Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre comment prouver qu'un quadrilatère est inscriptible à partir des angles résultant de ses diagonales.
Nous pouvons commencer par rappeler ce qu’on entend par angle inscrit.
Définition : Angle inscrit
Un angle inscrit est l’angle formé lorsque deux cordes se coupent sur la circonférence du cercle. Le sommet de l’angle se situe sur la circonférence du cercle.
Nous utilisons notre compréhension des angles inscrits pour définir un quadrilatère inscriptible.
Définition : Quadrilatère inscriptible
Un quadrilatère inscriptible est un polygone à quatre côtés dont les sommets appartiennent à un cercle, de sorte que tous ses angles soient inscrits dans le cercle.
Avant de considérer les propriétés d’un quadrilatère inscriptible, récapitulons deux théorèmes importants sur les angles inscrits et les angles au centre (un angle dont le sommet est le centre d’un cercle avec les extrémités sur la circonférence).
Définition : Théorèmes des Angles Inscrits
Un angle, , inscrit dans un cercle représente la moitié de l’angle au centre, , interceptant le même arc sur le cercle. En d’autres termes, l’angle à la circonférence est la moitié de l’angle au centre.
Les angles inscrits interceptant le même arc sont égaux.
On peut utiliser ces propriétés pour étudier les propriétés d’un quadrilatère inscriptible. Considérons le quadrilatère inscriptible avec ses diagonales.
Puisqu’on a un arc , alors en utilisant le fait que les angles inscrits interceptant le même arc sont égaux, on peut dire que .
On peut aussi observer en utilisant la même propriété avec l’arc que .
Ainsi, dans un quadrilatère inscriptible, l’angle formé par une diagonale et un côté est égal à l’angle formé par l’autre diagonale et le côté opposé.
Propriété : Mesures des angles formés par les diagonales et les côtés d’un quadrilatère inscriptible
Dans un quadrilatère inscriptible, la mesure de l’angle formé par une diagonale et un côté est égal à la mesure de l’angle formé par l’autre diagonale et le côté opposé. Cette paire d’angles est constituée de deux angles inscrits interceptant le même arc.
La réciproque de ce théorème est également vrai. C’est-à-dire, dans un quadrilatère donné, si on peut prouver que les angles formés par les diagonales sont égaux, alors le quadrilatère est inscriptible.
Par exemple, étant donné le quadrilatère suivant, , si on peut prouver que ou , alors ce quadrilatère est inscriptible. C’est-à-dire, on peut tracer un cercle qui passe par ses quatre sommets.
Notez qu’on ne doit pas prouver que les deux paires d’angles sont égales. Si on a juste , alors on sait que est un arc et et sont des points sur le même cercle. Par conséquent, chaque point se trouve sur le même cercle et il s’agit, par définition, d’un quadrilatère inscriptible.
On peut voir comment pour un quadrilatère non inscriptible, cette propriété ne serait pas vraie. Dans le quadrilatère ci-dessous, on peut remarquer à l’œil nu que .
On ne peut pas tracer un cercle qui passe par tous les 4 sommets, et donc, ce quadrilatère n’est pas inscriptible.
Nous allons voir comment utiliser cette règle pour identifier les quadrilatères inscriptibles dans les exemples suivants.
Exemple 1: Déterminer si un quadrilatère donné est un quadrilatère inscriptible
Y a-t-il un cercle qui passe par les sommets du quadrilatère ?
Réponse
Un quadrilatère dont les quatre sommets sont inscrits dans un cercle est un quadrilatère inscriptible. On peut utiliser les propriétés des angles inscrits pour déterminer si un quadrilatère est inscriptible, et puisque les diagonales sont tracées, on peut vérifier si la mesure de l’angle formé par une diagonale et un côté est égale à la mesure de l’angle formé par l’autre diagonale et le côté opposé.
Voyons si on peut calculer en utilisant . On rappelle que la somme des angles d’un triangle est égale à . Sachant que et , on a
Nous avons maintenant une paire d’angles égaux, . Ainsi, nous avons montré que la mesure de l’angle formé entre une diagonale et un côté est égal à la mesure de l’angle formé par l’autre diagonale et le côté opposé, et ainsi, est un quadrilatère inscriptible. Alternativement, on peut considérer que cette propriété résulte du fait que et forment un arc, et puisque les angles en et sont égaux, alors ils sont tous les deux sur la circonférence du même cercle.
On peut même tracer le cercle à travers les quatre sommets si on le souhaite.
Ainsi, nous avons la réponse : oui, puisque est un quadrilatère inscriptible, on peut tracer un cercle qui passe par tous les sommets de .
Dans l’exemple suivant, nous allons voir que le quadrilatère n’est pas inscriptible si on arrive à démontrer que les angles aux diagonales ne sont pas égaux.
Exemple 2: Déterminer si un quadrilatère donné est un quadrilatère inscriptible
Le quadrilatère est-il inscriptible ?
Réponse
On observe que, sur la figure, les diagonales sont tracées avec deux mesures d’angle données. Si on peut démontrer que la mesure de l’angle formé par une diagonale et un côté du quadrilatère est égal à la mesure de l’angle formé par l’autre diagonale et le côté opposé, alors le quadrilatère est inscriptible. S’ils ne sont pas égaux, alors ce n’est pas un quadrilatère inscriptible.
Puisqu’on a , alors on peut essayer de calculer . Alternativement, une autre paire d’angles à comparer serait et . Connaitre les mesures d’un des deux paires de ces angles serait suffisant pour déterminer si le quadrilatère est inscriptible ou non.
Considérons la première paire d’angles et essayons de calculer la mesure de . On peut définir le point d’intersection des diagonales par le point . Notez qu’on sait que et également que la somme des angles sur une droite est égale à . Ainsi, on a
On a maintenant avec deux angles connus, étant donné que , on peut alors calculer la mesure du troisième angle, , en utilisant la propriété que la somme des angles d’un triangle est égale à . Par conséquent,
Lorsqu’on examine les angles formés aux diagonales, on observe que alors
Par conséquent, la réponse est non, n’est pas un quadrilatère inscriptible.
On aurait pu calculer .
Étant donné que la mesure de cet angle n’est pas égal à , alors cela aurait aussi montré que les angles formés par les diagonales ne sont pas égaux, et donc le quadrilatère n’est pas inscriptible.
Considérons maintenant un exemple avec un trapèze.
Exemple 3: Déterminer si un quadrilatère donné est un quadrilatère inscriptible
Le trapèze est-il un quadrilatère inscriptible ?
Réponse
On observe que possède deux côtés parallèles, puisque . Étant donné ces côtés parallèles et la sécante , on observe que et l’angle sont en position alternes internes. Ces deux angles auront la même mesure. Par conséquent,
Ensuite, on peut utiliser le fait que la somme des angles d’un triangle est égale à . On peut définir l’intersection des diagonales par le point .
Ainsi, dans le triangle , on a
Nous avons maintenant suffisamment d’informations pour déterminer si est un quadrilatère inscriptible. On a les mesures de deux angles chacun formé par une diagonale et un côté, et . Si ces deux angles sont égaux, alors le quadrilatère est inscriptible.
Cependant, puisque alors les quatre sommets ne peuvent pas appartenir à un cercle.
Par conséquent, nous avons la réponse : non, n’est pas un quadrilatère inscriptible.
Considérons un autre exemple.
Exemple 4: Utiliser les propriétés des quadrilatères inscriptibles pour vérifier si un quadrilatère donné est inscriptible
Le quadrilatère est-il inscriptible ?
Réponse
On peut commencer par rappeler qu’un quadrilatère inscriptible est un quadrilatère dont les quatre sommets appartiennent à un cercle. Une façon de prouver qu’un quadrilatère est inscriptible est de démontrer qu’un angle formé par une diagonale et un côté a la même mesure que l’angle formé par l’autre diagonale et le côté opposé.
En utilisant la propriété que la somme des angles sur une droite est égale à , on peut calculer comme suit
Ensuite, on peut utiliser la mesure d’angle donnée, , et la propriété que la somme des angles d’un triangle est égale à pour calculer . Ainsi, on a
On peut maintenant observer que
Ainsi, nous pouvons donner la réponse : oui, est un quadrilatère inscriptible.
Dans les exemples précédents, nous avons examiné des cas spécifiques de différents quadrilatères. Dans les deux exemples suivants, nous allons examiner des affirmations générales sur un ensemble de quadrilatères, en commençant par déterminer si tous les losanges sont des quadrilatères inscriptibles.
Exemple 5: Déterminer si un losange est un quadrilatère inscriptible
Vrai ou faux : tous les losanges sont des quadrilatères inscriptibles.
- vrai
- faux
Réponse
On peut commencer par rappeler qu’un quadrilatère inscriptible est un quadrilatère dont les quatre sommets sont tous inscrits dans un cercle. Une façon de prouver qu’un quadrilatère est inscriptible est de démontrer que la mesure d’un angle formé par une diagonale et un côté est égale à la mesure de l’angle formé par l’autre diagonale et le côté opposé.
Un losange est un quadrilatère dont les quatre côtés sont de même longueur. Un losange a les propriétés suivantes : il y a deux paires de côtés parallèles, et chacune des deux diagonales est la médiatrice de l’autre. On pourrait tracer le losange ci-dessous.
Considérons l’un des angles internes, . Si le losange est inscriptible, alors l’angle lui sera égal. Cependant, le seul angle dont on peut prouver qu’il est égal à est , comme et sont parallèles coupés par une sécante, .
De même, si on utilise les propriétés des droites parallèles, est égal à .
On peut observer à l’œil nu que, dans ce losange, n’est pas égal à . En fait, la seule manière dont ces deux angles seraient égaux est que les quatre angles , , et soient égaux, dans ce cas le losange aurait 4 angles de et serait un carré.
Par conséquent, nous avons démontré que, même si un losange peut être un quadrilatère inscriptible s’il s’agit d’un carré, ce qui est un cas particulier de losange, nous ne pouvons pas dire que tous les losanges sont des quadrilatères inscriptibles. Par conséquent, l’affirmation que tous les losanges sont des quadrilatères inscriptibles est fausse.
Dans l’exemple précédent, nous avons établi qu’un losange est seulement un quadrilatère inscriptible dans le cas particulier où le losange est un carré. Tous les carrés sont des quadrilatères inscriptibles. Tous les rectangles sont aussi des quadrilatères inscriptibles.
Dans le dernier exemple, nous allons examiner si tous les trapèzes isocèles sont des quadrilatères inscriptibles.
Exemple 6: Déterminer si un trapèze isocèle est un quadrilatère inscriptible
Vrai ou faux : tous les trapèzes isocèles sont des quadrilatères inscriptibles.
- vrai
- faux
Réponse
Rappelons qu’un trapèze est un quadrilatère avec une paire de côtés parallèles. Un trapèze isocèle est un type spécial de trapèze, avec la propriété supplémentaire suivante : les deux côtés non parallèles (parfois appelés les « jambes ») sont de même longueur.
On peut tracer les diagonales d’un trapèze isocèle, et rappelons que, dans un trapèze isocèle, les deux angles à n’importe quelle des deux bases parallèles ont la même mesure, donc à la base , on a
On observe aussi que dans les triangles et , on a deux paires de côtés égaux. Les jambes du trapèze sont égaux, alors et les triangles ont un côté en commun. Le côté est commun aux deux triangles.
Par conséquent, , selon les critères des triangles semblables. On peut donc déduire que
Ainsi, on sait que la mesure de l’angle formé par une diagonale et un côté, , est égale à la mesure de l’angle formé par l’autre diagonale et le côté opposé, . Cela signifie que le trapèze isocèle , et tout trapèze isocèle en général, est inscriptible.
Bien que tous les trapèzes ne soient pas inscriptibles, tous les trapèzes isocèles le sont, donc l’affirmation dans la question est vraie.
Nous avons démontré que tous les trapèzes isocèles sont des quadrilatères inscriptibles, mais pas tous les trapèzes. Nous avons vu un cas dans le troisième exemple de cette fiche explicative. Nous avons montré que le trapèze donné dans ce problème était non inscriptible.
Tout type de quadrilatère peut être inscriptible ; cependant, il n’y a que 3 types qui sont toujours inscriptibles : les carrés, les rectangles et les trapèzes isocèles.
Nous allons maintenant résumer les points clés de cette fiche explicative.
Points clés
- Un quadrilatère inscriptible est un polygone à quatre côtés dont les sommets appartiennent à un cercle, de sorte que tous ses angles soient inscrits dans le cercle.
- Dans un quadrilatère inscriptible, l’angle formé par une diagonale et un côté est égal à l’angle formé par l’autre diagonale et le côté opposé, car ils interceptent le même arc dans le cercle.
- La réciproque de ce qui précède est également vrai. Ainsi, une méthode qu’on peut utiliser pour prouver qu’un quadrilatère est inscriptible consiste à démontrer que la mesure de l’angle formé par une diagonale et un côté est égal à la mesure de l’angle formé par l’autre diagonale et le côté opposé.
- Tous les carrés, rectangles et trapèzes isocèles sont des quadrilatères inscriptibles.
