Video Transcript
La courbe suivante représente une fonction d’expression 𝑓 de 𝑥. Déterminez la fonction d’expression 𝑔 de 𝑥 obtenue après une symétrie d’axe des ordonnées suivie d’une translation de 2 unités dans la direction positive suivant l’axe des abscisses.
Pour déterminer la fonction d’expression 𝑔 de 𝑥, nous devons appliquer deux transformations à la fonction d’expression 𝑓 de 𝑥 : d’abord, une symétrie par rapport à l’axe des ordonnées puis, deuxièmement, une translation de deux unités dans la direction positive suivant l’axe des abscisses. Nous pouvons le faire graphiquement ou algébriquement et nous considérerons ces deux approches. Utilisons d’abord l’approche algébrique. Nous allons déterminer l’expression 𝑓 de 𝑥 de la fonction, puis appliquer algébriquement les deux transformations. Pour trouver l’équation de la courbe de la fonction d’expression 𝑓 de 𝑥, on observe qu’il s’agit d’une parabole, avec pour sommet le point de coordonnées moins trois, moins quatre. Cela nous indique que l’expression 𝑓 de 𝑥 de la fonction doit être de la forme 𝑓 de 𝑥 égal 𝑘 facteur de 𝑥 plus trois au carré moins quatre pour une constante 𝑘.
Pour déterminer la valeur de 𝑘, nous pouvons utiliser les coordonnées de n’importe quel autre point de la courbe. Utilisons le point moins un, zéro. Cela nous indique que lorsque 𝑥 est égal à moins un, 𝑓 de 𝑥 est égal à zéro. Donc, en substituant moins un à 𝑥 et zéro à 𝑓 de 𝑥, nous avons zéro égal 𝑘 facteur de moins un plus trois au carré moins quatre. Moins un plus trois vaut deux et deux au carré vaut quatre, donc nous avons zéro égal quatre 𝑘 moins quatre. Nous pouvons alors ajouter quatre à chaque membre de l’équation et diviser les deux membres par quatre pour trouver que 𝑘 est égal à un. Ainsi, l’expression 𝑓 de 𝑥 de la fonction est 𝑓 de 𝑥 égal 𝑥 plus trois au carré moins quatre.
Ensuite, nous devons considérer l’effet de l’application de chacune de ces transformations sur l’expression de la fonction. La symétrie suivant l’axe des ordonnées a tout d’abord un effet horizontal et correspond à un changement de la variable. 𝑥 est remplacé par moins 𝑥. Ainsi, après une symétrie suivant l’axe des ordonnées, l’expression de la fonction que nous appellerons ℎ de 𝑥 à ce stade, est égale à moins 𝑥 plus trois au carré moins quatre. Une translation de deux unités dans la direction positive suivant l’axe des abscisses a également un effet horizontal et elle correspond à un changement de la variable, cette fois 𝑥 devient 𝑥 moins deux. Ainsi, en remplaçant 𝑥 par 𝑥 moins deux, l’expression de la fonction qui est maintenant 𝑔 de 𝑥 est égale à l’opposé de 𝑥 moins deux plus trois le tout au carré moins quatre. Le développement des parenthèses à l’intérieur donne moins 𝑥 plus deux plus trois au carré moins quatre. Et ensuite, en simplifiant, nous avons moins 𝑥 plus cinq au carré moins quatre.
Ainsi, en trouvant d’abord l’équation de la courbe de la fonction d’expression 𝑓 de 𝑥 puis en appliquant les deux transformations algébriquement, nous avons constaté que la fonction d’expression 𝑔 de 𝑥 est donnée par moins 𝑥 plus cinq au carré moins quatre. Considérons maintenant une approche graphique. Tout d’abord, nous devons tracer le symétrique de la courbe d’équation 𝑦 égal 𝑓 de 𝑥 par rapport à l’axe des ordonnées. Nous pouvons repérer quelques points essentiels. Premièrement, le sommet de la courbe, qui était en moins trois, moins quatre, sera maintenant en plus trois, moins quatre. Les intersections de la courbe avec l’axe des abscisses, qui étaient moins un et moins cinq, seront maintenant plus un et plus cinq. Et l’ordonnée à l’origine, cinq, sera inchangée. Ainsi, le graphique en orange représente la fonction après une symétrie suivant l’axe des ordonnées.
Ensuite, nous devons transformer cette fonction en appliquant une translation de deux unités dans la direction positive suivant l’axe des abscisses. Chaque point se déplace de deux unités vers la droite. Donc, nous avons maintenant la courbe d’équation 𝑦 égal 𝑔 de 𝑥 en rose représentant la fonction. Nous pouvons trouver l’équation de cette courbe de la même manière que pour la courbe de la fonction d’expression 𝑓 de 𝑥. Le sommet est au point cinq, moins quatre. Ainsi, l’expression de 𝑔 de 𝑥 est de la forme 𝑘 facteur de 𝑥 moins cinq au carré moins quatre.
Nous pouvons ensuite utiliser les coordonnées de n’importe quel autre point de la courbe pour déterminer la valeur de 𝑘. En utilisant le point de coordonnées trois, zéro, nous obtenons zéro égal 𝑘 facteur de trois moins cinq au carré moins quatre. Cela conduit à zéro égal quatre 𝑘 moins quatre et en résolvant comme précédemment, nous trouvons que 𝑘 est égal à un. Ainsi, l’expression 𝑔 de 𝑥 est 𝑔 de 𝑥 égal 𝑥 moins cinq au carré moins quatre.
Maintenant, cela ne ressemble pas exactement à l’expression de 𝑔 de 𝑥 que nous avons trouvée en utilisant notre méthode précédente. Cependant, nous pouvons rendre ces deux expressions identiques en factorisant par moins un dans les parenthèses. 𝑥 moins cinq est égal à l’opposé de moins 𝑥 plus cinq. Ensuite, parce qu’on élève au carré, nous pouvons écrire ceci comme moins un au carré facteur de moins 𝑥 plus cinq au carré moins quatre, mais bien sûr moins un carré vaut simplement un. Donc, nous avons réécrit 𝑔 de 𝑥 comme moins 𝑥 plus cinq au carré moins quatre, ce qui correspond à notre réponse précédente.
En utilisant deux méthodes, l’application des transformations algébriquement puis l’application les transformations graphiquement, nous avons constaté que la fonction d’expression 𝑔 de 𝑥, qui est obtenue à partir de la fonction d’expression 𝑓 de 𝑥 par une symétrie d’axe des ordonnées suivie d’une translation de deux unités dans la direction positive suivant l’axe des abscisses, a pour expression 𝑔 de 𝑥 égal moins 𝑥 plus cinq au carré moins quatre.
