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Le quadrilatère 𝐴𝐵𝐶𝐷 est-il inscriptible ?
Nous rappelons qu’un quadrilatère inscriptible est un quadrilatère dont les quatre sommets sont inscrits sur un cercle. Nous pouvons prouver qu’un quadrilatère est inscriptible en vérifiant certaines propriétés sur les angles. Étant donné que les diagonales sont représentées sur ce quadrilatère, cela pourrait nous donner un indice. Nous pouvons vérifier que si un angle créé par une diagonale et un côté est égal en mesure à l’angle créé par l’autre diagonale et le côté opposé, alors le quadrilatère est inscriptible.
Sur la figure, on nous donne la mesure de l’angle 𝐴𝐷𝐵. C’est un angle, qui est fait à partir d’une diagonale et d’un côté. L’angle qui est créé par l’autre diagonale et le côté opposé serait ici, l’angle 𝐴𝐶𝐵. Si nous pouvions démontrer que la mesure de cet angle est identique à la mesure de l’angle 𝐴𝐷𝐵, alors nous aurions un quadrilatère inscriptible. Voyons voir si nous pouvons calculer la mesure de cet angle.
Utilisons le fait que cet angle fait partie du triangle 𝐸𝐶𝐵 pour nous aider. Nous devrions remarquer que l’angle 𝐴𝐸𝐵 est droit. Et vu que la somme des angles sur une droite fait 180 degrés, nous savons que la mesure de l’angle 𝐵𝐸𝐶 est également de 90 degrés. Alors maintenant, dans le triangle 𝐵𝐸𝐶, nous pouvons utiliser le fait que la somme des angles intérieurs d’un triangle fait 180 degrés. Et nous aurons donc 63 degrés plus 90 degrés plus la mesure de l’angle 𝐵𝐶𝐸 qui doit être égal à 180 degrés. Ajouter 63 degrés et 90 degrés donne 153 degrés, et soustraire 153 degrés des deux côtés donne que la mesure de l’angle 𝐵𝐶𝐴 est de 27 degrés.
Alors maintenant, si nous comparons les angles formés aux diagonales, nous avons cette cet angle qui mesure 27 degrés et cet angle qui mesure 38 degrés. Évidemment, 27 degrés n’est pas égal à 38 degrés. Par conséquent, on a un angle créé par une diagonale et un côté n’est pas égal à un angle créé par l’autre diagonale et le côté opposé. Et donc 𝐴𝐵𝐶𝐷 n’est pas un quadrilatère inscriptible. Et donc nous pouvons donner la réponse non.
Il y a un autre couple d’angles que nous aurions également pu vérifier. L’angle 𝐶𝐵𝐷 est un angle formé par une diagonale et un côté. L’angle créé par l’autre diagonale et le côté opposé serait cet angle 𝐶𝐴𝐷. Nous aurions pu établir que cet angle 𝐴𝐸𝐷 est un angle droit, puis utiliser le fait que la somme des angles d’un triangle font 180 degrés pour calculer l’angle inconnu. Nous aurions alors pu calculer que la mesure de l’angle 𝐶𝐴𝐷 vaut 52 degrés.
Cette fois, nous pourrions montrer que 63 degrés n’est pas égal à 52 degrés. Et donc cela montrerait que 𝐴𝐵𝐶𝐷 n’est pas un quadrilatère inscriptible. Mais nous n’avons pas besoin de montrer qu’il y a deux couples d’angles qui sont différentes. Il faut et il suffit qu’un couple d’angles aux diagonales ne soient pas égaux pour prouver que le quadrilatère n’est pas inscriptible.
