Vidéo : Opérations avec des nombres complexes sous forme trigonométrique

Dans cette vidéo, nous apprendrons comment effectuer des calculs avec des nombres complexes sous forme trigonométrique.

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Transcription de vidéo

Auparavant, nous avons appris la forme trigonométrique d’un nombre complexe. Ceci est également connu sous le nom d’argument trigonométrique ou module. Nous avons vu comment reconnaître quand le nombre complexe est écrit sous cette forme et comment convertir entre cette forme et la forme 𝑎 plus 𝑏𝑖, connue sous le nom de forme algébrique rectangulaire ou cartésienne d’un nombre complexe. Mais nous n’avons pas vu pourquoi nous devrions écrire un nombre complexe sous forme trigonométrique. Qu’est-ce qui la rend meilleure que la forme algébrique ? La réponse ou une partie de la réponse est que la forme trigonométrique facilite la multiplication.

Récapitulons la forme trigonométrique d’un nombre complexe. C’est 𝑧 est égal à 𝑟 fois cos 𝜃 plus 𝑖 sin 𝜃, où 𝑟 doit être supérieur ou égal à zéro. Avec 𝑧 écrit sous cette forme, nous pouvons simplement lire le module et l’argument. Son module est la valeur de 𝑟. Et son argument est la valeur de 𝜃. Cela explique pourquoi la forme trigonométrique est également connue sous le nom de forme module-argument. Ceci est mieux compris en utilisant un diagramme d’Argand. Le module 𝑟 est la distance au point 𝑧 du zéro d’origine. Et l’argument 𝜃 est la mesure de l’angle que fait le vecteur de zéro à 𝑧 avec l’axe réel positif, lorsqu’il est mesuré dans le sens antihoraire. Je voudrais vous montrer comment la forme trigonométrique facilite la multiplication. Nous allons donc avoir besoin de deux nombres complexes.

Appelons celui-ci 𝑧 un alors au lieu de seulement 𝑧, avec le module 𝑟 un et l’argument 𝜃 un, et introduisons le deuxième nombre complexe, 𝑧 deux, dont le module est 𝑟 deux et dont l’argument est 𝜃 deux, ce qui en fait 𝑟 deux fois cos 𝜃 deux plus 𝑖 sin 𝜃 deux sous forme trigonométrique. Ensuite, il s’avère qu’il existe une expression très simple pour le produit 𝑧 un 𝑧 deux sous forme trigonométrique. C’est 𝑟 un 𝑟 deux fois cos 𝜃 un plus 𝜃 deux plus 𝑖 sin 𝜃 un plus 𝜃 deux. Ceci est sous forme trigonométrique, avec un module de 𝑟 un fois 𝑟 deux. C’est le produit des modules de 𝑧 un et 𝑧 deux. Et son argument est 𝜃 un plus 𝜃 deux, qui est la somme des arguments de 𝑧 un et 𝑧 deux. Nous multiplions donc les modules mais ajoutons les arguments. Cela donne une interprétation géométrique au produit de nombres complexes sur un diagramme d’Argand.

Nous pouvons penser à l’effet sur 𝑧 un de la multiplication par 𝑧 deux. On se retrouve avec un nombre complexe 𝑧 un 𝑧 deux, dont le module est 𝑟 deux fois plus grand que 𝑧 uns et dont l’argument est 𝜃 deux de plus que 𝑧 uns. La multiplication par 𝑧 deux transforme donc le plan complexe par le facteur d’échelle de dilatation 𝑟 deux, suivi d’une rotation de 𝜃 deux dans le sens antihoraire. Cela dépasse le cadre de cette vidéo pour en discuter davantage. Mais vous pourriez penser par vous-même ce qui se passe lorsque 𝑧 deux est un nombre réel positif ou un nombre réel négatif ou 𝑖 ou un nombre imaginaire.

Nous avons fait cette affirmation sur la multiplication des nombres complexes sous forme trigonométrique. Et maintenant, nous devons le prouver. Pour ce faire, nous utilisons d’abord les expressions de 𝑧 un et 𝑧 deux sous forme trigonométrique. Nous pouvons réorganiser les facteurs pour que 𝑟 deux apparaisse à côté de 𝑟 un. Et maintenant, nous devons juste nous soucier des termes entre parenthèses. Et ce n’est que la multiplication de deux nombres complexes sous forme algébrique. Nous obtenons cos 𝜃 un cos 𝜃 deux plus 𝑖 fois cos 𝜃 un sin 𝜃 deux, notez comment nous avons réorganisé les facteurs de telle sorte que 𝑖 soit à l’avant, plus 𝑖 sin 𝜃 un cos 𝜃 deux plus 𝑖 carré 𝜃 un sin 𝜃 deux. Et 𝑖 au carré est moins un. Donc, cela devrait être moins le sin 𝜃 un sin 𝜃 deux à la fin. En utilisant ce fait, nous pouvons regrouper les termes réels et les termes imaginaires.

Et maintenant, pour la partie principale de la preuve, nous reconnaissons les parties réelles et imaginaires à partir des identités trigonométriques de la somme des angles. La partie réelle est exactement cos 𝜃 un plus 𝜃 deux. Et la partie imaginaire après avoir échangé les termes est juste le sin de 𝜃 un plus 𝜃 deux. Et c’est ce que nous devions prouver. Ces identités trigonométriques semblent provenir de nulle part pour nous donner une réponse étonnamment agréable. Nous obtenons 𝑧 un fois 𝑧 deux sous forme trigonométrique. Et nous pouvons lire le module et l’argument. Le module est 𝑟 un fois 𝑟 deux. Et l’argument est 𝜃 un plus 𝜃 deux.

Maintenant, si nous regardons en arrière notre affirmation, nous pouvons voir que 𝑟 un était juste le module de 𝑧 un et 𝑟 deux était le module de 𝑧 deux. Ainsi, le module de 𝑧 un fois 𝑧 deux est le module de 𝑧 un fois le module de 𝑧 deux. Le module du produit est le produit des modules. Et de même, 𝜃 un était l’argument de 𝑧 un et 𝜃 deux de 𝑧 deux. Ainsi, l’argument de 𝑧 un fois 𝑧 deux est l’argument de 𝑧 un plus l’argument de 𝑧 deux. Et connaître le module et l’argument de ce produit nous permet de l’écrire sous forme trigonométrique. Ces deux faits pris ensemble sont donc équivalents à l’affirmation que nous avons prouvée. Et maintenant que nous avons prouvé cette affirmation, appliquons-la.

Étant donné que 𝑧 un est égal à deux fois cos 𝜋 sur six plus 𝑖 sin 𝜋 sur six et 𝑧 deux est égal à un sur racine trois fois cos 𝜋 sur trois plus 𝑖 sin 𝜋 sur trois, trouvez 𝑧 un fois 𝑧 deux.

Si 𝑧 un est égal à 𝑟 un fois cos 𝜃 un plus 𝑖 sin 𝜃 un et 𝑧 deux est égal à 𝑟 deux fois cos 𝜃 deux plus 𝑖 sin 𝜃 deux, alors 𝑧 un fois 𝑧 deux est 𝑟 un fois 𝑟 deux fois cos 𝜃 un plus 𝜃 deux plus 𝑖 sin 𝜃 un plus 𝜃 deux. En comparant alors ce que nous avons avec notre formule, nous voyons que 𝑟 un est deux. Et 𝑟 deux est un sur la racine trois. Et le module de notre produit, 𝑟 un fois 𝑟 deux, est donc deux fois un sur la racine trois. Et l’argument ? Eh bien, nous pouvons voir que 𝜃 un est 𝜋 sur six. Et 𝜃 deux est 𝜋 sur trois. Notre argument est leur somme, 𝜋 sur six plus 𝜋 sur trois. Et maintenant, nous devons simplement simplifier. Deux fois un sur la racine trois est deux sur la racine trois. Et nous pouvons rationaliser ce dénominateur si nous le voulons en multipliant à la fois le numérateur et le dénominateur par la racine trois, pour obtenir deux racine trois sur trois. Et l’argument ? On peut écrire 𝜋 sur trois comme deux 𝜋 sur six. Et par conséquent, l’argument est trois 𝜋 sur six ou 𝜋 sur deux.

En faisant la substitution, nous voyons que le produit que nous recherchons est deux racine trois plus de trois fois cos 𝜋 sur deux plus 𝑖 sin 𝜋 sur deux. Nous laisserons notre réponse sous forme trigonométrique même si nous connaissons peut-être les valeurs de cos 𝜋 sur deux et de sin 𝜋 sur deux. Et j’espère qu’après avoir parcouru cet exemple, vous conviendrez qu’il est très facile de multiplier deux nombres sous forme trigonométrique. Il suffit de multiplier leurs modules et d’ajouter leurs arguments. C’est moins de travail que de multiplier deux nombres sous la forme algébrique.

Voyons un autre exemple.

Si 𝑧 un est égal à sept fois cos 𝜃 un plus 𝑖 sin 𝜃 un, 𝑧 deux est égal à 16 fois cos 𝜃 deux plus 𝑖 sin 𝜃 deux et 𝜃 un plus 𝜃 deux est égal à 𝜋, alors qu’est-ce que 𝑧 un fois 𝑧 deux ?

Eh bien, nous savons que le module de 𝑧 un fois 𝑧 deux sera le module de 𝑧 un, c’est-à-dire sept fois le module de 𝑧 deux. Cela fait 16. Et sept fois 16, c’est 112. Et nous savons aussi que l’argument de 𝑧 un fois 𝑧 deux est l’argument de 𝑧 un plus l’argument de 𝑧 deux. L’argument de 𝑧 un est 𝜃 un. Et l’argument de 𝑧 deux est 𝜃 deux. Donc, cela devient 𝜃 un plus 𝜃 deux, ce qui nous dit dans la question est 𝜋. Nous connaissons maintenant le module et l’argument de ce produit. Il est facile de l’écrire sous forme trigonométrique. Si le module de 𝑧 est 𝑟 et l’argument de 𝑧 est 𝜃, alors nous pouvons écrire 𝑧 sous forme trigonométrique comme 𝑟 fois cos 𝜃 plus 𝑖 sin 𝜃. Dans notre cas, 𝑟 est 112. Et 𝜃 est 𝜋. En substituant alors, nous trouvons que 𝑧 un fois 𝑧 deux est 112 fois cos 𝜋 plus 𝑖 sin 𝜋. Telle est notre réponse sous forme trigonométrique.

Nous pourrions également écrire cette réponse comme étant moins 112. Ce sera également acceptable. Et nous aurions pu trouver cette valeur soit en utilisant le fait que cos 𝜋 est moins un et sin 𝜋 est zéro ou en utilisant le fait que si un nombre complexe a un argument de 𝜋, cela signifie que c’est un nombre réel négatif. Et bien sûr, le seul nombre réel négatif avec le module 112 est le moins 112.

Nous avons vu que l’utilisation de la forme trigonométrique du nombre complexe rend la multiplication très facile. Et il en va de même pour la division. Si 𝑧 un est égal à 𝑟 un fois cos 𝜃 un plus 𝑖 sin 𝜃 un et 𝑧 deux est égal à 𝑟 deux fois cos 𝜃 deux plus 𝑖 sin 𝜃 deux, alors 𝑧 un sur 𝑧 deux, le quotient de 𝑧 un et 𝑧 deux, est 𝑟 un plus de 𝑟 deux fois cos 𝜃 un moins 𝜃 deux plus 𝑖 sin 𝜃 un moins 𝜃 deux. De manière équivalente, le module d’un quotient de nombres complexes est le quotient de leurs modules. Et l’argument d’un quotient de nombres complexes est la différence de leurs arguments. Et c’est cette déclaration équivalente que nous allons prouver.

Pour le prouver, nous utiliserons ce que nous savons du module et de l’argument d’un produit de nombres complexes. Étant donné deux nombres complexes, 𝑤 un et 𝑤 deux, nous savons que le module de leur produit est le produit de leurs modules. Et l’argument de leur produit est la somme de leurs arguments. Nous l’avons déjà prouvé. L’idée clé de cette preuve est de laisser 𝑤 un égal 𝑧 un sur 𝑧 deux et 𝑤 deux égaux 𝑧 deux. En faisant cette substitution, nous constatons que le module de 𝑧 un sur 𝑧 deux fois 𝑧 deux est le module de 𝑧 un sur 𝑧 deux fois le module de 𝑧 deux. Et sur le côté gauche, les 𝑧 deux annulent. Et donc nous obtenons juste le module de 𝑧 un sur le côté gauche. Et maintenant, nous pouvons réorganiser cela pour faire du module de 𝑧 un sur 𝑧 deux le sujet. Et lorsque nous faisons cela, nous constatons que c’est le module de 𝑧 un sur le module de 𝑧 deux, comme requis.

Maintenant, nous devons juste faire la même chose pour l’argument. En substituant 𝑧 un sur 𝑧 deux pour 𝑤 un et 𝑧 deux pour 𝑤 deux, nous obtenons que l’argument de 𝑧 un sur 𝑧 deux fois 𝑧 deux est l’argument de 𝑧 un sur 𝑧 deux plus l’argument de 𝑧 deux. Et encore une fois, les 𝑧 deux sur le côté gauche s’annulent. Nous obtenons donc juste l’argument de 𝑧 un sur le côté gauche. En réarrangeant, nous constatons que l’argument de 𝑧 un sur 𝑧 deux est l’argument de 𝑧 un moins l’argument de 𝑧 deux comme requis. Nous avons réussi à prouver cette déclaration équivalente, en trouvant le module et l’argument de notre quotient. Et avec ce module et cet argument, nous pouvons écrire la forme trigonométrique du quotient 𝑧 un sur 𝑧 deux. Cela peut également être prouvé comme un cas de multiplication complète simplement en écrivant le quotient des deux nombres complexes sous forme trigonométrique. C’est plus simple mais implique beaucoup de manipulations algébriques. Quoi qu’il en soit, maintenant que nous avons vu comment diviser des nombres complexes sous forme trigonométrique, appliquons-le à certains problèmes.

Étant donné que 𝑧 un est égal à 20 fois cos 𝜋 sur deux plus 𝑖 sin 𝜋 sur deux et 𝑧 deux est égal à quatre fois cos 𝜋 sur six plus 𝑖 sin 𝜋 sur six, trouvez 𝑧 un sur 𝑧 deux sous forme trigonométrique.

Eh bien, nous savons en général que le module d’un quotient de nombres complexes est le quotient des modules. Et nous pouvons simplement lire les modules. Ils sont 20 et quatre. Le module de notre quotient est donc 20 divisé sur quatre, ce qui est cinq. Et nous pouvons utiliser le fait que l’argument d’un quotient est la différence des arguments, qui dans notre cas sont 𝜋 sur deux et 𝜋 sur six. Et nous pouvons écrire 𝜋 sur deux sur le dénominateur six. Il est trois 𝜋 sur six. La différence est donc deux 𝜋 sur six, ce qui est 𝜋 sur trois. C’est l’argument de notre quotient. Maintenant que nous avons le module et l’argument, nous pouvons écrire notre quotient sous forme trigonométrique. 𝑧 un sur 𝑧 deux est cinq fois cos 𝜋 sur trois plus 𝑖 sin 𝜋 sur trois. Maintenant, n’est-ce pas beaucoup plus facile que de diviser des nombres complexes sous forme algébrique, où vous devez multiplier le numérateur et le dénominateur par le conjugué complexe du dénominateur ? Je le pense.

Étant donné que 𝑧 est égal à cos sept 𝜋 sur six plus 𝑖 sin sept 𝜋 sur six, trouvez-en un sur 𝑧.

Maintenant, nous pourrions diviser de la même manière que nous divisons un nombre complexe sous forme algébrique, en utilisant le conjugué complexe de ce nombre pour rendre le dénominateur réel. Mais 𝑧 est également sous forme trigonométrique. Son module n’est pas explicitement écrit. Mais nous pouvons l’écrire. Et nous pouvons voir que l’argument est sept 𝜋 sur six. Maintenant, si vous en écrivez un sous forme trigonométrique, nous aurons un quotient de deux nombres complexes sous forme trigonométrique, que nous savons évaluer. Le module de un est un. Et l’argument d’un et de tout nombre réel positif est zéro. Donc, un sous forme trigonométrique est une fois cos zéro plus 𝑖 sin zéro.

Maintenant, nous devons trouver l’inverse de 𝑧. C’est un sur 𝑧. Et nous pouvons écrire à la fois un et 𝑧 sous forme trigonométrique. Le module de leur quotient est alors un divisé par un, qui est un. Et leur argument est la différence des arguments. C’est zéro moins sept 𝜋 sur six, ce qui est moins sept 𝜋 sur six. Nous n’avons pas besoin d’écrire explicitement le module de l’un. Nous pouvons simplement écrire qu’un sur 𝑧 est cos de moins sept 𝜋 sur six plus 𝑖 sin de moins sept 𝜋 sur six. Ceci est notre réponse finale.

Nous avons vu que l’utilisation de la forme trigonométrique de nombres complexes rend la multiplication et la division beaucoup plus faciles. Ils n’exigent pas autant de travail. Cependant, nous n’avons pas vu comment additionner ou soustraire des nombres complexes sous forme trigonométrique. En effet, l’addition et la soustraction de nombres complexes sous forme trigonométrique sont en général beaucoup plus difficiles que de nombres complexes sous forme algébrique. Pour ajouter deux nombres complexes sous forme algébrique, il suffit d’ajouter les parties réelles et les parties imaginaires et de même pour la soustraction. Cela ne pouvait pas être beaucoup plus facile.

Si vous devez ajouter ou soustraire des nombres complexes sous forme trigonométrique, il est généralement préférable de les convertir en forme algébrique, avant d’ajouter ou de soustraire puis de reconvertir en forme trigonométrique si nécessaire. Avant la fin de la vidéo, nous allons voir une autre opération facilitée par la forme trigonométrique. C’est l’exponentiation, qui implique de trouver des puissances d’un nombre complexe. Il s’agit d’un aperçu d’un sujet qui sera traité plus en détail plus tard.

Considérez le nombre complexe 𝑧 est égal à un plus 𝑖 racine trois.

Notre première tâche est de trouver le module de 𝑧. C’est simple. Nous savons que le module de 𝑎 plus 𝑏𝑖 est la racine carrée de 𝑎 au carré plus 𝑏 au carré. En substituant un pour 𝑎 et la racine trois pour 𝑏, nous obtenons la racine carrée de un plus trois, qui est la racine carrée de quatre, qui est deux. Maintenant, pour l’argument de 𝑧, nous voyons que 𝑧 est dans le premier quadrant. Et donc son argument 𝜃 peut être trouvé en utilisant arctan. En substituant à nouveau, nous constatons que l’argument est arctan racine trois sur un, qu’une calculatrice nous dira est 𝜋 sur trois. Par conséquent, cela signifie qu’en utilisant les résultats précédents, utilisez les propriétés de multiplication de nombres complexes sous forme trigonométrique pour trouver le module et l’argument de 𝑧 au cube.

Ne nous précipitons pas directement à 𝑧 au cube, mais considérons d’abord 𝑧 au carré. 𝑧 au carré est juste 𝑧 fois 𝑧. Et nous savons que le module du produit des nombres complexes est le produit de leurs modules. Nous constatons donc que le module du carré de 𝑧 est le module de 𝑧 au carré. Que diriez-vous de l’argument de 𝑧 fois 𝑧 ? C’est l’argument de 𝑧 plus l’argument de 𝑧 ou deux fois l’argument de 𝑧. Maintenant, nous sommes prêts à considérer les 𝑧 au cube. Nous utilisons le fait que 𝑧 au cube est 𝑧 fois 𝑧 au carré. Et donc le module de 𝑧 au cube est le module de 𝑧 fois le module de 𝑧 au carré, que nous savons être le module de 𝑧 au carré. Et nous voyons donc que le module du cube d’un nombre complexe est le cube du module de ce nombre complexe. Pour trouver l’argument de 𝑧 au cube, nous utilisons la même astuce, en écrivant 𝑧 au cube comme 𝑧 fois 𝑧 au carré, en utilisant ce que nous savons de l’argument d’un produit et de l’argument de 𝑧 au carré, constatant que l’argument du cube d’un complexe nombre est trois fois l’argument de ce nombre complexe.

Maintenant, il suffit de substituer les valeurs connues du module de 𝑧 et l’argument de 𝑧. Le module de 𝑧 est deux. Le module de 𝑧 cube est donc de huit. Et l’argument de 𝑧 est 𝜋 sur trois. L’argument de 𝑧 cubé est donc 𝜋. Enfin, nous trouvons la valeur de 𝑧 au cube. Nous connaissons le module et l’argument de 𝑧 au cube. Nous pouvons donc simplement écrire 𝑧 au cube sous forme trigonométrique. C’est huit fois cos 𝜋 plus 𝑖 sin 𝜋. Ou en utilisant le fait que cos 𝜋 est moins un et sin 𝜋 est nul, nous pourrions l’écrire comme moins huit.

Plus intéressant que la réponse finale est ce que nous avons trouvé sur le chemin, ceux-ci étant les expressions du module et de l’argument de 𝑧 cube. Cela conduit à une expression très compacte pour le cube du nombre complexe sous forme trigonométrique. C’est un cas particulier du théorème de De Moivre, qui sera exploré plus en détail à un autre moment.

Les points clés que nous avons abordés dans cette vidéo sont les suivants. Les calculs impliquant la multiplication et la division de nombres complexes sont souvent plus simples lorsque nous travaillons sous forme trigonométrique. Cependant, pour l’addition et la soustraction, ce n’est certainement pas vrai. Pour les nombres complexes, 𝑧 un est égal à 𝑟 un fois cos 𝜃 un plus 𝑖 sin 𝜃 un et 𝑧 deux est égal à 𝑟 deux fois cos 𝜃 deux plus 𝑖 sin 𝜃 deux, les règles suivantes s’appliquent. Leur produit, 𝑧 un 𝑧 deux, est 𝑟 un fois 𝑟 deux fois cos 𝜃 un plus 𝜃 deux plus 𝑖 sin 𝜃 un plus 𝜃 deux. Et leur quotient, 𝑧 un sur 𝑧 deux, est 𝑟 un sur 𝑟 deux fois cos 𝜃 un moins 𝜃 deux plus 𝑖 sin 𝜃 un moins 𝜃 deux. À partir de ces formules, nous pouvons lire le module et l’argument d’un produit et d’un quotient de nombres complexes. Le module du produit des nombres complexes est le produit de leurs modules. Et l’argument du produit de nombres complexes est la somme de leurs arguments. Le module d’un quotient de nombres complexes est le quotient de leurs modules. Et l’argument du quotient est la différence des arguments.

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