Vidéo de la leçon: Prouver qu’un quadrilatère est inscriptible Mathématiques

Transcription de la vidéo

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à prouver qu’un quadrilatère est inscriptible en utilisant les angles formés par ses diagonales. Commençons par définir ce qu’est un quadrilatère inscriptible. Un quadrilatère inscriptible est un polygone à quatre côtés dont les sommets peuvent être inscrits dans un cercle. Par exemple, ce quadrilatère est inscriptible. Un angle inscrit est l’angle formé lorsque deux cordes se coupent sur la circonférence du cercle. Le sommet de l’angle se situe sur la circonférence du cercle.

Avant d’étudier les propriétés des quadrilatères inscriptibles, rappelons deux théorèmes très importants sur les angles inscrits. La mesure d’un angle 𝜃 inscrit dans un cercle est égale à la moitié de la mesure de l’angle au centre deux 𝜃 qui intercepte le même arc sur le cercle. En d’autres termes, la mesure de l’angle sur la circonférence est égale à la moitié de la mesure de l’angle au centre. Cela conduit alors à un deuxième théorème sur les angles inscrits, qui stipule que des angles inscrits interceptant le même arc sont égaux. Voyons maintenant comment ces théorèmes peuvent nous être utiles lorsque nous prouvons qu’un quadrilatère est inscriptible.

Nous pouvons prendre l’exemple de ce quadrilatère inscriptible 𝐴𝐵𝐶𝐷. Et on trace ses diagonales. En utilisant l’arc 𝐷𝐶 et sachant que des angles interceptant le même arc sont égaux, on peut dire que l’angle 𝐷𝐴𝐶 est égal l’angle 𝐷𝐵𝐶. On peut alors utiliser la même propriété avec l’arc 𝐴𝐵 pour montrer que l’angle 𝐴𝐷𝐵 doit être égal à l’angle 𝐴𝐶𝐵.

Nous pouvons alors observer que dans tout quadrilatère inscriptible, l’angle formé par une diagonale et un côté est égal à l’angle formé par l’autre diagonale et le côté opposé. Dans cet exemple, nous avons trouvé deux couples d’angles égaux. Mais on peut aussi utiliser l’arc 𝐵𝐶 pour montrer que l’angle 𝐵𝐴𝐶 est égal à l’angle 𝐵𝐷𝐶. Utiliser l’arc 𝐴𝐷 montrerait que l’angle 𝐴𝐵𝐷 est égal à l’angle 𝐴𝐶𝐷.

Pour prouver qu’un quadrilatère est inscriptible, nous devons vérifier si la réciproque de ce théorème est vraie. Voyons si nous pouvons prouver que si les angles formés par les diagonales sont égaux, alors cela signifie que le quadrilatère est inscriptible. Soit un quadrilatère différent, 𝐴𝐵𝐶𝐷, avec ses diagonales. Nous cherchons à prouver que si l’angle 𝐷𝐴𝐶 est égal l’angle 𝐷𝐵𝐶, alors le quadrilatère est inscriptible. Si c’est le cas, 𝐷𝐶 doit être un arc de cercle. Donc 𝐴 et 𝐵 doivent également être des points sur le même cercle. Par conséquent, chaque sommet doit être sur le cercle. Et il s’agit bien de la définition d’un quadrilatère inscriptible.

Bien sûr, nous ne devons doit pas toujours montrer que ce sont ces deux angles qui sont égaux. Par exemple, si nous pouvons prouver que l’angle 𝐴𝐷𝐵 est égal à l’angle 𝐴𝐶𝐵, cela démontrerait également que le quadrilatère est inscriptible. Nous n’avons cependant besoin de ne démontrer l’égalité que d’un seul couple d’angles pour prouver que le quadrilatère est inscriptible. Vous pourriez également vous demander si tout quadrilatère est inscriptible. Étudions un autre exemple.

Voici le quadrilatère 𝐸𝐹𝐺𝐻. On peut observer à l’œil nu que l’angle 𝐺𝐸𝐻 n’est pas égal à l’angle 𝐻𝐹𝐺. On ne peut pas tracer un cercle qui passe par les quatre sommets. Et donc 𝐸𝐹𝐺𝐻 n’est pas un quadrilatère inscriptible.

Nous allons maintenant étudier quelques exemples où nous devons vérifier si un quadrilatère est inscriptible.

Existe-t-il un cercle passant par les sommets du quadrilatère 𝐴𝐵𝐶𝐷?

S’il existe un cercle passant par les sommets de ce quadrilatère, alors il est inscriptible. Nous pouvons utiliser plusieurs propriétés différentes sur les angle pour déterminer si ce quadrilatère est inscriptible. Cependant, comme les diagonales sont tracées, vérifions les angles formés par celles-ci. Nous pouvons alors nous demander: un angle formé par une diagonale et un côté est-il égal à l’angle formé par l’autre diagonale et le côté opposé?

Il n’y a pour le moment pas d’angles égaux sur la figure. Nous pouvons cependant observer que l’angle 𝐶𝐴𝐵 est un angle formé par un côté et une diagonale. L’angle 𝐶𝐷𝐵 est l’angle formé par l’autre diagonale et le côté opposé. Vérifions donc s’il est égal à l’angle 𝐶𝐴𝐵. On considère le triangle 𝐶𝐵𝐷 et on rappelle que la somme des mesures des angles d’un triangle est égale à 180 degrés. Par conséquent, on peut dire que la somme des mesures des trois angles de ce triangle, 54 degrés plus 79 degrés plus la mesure de l’angle 𝐶𝐷𝐵, doit être égale à 180 degrés. On peut simplifier le membre gauche puis soustraire 133 degrés aux deux membres, et on obtient que la mesure de l’angle 𝐶𝐷𝐵 est égale à 47 degrés.

Cela signifie que l’on a maintenant un couple d’angles égaux. L’angle 𝐶𝐷𝐵 est égal à l’angle 𝐶𝐴𝐵. Nous pouvons donc dire qu’un angle formé par une diagonale et un côté est égal à l’angle formé par l’autre diagonale et le côté opposé. Par conséquent, oui, le quadrilatère est inscriptible. Comme nous avons montré qu’il s’agit d’un quadrilatère inscriptible, nous pourrions tracer un cercle qui passe par les quatre sommets de 𝐴𝐵𝐶𝐷.

Étudions un autre exemple.

𝐴𝐵𝐶𝐷 est-il un quadrilatère inscriptible?

Nous pouvons observer sur cette figure que les deux diagonales sont tracées, 𝐴𝐶 et 𝐵𝐷. Si nous pouvons prouver qu’un angle formé par une diagonale et un côté est égal à l’angle formé par l’autre diagonale et le côté opposé, alors le quadrilatère est inscriptible. S’ils ne sont pas égaux, alors ce n’est pas un quadrilatère inscriptible. L’angle 𝐵𝐷𝐴 est un angle formé par une diagonale et un côté. L’angle formé par l’autre diagonale et le côté opposé est l’angle 𝐵𝐶𝐴. Si ces deux angles sont égaux, alors le quadrilatère est inscriptible.

Un autre couple d’angles que nous pourrions vérifier seraient les angles 𝐷𝐴𝐶 et 𝐷𝐵𝐶. Si nous pouvons prouver l’égalité d’un seul de ces couples d’angles, cela suffira pour montrer que le quadrilatère est inscriptible. Nous cherchons donc à calculer la mesure de l’angle 𝐵𝐶𝐴.

On sait que la mesure de l’angle 𝐵𝐸𝐴 est de 90 degrés. Et on peut rappeler que la somme des mesures des angles sur une droite est égale à 180 degrés. Cela signifie donc que l’angle 𝐵𝐸𝐶 doit également mesurer 90 degrés. On peut maintenant considérer le triangle 𝐵𝐸𝐶 et rappeler que la somme des mesures des angles d’un triangle est égale à 180 degrés. Et on peut donc écrire que 63 degrés plus 90 degrés plus la mesure de l’angle 𝐵𝐶𝐸 égale 180 degrés. La mesure de l’angle 𝐵𝐶𝐸 est alors égale à 180 degrés moins 153 degrés, ce qui donne 27 degrés. Par conséquent, les deux angles formés par les diagonales ne sont pas égaux. Et cela signifie que 𝐴𝐵𝐶𝐷 n’est pas un quadrilatère inscriptible. La réponse est donc non.

Au début de cette question, nous avons également mentionné que nous pouvions vérifier les angles 𝐶𝐵𝐷 et 𝐶𝐴𝐷. En calculant que l’angle 𝐴𝐸𝐷 mesure 90 degrés, on aurait alors établi que l’angle 𝐶𝐴𝐷 mesure 52 degrés. Mais bien sûr, 63 degrés n’est pas égal à 52 degrés, ce qui montre encore une fois que 𝐴𝐵𝐶𝐷 n’est pas un quadrilatère inscriptible.

Dans la question suivante, nous allons vérifier si un trapèze est un quadrilatère inscriptible.

Le trapèze 𝐴𝐵𝐶𝐷 est-il un quadrilatère inscriptible?

Comme le quadrilatère est un trapèze, il doit avoir deux côtés parallèles. Et ils sont indiqués ici. 𝐵𝐶 et 𝐴𝐷 sont parallèles. Comme 𝐵𝐷 est une sécante, on peut déterminer que l’angle 𝐶𝐵𝐷 et l’angle 𝐴𝐷𝐵 sont alternes-internes. mesure donc également 84 degrés. On peut définir l’intersection des diagonales comme le point 𝐸. Puis on peut observer de plus près le triangle 𝐵𝐸𝐶.

On peut calculer la mesure de l’angle inconnu 𝐵𝐶𝐸 en rappelant que la somme des mesures des angles d’un triangle est égale à 180 degrés. Par conséquent, 84 degrés plus 52 degrés plus la mesure de l’angle 𝐵𝐶𝐸 égale 180 degrés. 84 degrés plus 52 degrés donne 136 degrés. En soustrayant 136 degrés aux deux membres, on obtient que la mesure de l’angle 𝐵𝐶𝐸 est égale à 44 degrés. Mais comment cela permet-il de déterminer si 𝐴𝐵𝐶𝐷 est inscriptible ou non?

Et bien, si on considère que l’angle est un angle formé par une diagonale et un côté. On vient de calculer la mesure de l’angle formé par l’autre diagonale et le côté opposé. Si ces deux angles sont égaux, alors le quadrilatère est inscriptible. Mais bien sûr, 84 degrés n’est pas égal à 44 degrés. Et donc les deux angles ne sont pas égaux. Par conséquent, 𝐴𝐵𝐶𝐷 n’est pas inscriptible. La réponse à la question est donc non.

Jusqu’à présent, nous avons vu des exemples spécifiques de différents quadrilatères. Dans les deux exemples suivants, nous allons cependant étudier des énoncés généraux sur des ensembles de quadrilatères, en commençant par déterminer si tous les rectangles sont des quadrilatères inscriptibles ou non.

Tous les rectangles sont des quadrilatères inscriptibles. (A) vrai ou (B) faux.

Nous commençons par rappeler qu’un quadrilatère inscriptible est un quadrilatère dont les quatre sommets sont inscrits dans un cercle. Nous pouvons prouver qu’un quadrilatère est inscriptible en démontrant qu’un angle formé par une diagonale et un côté est égal à l’angle formé par l’autre diagonale et le côté opposé. On rappelle alors les propriétés d’un rectangle, qui est défini comme un quadrilatère avec quatre angles de 90 degrés. Dans un rectangle, il y a aussi deux couples de côtés opposés de même longueur.

On sait que la diagonale d’un rectangle divise le rectangle en deux triangles superposables. Les deux diagonales créent donc quatre triangles superposables. Autrement dit, tout triangle formé par deux côtés et une diagonale est superposable à tout autre triangle également formé par deux côtés et une diagonale. Donc, pour ce rectangle, que l’on peut appeler 𝐽𝐾𝐿𝑀, on peut dire que le triangle 𝐽𝐾𝐿 est superposable au triangle 𝐿𝑀𝐽. On peut également dire que ce même triangle 𝐿𝑀𝐽 est superposable au triangle 𝑀𝐿𝐾.

Pour ces deux derniers triangles superposables, on peut également affirmer que les angles correspondants sont égaux car l’angle 𝑀𝐽𝐿 est égal à l’angle 𝐿𝐾𝑀. Cela signifie qu’un angle formé par une diagonale et un côté est égal à l’angle formé par l’autre diagonale et le côté opposé. Et donc ce rectangle, et en fait tout rectangle, est un quadrilatère inscriptible.

Comme méthode alternative, nous aurions également pu considérer que les diagonales d’un rectangle sont de même longueur et se coupent en leurs milieux. Cela signifie qu’il y a quatre segments de même longueur partant du point d’intersection. Ces segments peuvent être considérés comme des rayons partant depuis le centre d’un cercle. Les deux méthodes permettent de dire que la réponse est « vrai », car tous les rectangles sont des quadrilatères inscriptibles.

Dans cet exemple, nous avons établi que tous les rectangles sont inscriptibles. Il est cependant important de noter que les carrés, qui sont définis comme les quadrilatères avec tous leurs côtés égaux et tous leurs angles égaux à 90 degrés, sont un sous-ensemble des rectangles. Par conséquent, tous les carrés sont également des quadrilatères inscriptibles.

Nous allons maintenant étudier un autre type de quadrilatère.

Tous les trapèzes isocèles sont des quadrilatères inscriptibles. (A) vrai ou (B) faux.

Commençons par rappeler qu’un trapèze est un quadrilatère avec deux côtés parallèles. Un trapèze isocèle est un type spécial de trapèze dans lequel les deux côtés non parallèles sont en plus de même longueur. Nous traçons donc un trapèze isocèle. Il a deux côtés parallèles et les deux autres côtés non parallèles sont de même longueur. Nous pouvons alors utiliser une des propriétés des diagonales d’un trapèze isocèle. Les diagonales d’un trapèze isocèle créent deux triangles superposables avec les deux côtés non parallèles. Elles créent également deux triangles semblables avec les bases.

Attention cependant, cette propriété ne s’applique qu’aux trapèzes isocèles. Par exemple, ce trapèze qui n’est pas isocèle. Les diagonales ne créent pas deux triangles superposables avec les côtés non parallèles. Revenons au trapèze isocèle et étudions ses angles. Nous pouvons définir l’intersection des diagonales comme le point 𝐸. Et comme nous avons deux triangles superposables, nous pouvons identifier leurs angles correspondants. L’angle 𝐷𝐴𝐸 doit être égal à l’angle 𝐶𝐵𝐸. En outre, l’angle 𝐴𝐷𝐸 est égal à l’angle 𝐵𝐶𝐸. Un de ces deux couples d’angles égaux est suffisant pour montrer qu’un angle formé par une diagonale et un côté est égal à l’angle formé par l’autre diagonale et le côté opposé. Cela signifie que le trapèze isocèle 𝐴𝐵𝐶𝐷, et en fait tout trapèze isocèle, est un quadrilatère inscriptible.

Bien que tous les trapèzes ne soient pas inscriptibles, tous les trapèzes isocèles le sont. Nous pouvons donc dire que la réponse est « vrai ».

Nous pouvons résumer les deux exemples précédents en disant que même si certains quadrilatères individuels sont inscriptibles, il existe trois types de quadrilatères qui le sont toujours. Il s’agit des carrés, des rectangles et des trapèzes isocèles.

Résumons maintenant les points clés de cette vidéo. Nous avons commencé par rappeler qu’un quadrilatère inscriptible est un polygone à quatre côtés dont les sommets sont inscrits dans un cercle. Dans un quadrilatère inscriptible, l’angle formé par une diagonale et un côté est égal à l’angle formé par l’autre diagonale et le côté opposé. La réciproque de cela est également vraie. Par conséquent, pour prouver qu’un quadrilatère est inscriptible, une des méthodes consiste à démontrer qu’un angle formé par une diagonale et un côté est égal à l’angle formé par l’autre diagonale et le côté opposé. Nous avons enfin vu que tous les carrés, rectangles et trapèzes isocèles sont des quadrilatères inscriptibles.