Fiche explicative de la leçon: Combiner les transformations de fonctions Mathématiques • Deuxième année secondaire

Exemple 1: Déterminer l’équation d’une courbe après une combinaison de translations horizontales et verticales

Si le symétrique de la courbe suivante par rapport à l’axe des est déplacé vers la gauche d’une unité et vers le bas de 3 unités, quelle est l’équation de la nouvelle courbe ? 

Réponse

Nous rappelons que la symétrie par rapport à l’axe des correspond à la transformation algébrique . Comme la transformation est appliqué directement à l’expression de la fonction, cela change l’expression de la fonction en

Ensuite, nous appliquons les translations. Les translations sont des transformations géométriques résultant d’additions. Un ajout suivant la variable conduit à une translation horizontale et un ajout à l’expression de la fonction conduit à une translation verticale.

D’après l’expression obtenue ci-dessus, , cette courbe est déplacée vers la gauche d’une unité et vers le bas de 3 unités. Nous rappelons les règles de transformation suivantes. Pour une constante positive ,

• se traduit par une translation vers la gauche de unités,
• se traduit par une translation vers le bas de unités.

Puisque nous voulons déplacer le graphique de notre fonction vers la gauche d’une unité et vers le bas de 3 unités, nous avons besoin des deux transformations et . Appliquer la transformation à conduit à

Ensuite, nous devons appliquer la transformation à l’expression ci-dessus. Cela nous donne l’équation

Visualisons cette méthode en utilisant les courbes représentatives de ces fonctions.

La figure ci-dessus montre l’enchainement des transformations. La flèche curviligne noire qui traverse l’axe des représente la symétrie axiale par rapport à l’axe des , ce qui conduit à . La flèche verte est la translation vers la gauche d’une unité, ce qui conduit à la fonction d’équation associée . La flèche violette est la translation vers le bas de 3 unités, conduisant à la fonction d’équation associée .

Par conséquent, l’équation de la nouvelle courbe obtenue après la combinaison de transformations appliquées à est

Exemple 2: Déterminer l'expression d'une fonction obtenue après une combinaison de transformations sur une courbe

La courbe de la fonction d’expression est dilatée verticalement d’un facteur d’échelle 2 et après reflétée par rapport à l’axe des . Écrivez l’équation de la fonction transformée d’expression .

Réponse

Nous rappelons qu’une dilatation verticale correspond à une multiplication de l’expression de la fonction et une symétrie par rapport à l’axe des correspond à prendre l’opposé de la variable . Dans notre exemple, la dilatation verticale d’un facteur d’échelle 2 provient de la transformation algébrique et la symétrie par rapport à l’axe des provient de la transformation .

Appliquons d’abord la transformation à la fonction donnée . Par conséquent, multiplier par 2 conduit à l’expression

Ensuite, nous appliquons la transformation . Nous savons que les transformations suivant la variable sont appliqués directement, nous obtenons donc

Visualisons cette méthode en utilisant les courbes représentant ces fonctions.

La figure ci-dessus montre l’enchainement des transformations. La flèche verte montre la dilatation verticale d’un facteur d’échelle 2, ce qui conduit à la fonction d’expression . La double flèche violette représente la symétrie par rapport à l’axe des , conduisant à la fonction d’expression .

Par conséquent, l’équation associée à la nouvelle fonction transformée d’expression est

Exemple 3: Déterminer l'expression d'une fonction obtenue après une combinaison de transformations sur une courbe

La courbe de la fonction d’expression est d’abord réfléchie par rapport à l’axe des , puis déplacée de 2 unités vers le haut et de 3 unités vers la droite et enfin étirée horizontalement de 2 unités pour obtenir la courbe représentant la fonction d’expression . Déterminez .

Réponse

Dans cet exemple, nous devons appliquer quatre transformations géométriques différentes : la symétrie par rapport à l’axe des , une translation vers le haut, une translation vers la droite et une dilatation horizontale d’un facteur d’échelle 2. Nous rappelons les transformations algébriques associées à ces effets : 

• correspond à une symétrie par rapport à l’axe des ,
• correspond à un translation vers le haut de 2 unités,
• correspond à une translation vers la droite de 3 unités,
• correspond à une dilatation horizontale d’un facteur d’échelle 2.

Appliquons ces transformations à la courbe de la fonction d’expression dans l’ordre donné. Puisque nous commençons par construire le symétrique par rapport à l’axe des , nous appliquons d’abord la transformation algébrique à la fonction . Nous savons que la transformation sur la variable est appliquée directement, nous pouvons donc obtenir cette transformation en substituant dans l’expression . Cela nous donne ce qui suit.

La deuxième transformation déplace vers le haut de 2 unités, ce qui correspond à . Nous ajoutons 2 à l’expression ci-dessus pour obtenir ce qui suit.

Ensuite, nous devons déplacer la courbe vers la droite de 3 unités, ce qui correspond à . En appliquant cette transformation directement à la variable dans l’expression ci-dessus, on obtient , ce qui simplifie par

Enfin, nous étirons la courbe horizontalement par 2, ce qui correspond à . En appliquant cette transformation directement à la variable dans l’expression ci-dessus, nous obtenons ce qui suit.

Par conséquent, l’expression de la fonction obtenue est

Exemple 4: Combinaison des transformations d’une courbe

Ceci est la courbe d’équation représentant la fonction exponentielle.

Laquelle des courbes suivantes a pour équation  ? 

Réponse

Pour identifier la courbe d’équation , il faut retrouver la combinaison et l’ordre des transformations nécessaires qui permettent d’obtenir l’expression à partir de . Commençons par observer les principales caractéristiques de l’expression obtenue .

• Il y a le nombre 4 à l’extérieur de l’expression de la fonction. Nous pouvons également écrire l’expression donnée par , où nous pouvons repérer la transformation . Cette transformation entraîne le translation vers le haut de 4 unités.
• Il y a un signe négatif devant l’expression de la fonction , indiquant la transformation . Cette transformation correspond à une symétrie par rapport à l’axe des .
• dans a été remplacé par . Cela indique la transformation correspondant à la dilatation horizontale d’un facteur d’échelle .

Par conséquent, les transformations algébriques qui ont été utilisées pour obtenir à partir de sont

Appliquons ces transformations dans l’ordre indiqué pour voir si nous obtenons l’expression donnée. Appliquer à l’expression de la fonction conduit à

Appliquer à cette dernière expression donne , ce qui conduit à

Enfin, appliquer nous donne

Cet ordre de transformations donne une expression différente de , qui signifie que l’ordre n’est pas le bon. Mais, à partir de cette suite, nous pouvons observer qu’appliquer avant a changé en à l’extérieur de l’expression de la fonction, conduisant à une expression différente de celle donnée. Par conséquent, nous devrions appliquer d’abord et ensuite appliquer pour éviter de changer le signe du nombre 4.

Essayons l’ordre donné par

Appliquer à conduit à

Appliquer à cette expression nous donne

Enfin, appliquer nous donne qui est la même que l’expression donnée, . Par conséquent, c’est le bon ordre de transformations. Interprétons géométriquement cet ordre de transformations. Comme nous avons appliqué d’abord, nous commençons par tracer le symétrique de la fonction par rapport à l’axe des .

La deuxième transformation est , nous déplaçons donc la courbe réfléchie vers le haut de 4 unités.

La dernière transformation est , nous contractons donc la courbe horizontalement dans un facteur d’échelle .

Par conséquent, la courbe de est (b).

Exemple 5: Identifier la fonction d’origine à partir d’une courbe transformée

La courbe représente une fonction d’expression après une translation verticale positive de 3 unités suivi d’une symétrie par rapport à l’axe des . Laquelle des courbes suivantes représente la fonction initiale d’expression  ? 

Réponse

Comme vient de après avoir appliqué deux transformations données, nous pouvons récupérer l'expression de la fonction initiale à partir de en inversant les transformations, en commençant par la seconde. Cette méthode donnera comme une expression faisant intervenir . Nous pouvons terminer le problème en déterminant l’expression de .

La deuxième transformation est la symétrie par rapport à l’axe des , qui peut être inversée par la même transformation. La symétrie par rapport à l’axe des correspond à la transformation algébrique . En appliquant cette transformation à , on obtient

Ensuite, nous inversons la première transformation, qui est une translation verticale positive de 3 unités. Cette transformation est inversée par une translation verticale négative (ou descendante) de 3 unités, ce qui correspond algébriquement à . En appliquant cette transformation à l’expression ci-dessus, nous obtenons

Puisque nous avons inversé les deux transformations, cela doit être égal à l’expression de notre fonction. Ainsi,

Ensuite, nous devons calculer l’expression de . D’après le graphique donné, nous pouvons remarquer que vient de la fonction parent d’équation . Nous remarquons sur la figure ci-dessous qu’une symétrie par rapport à l’axe des rend les deux courbes plus ressemblantes.

La symétrie par rapport à l’axe des correspond à la transformation , ce qui conduirait à l’équation comme indiqué sur la figure. En partant de la courbe d’équation , on peut obtenir la courbe de la fonction d’expression en déplaçant vers la droite d’une unité, puis en déplaçant vers le bas de 5 unités.

La transformation correspond à une translation vers la droite d’une unité et la transformation correspond à une translation vers le bas de 5 unités. En appliquant ces transformations dans l’ordre, on obtient

Par conséquent, nous obtenons

Enfin, nous pouvons substituer cette expression dans la relation entre et que nous avons obtenu précédemment : 

Cela conduit à l’option C.

Exemple 6: Identifier les combinaisons équivalentes de transformations de fonctions

La courbe rouge sur la figure a pour équation et la courbe verte a pour équation . Laquelle des transformations suivantes ne permet pas la transformation de la courbe de en la courbe de représentées sur le graphique ? 

1. Une symétrie par rapport à l’axe des .
2. Une translation horizontale de 4 unités vers la droite suivie d’une symétrie par rapport à l’axe des .
3. Une symétrie par rapport à l’axe des suivie d’une translation horizontale de 4 unités vers la gauche.
4. Une translation verticale de 4 unités vers le bas suivie d’une symétrie par rapport à l’axe des .

Réponse

Nous appliquerons chaque transformation à la droite rouge pour voir si l’image obtenue est confondue avec la droite verte. Puisqu’une droite est entièrement caractérisée par deux points distincts, il suffira que les transformations déplacent deux points distincts de la droite rouge sur la ligne verte.

1. Nous construisons le symétrique de la droite rouge par rapport à l’axe des .

   

   Dans le graphique ci-dessus, la flèche le long de l’axe des représente la symétrie par rapport à l’axe des . Nous pouvons voir que la symétrie déplace deux points distincts de la ligne rouge sur la ligne verte. Par conséquent, cette transformation envoie le graphique de sur le graphique de .
2. Nous déplaçons de 4 unités vers la droite puis construisons le symétrique par rapport à l’axe des .

   

   Dans le graphique ci-dessus, la flèche droite représente les translations, et la flèche arrondie autour de l’axe des représente la symétrie par rapport à l’axe des . Nous pouvons voir que les deux transformations envoient deux points distincts de la droite rouge sur la droite verte. Par conséquent, cette option envoie également le graphique de sur le graphique de .
3. Nous construisons le symétrique par rapport à l’axe des , puis déplaçons vers la gauche de 4 unités.

   

   Nous pouvons remarquer que les deux transformations envoient deux points distincts de la droite rouge sur la droite verte. Par conséquent, cette option envoie également le graphique de sur le graphique de .
4. On déplace de 4 unités vers le bas, puis on construit le symétrique par rapport à l’axe des .

   

   Aucun des deux points sélectionnés de la droite rouge ne sont envoyés sur la droite verte. Par conséquent, les deux transformations n’evoient pas le graphique de sur le graphique de .

Cela conduit à l’option D.