Vidéo : Application de la dérivation au mouvement rectiligne

Dans cette leçon, nous allons apprendre comment appliquer la dérivation dans les problèmes de mouvement rectiligne.

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Transcription de vidéo

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à appliquer des procédures de détermination des dérivés à des problèmes impliquant un mouvement rectiligne. Nous allons commencer par récapituler les méthodes de dérivation des fonctions polynômes dans 𝑥 et la règle de dérivation en chaîne avant d’envisager comment la dérivation est liée au mouvement le long d’une droite. Nous verrons ensuite divers exemples illustrant ces techniques et comment déterminer si vous devez appliquer l’analyse ou non.

Les techniques d’analyse que nous allons utiliser dans cette vidéo sont les suivantes. Nous devons savoir que la dérivée à la puissance 𝑥, disons 𝑎𝑥 à la puissance 𝑛, pour les constantes 𝑎 et 𝑛 est 𝑛 fois 𝑎𝑥 à la puissance 𝑛 moins un. Par exemple, la dérivée de quatre fois 𝑥 à la puissance sept est sept fois quatre 𝑥 à la puissance sept moins un, soit six. Et cela donne bien sûr 28𝑥 à la puissance six. Nous allons aussi utiliser la règle de dérivation en chaîne qui nous permet de dériver une fonction d’une fonction. Ceci signifie que si 𝑦 est une fonction dans 𝑢 et que 𝑢 est elle-même une fonction dans 𝑥, alors d𝑦 par d𝑥 égale d𝑦 par d𝑢 fois d𝑢 par d𝑥.

Alors, comment l’analyse est-elle liée au mouvement, en particulier au mouvement rectiligne ? C’est le mouvement le long d’une droite. Rappelons les définitions du déplacement, de la vitesse et de l’accélération. Le déplacement est le vecteur qui décrit la position d’un objet par rapport à un point de départ donné. La vitesse est alors la variation du déplacement de cet objet par rapport au temps. Et l’accélération est la variation de la vitesse de cet objet par rapport au temps. Cela veut dire que si nous définissons 𝑠 comme une fonction qui mesure le déplacement à l’instant 𝑡, cela signifie que la vitesse doit être la dérivée de 𝑠 par rapport à 𝑡. C’est 𝑠 prime of 𝑡.

De même, on peut dire que si 𝑣 est une fonction qui mesure la vitesse à l’instant 𝑡, alors l’accélération est la dérivée de 𝑣 par rapport à 𝑡. C’est 𝑣 prime de 𝑡. Puisque nous avons défini 𝑣 comme étant 𝑠 prime de 𝑡, nous pouvons dire que l’accélération est aussi la dérivée seconde de 𝑠 par rapport à 𝑡. C’est double prime de 𝑡. Et puisque l’intégration est le processus opposé ou l’inverse de la dérivation, nous pouvons donc dessiner un petit schéma pour montrer la relation entre le déplacement, la vitesse et l’accélération. Il convient de rappeler que la distance et la vitesse sont des quantités scalaires, parfois appelées respectivement la norme du déplacement et la vitesse. Allons maintenant voir quelques exemples illustrant ces idées.

Une particule se déplace en mouvement rectiligne de telle sorte que son déplacement 𝑠 mètres après 𝑡 secondes est donné par la relation 𝑠 égale quatre 𝑡 au cube moins 55𝑡 au carré plus 208𝑡. a) détermine la vitesse de la particule à l’instant 𝑡 égale huit secondes. Et b) détermine l’intervalle de temps pendant lequel la vitesse de la particule diminue.

Rappelez-vous, la vitesse est la variation du déplacement d’un objet. On peut donc dire que 𝑣 doit être égale à la dérivée de 𝑠 par rapport à 𝑡, c’est d𝑠 par d𝑡. Donc, pour déterminer la vitesse de la particule dans cette question, il faudra dériver 𝑠 par rapport à 𝑡. Nous rappelons que la dérivée à la puissance 𝑥, disons 𝑎𝑥 à la puissance 𝑛, pour certaines constantes 𝑎 et 𝑛 est 𝑛𝑎 fois 𝑥 à la puissance 𝑛 moins un. Nous rappelons aussi que la dérivée de la somme de plusieurs termes est égale à la somme des dérivés de chacun de ces termes.

Nous dérivons ensuite chaque terme par rapport à 𝑡. La dérivée de quatre 𝑡 au cube est trois fois quatre 𝑡 au carré, ce qui est 12𝑡 au carré. La dérivée de moins 55𝑡 au carré est deux fois moins 55𝑡 à la puissance un. C’est moins 110. Et la dérivée de 208𝑡 est juste 208. Ainsi, la vitesse à l’instant 𝑡 secondes est donnée par 12𝑡 au carré moins 110𝑡 plus 208. Nous pouvons trouver la vitesse à huit secondes en substituant huit dans cette fonction. Et nous voyons que c’est 12 fois huit au carré moins 110 fois huit plus 208, soit 96. Etant donné que le déplacement est mesuré en mètres et que le temps en secondes, la vitesse est alors de 96 mètres par seconde.

Et qu’en est-il de la partie b) ? Pour qu’une fonction soit décroissante, sa dérivée doit être inférieure à zéro. La dérivée de 𝑣 par rapport à 𝑡 est 24𝑡 moins 110. Ce que nous devons donc faire c’est de déterminer où la fonction 24𝑡 moins 110 est strictement inférieure à zéro. Eh bien, comment faire cela ? Comment résoudre cette inéquation du premier degré ? Nous pouvons résoudre cette inéquation comme en résolvant n’importe quelle équation du premier degré. Nous ajoutons 110 aux deux membres pour voir que 24𝑡 est strictement inférieur à 110. Et nous divisons par 24. Et nous voyons que 𝑡 est inférieur à 110 sur 24, ce qui simplifie en 55 sur 12. L’intervalle de temps pendant lequel la vitesse de cette particule est décroissante est 𝑡 est strictement inférieur à 55 sur 12 secondes.

Dans notre exemple suivant, nous verrons comment il faut changer nos processus en traitant une vitesse moyenne.

Une particule se déplace en mouvement rectiligne telle que sa position 𝑟 mètres par rapport à l’origine à l’instant 𝑡 secondes est donnée par 𝑟 égale 𝑡 au carré plus trois 𝑡 plus sept. Trouvez la vitesse moyenne de la particule entre 𝑡 égale deux secondes et 𝑡 égale quatre secondes.

Remarquez comment, dans cet exemple, on nous donne une position de la particule par rapport à l’origine, et on nous demande de trouver sa vitesse moyenne. La vitesse moyenne est définie comme le déplacement total divisé par le temps total. Donc, au lieu de dériver celle-ci, nous pouvons simplement appliquer cette définition. Le déplacement sera la variation totale de la position de la particule entre 𝑡 égale deux secondes et 𝑡 égale quatre secondes. Nous substituons donc 𝑡 égale deux et 𝑡 égale quatre dans la formule pour la position de l’objet, et déterminons la différence entre ceux-ci pour déterminer le déplacement total entre deux et quatre secondes.

La position à quatre secondes est quatre au carré plus trois fois quatre plus sept, ce qui donne 35. Et à deux secondes, c’est deux au carré plus trois fois deux plus sept, ce qui donne 17. Entre deux et quatre secondes, le déplacement de la particule est de 18 mètres. Le temps mis est simplement la différence entre quatre et deux secondes, soit deux secondes. La vitesse moyenne de la particule est donc 18 sur deux, soit neuf mètres par seconde.

Cet exemple montre que l’analyse n’est pas nécessaire pour résoudre des problèmes de vitesse moyenne à partir d’une fonction de position, mais que nous devons utiliser l’analyse en envisageant des problèmes de vitesse instantanée.

Dans notre prochain exemple, nous allons revenir à la façon dont l’analyse peut nous aider à résoudre des problèmes impliquant un mouvement rectiligne.

Une particule se déplace en mouvement rectiligne de telle sorte que son déplacement 𝑠 en mètres est donné en fonction du temps 𝑡 en secondes par 𝑠 égale cinq 𝑡 au cube moins 84𝑡 au carré plus 33𝑡, car 𝑡 est supérieur à zéro. Trouvez la norme de l’accélération de la particule lorsque la vitesse est nulle.

Ici, nous avons une fonction pour le déplacement d’une particule à l’instant 𝑡 secondes. Nous rappelons que, étant donnée notre fonction pour 𝑠 en termes de 𝑡, 𝑣 peut être obtenue en dérivant ceci par rapport à 𝑡. Et puis 𝑎, l’accélération, peut être déterminée en dérivant à nouveau. C’est d𝑣 par d𝑡, ou bien, la dérivée seconde de 𝑠 par rapport à 𝑡. Donc, pour commencer, nous allons juste déterminer la dérivée seconde de notre fonction 𝑠. Nous pouvons trouver la première dérivée en dérivant chaque terme à son tour. C’est trois fois cinq 𝑡 au carré moins deux fois 84𝑡 plus 33. C’est 15𝑡 au carré moins 168𝑡 plus 33.

Nous dérivons ensuite encore une fois pour trouver une expression de l’accélération. C’est deux fois 15𝑡 moins 168, ce qui est simplifié en 30𝑡 moins 168. Nous avons maintenant des expressions pour la vitesse et pour l’accélération à l’instant 𝑡 secondes. Et maintenant ? Nous cherchons à déterminer la norme de l’accélération lorsque la vitesse égale zéro. Définissons donc notre équation pour la vitesse égale zéro et résolvons pour 𝑡. Nous pouvons résoudre cela en factorisant. Et en faisant cela, nous voyons le cinq 𝑡 moins un fois trois 𝑡 moins 33 égale zéro. Pour que cette affirmation soit vraie, soit cinq 𝑡 moins un doit égaler zéro, soit trois 𝑡 moins 33 doit égaler zéro. Et si nous résolvons chacune d’elles pour 𝑡, nous voyons que 𝑡 égale un cinquième ou 𝑡 égale 11. Et la vitesse égale zéro en ces instants.

Voyons ce qui se passe lorsque nous substituons ces valeurs de 𝑡 dans l’équation de l’accélération. Lorsque 𝑡 égale un cinquième, l’accélération est égale à 30 fois un cinquième moins 168, ce qui donne moins 162. Lorsque 𝑡 égale 11, l’accélération est 30 fois 11 moins 168 qui, cette fois, est 162. N’oubliez pas qu’on nous demande de déterminer la norme de l’accélération ; c’est la taille. Donc, ici, le signe négatif est sans importance. Nous pouvons dire alors que la norme de l’accélération lorsque 𝑣 égale zéro est de 162 mètres par seconde carrée.

Dans notre exemple suivant, nous allons voir comment déterminer de la dérivée peut nous aider à déterminer la nature du mouvement d’une particule.

Une particule se déplace en mouvement rectiligne de telle sorte qu’à l’instant 𝑡 secondes, son déplacement depuis un point fixe de la droite est donné par 𝑠 égale 𝑡 au cube moins 𝑡 au carré moins trois mètres, lorsque 𝑡 est supérieur ou égal à zéro. Déterminez si la particule accélère ou décélère lorsque 𝑡 égale deux secondes.

Ici, nous avons une fonction pour le déplacement d’une particule à l’instant 𝑡 secondes. Pour trouver une équation pour l’accélération, il faudra déterminer la dérivée seconde de cette fonction. Commençons par trouver la dérivée première d𝑠 par d𝑡 qui représente la vitesse à l’instant 𝑡 secondes. La dérivée de 𝑠 par rapport à 𝑡 est trois 𝑡 au carré moins deux 𝑡. Nous dérivons encore une fois pour déterminer l’accélération. Et nous voyons que l’accélération à l’instant 𝑡 secondes est six 𝑡 moins deux. Nous voulons déterminer la nature de l’accélération à l’instant 𝑡 égale deux secondes. En d’autres termes, est-ce qu’elle accélère ou décélère ? Nous allons substituer 𝑡 égale deux dans l’équation de l’accélération. C’est six fois deux moins deux, ce qui donne 10.

Mais cela ne suffit pas pour déterminer si la particule accélère ou décélère puisque nous ne savons pas dans quelle direction elle se déplace. Nous allons donc évaluer la vitesse à l’instant 𝑡 égale deux secondes. C’est trois fois deux au carré moins deux fois deux, soit huit. Puisque la vitesse et l’accélération sont toutes deux positives à l’instant 𝑡 égale deux secondes, nous savons donc qu’elles agissent dans le même sens. Donc, la particule elle-même doit être en accélération lorsque 𝑡 égale deux.

Dans notre dernier exemple, nous allons voir comment la règle de dérivation en chaîne peut nous aider à résoudre des problèmes impliquant un mouvement rectiligne.

Une particule se déplace le long de l’axe des 𝑥. Lorsque son déplacement à partir de l’origine est de 𝑠 mètres, sa vitesse est donnée par 𝑣 égale quatre sur trois plus 𝑠 mètres par seconde. Trouvez l’accélération de la particule lorsque 𝑠 égale trois mètres.

Ici, nous avons une fonction pour la vitesse en fonction de 𝑠. On nous demande de déterminer l’accélération. Maintenant, l’accélération est définie comme la variation de la vitesse par rapport au temps, ou la dérivée de 𝑣 par rapport à 𝑡. Nous ne pouvons pas facilement dériver 𝑣 par rapport à 𝑡 sans faire une étape supplémentaire. Nous allons donc utiliser la dérivation implicite. Nous dérivons les deux membres de notre équation par rapport à 𝑡. Et à gauche, on obtient d𝑣 par d𝑡. Sur la droite, on obtient d par d𝑡 de quatre sur trois plus 𝑠.

Pour rendre cela plus facile, nous allons changer cela en quatre fois trois plus 𝑠 à la puissance moins un. Et ainsi, la dérivée de cette expression par rapport à 𝑡 est égale à sa dérivée par rapport à 𝑠 fois d𝑠 par d𝑡. Nous utilisons ensuite la règle de dérivation de la puissance sur l’extension de la règle de dérivation en chaîne. Et nous voyons que la dérivée de quatre fois trois plus 𝑠 à la puissance moins un par rapport à 𝑠 est moins quatre fois trois plus 𝑠 à la puissance moins deux. Nous voyons donc que d𝑣 sur d𝑡 est égal à moins quatre fois trois plus 𝑠 à la puissance moins deux fois d𝑠 sur d𝑡. Nous pouvons écrire trois plus 𝑠 à la puissance moins deux comme un sur trois plus 𝑠 au carré. Mais nous savons aussi que d𝑠 par d𝑡 est 𝑣. Nous pouvons donc voir que nous avons une expression pour l’accélération en fonction de 𝑣 et de 𝑠.

Nous devons évaluer cela lorsque 𝑠 égale trois. Commençons donc par déterminer 𝑣 lorsque 𝑠 égale trois. Lorsque 𝑠 égale trois, 𝑣 égale quatre sur trois plus trois, ce qui simplifie en deux tiers. Et lorsque 𝑠 égale trois, l’accélération est donc de moins quatre sur trois plus trois le tout au carré fois deux tiers, ce qui équivaut à moins deux sur 27 mètres par seconde carrée.

Cet exemple démontre un résultat rarement utilisé mais néanmoins utile. Lorsqu’on nous donne une fonction de 𝑣 en termes de 𝑠, on peut dire que la dérivée de 𝑣 par rapport à 𝑡 est égale à la dérivée de 𝑣 par rapport à 𝑠 fois d𝑠 par d𝑡.

Dans cette vidéo, nous avons vu que nous pouvons utiliser l’analyse pour dériver des équations qui peuvent être utilisées pour décrire le mouvement d’un objet en fonction de ses trois variables cinématiques 𝑠, 𝑣 et 𝑡. Nous y apprenons que, étant donnée une équation du déplacement 𝑠 en fonction 𝑡, sa vitesse est d𝑠 par d𝑡, son accélération est d𝑣 par d𝑡, qui peut également être exprimée comme la dérivée seconde de 𝑠 par rapport à 𝑡. Nous avons également vu que nous pouvons déterminer une expression pour l’accélération étant donnée une fonction 𝑣 en fonction de 𝑠 en utilisant la règle de dérivation en chaîne, telle que d𝑣 sur d𝑡 égale d𝑣 sur d𝑠 fois d𝑠 sur d𝑡.

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