Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre comment effectuer des calculs avec des nombres complexes sous forme polaire.
On rappelle que lors de la multiplication de nombres complexes sous forme cartésienne, on peut simplifier le nombre complexe obtenu sous forme cartésienne en regroupant séparément les parties réelles et imaginaires. De plus, lorsque l’on divise deux nombres complexes sous forme cartésienne, on peut rendre réel le dénominateur de la fraction en multipliant le numérateur et le dénominateur de cette fraction par le conjugué du dénominateur. On peut alors multiplier les nombres complexes au numérateur et au dénominateur puis regrouper séparément les parties réelles et imaginaires, ce qui permet d’exprimer le nombre complexe obtenu sous forme cartésienne.
Ce processus est beaucoup plus simple si nous utilisons la forme polaire des nombres complexes car elle nous permet d’appliquer les propriétés de la multiplication et de la division des nombres complexes pour le module et l’argument. Dans cette fiche explicative, nous allons démontrer les formules de l’argument et du module du produit et du quotient de nombres complexes sous forme polaire. Commençons par rappeler la forme polaire d’un nombre complexe.
Définition: Forme polaire d’un nombre complexe
Un nombre complexe non nul de module et d’argument peut être exprimé sous forme polaire par
On rappelle que l’on peut transformer un nombre complexe sous forme cartésienne en forme polaire en calculant son module et son argument. On peut également transformer un nombre complexe sous forme polaire en forme cartésienne en multipliant les parenthèses et en calculant les rapports trigonométriques.
Commençons par démontrer les formules du produit de nombres complexes.
Théorème: Multiplier des nombres complexes sous forme polaire
Soient et des nombres complexes non nuls. Leur produit sous forme polaire est alors
Démontrons ce théorème. Le produit de et est
En multipliant les parenthèses, on obtient
En utilisant et en regroupant les termes réels et imaginaires, on a
On rappelle alors les formules du sinus et du cosinus d’une somme :
On peut appliquer la formule du cosinus d’une somme à la partie réelle du nombre complexe de l’équation (1) et la formule du sinus d’une somme à sa partie imaginaire. Nous obtenons donc
Cela prouve le théorème.
Dans le premier exemple, nous allons appliquer ce théorème pour multiplier deux nombres complexes sous forme polaire.
Exemple 1: Multiplier des nombres complexes sous forme polaire
Sachant que et , calculez .
Réponse
On rappelle que pour deux nombres complexes non nuls et , leur produit est
Nous connaissons la forme polaire des nombres complexes et . D’après la forme polaire donnée, on a et pour , ainsi que et . En substituant ces valeurs dans la formule, on a
En rendant le dénominateur entier et en additionnant les fractions, nous obtenons
Dans l’exemple précédent, nous avons calculé le produit de deux nombres complexes sous forme polaire. Remarquez que cette opération est plus simple que la multiplication de nombres complexes sous forme cartésienne, qui implique de multiplier les parenthèses et de regrouper les termes réels et imaginaires.
Analysons maintenant la forme polaire du produit
À partir de cette expression, nous pouvons voir que le module du produit est , qui est le produit des modules de et . De plus, l’argument du produit est la somme des arguments de et . Cela nous amène au résultat suivant.
Résultat: Relation entre le produit des nombres complexes, leurs modules et leurs arguments
Pour tous nombres complexes non nuls et ,
Dans l’exemple suivant, nous allons appliquer ce résultat pour calculer le module du produit de deux nombres complexes.
Exemple 2: Multiplier des nombres complexes sous forme polaire
Sachant que , et , calculez .
Réponse
On rappelle que pour tous nombres complexes non nuls et ,
Dans cet exemple, nous connaissons les nombres complexes et sous forme polaire. On rappelle qu’un nombre complexe non nul a la forme polaire
Nous voyons alors que et , ce qui signifie que
Nous pouvons également voir que et . Donc,
Étant donné que , on a . Donc la forme polaire du produit est
Nous savons que et . En substituant ces valeurs dans l’équation ci-dessus, nous avons
Par conséquent, est le nombre réel .
Dans les exemples précédents, nous avons calculé le produit de nombres complexes sous forme polaire. Portons maintenant notre attention sur la division de nombres complexes sous forme polaire.
Définition: Quotient de nombres complexes sous forme polaire
Pour deux nombres complexes non nuls sous forme polaire et , leur quotient sous forme polaire est
Démontrons ce théorème. Nous commençons par le quotient de et écrit sous la forme
Pour rendre réel le dénominateur de cette fraction, on multiplie le numérateur et le dénominateur par le conjugué du dénominateur pour obtenir
En multipliant les parenthèses, on obtient
En utilisant et en regroupant les termes réels et imaginaires, on a
En utilisant l’identité pythagoricienne trigonométrique , on peut simplifier cette expression par
On rappelle enfin les formules du sinus et du cosinus d’une différence :
On applique la formule du cosinus d’une différence à la partie réelle du nombre complexe du membre de droite de l’équation (2) et la formule du sinus d’une différence à sa partie imaginaire. Nous avons alors :
Ce qui prouve le théorème.
Étudions un exemple où nous devons calculer le quotient de deux nombres complexes sous forme polaire en utilisant cette méthode.
Exemple 3: Calculer le quotient de deux nombres complexes sous forme polaire
Sachant que et que , calculez sous forme polaire.
Réponse
On rappelle que pour deux nombres complexes non nuls sous forme polaire et , leur quotient sous forme polaire est
Dans cet exemple, nous connaissons la forme polaire des nombres complexes et . Nous pouvons alors identifier que et pour , ainsi que et . En substituant ces valeurs dans la formule du quotient sous forme polaire, on a
En simplifiant, nous avons
Dans l’exemple précédent, nous avons calculé le quotient de deux nombres complexes sous forme polaire. Remarquez que cette opération est plus simple que la division de nombres complexes sous forme cartésienne, qui implique de multiplier le numérateur et le dénominateur par le conjugué du dénominateur, puis de développer les parenthèses. En utilisant cette méthode, nous pouvons voir que la division des nombres complexes est beaucoup plus simple sous forme polaire.
Analysons la forme polaire du quotient :
Sous cette forme polaire, nous pouvons voir que le module du quotient est , qui est le quotient des modules de et de . De plus, l’argument du quotient est la différence des arguments de et . Cela nous amène au résultat suivant.
Résultat: Relation entre le quotient des nombres complexes, leurs modules et leurs arguments
Pour tous nombres complexes non nuls et ,
Dans l’exemple suivant, nous allons utiliser ce résultat pour calculer le quotient sous forme polaire puis cartésienne de deux nombres complexes.
Exemple 4: Diviser des nombres complexes sous forme polaire et calculer leur quotient sous forme cartésienne
Sachant que , , et que , calculez .
Réponse
On rappelle que pour tous nombres complexes non nuls et ,
Dans cet exemple, les nombres complexes et sont exprimés sous forme polaire. On rappelle qu’un nombre complexe non nul a pour forme polaire
Nous pouvons déterminer les modules et . Par conséquent,
Nous pouvons également trouver les arguments et . Par conséquent,
La forme polaire du quotient est donc
Pour terminer le problème, nous devons calculer les rapports trigonométriques et à partir de l’information fournie sur la fonction tangente. Il est indiqué que . Comme la fonction tangente est définie en mais pas en , nous savons que . Cela signifie que . En d’autres termes, est un angle aigu. Pour un angle aigu, on peut relier les rapports trigonométriques aux longueurs d’un triangle rectangle. Rappelons les rapports trigonométriques pour un angle aigu :
Nous savons que donc nous pouvons par exemple tracer le triangle rectangle avec un angle θ dont le côté opposé est de longueur 4 et le côté adjacent est de longueur 3. En utilisant le théorème de Pythagore, la longueur de l’hypoténuse doit être
En utilisant ce triangle, on a
En substituant ces valeurs dans la forme polaire du quotient, on a
La réponse est donc l’option B.
Dans les deux exemples précédents, nous avons calculé les quotients de nombres complexes sous forme polaire. Nous pouvons également utiliser les règles de la division pour déterminer la forme générale de l’inverse d’un nombre complexe, comme le montre l’exemple suivant.
Exemple 5: L’inverse d’un nombre complexe sous forme polaire
Sachant que , calculez .
Réponse
On rappelle que pour deux nombres complexes non nuls sous forme polaire et , leur quotient sous forme polaire est
Dans cet exemple, nous devons calculer l’inverse . Notez que l’inverse est également une fraction où et . Dans ce cas, est un nombre réel, ce qui signifie qu’il a pour module 1 et pour argument 0. En d’autres termes, 1 peut être exprimé sous forme polaire comme
Cela conduit à et . Le dénominateur est lui aussi exprimé sous forme polaire et nous en déduisons que et . En substituant ces valeurs dans l’expression du quotient sous forme polaire, on a
Bien que cette réponse soit correcte, nous rappelons que, par convention, l’argument d’un nombre complexe doit appartenir à l’intervalle en radians. On parle alors de la mesure principale de l’argument. L’argument obtenu dans la forme polaire ci-dessus ne se situe pas dans l’intervalle , nous devons donc ajouter ou soustraire un multiple de , qui correspond à un tour complet. Comme l’argument donné est inférieur à la borne inférieure , on ajoute pour obtenir un argument équivalent :
Cet argument se situe bien dans l’intervalle , ce qui en fait la mesure principale de l’argument. En utilisant la mesure principale de l’argument, la forme polaire de l’inverse est
Dans l’exemple précédent, nous avons trouvé l’inverse d’un nombre complexe sous forme polaire en utilisant la formule du quotient sous forme polaire. En appliquant la même méthode, nous pouvons trouver la formule générale de l’inverse d’un nombre complexe sous forme polaire.
Définition: Forme polaire de l’inverse d’un nombre complexe
Pour un nombre complexe non nul sous forme polaire , son inverse sous forme polaire est
Le dernier exemple montrera comment nous pouvons utiliser la formule du produit de nombres complexes sous forme polaire pour calculer des puissances d’un nombre complexe.
Exemple 6: Utiliser le module et l’argument pour calculer des puissances d’un nombre complexe sous forme cartésienne
On considère le nombre complexe .
- Déterminez le module de .
- Déterminez l’argument de .
- Utilisez alors les propriétés du produit de nombres complexes sous forme polaire pour en déduire le module et l’argument de .
- Déduisez-en la valeur de .
Réponse
Partie 1
On rappelle que le module d’un nombre complexe sous forme cartésienne est
Dans notre exemple, et , d’où
Par conséquent, le module de est 2.
Partie 2
Pour calculer l’argument, nous déterminons d’abord dans quel quadrant du plan complexe se situe le nombre. Comme ses parties réelle et imaginaire sont toutes les deux positives, le nombre complexe se situe dans le premier quadrant du plan complexe. On rappelle alors que l’argument d’un nombre complexe situé dans le premier quadrant est défini par . Donc
Par conséquent, l’argument de est .
Partie 3
On rappelle les propriétés du module et de l’argument d’un produit de nombres complexes : pour tous nombres complexes non nuls et ,
Dans cet exemple, nous devons calculer , qui peut être obtenu en multipliant trois fois :
Comme le module d’un produit de nombres complexes est égal au produit de leurs modules, on a
Dans la première partie, nous avons calculé le module , donc
Par conséquent, le module de est 8.
De même, nous savons que l’argument du produit de nombres complexes est égal à la somme de leurs arguments. Donc,
Dans la partie 2, nous avons obtenu que , donc
Par conséquent, l’argument de est .
Partie 4
On rappelle qu’un nombre complexe non nul de module et d’argument a pour forme polaire
Dans la partie précédente, nous avons calculé que le module de est 8, donc . Nous avons également obtenu que l’argument de est ; par conséquent, . En substituant ces valeurs dans la forme polaire, on a
Or et , donc
Par conséquent, .
Terminons par résumer quelques concepts importants de cette fiche explicative.
Points clés
- La multiplication et la division de nombres complexes sont souvent plus simples lorsque les nombres complexes sont exprimés sous forme polaire.
- Pour deux nombres complexes non nuls sous forme polaire et ,
- le produit des nombres complexes sous forme polaire est
- le quotient des nombres complexes sous forme polaire est
- Pour tous nombres complexes non nuls et ,
- Pour un nombre complexe non nul sous forme polaire , son inverse sous forme polaire est
