Vidéo de la leçon: Opérations sur des nombres complexes exprimés sous forme polaire Mathématiques

Transcription de la vidéo

Nous avons vu précédemment la forme polaire d’un nombre complexe. Cette forme est aussi appelée forme trigonométrique ou écriture module-argument. Nous avons vu comment identifier quand un nombre complexe est écrit sous cette forme et comment passer de cette forme à la forme 𝑎 plus 𝑏𝑖, appelée forme algébrique ou cartésienne d’un nombre complexe. Mais nous n’avons pas vu pourquoi il est utile de savoir exprimer un nombre complexe sous forme polaire. En quoi cette forme est-elle plus intéressante que la forme algébrique ? La réponse, ou une partie de la réponse, est que l’écriture sous forme polaire rend la multiplication des nombres complexes plus facile.

Rappelons ce que nous savons sur la forme polaire d’un nombre complexe. Nous avons 𝑧 égal 𝑟 fois cos 𝜃 plus 𝑖 sin 𝜃, avec 𝑟 supérieur ou égal à zéro. Lorsque 𝑧 est écrit sous cette forme, nous pouvons facilement identifier le module et l’argument. Le module est la valeur de 𝑟. Et l’argument est la valeur de 𝜃. Cela explique pourquoi la forme polaire est également appelée écriture module-argument. On peut mieux comprendre cela en utilisant le plan complexe, ou plan d’Argand. Le module 𝑟 est la distance entre le point 𝑧 et l’origine du repère. Et l’argument 𝜃 est la mesure de l’angle entre le vecteur allant de l’origine au point 𝑧 et l’axe des réels positifs, en mesurant dans le sens inverse des aiguilles d’une montre. Je vais vous montrer pourquoi la multiplication de nombres complexes est plus facile avec la forme polaire. Nous avons donc besoin de deux nombres complexes.

Nous allons donc appeler ce point 𝑧 un au lieu de seulement 𝑧, avec un module 𝑟 un et un argument 𝜃 un, et prenons un deuxième nombre complexe, 𝑧 deux, dont le module est 𝑟 deux et l’argument 𝜃 deux, ce qui nous donne 𝑟 deux fois cos 𝜃 deux plus 𝑖 sin 𝜃 deux sous forme polaire. Ensuite, il se trouve qu’il existe une expression très simple pour écrire le produit 𝑧 un 𝑧 deux sous forme polaire. C’est 𝑟 un 𝑟 deux fois cos 𝜃 un plus 𝜃 deux plus 𝑖 sin 𝜃 un plus 𝜃 deux. Sous forme polaire, le module est 𝑟 un fois 𝑟 deux. C’est le produit des modules de 𝑧 un et 𝑧 deux. Et l’argument est 𝜃 un plus 𝜃 deux, ce qui est la somme des arguments de 𝑧 un et 𝑧 deux. Il faut donc multiplier les modules mais ajouter les arguments. Cela nous permet de faire une interprétation géométrique du produit de deux nombres complexes sur le plan d’Argand.

Nous pouvons considérer l’effet sur 𝑧 un de la multiplication par 𝑧 deux. Nous obtenons un nombre complexe 𝑧 un 𝑧 deux, dont le module est 𝑟 deux fois plus grand que celui de 𝑧 un et dont l’argument est 𝜃 deux plus celui de 𝑧 un. La multiplication par 𝑧 deux transforme donc le plan complexe par un facteur d’échelle 𝑟 deux, suivi d’une rotation d’angle 𝜃 deux dans le sens inverse des aiguilles d’une montre. Nous n’en parlerons pas davantage car cela dépasse le cadre de cette vidéo. Mais si vous voulez, vous pouvez réfléchir par vous-même à ce qui se passe lorsque 𝑧 deux est un nombre réel positif, un nombre réel négatif, 𝑖 ou un nombre imaginaire.

Nous avons donné cette formule pour la multiplication de nombres complexes sous forme polaire. Et maintenant, il faut la démontrer. Pour cela, nous allons partir des expressions de 𝑧 un et 𝑧 deux sous forme polaire. Nous pouvons réorganiser les facteurs et placer 𝑟 deux à côté de 𝑟 un. Et maintenant, il faut simplement s’occuper des termes entre parenthèses. Il s’agit simplement de la multiplication de deux nombres complexes exprimés sous forme algébrique. Nous obtenons cos 𝜃 un cos 𝜃 deux plus 𝑖 fois cos 𝜃 un sin 𝜃 deux, remarquons que nous avons réorganisé les facteurs de sorte que 𝑖 soit devant, plus 𝑖 sin 𝜃 un cos 𝜃 deux plus 𝑖 sin carré 𝜃 un sin 𝜃 deux. Et 𝑖 au carré est égal à moins un. Donc, c’est finalement égal à moins sin 𝜃 un sin 𝜃 deux. En utilisant cette propriété, nous pouvons regrouper les termes réels et les termes imaginaires.

Et maintenant, nous arrivons à la partie importante de la démonstration, il faut identifier les parties réelles et imaginaires à partir de la formule d’addition. La partie réelle est égale à cos 𝜃 un plus 𝜃 deux. Et la partie imaginaire, après avoir échangé les deux termes, est simplement sin 𝜃 un plus 𝜃 deux. Et c’est ce que nous devions démontrer. On dirait que ces identités trigonométriques sont sorties de nulle part pour nous donner par surprise le bon résultat. Nous obtenons 𝑧 un fois 𝑧 deux sous forme polaire. Et nous pouvons identifier le module et l’argument. Le module est 𝑟 un fois 𝑟 deux. Et l’argument est 𝜃 un plus 𝜃 deux.

Maintenant, si nous revenons à notre formule, nous pouvons voir que 𝑟 un est le module de 𝑧 un et que 𝑟 deux est le module de 𝑧 deux. Donc, le module de 𝑧 un fois 𝑧 deux est égal au module de 𝑧 un fois le module de 𝑧 deux. Le module du produit est égal au produit des modules. Et de même, 𝜃 un est l’argument de 𝑧 un et 𝜃 deux celui de 𝑧 deux. Donc, l’argument de 𝑧 un fois 𝑧 deux est égal à l’argument de 𝑧 un plus l’argument de 𝑧 deux. Et comme nous connaissons le module et l’argument de ce produit, nous pouvons l’écrire sous forme polaire. Donc, ces deux points correspondent à la formule que nous avons démontrée. Et maintenant que nous avons démontré cette formule, regardons un exercice d’application.

Sachant que 𝑧 un est égal à deux fois cos 𝜋 sur six plus 𝑖 sin 𝜋 sur six et que 𝑧 deux est égal à un sur racine de trois fois cos 𝜋 sur trois plus 𝑖 sin 𝜋 sur trois, déterminez 𝑧 un fois 𝑧 deux.

Si 𝑧 un est égal à 𝑟 un fois cos 𝜃 un plus 𝑖 sin 𝜃 un et 𝑧 deux est égal à 𝑟 deux fois cos 𝜃 deux plus 𝑖 sin 𝜃 deux, alors 𝑧 un fois 𝑧 deux est égal à 𝑟 un fois 𝑟 deux fois cos 𝜃 un plus 𝜃 deux plus 𝑖 sin 𝜃 un plus 𝜃 deux. En comparant ce que nous avons avec la formule, nous voyons que 𝑟 un est égal à deux. Et 𝑟 deux est égal à un sur racine de trois. Et le module du produit, 𝑟 un fois 𝑟 deux, est donc deux fois un sur racine de trois. Que dire de l’argument ? Eh bien, nous pouvons voir que 𝜃 un est égal à 𝜋 sur six. Et 𝜃 deux est égal à 𝜋 sur trois. Notre argument est égal à la somme, 𝜋 sur six plus 𝜋 sur trois. Et maintenant, il suffit de simplifier. Deux fois un sur racine de trois est égal à deux sur racine de trois. Et nous pouvons obtenir un dénominateur rationnel en multipliant le numérateur et le dénominateur par racine de trois, ce qui donne deux racines de trois sur trois. Que dire de l’argument ? Nous pouvons écrire 𝜋 sur trois comme deux 𝜋 sur six. Et par conséquent, l’argument est égal à trois 𝜋 sur six, soit 𝜋 sur deux.

En remplaçant les valeurs, nous obtenons que le produit que nous cherchons est égal à deux racines de trois sur trois fois cos 𝜋 sur deux plus 𝑖 sin 𝜋 sur deux. Nous laisserons notre résultat sous forme polaire même si nous connaissons les valeurs de cos 𝜋 sur deux et de sin 𝜋 sur deux. Et j’espère qu’après avoir vu cet exemple, vous êtes d’accord qu’il est très facile de multiplier deux nombres exprimés sous forme polaire. Il suffit de multiplier leurs modules et d’additionner leurs arguments. C’est moins compliqué que de multiplier deux nombres exprimés sous forme algébrique.

Voyons un autre exemple.

Si 𝑧 un est égal à sept fois cos 𝜃 un plus 𝑖 sin 𝜃 un et 𝑧 deux est égal à 16 fois cos 𝜃 deux plus 𝑖 sin 𝜃 deux et 𝜃 un plus 𝜃 deux est égal à 𝜋, quelle est la valeur de 𝑧 un fois 𝑧 deux ?

Alors, nous savons que le module de 𝑧 un fois 𝑧 deux est égal au module de 𝑧 un, qui vaut sept, fois le module de 𝑧 deux. Qui vaut 16. Et sept fois 16 est égal à 112. Et nous savons aussi que l’argument de 𝑧 un fois 𝑧 deux est égal à l’argument de 𝑧 un plus l’argument de 𝑧 deux. L’argument de 𝑧 un est 𝜃 un. Et l’argument de 𝑧 deux est 𝜃 deux. Il s’agit donc de 𝜃 un plus 𝜃 deux, ce qui est égal à 𝜋 selon l’énoncé. Maintenant, nous connaissons le module et l’argument de ce produit. Nous pouvons facilement l’écrire sous forme polaire. Si le module de 𝑧 est 𝑟 et l’argument de 𝑧 est 𝜃, alors nous pouvons écrire 𝑧 sous forme polaire comme 𝑟 fois cos 𝜃 plus 𝑖 sin 𝜃. Dans notre cas, 𝑟 est égal à 112. Et 𝜃 est égal à 𝜋. En remplaçant ces valeurs, nous obtenons que 𝑧 un fois 𝑧 deux est égal à 112 fois cos 𝜋 plus 𝑖 sin 𝜋. C’est le résultat sous forme polaire.

Nous pourrions aussi l’écrire comme moins 112. Ce résultat est aussi acceptable. Et pour obtenir cette valeur, il faut soit utiliser le fait que cos 𝜋 est égal à moins un et que sin 𝜋 est égal à zéro, soit utiliser le fait que si un nombre complexe a un argument de 𝜋, alors il s’agit d’un nombre réel négatif. Et bien sûr, le seul nombre réel négatif avec un module de 112 est moins 112.

Nous avons vu que la multiplication est plus facile en utilisant la forme polaire des nombres complexes. Et il en est de même pour la division. Si 𝑧 un est égal à 𝑟 un fois cos 𝜃 un plus 𝑖 sin 𝜃 un et que 𝑧 deux est égal à 𝑟 deux fois cos 𝜃 deux plus 𝑖 sin 𝜃 deux, alors 𝑧 un sur 𝑧 deux, le quotient de 𝑧 un et 𝑧 deux, est égal à 𝑟 un sur 𝑟 deux fois cos 𝜃 un moins 𝜃 deux plus 𝑖 sin 𝜃 un moins 𝜃 deux. De la même manière, le module du quotient de deux nombres complexes est le quotient de leurs modules. Et l’argument du quotient de deux nombres complexes est la différence de leurs arguments. Et c’est cette formule équivalente que nous allons démontrer.

Pour cela, nous allons utiliser ce que nous savons sur le module et l’argument du produit de deux nombres complexes. Soient deux nombres complexes, 𝑤 un et 𝑤 deux, nous savons que le module de leur produit est égal au produit de leurs modules. Et que l’argument de leur produit est égal à la somme de leurs arguments. Nous l’avons déjà démontré. Le principe clé de cette démonstration est de prendre 𝑤 un égal à 𝑧 un sur 𝑧 deux et 𝑤 deux égal à 𝑧 deux. En remplaçant ces valeurs, nous obtenons que le module de 𝑧 un sur 𝑧 deux fois 𝑧 deux est égal au module de 𝑧 un sur 𝑧 deux fois le module de 𝑧 deux. Et sur le côté gauche, les 𝑧 deux se simplifient. Et il nous reste donc simplement le module de 𝑧 un sur le côté gauche. Et maintenant, nous pouvons modifier cette expression pour exprimer le module de 𝑧 un sur 𝑧 deux. Et en faisant cela, nous obtenons module de 𝑧 un sur module de 𝑧 deux, ce que nous cherchions à démontrer.

Maintenant, il faut juste faire la même chose pour l’argument. En remplaçant 𝑤 un par 𝑧 un sur 𝑧 deux pour et 𝑤 deux par 𝑧 deux, nous obtenons que l’argument de 𝑧 un sur 𝑧 deux fois 𝑧 deux est égal à l’argument de 𝑧 un sur 𝑧 deux plus l’argument de 𝑧 deux. Et encore une fois, les 𝑧 deux sur le côté gauche se simplifient. Il nous reste donc juste l’argument de 𝑧 un sur le côté gauche. En réarrangeant l’expressions, nous obtenons que l’argument de 𝑧 un sur 𝑧 deux est égal à l’argument de 𝑧 un moins l’argument de 𝑧 deux, comme demandé. Nous avons réussi à démontrer cette formule équivalente, en déterminant le module et l’argument du quotient. Et avec ce module et cet argument, nous pouvons écrire le quotient 𝑧 un sur 𝑧 deux sous forme polaire. On peut également faire la démonstration en procédant comme pour la multiplication, simplement en écrivant le quotient des deux nombres complexes sous forme polaire. Cette méthode est plus simple mais elle nécessite beaucoup de calculs algébriques. Quoi qu’il en soit, maintenant que nous avons vu comment diviser des nombres complexes exprimés sous forme polaire, regardons quelques exercices d’application.

Sachant que 𝑧 un est égal à 20 fois cos 𝜋 sur deux plus 𝑖 sin 𝜋 sur deux et que 𝑧 deux est égal à quatre fois cos 𝜋 sur six plus 𝑖 sin 𝜋 sur six, déterminez 𝑧 un sur 𝑧 deux sous forme polaire.

Alors, nous savons que, de manière générale, le module du quotient de nombres complexes est égal au quotient des modules. Et nous pouvons simplement identifier les modules. Ils valent 20 et quatre. Le module du quotient est donc 20 divisé par quatre, soit cinq. Et nous pouvons utiliser le fait que l’argument d’un quotient est égal la différence des arguments, qui dans notre cas valent 𝜋 sur deux et 𝜋 sur six. Et nous pouvons écrire 𝜋 sur deux avec un dénominateur de six. Cela fait trois 𝜋 sur six. La différence est donc égale à deux 𝜋 sur six, soit 𝜋 sur trois. C’est l’argument de notre quotient. Maintenant que nous avons le module et l’argument, nous pouvons écrire le quotient sous forme polaire. 𝑧 un sur 𝑧 deux est égal à cinq fois cos 𝜋 sur trois plus 𝑖 sin 𝜋 sur trois. Alors, n’est-ce pas beaucoup plus facile que de diviser des nombres complexes sous forme algébrique, où il faut multiplier le numérateur et le dénominateur par le conjugué complexe du dénominateur ? Je pense que si.

Sachant que 𝑧 est égal à cos sept 𝜋 sur six plus 𝑖 sin sept 𝜋 sur six, déterminez un sur 𝑧.

Alors, nous pourrions diviser de la même manière que nous divisons un nombre complexe sous forme algébrique, en utilisant le conjugué complexe de ce nombre pour obtenir un dénominateur réel. Mais 𝑧 peut aussi s’exprimer sous forme polaire. Son module n’apparaît pas explicitement. Mais nous pouvons l’écrire. Et nous pouvons voir que l’argument est égal à sept 𝜋 sur six. Alors, si nous écrivons un sous forme polaire, nous avons un quotient de deux nombres complexes sous forme polaire, que nous savons calculer. Le module de un est un. Et l’argument de un et de tout nombre réel positif est zéro. Donc, un sous forme polaire est égal à un fois cos zéro plus 𝑖 sin zéro.

Alors, nous devons déterminer l’inverse de 𝑧. C’est-à-dire un sur 𝑧. Et nous pouvons écrire à la fois un et 𝑧 sous forme polaire. Le module de leur quotient est alors égal à un divisé par un, ce qui fait un. Et l’argument est la différence des arguments. C’est zéro moins sept 𝜋 sur six, ce qui fait moins sept 𝜋 sur six. Nous n’avons pas besoin d’écrire explicitement le module de un. Nous pouvons simplement écrire que un sur 𝑧 est égal à cos de moins sept 𝜋 sur six plus 𝑖 sin de moins sept 𝜋 sur six. C’est notre résultat final.

Nous avons vu que la division est beaucoup plus facile en utilisant la forme polaire des nombres complexes. Ce n’est pas très compliqué. Cependant, nous n’avons pas vu comment additionner ou soustraire des nombres complexes sous forme polaire. En effet, l’addition et la soustraction de nombres complexes sont en général beaucoup plus difficiles à réaliser sous forme polaire que sous forme algébrique. Pour additionner deux nombres complexes sous forme algébrique, il suffit d’ajouter les parties réelles et les parties imaginaires, de même pour la soustraction. Il n’existe pas plus facile.

Pour additionner ou soustraire des nombres complexes sous forme polaire, il est généralement préférable de passer sous forme algébrique pour additionner ou soustraire, puis de repasser sous forme polaire si nécessaire. Avant de finir cette vidéo, nous allons voir qu’il existe une autre opération qui est plus facile avec la forme polaire. C’est le calcul des exposants, c’est-à-dire calculer les puissances d’un nombre complexe. Il s’agit juste d’un aperçu sur un sujet qui sera abordé en détail plus tard.

Considérons le nombre complexe 𝑧 égal à un plus 𝑖 racine trois.

Notre première tâche est de déterminer le module de 𝑧. C’est simple. Nous savons que le module de 𝑎 plus 𝑏𝑖 est égal à la racine carrée de 𝑎 au carré plus 𝑏 au carré. En remplaçant 𝑎 par un et 𝑏 par racine de trois, nous obtenons racine carrée de un plus trois, qui est égal à racine carrée de quatre, qui est égal à deux. Maintenant, pour l’argument de 𝑧, nous voyons que 𝑧 est situé dans le premier quadrant. Et donc son argument 𝜃 peut être déterminé en utilisant arctan. En remplaçant à nouveau, nous obtenons que l’argument est égal à arctan de racine de trois sur un et avec une calculatrice nous savons qu’il s’agit de 𝜋 sur trois. Alors, cela signifie qu’en utilisant les résultats précédents, il faut utiliser les propriétés de multiplication des nombres complexes sous forme polaire pour déterminer le module et l’argument de 𝑧 au cube.

Ne nous précipitons pas pour calculer directement 𝑧 au cube, mais regardons d’abord 𝑧 au carré. 𝑧 au carré est simplement égal à 𝑧 fois 𝑧. Et nous savons que le module du produit de deux nombres complexes est égal au produit de leurs modules. Nous obtenons donc que le module du carré de 𝑧 est égal au module de 𝑧 au carré. Qu’en est-il de l’argument de 𝑧 fois 𝑧 ? C’est l’argument de 𝑧 plus l’argument de 𝑧, soit deux fois l’argument de 𝑧. Maintenant, nous sommes prêts pour calculer 𝑧 cube. Nous allons utiliser le fait que 𝑧 au cube est égal 𝑧 fois 𝑧 au carré. Et donc que le module de 𝑧 au cube est égal au module de 𝑧 fois le module de 𝑧 au carré, qui est égal au module de 𝑧 au carré. Et donc nous voyons que le module du cube d’un nombre complexe est égal au cube du module de ce nombre complexe. Pour déterminer l’argument de 𝑧 au cube, nous allons utiliser la même astuce, en écrivant 𝑧 au cube comme 𝑧 fois 𝑧 au carré, puis en utilisant les résultats sur l’argument d’un produit et l’argument de 𝑧 au carré, ce qui nous permet de déterminer que l’argument du cube d’un complexe nombre est égal à trois fois l’argument de ce nombre complexe.

Maintenant, il suffit de remplacer les valeurs du module de 𝑧 et l’argument de 𝑧, que nous connaissons. Le module de 𝑧 vaut deux. Le module de 𝑧 cube vaut donc huit. Et l’argument de 𝑧 est 𝜋 sur trois. Donc, l’argument de 𝑧 au cube est 𝜋. Pour finir, il faut écrire la valeur de 𝑧 au cube. Nous connaissons le module et l’argument de 𝑧 au cube. Donc, nous pouvons simplement écrire 𝑧 au cube sous forme polaire. Il est égal à huit fois cos 𝜋 plus 𝑖 sin 𝜋. Ou en utilisant le fait que cos 𝜋 est égal à moins un et que sin 𝜋 est égal à zéro, nous pouvons l’écrire comme moins huit.

Ce qui est plus intéressant que le résultat final, c’est ce que nous avons établi pour y arriver, à savoir les expressions du module et de l’argument de 𝑧 au cube. Cela conduit à une expression très simple pour le cube d’un nombre complexe sous forme polaire. Il s’agit d’un cas particulier du théorème de De Moivre, qui sera vu plus en détail à un autre moment.

Les points clés que nous avons abordés dans cette vidéo sont les suivants. Les calculs impliquant la multiplication et la division de nombres complexes sont souvent plus simples à faire en utilisant la forme polaire. Mais, ce n’est pas du tout le cas pour l’addition et la soustraction. Pour les nombres complexes, 𝑧 un égal à 𝑟 un fois cos 𝜃 un plus 𝑖 sin 𝜃 un et 𝑧 deux égal à 𝑟 deux fois cos 𝜃 deux plus 𝑖 sin 𝜃 deux, nous avons les règles suivantes. Le produit 𝑧 un 𝑧 deux est égal à 𝑟 un fois 𝑟 deux fois cos 𝜃 un plus 𝜃 deux plus 𝑖 sin 𝜃 un plus 𝜃 deux. Et le quotient 𝑧 un sur 𝑧 deux est égal à 𝑟 un sur 𝑟 deux fois cos 𝜃 un moins 𝜃 deux plus 𝑖 sin 𝜃 un moins 𝜃 deux. À partir de ces formules, il est possible d’identifier le module et l’argument du produit et du quotient de deux nombres complexes. Le module du produit de deux nombres complexes est égal au produit de leurs modules. Et l’argument du produit de deux nombres complexes est égal à la somme de leurs arguments. Le module du quotient de deux nombres complexes est égal au quotient de leurs modules. Et l’argument du quotient est la différence des arguments.