l’accélération de la particule lorsque le vecteur vitesse de celle-ci est nul.

Réponse

On peut exprimer le déplacement de la particule comme une fonction du temps 𝑠(𝑡). Celle-ci est définie par 𝑠(𝑡)=5𝑡84𝑡+33𝑡.

La dérivée de 𝑠(𝑡) par rapport à 𝑡 est le vecteur vitesse 𝑣(𝑡), qui est donné par 𝑣(𝑡)=𝑠𝑡=𝑡5𝑡84𝑡+33𝑡=35𝑡2(84𝑡)+33=15𝑡168𝑡+33.dddd

On doit calculer l’accélération de la particule lorsque son vecteur vitesse est nul, c’est-à-dire pour 𝑣(𝑡)=15𝑡168𝑡+33=0.

On peut résoudre cette équation du second degré par radicaux avec la formule 𝑡=𝑏±𝑏4𝑎𝑐2𝑎,𝑎=15, 𝑏=168 et 𝑐=33.

On a donc 𝑡=168±(168)4(15)(33)2(15)𝑡=168±16230.

Ainsi, les deux solutions de cette équation sont 𝑡=0,2𝑡=11.sands

Cela signifie qu’aux temps 𝑡=0,2s et 𝑡=11s la particule a un vecteur vitesse nul.

On veut calculer la norme de l’accélération aux temps 𝑡 et 𝑡. L’accélération est la dérivée du vecteur vitesse. Donc, nous avons 𝑎(𝑡)=𝑣𝑡=𝑡15𝑡168𝑡+33=2(15𝑡)168=30𝑡168.dddd

En évaluant l’accélération en 𝑡=0,2, on obtient 𝑎(0,2)=6168=162/.ms

En évaluant l’accélération en 𝑡=11, on obtient 𝑎(11)=330168=162/.ms

La norme de l’accélération est donnée par |𝑎(𝑡)|. Celle-ci est donc égale à 162 m/s2.

On peut étudier le graphique de 𝑣(𝑡) comme dans l’exemple précédent.

C’est une parabole dont les branches pointent dans la direction positive. Toute parabole est symétrique par rapport à la droite verticale passant par son sommet. Ainsi, les deux points d’intersection de la parabole avec l’axe des 𝑥 sont des réflexions l’un de l’autre par cette symétrie, de même que les tangentes au graphique de 𝑣(𝑡) en ces points. On rappelle que la dérivée première d’une fonction en un point est égale à la pente de la tangente au graphique de la fonction en ce point, ce qui explique pourquoi nous avons trouvé des vecteurs de même norme mais de sens opposés dans l’exemple précédent.

Étudions un exemple dans lequel le sens de l’accélération d’une particule relativement à son vecteur vitesse instantanée est donné.

Exemple 4: Calcul de l’accélération ou de la décélération d’une particule étant donné sa fonction de déplacement

Une particule se déplace en ligne droite de sorte qu’au temps 𝑡secondes, son déplacement relativement à un point fixe sur la droite est donné par 𝑠=𝑡𝑡3m, quel que soit 𝑡0. Déterminez si la particule accélère ou décélère dans la direction du mouvement au temps 𝑡=2s.

Réponse

On peut exprimer le déplacement de la particule comme une fonction du temps 𝑠(𝑡). Celle-ci est définie par 𝑠(𝑡)=𝑡𝑡3.

Le vecteur vitesse de la particule et donné par la dérivée première de 𝑠(𝑡):𝑣(𝑡)=𝑡𝑡𝑡3𝑣(𝑡)=3𝑡2𝑡.dd

Au temps 𝑡=2s, on a 𝑣(2)=124=8/.ms

L’accélération de la particule est donnée par la dérivée première du vecteur vitesse de la particule par rapport au temps:𝑎(𝑡)=𝑡3𝑡2𝑡,𝑎(𝑡)=6𝑡2.dd

Au temps 𝑡=2s, on a 𝑎(2)=122=10/.ms

L’accélération est positive au temps 𝑡=2s, donc, le vecteur vitesse de la particule est croissant. Par ailleurs, ce vecteur vitesse étant de signe positif, cela implique que la vitesse augmente elle aussi. Donc, la particule accélère dans la direction de son mouvement.

Jusqu’ici, nous avons traité des questions dans lesquelles le déplacement était donné comme une fonction du temps, de sorte que l’on pouvait calculer le vecteur vitesse et la fonction d’accélération en calculant des dérivées par rapport au temps. Il peut cependant arriver que le vecteur vitesse de la particule soit donné en fonction du déplacement. Le déplacement étant une fonction du temps, on a dans ce cas une fonction composée:𝑣(𝑠(𝑡)).

La dérivée de 𝑣 par rapport au temps est alors donnée par le théorème de dérivation des fonctions composées:dddddd𝑣𝑡=𝑣𝑠𝑠𝑡.

Ici, on remarque que, puisque dd𝑠𝑡=𝑣, nous avons dddd𝑣𝑡=𝑣𝑣𝑠.

Étudions un exemple dans lequel le vecteur vitesse d’une particule est exprimé en fonction de son déplacement.

Exemple 5: Calcul de l’accélération d’une particule dont le vecteur vitesse est une fonction du déplacement

Une particule se déplace le long de l’axe des 𝑥. Pour un déplacement par rapport à l’origine de 𝑠m, le vecteur vitesse de la particule est donné par 𝑣=43+𝑠/.ms

Calculez l’accélération de la particule lorsque 𝑠=3m.

Réponse

On rappelle que l’accélération d’une particule est la dérivée de 𝑣 par rapport au temps. Cependant, ici, le vecteur vitesse est une fonction du déplacement, donc on ne peut pas calculer directement sa dérivée par rapport au temps.

La dérivée du vecteur vitesse de la particule par rapport au temps peut être calculée en appliquant le théorème de dérivation des fonctions composées:dddddd𝑣𝑡=𝑣𝑠𝑠𝑡.

La dérivée du déplacement par rapport au temps est le vecteur vitesse, on a donc dddd𝑣𝑡=𝑣𝑣𝑠.

On calculer la dérivée du vecteur vitesse par rapport au déplacement de la sorte dddd𝑣𝑠=𝑠43+𝑠=4(3+𝑠).

Ainsi, on a dd𝑣𝑡=43+𝑠4(3+𝑠).

En substituant 3 à la valeur de 𝑠, on obtient 𝑣𝑡=46436=23×9=227/.ddms

Jusqu’ici, nous avons étudié des cas de vecteur vitesse instantanée.

Définition: Vecteur vitesse moyenne

Lorsqu’une particule se déplace à partir d’une position initiale au temps 𝑡initial à une position finale au temps 𝑡nal, son vecteur vitesse moyenne est le taux de variation de sa position par rapport au temps:𝑣=𝑥(𝑡)𝑥(𝑡)𝑡𝑡=𝑠(𝑡)𝑡𝑡,moyennenalinitialnalinitialnalnalinitial𝑥(𝑡) est la position de la particule au temps 𝑡 et 𝑠(𝑡) est son déplacement au temps 𝑡 par rapport au point 𝑥(𝑡)initial.

Sous forme vectorielle, avec 𝑖 un vecteur unitaire le long de l’axe du mouvement, nous avons 𝑣=𝑥(𝑡)𝑥(𝑡)Δ𝑡𝑖=𝑠(𝑡)𝑠(𝑡)Δ𝑡𝑖.moyennenalinitialnalinitial

Le vecteur vitesse moyenne est le vecteur vitesse que la particule devrait avoir si elle se déplaçait à vitesse constante.

La vitesse moyenne, qui est le taux de variation de la distance parcourue par rapport au temps n’est pas nécessairement égale à la norme du vecteur vitesse moyenne. On a cette égalité seulement dans le cas où la particule s’est toujours déplacée dans la même direction entre le temps initial et le temps final. Dans ce cas, la norme du déplacement est égale à la distance parcourue. En revanche, si la particule change de direction, alors la norme du déplacement est strictement inférieure à la distance parcourue. Dans ce cas, on doit alors partitionner le mouvement en sections sur lesquelles le mouvement se fait dans une seule direction. Ainsi, sur chaque section, la distance parcourue est égale à la norme du déplacement.

Étudions sur le dernier exemple comment calculer le vecteur vitesse moyenne et la vitesse moyenne d’une particule en mouvement dans un intervalle de temps.

Exemple 6: Calcul du vecteur vitesse moyenne et de la vitesse moyenne sur un intervalle de temps où le vecteur vitesse change de signe

Une particule se déplace en ligne droite, par rapport à un point stationnaire, avec un vecteur position 𝑟=2𝑡+5𝑡+3𝑖, 𝑡0 est exprimée en secondes, 𝑖 est un vecteur unitaire parallèle à la droite, et 𝑟 est exprimé en mètres.

  1. Calculez la norme du vecteur de déplacement après 2 s.
  2. Calculez la distance totale parcourue par la particule après 2 s.
  3. Calculez la norme du vecteur vitesse moyenne de la particule entre les temps 𝑡=0s et 𝑡=2s.
  4. Calculez la vitesse moyenne de la particule entre les temps 𝑡=0s et 𝑡=2s.

Réponse

Partie 1

Le déplacement de la particule, noté 𝑠, après 2 secondes est le vecteur entre la position initiale de la particule 𝑡=0 et sa position finale 𝑡=2secondes. Donc, nous avons 𝑠(2)=𝑟(2)𝑟(0)𝑠(2)=22+52+3𝑖20+50+3𝑖𝑠(2)=2𝑖.

Après 2 secondes, la norme du déplacement est 𝑠(2)=2.m

Partie 2

Le vecteur position est toujours colinéaire à 𝑖, ainsi la particule a un mouvement rectiligne. Dans le cas d’un mouvement rectiligne, et s’il n’y a pas de changement de sens, la distance parcourue entre deux points est donnée par la norme du vecteur de déplacement. Le sens du mouvement étant donné par le signe du vecteur vitesse (la dérivée première de la position), nous devons calculer le vecteur vitesse et étudier son signe entre les temps 𝑡=0 et 𝑡=2secondes afin de déterminer si le mouvement a changé de sens ou non entre ces deux temps.

Le vecteur vitesse de la particule est donné par la dérivée première de 𝑟(𝑡):𝑣(𝑡)=𝑡2𝑡+5𝑡+3𝑖𝑣(𝑡)=(4𝑡+5)𝑖.dd

La composante du vecteur de vitesse le long de l’axe du mouvement est donnée par l’équation affine 𝑣=4𝑡+5. Celle-ci s’annule et change de signe en 𝑡=54=114seconde. La droite associée à cette expression est de pente négative (donc la particule a une accélération négative), ainsi, le vecteur vitesse est positif avant 𝑡=54seconde et il est négatif après.

Ainsi, la particule se déplace d’abord dans le sens positif (le même sens que 𝑖), change de sens au temps 𝑡=54seconde, pour se déplace dans le sens négatif. Pour pouvoir calculer la vitesse moyenne, on doit déterminer les distances parcourues dans les deux sens, les sommer, et finalement diviser par le temps total (2 secondes).

La distance parcourue entre les temps 𝑡=0 et 𝑡=54seconde est donnée par la norme du vecteur déplacement entre la position en 𝑡=0 et celle en 𝑡=54seconde:𝑑=𝑟𝑟=254+554+3𝑖20+50+3𝑖=258+254+3𝑖3𝑖=258𝑖𝑑=258.m

De même, la distance parcourue entre 𝑡=54seconde et 𝑡=2secondes est donnée par 𝑑=𝑟𝑟=22+52+3𝑖254+554+3𝑖=(8+10+3)𝑖258+3𝑖=98𝑖𝑑=98.m

La distance totale est donc égale à 𝑑=𝑑+𝑑𝑑=258+98𝑑=348=414.m

Partie 3

Le vecteur vitesse moyenne est le taux de variation de la position par rapport au temps:𝑣=𝑠(𝑡)𝑡𝑡/.moyennenalnalinitialms

Ainsi, entre les temps 𝑡=0 et 𝑡=2secondes, nous avons 𝑣=2𝑖2=𝑖/.moyennems

Le vecteur vitesse moyenne est donc de norme 𝑣=𝑖=1/.moyennems

Partie 4

La vitesse moyenne est le taux de variation de la distance par rapport au temps:vitesse=𝑑+𝑑Δ𝑡.

Donc, entre les temps 𝑡=0 et 𝑡=2secondes, nous avons vitessevitessems=2=3416=218=2,125/.

Résumons ce qui a été appris dans cette fiche explicative.

Points clés

  • Le vecteur vitesse instantanée d’une particule est donné par la dérivée du déplacement de la particule par rapport au temps. On écrit cela 𝑣=𝑠𝑡.dd
  • Un déplacement maximal ou minimal correspond à un point, ou un instant, où le vecteur vitesse de la particule s’annule et change de signe.
  • La dérivée du vecteur vitesse de la particule par rapport au temps est l’accélération instantanée de la particule. On peut exprimer cela de la façon suivante 𝑎=𝑣𝑡.dd
  • Le vecteur vitesse atteint son maximum ou son minimum au point, ou à l’instant, où l’accélération de la particule s’annule et change de signe.
  • En appliquant le théorème de dérivation des fonctions composées, on a dddddddd𝑣𝑡=𝑣𝑠𝑠𝑡=𝑣𝑣𝑠.

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