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Fiche explicative de la leçon : Opérations sur les nombres complexes sous forme polaire Mathématiques

Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre comment effectuer des calculs avec des nombres complexes sous forme polaire.

On rappelle que lors de la multiplication de nombres complexes sous forme cartésienne, on peut simplifier le nombre complexe obtenu sous forme cartésienne en regroupant séparément les parties réelles et imaginaires. De plus, lorsque l’on divise deux nombres complexes sous forme cartésienne, on peut rendre réel le dénominateur de la fraction en multipliant le numérateur et le dénominateur de cette fraction par le conjugué du dénominateur. On peut alors multiplier les nombres complexes au numérateur et au dénominateur puis regrouper séparément les parties réelles et imaginaires, ce qui permet d’exprimer le nombre complexe obtenu sous forme cartésienne.

Ce processus est beaucoup plus simple si nous utilisons la forme polaire des nombres complexes car elle nous permet d’appliquer les propriétés de la multiplication et de la division des nombres complexes pour le module et l’argument. Dans cette fiche explicative, nous allons démontrer les formules de l’argument et du module du produit et du quotient de nombres complexes sous forme polaire. Commençons par rappeler la forme polaire d’un nombre complexe.

Définition: Forme polaire d’un nombre complexe

Un nombre complexe non nul 𝑧 de module |𝑧|=𝑟 et d’argument arg𝑧=𝜃 peut être exprimé sous forme polaire par 𝑧=𝑟(𝜃+𝑖𝜃).cossin

On rappelle que l’on peut transformer un nombre complexe sous forme cartésienne en forme polaire en calculant son module et son argument. On peut également transformer un nombre complexe sous forme polaire en forme cartésienne en multipliant les parenthèses et en calculant les rapports trigonométriques.

Commençons par démontrer les formules du produit de nombres complexes.

Théorème: Multiplier des nombres complexes sous forme polaire

Soient 𝑧=𝑟(𝜃+𝑖𝜃)cossin et 𝑧=𝑟(𝜃+𝑖𝜃)cossin des nombres complexes non nuls. Leur produit 𝑧𝑧 sous forme polaire est alors 𝑧𝑧=𝑟𝑟((𝜃+𝜃)+𝑖(𝜃+𝜃)).cossin

Démontrons ce théorème. Le produit de 𝑧 et 𝑧 est 𝑧𝑧=(𝑟(𝜃+𝑖𝜃))(𝑟(𝜃+𝑖𝜃))=𝑟𝑟(𝜃+𝑖𝜃)(𝜃+𝑖𝜃).cossincossincossincossin

En multipliant les parenthèses, on obtient 𝑧𝑧=𝑟𝑟𝜃𝜃+𝑖𝜃𝜃+𝑖𝜃𝜃+𝑖𝜃𝜃.coscoscossincossinsinsin

En utilisant 𝑖=1 et en regroupant les termes réels et imaginaires, on a

𝑧𝑧=𝑟𝑟((𝜃𝜃𝜃𝜃)+𝑖(𝜃𝜃+𝜃𝜃)).coscossinsincossincossin()1

On rappelle alors les formules du sinus et du cosinus d’une somme:coscoscossinsinsinsincoscossin(𝐴+𝐵)=𝐴𝐵𝐴𝐵,(𝐴+𝐵)=𝐴𝐵+𝐴𝐵.

On peut appliquer la formule du cosinus d’une somme à la partie réelle du nombre complexe de l’équation (1) et la formule du sinus d’une somme à sa partie imaginaire. Nous obtenons donc𝑧𝑧=𝑟𝑟((𝜃+𝜃)+𝑖(𝜃+𝜃)).cossin

Cela prouve le théorème.

Dans le premier exemple, nous allons appliquer ce théorème pour multiplier deux nombres complexes sous forme polaire.

Exemple 1: Multiplier des nombres complexes sous forme polaire

Sachant que 𝑧=2𝜋6+𝑖𝜋6cossin et 𝑧=13𝜋3+𝑖𝜋3cossin, calculez 𝑧𝑧.

Réponse

On rappelle que pour deux nombres complexes non nuls 𝑧=𝑟(𝜃+𝑖𝜃)cossin et 𝑧=𝑟(𝜃+𝑖𝜃)cossin, leur produit est 𝑧𝑧=𝑟𝑟((𝜃+𝜃)+𝑖(𝜃+𝜃)).cossin

Nous connaissons la forme polaire des nombres complexes 𝑧 et 𝑧. D’après la forme polaire donnée, on a 𝑟=2 et 𝜃=𝜋6 pour 𝑧, ainsi que 𝑟=13 et 𝜃=𝜋3. En substituant ces valeurs dans la formule, on a 𝑧𝑧=23𝜋6+𝜋3+𝑖𝜋6+𝜋3.cossin

En rendant le dénominateur entier et en additionnant les fractions, nous obtenons 𝑧𝑧=233𝜋2+𝑖𝜋2.cossin

Dans l’exemple précédent, nous avons calculé le produit de deux nombres complexes sous forme polaire. Remarquez que cette opération est plus simple que la multiplication de nombres complexes sous forme cartésienne, qui implique de multiplier les parenthèses et de regrouper les termes réels et imaginaires.

Analysons maintenant la forme polaire du produit 𝑧𝑧=𝑟𝑟((𝜃+𝜃)+𝑖(𝜃+𝜃)).cossin

À partir de cette expression, nous pouvons voir que le module du produit 𝑧𝑧 est 𝑟𝑟, qui est le produit des modules de 𝑧 et 𝑧. De plus, l’argument du produit 𝑧𝑧 est la somme des arguments de 𝑧 et 𝑧. Cela nous amène au résultat suivant.

Résultat: Relation entre le produit des nombres complexes, leurs modules et leurs arguments

Pour tous nombres complexes non nuls 𝑧 et 𝑧, |𝑧𝑧|=|𝑧||𝑧|,(𝑧𝑧)=𝑧+𝑧.argargarg

Dans l’exemple suivant, nous allons appliquer ce résultat pour calculer le module du produit de deux nombres complexes.

Exemple 2: Multiplier des nombres complexes sous forme polaire

Sachant que 𝑍=7(𝜃+𝑖𝜃)cossin, 𝑍=16(𝜃+𝑖𝜃)cossin et 𝜃+𝜃=𝜋, calculez 𝑍𝑍.

Réponse

On rappelle que pour tous nombres complexes non nuls 𝑍 et 𝑍, |𝑍𝑍|=|𝑍||𝑍|,(𝑍𝑍)=𝑍+𝑍.argargarg

Dans cet exemple, nous connaissons les nombres complexes 𝑍 et 𝑍 sous forme polaire. On rappelle qu’un nombre complexe non nul𝑧 a la forme polaire𝑧=|𝑧|((𝑧)+𝑖(𝑧)).cosargsinarg

Nous voyons alors que |𝑍|=7 et |𝑍|=16, ce qui signifie que |𝑍𝑍|=|𝑍||𝑍|=7×16=112.

Nous pouvons également voir que arg𝑍=𝜃 et arg𝑍=𝜃. Donc, arg𝑍𝑍=𝜃+𝜃.

Étant donné que 𝜃+𝜃=𝜋, on a arg𝑍𝑍=𝜋. Donc la forme polaire du produit est 𝑍𝑍=112(𝜋+𝑖𝜋).cossin

Nous savons que cos𝜋=1 et sin𝜋=0. En substituant ces valeurs dans l’équation ci-dessus, nous avons 𝑍𝑍=112(1+𝑖0)=112.

Par conséquent, 𝑍𝑍 est le nombre réel 112.

Dans les exemples précédents, nous avons calculé le produit de nombres complexes sous forme polaire. Portons maintenant notre attention sur la division de nombres complexes sous forme polaire.

Définition: Quotient de nombres complexes sous forme polaire

Pour deux nombres complexes non nuls sous forme polaire 𝑧=𝑟(𝜃+𝑖𝜃)cossin et 𝑧=𝑟(𝜃+𝑖𝜃)cossin, leur quotient sous forme polaire est 𝑧𝑧=𝑟𝑟((𝜃𝜃)+𝑖(𝜃𝜃)).cossin

Démontrons ce théorème. Nous commençons par le quotient de 𝑧 et 𝑧 écrit sous la forme 𝑧𝑧=𝑟(𝜃+𝑖𝜃)𝑟(𝜃+𝑖𝜃)=𝑟𝑟𝜃+𝑖𝜃𝜃+𝑖𝜃.cossincossincossincossin

Pour rendre réel le dénominateur de cette fraction, on multiplie le numérateur et le dénominateur par le conjugué du dénominateur pour obtenir 𝑧𝑧=𝑟𝑟(𝜃+𝑖𝜃)(𝜃𝑖𝜃)(𝜃+𝑖𝜃)(𝜃𝑖𝜃).cossincossincossincossin

En multipliant les parenthèses, on obtient 𝑧𝑧=𝑟𝑟𝜃𝜃𝑖𝜃𝜃+𝑖𝜃𝜃𝑖𝜃𝜃𝜃+𝑖𝜃𝜃𝑖𝜃𝜃𝑖𝜃.coscoscossinsincossinsincossincossincossin

En utilisant 𝑖=1 et en regroupant les termes réels et imaginaires, on a 𝑧𝑧=𝑟𝑟(𝜃𝜃+𝜃𝜃)+𝑖(𝜃𝜃𝜃𝜃)𝜃+𝜃.coscossinsinsincoscossincossin

En utilisant l’identité pythagoricienne trigonométrique sincos𝜃+𝜃=1, on peut simplifier cette expression par

𝑧𝑧=𝑟𝑟((𝜃𝜃+𝜃𝜃)+𝑖(𝜃𝜃𝜃𝜃)).coscossinsinsincoscossin()2

On rappelle enfin les formules du sinus et du cosinus d’une différence:coscoscossinsinsinsincoscossin(𝐴𝐵)=𝐴𝐵+𝐴𝐵,(𝐴𝐵)=𝐴𝐵𝐴𝐵.

On applique la formule du cosinus d’une différence à la partie réelle du nombre complexe du membre de droite de l’équation (2) et la formule du sinus d’une différence à sa partie imaginaire. Nous avons alors:𝑧𝑧=𝑟𝑟((𝜃𝜃)+𝑖(𝜃𝜃)).cossin

Ce qui prouve le théorème.

Étudions un exemple où nous devons calculer le quotient de deux nombres complexes sous forme polaire en utilisant cette méthode.

Exemple 3: Calculer le quotient de deux nombres complexes sous forme polaire

Sachant que 𝑧=20𝜋2+𝑖𝜋2cossin et que 𝑧=4𝜋6+𝑖𝜋6cossin, calculez 𝑧𝑧 sous forme polaire.

Réponse

On rappelle que pour deux nombres complexes non nuls sous forme polaire 𝑧=𝑟(𝜃+𝑖𝜃)cossin et 𝑧=𝑟(𝜃+𝑖𝜃)cossin, leur quotient sous forme polaire est 𝑧𝑧=𝑟𝑟((𝜃𝜃)+𝑖(𝜃𝜃)).cossin

Dans cet exemple, nous connaissons la forme polaire des nombres complexes 𝑧 et 𝑧. Nous pouvons alors identifier que 𝑟=20 et 𝜃=𝜋2 pour 𝑧, ainsi que 𝑟=4 et 𝜃=𝜋6. En substituant ces valeurs dans la formule du quotient sous forme polaire, on a 𝑧𝑧=204𝜋2𝜋6+𝑖𝜋2𝜋6.cossin

En simplifiant, nous avons 𝑧𝑧=5𝜋3+𝑖𝜋3.cossin

Dans l’exemple précédent, nous avons calculé le quotient de deux nombres complexes sous forme polaire. Remarquez que cette opération est plus simple que la division de nombres complexes sous forme cartésienne, qui implique de multiplier le numérateur et le dénominateur par le conjugué du dénominateur, puis de développer les parenthèses. En utilisant cette méthode, nous pouvons voir que la division des nombres complexes est beaucoup plus simple sous forme polaire.

Analysons la forme polaire du quotient:𝑧𝑧=𝑟𝑟((𝜃𝜃)+𝑖(𝜃𝜃)).cossin

Sous cette forme polaire, nous pouvons voir que le module du quotient 𝑧𝑧 est 𝑟𝑟, qui est le quotient des modules de 𝑧 et de 𝑧. De plus, l’argument du quotient 𝑧𝑧 est la différence des arguments de 𝑧 et 𝑧. Cela nous amène au résultat suivant.

Résultat: Relation entre le quotient des nombres complexes, leurs modules et leurs arguments

Pour tous nombres complexes non nuls 𝑧 et 𝑧, |||𝑧𝑧|||=|𝑧||𝑧|,𝑧𝑧=𝑧𝑧.argargarg

Dans l’exemple suivant, nous allons utiliser ce résultat pour calculer le quotient sous forme polaire puis cartésienne de deux nombres complexes.

Exemple 4: Diviser des nombres complexes sous forme polaire et calculer leur quotient sous forme cartésienne

Sachant que 𝑍=5(5𝜃+𝑖5𝜃)cossin, 𝑍=4𝜃+𝑖4𝜃cossin, tan𝜃=43 et que 𝜃0,𝜋2, calculez 𝑍𝑍.

  1. 4+3𝑖
  2. 3+4𝑖
  3. 35+45𝑖
  4. 45+35𝑖

Réponse

On rappelle que pour tous nombres complexes non nuls 𝑧 et 𝑧, |||𝑧𝑧|||=|𝑧||𝑧|,𝑧𝑧=𝑧𝑧.argargarg

Dans cet exemple, les nombres complexes 𝑍 et 𝑍 sont exprimés sous forme polaire. On rappelle qu’un nombre complexe non nul 𝑧 a pour forme polaire 𝑧=|𝑧|((𝑧)+𝑖(𝑧)).cosargsinarg

Nous pouvons déterminer les modules |𝑍|=5 et |𝑍|=1. Par conséquent, |||𝑧𝑧|||=51=5.

Nous pouvons également trouver les arguments arg(𝑍)=5𝜃 et arg(𝑍)=4𝜃. Par conséquent, argargarg𝑧𝑧=(𝑍)(𝑍)=5𝜃4𝜃=𝜃.

La forme polaire du quotient 𝑍𝑍 est donc 𝑍𝑍=5(𝜃+𝑖𝜃).cossin

Pour terminer le problème, nous devons calculer les rapports trigonométriques cos𝜃 et sin𝜃 à partir de l’information fournie sur la fonction tangente. Il est indiqué que 𝜃0,𝜋2. Comme la fonction tangente est définie en 𝜃 mais pas en 𝜋2, nous savons que 𝜃𝜋2. Cela signifie que 𝜃0;𝜋2. En d’autres termes, 𝜃 est un angle aigu. Pour un angle aigu, on peut relier les rapports trigonométriques aux longueurs d’un triangle rectangle. Rappelons les rapports trigonométriques pour un angle aigu 𝜃:sincôtéopposéhypoténusecoscôtéadjacenthypoténusetancôtéopposécôtéadjacent𝜃=,𝜃=,𝜃=.

Nous savons que tan𝜃=43 donc nous pouvons par exemple tracer le triangle rectangle avec un angle θ dont le côté opposé est de longueur 4 et le côté adjacent est de longueur 3. En utilisant le théorème de Pythagore, la longueur de l’hypoténuse doit être 3+4=25=5.

En utilisant ce triangle, on a sincôtéopposéhypoténusecoscôtéadjacenthypoténuse𝜃==45,𝜃==35.

En substituant ces valeurs dans la forme polaire du quotient, on a 𝑍𝑍=535+45𝑖=3+4𝑖.

La réponse est donc l’option B.

Dans les deux exemples précédents, nous avons calculé les quotients de nombres complexes sous forme polaire. Nous pouvons également utiliser les règles de la division pour déterminer la forme générale de l’inverse d’un nombre complexe, comme le montre l’exemple suivant.

Exemple 5: L’inverse d’un nombre complexe sous forme polaire

Sachant que 𝑧=7𝜋6+𝑖7𝜋6cossin, calculez 1𝑧.

Réponse

On rappelle que pour deux nombres complexes non nuls sous forme polaire 𝑧=𝑟(𝜃+𝑖𝜃)cossin et 𝑧=𝑟(𝜃+𝑖𝜃)cossin, leur quotient sous forme polaire est 𝑧𝑧=𝑟𝑟((𝜃𝜃)+𝑖(𝜃𝜃)).cossin

Dans cet exemple, nous devons calculer l’inverse 1𝑧. Notez que l’inverse est également une fraction où 𝑧=1 et 𝑧=𝑧. Dans ce cas, 𝑧=1 est un nombre réel, ce qui signifie qu’il a pour module 1 et pour argument 0. En d’autres termes, 1 peut être exprimé sous forme polaire comme 1=1(0+𝑖0).cossin

Cela conduit à 𝑟=1 et 𝜃=0. Le dénominateur 𝑧=𝑧 est lui aussi exprimé sous forme polaire et nous en déduisons que 𝑟=1 et 𝜃=7𝜋6. En substituant ces valeurs dans l’expression du quotient sous forme polaire, on a 1𝑧=1107𝜋6+𝑖07𝜋6=7𝜋6+𝑖7𝜋6.cossincossin

Bien que cette réponse soit correcte, nous rappelons que, par convention, l’argument d’un nombre complexe doit appartenir à l’intervalle (𝜋,𝜋] en radians. On parle alors de la mesure principale de l’argument. L’argument 7𝜋6 obtenu dans la forme polaire ci-dessus ne se situe pas dans l’intervalle (𝜋,𝜋], nous devons donc ajouter ou soustraire un multiple de 2𝜋, qui correspond à un tour complet. Comme l’argument donné est inférieur à la borne inférieure 𝜋, on ajoute 2𝜋 pour obtenir un argument équivalent:7𝜋6+2𝜋=7𝜋6+12𝜋6=5𝜋6.

Cet argument se situe bien dans l’intervalle (𝜋,𝜋], ce qui en fait la mesure principale de l’argument. En utilisant la mesure principale de l’argument, la forme polaire de l’inverse est 1𝑧=5𝜋6+𝑖5𝜋6.cossin

Dans l’exemple précédent, nous avons trouvé l’inverse d’un nombre complexe sous forme polaire en utilisant la formule du quotient sous forme polaire. En appliquant la même méthode, nous pouvons trouver la formule générale de l’inverse d’un nombre complexe sous forme polaire.

Définition: Forme polaire de l’inverse d’un nombre complexe

Pour un nombre complexe non nul sous forme polaire 𝑧=𝑟(𝜃+𝑖𝜃)cossin, son inverse sous forme polaire est 1𝑧=1𝑟((𝜃)+𝑖(𝜃)).cossin

Le dernier exemple montrera comment nous pouvons utiliser la formule du produit de nombres complexes sous forme polaire pour calculer des puissances d’un nombre complexe.

Exemple 6: Utiliser le module et l’argument pour calculer des puissances d’un nombre complexe sous forme cartésienne

On considère le nombre complexe 𝑧=1+𝑖3.

  1. Déterminez le module de 𝑧.
  2. Déterminez l’argument de 𝑧.
  3. Utilisez alors les propriétés du produit de nombres complexes sous forme polaire pour en déduire le module et l’argument de 𝑧.
  4. Déduisez-en la valeur de 𝑧.

Réponse

Partie 1

On rappelle que le module d’un nombre complexe 𝑧=𝑎+𝑏𝑖 sous forme cartésienne est |𝑧|=𝑎+𝑏.

Dans notre exemple, 𝑎=1 et 𝑏=3, d’où |𝑧|=1+3=4=2.

Par conséquent, le module de 1+𝑖3 est 2.

Partie 2

Pour calculer l’argument, nous déterminons d’abord dans quel quadrant du plan complexe se situe le nombre. Comme ses parties réelle et imaginaire sont toutes les deux positives, le nombre complexe 1+𝑖3 se situe dans le premier quadrant du plan complexe. On rappelle alors que l’argument d’un nombre complexe 𝑎+𝑏𝑖 situé dans le premier quadrant est défini par arctan𝑏𝑎. Doncargarctanarctanradians(𝑧)=𝑏𝑎=3=𝜋3.

Par conséquent, l’argument de 1+𝑖3 est 𝜋3.

Partie 3

On rappelle les propriétés du module et de l’argument d’un produit de nombres complexes:pour tous nombres complexes non nuls 𝑧 et 𝑧, |𝑧𝑧|=|𝑧||𝑧|,(𝑧𝑧)=𝑧+𝑧.argargarg

Dans cet exemple, nous devons calculer 𝑧, qui peut être obtenu en multipliant 𝑧 trois fois:𝑧=𝑧×𝑧×𝑧.

Comme le module d’un produit de nombres complexes est égal au produit de leurs modules, on a ||𝑧||=|𝑧×𝑧×𝑧|=|𝑧|×|𝑧|×|𝑧|=|𝑧|.

Dans la première partie, nous avons calculé le module |𝑧|=2, donc ||𝑧||=2=8.

Par conséquent, le module de 𝑧 est 8.

De même, nous savons que l’argument du produit de nombres complexes est égal à la somme de leurs arguments. Donc, argargargargarg𝑧=𝑧+𝑧+𝑧=3𝑧.

Dans la partie 2, nous avons obtenu que arg𝑧=𝜋3, donc arg𝑧=3×𝜋3=𝜋.

Par conséquent, l’argument de 𝑧 est 𝜋.

Partie 4

On rappelle qu’un nombre complexe non nul 𝑤 de module 𝑟 et d’argument 𝜃 a pour forme polaire 𝑤=𝑟(𝜃+𝑖(𝜃)).cossin

Dans la partie précédente, nous avons calculé que le module de 𝑧 est 8, donc 𝑟=8. Nous avons également obtenu que l’argument de 𝑧 est 𝜋;par conséquent, 𝜃=𝜋. En substituant ces valeurs dans la forme polaire, on a 𝑧=8(𝜋+𝑖𝜋).cossin

Or cos𝜋=1 et sin𝜋=0, donc 𝑧=8(1+𝑖0)=8.

Par conséquent, 𝑧=8.

Terminons par résumer quelques concepts importants de cette fiche explicative.

Points clés

  • La multiplication et la division de nombres complexes sont souvent plus simples lorsque les nombres complexes sont exprimés sous forme polaire.
  • Pour deux nombres complexes non nuls sous forme polaire 𝑧=𝑟(𝜃+𝑖𝜃)cossin et 𝑧=𝑟(𝜃+𝑖𝜃)cossin,
    • le produit des nombres complexes sous forme polaire est 𝑧𝑧=𝑟𝑟((𝜃+𝜃)+𝑖(𝜃+𝜃)),cossin
    • le quotient des nombres complexes sous forme polaire est 𝑧𝑧=𝑟𝑟((𝜃𝜃)+𝑖(𝜃𝜃)).cossin
  • Pour tous nombres complexes non nuls 𝑧 et 𝑧, |𝑧𝑧|=|𝑧||𝑧|,(𝑧𝑧)=𝑧+𝑧,|||𝑧𝑧|||=|𝑧||𝑧|,𝑧𝑧=𝑧𝑧.argargargargargarg
  • Pour un nombre complexe non nul sous forme polaire 𝑧=𝑟(𝜃+𝑖𝜃)cossin, son inverse sous forme polaire est 1𝑧=1𝑟((𝜃)+𝑖(𝜃)).cossin

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