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Etant donnés 𝑧 un est égal à deux cosinus de cinq 𝑎 moins deux 𝑏 plus 𝑖 sinus de cinq 𝑎 moins deux 𝑏 et 𝑧 deux est égal à quatre cosinus de quatre 𝑎 moins trois 𝑏 plus 𝑖 sinus quatre 𝑎 moins trois 𝑏, calculez 𝑧 un multiplié par 𝑧 deux.
Nous avons deux nombres complexes représentés sous forme trigonométrique. Nous cherchons à trouver leur produit. Rappelez-vous que pour multiplier des nombres complexes sous forme polaire, nous multiplions leurs modules. Aussi, nous ajoutons leurs arguments. Par ailleurs, la forme générale d’un nombre complexe sous forme polaire est 𝑟 cosinus 𝜃 plus 𝑖 sinus 𝜃, où 𝑟 est le module et 𝜃 est l’argument. Nous comparerons cette forme générale aux nombres complexes de notre question.
Le module de notre premier nombre complexe 𝑧 un est deux. Le module de notre deuxième nombre complexe est quatre. L’argument de notre premier nombre complexe est cinq 𝑎 moins deux 𝑏. De même, l’argument de notre deuxième nombre complexe est quatre 𝑎 moins trois 𝑏.
Nous avons dit que, pour trouver le module du produit de ces deux nombres complexes, nous devons trouver le produit de leurs modules. Soit deux multiplié par quatre, ce qui est bien sûr huit. Nous avons dit que pour trouver l’argument de 𝑧 un multiplié par 𝑧 deux, nous ajoutons leurs arguments respectifs. Cela fait cinq 𝑎 moins deux 𝑏 plus quatre 𝑎 moins trois 𝑏.
Nous pouvons regrouper les termes similaires. Nous voyons que l’argument du produit de 𝑧 un et 𝑧 deux est neuf 𝑎 moins cinq 𝑏. Tout ce qui reste à faire est de substituer ces valeurs dans la forme générale d’un nombre complexe sous forme polaire.
Soit huit cosinus de neuf 𝑎 moins cinq 𝑏 plus 𝑖 sinus de neuf 𝑎 moins cinq 𝑏.
