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Vidéo de la leçon: Combiner des transformations de fonctions Mathématiques • Deuxième année secondaire

Dans cette leçon, nous allons apprendre à identifier des transformations de fonctions combinant des translations, des dilatations et des symétries de leurs courbes représentatives.

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Dans cette leçon, nous allons apprendre à identifier des transformations de fonctions combinant des translations, des dilatations et des symétries de leurs courbes représentatives. Commençons par rappeler les transformations de fonction de base à connaître. Celles-ci peuvent être classées en deux groupes: les transformations qui provoquent des changements horizontaux de la courbe représentative, et qui sont obtenues en modifiant la variable 𝑥, et celles qui provoquent des changement verticaux, obtenues en modifiant l’expression de la fonction elle-même.

Pour une fonction 𝑓, la fonction 𝑓 de 𝑥 plus 𝑎 pour un nombre réel 𝑎 correspond à une translation de 𝑎 unités vers la gauche ou du vecteur moins 𝑎, zéro. Et la fonction 𝑓 de 𝑥 plus 𝑏 correspond à une translation de 𝑏 unités vers le haut ou du vecteur zéro, 𝑏. On peut ensuite multiplier 𝑥 par une constante 𝑐, ce qui donne la fonction 𝑓 de 𝑐𝑥. Cela conduit à une dilatation, ou contraction, horizontale par le facteur d’échelle un sur 𝑐. Et multiplier la fonction par une constante 𝑑 pour obtenir 𝑑𝑓 de 𝑥 correspond à une dilatation verticale par le facteur d’échelle 𝑑. Pour la transformation précédente, si 𝑐 est de plus inférieur à zéro, cela se traduit également par une symétrie par rapport à l’axe des ordonnées. Et si 𝑑 est inférieur à zéro, cela donne une symétrie par rapport à l’axe des abscisses.

Pour simplifier, on peut séparer les cas où 𝑐 et 𝑑 sont égaux à moins un. La fonction 𝑓 de moins 𝑥 correspond à une symétrie par rapport à l’axe des ordonnées et la fonction moins 𝑓 de 𝑥 correspond à une symétrie par rapport à l’axe des abscisses. Remarquez au passage que pour les transformations horizontales, l’addition ou la multiplication produisent un effet contraire à ce que l’on pourrait attendre. Par exemple, 𝑓 de 𝑥 plus trois, c’est-à-dire ajouter trois à 𝑥 avant de l’entrer dans la fonction, entraîne une transformation géométrique qui translate la courbe représentative de trois unités vers la gauche. Et multiplier la valeur de 𝑥 par deux produit une dilatation horizontale par un facteur d’échelle de un sur deux. En revanche, les transformations algébriques sur l’expression de la fonction elle-même entraînent les transformations géométriques verticales attendues. Avec cela à l’esprit, récapitulons comment identifier les transformations de fonction.

Si on effectue une symétrie de la représentation graphique suivante par rapport à l’axe des abscisses puis qu’on la translate d’une unité vers la gauche et de trois unités vers le bas, quelle sera l’équation de la nouvelle représentation graphique?

Rappelez-vous que pour une fonction 𝑓 de 𝑥, la fonction moins 𝑓 de 𝑥 correspond à une symétrie de la représentation graphique d’origine par rapport à l’axe des abscisses. Afin de représenter une translation à gauche d’une unité, on doit transformer 𝑓 de 𝑥 en 𝑓 de 𝑥 plus un. Enfin, pour une fonction 𝑓 de 𝑥, la fonction 𝑓 de 𝑥 moins trois est le résultat d’une translation de la courbe d’origine de trois unités vers le bas. On prend donc la fonction d’origine, qui est définie par 𝑦 égale valeur absolue de 𝑥, puis on effectue chacune de ces transformations l’une après l’autre.

Pour effectuer une symétrie par rapport à l’axe des abscisses, la fonction 𝑦 égale valeur absolue de 𝑥 doit être transformée en 𝑦 égale moins valeur absolue de 𝑥. Et la représentation graphique de cette fonction s’affiche en orange. Ensuite, afin de la translater d’une unité vers la gauche, on ajoute un à la variable 𝑥. Et cette transformation doit être appliquée à la nouvelle fonction. La fonction est donc maintenant 𝑦 égale moins valeurs absolue de 𝑥 plus un, et sa représentation graphique s’affiche en rose.

Enfin, pour translater cette courbe de trois unités vers le bas, on soustrait trois à l’expression de la fonction. On prend donc la nouvelle fonction et on y soustrait trois, ce qui nous donne 𝑦 égale moins valeur absolue de 𝑥 plus un moins trois. Et sa représentation graphique s’affiche en vert. Par conséquent, après cette série de transformations, l’équation de la nouvelle représentation graphique est 𝑦 égale moins valeur absolue de 𝑥 plus un moins trois.

Dans le prochain exemple, nous allons combiner une dilatation verticale et une symétrie de la courbe représentative d’une fonction.

Soit la fonction 𝑓 de 𝑥 égale 𝑥 plus deux au cube plus trois ; on effectue une dilatation verticale de sa courbe représentative par un facteur d’échelle deux puis une symétrie par rapport à l’axe des ordonnées. Déterminez l’expression de la fonction transformée 𝑔 de 𝑥.

Deux transformations sont appliquées à la courbe représentative de 𝑓 de 𝑥. D’abord une dilatation verticale puis une symétrie. On rappelle alors que pour dilater une courbe représentative dans la direction verticale, on doit multiplier l’expression de sa fonction par le facteur d’échelle. Donc, 𝑓 de 𝑥 est transformée en deux fois 𝑓 de 𝑥. Et pour une fonction 𝑓 de 𝑥, la fonction 𝑓 de moins 𝑥 correspond à une symétrie par rapport à l’axe des ordonnées de la courbe d’origine. Maintenant, l’ordre dans lequel on les applique est important. Nous allons donc suivre l’ordre de l’énoncé, en commençant par la dilatation verticale.

On a 𝑓 de 𝑥 égale 𝑥 plus deux au cube plus trois, et on doit multiplier toute l’expression par deux. On obtient ainsi deux 𝑓 de 𝑥 égale deux fois 𝑥 plus deux au cube plus trois. On peut ensuite distribuer le 2 et on obtient deux 𝑓 de 𝑥 égale deux fois 𝑥 plus deux au cube plus six. Maintenant que nous avons effectué la dilatation dans la direction verticale, nous allons effectuer la symétrie par rapport à l’axe des ordonnées.

Pour cela, on change x par son opposé. Ce qui revient à multiplier la valeur de 𝑥 par moins un. En commençant avec la fonction déjà transformée, nous devons transformer deux 𝑓 de 𝑥 en deux 𝑓 de moins 𝑥. Donc tout ce qu’il y a à faire est de multiplier la valeur de 𝑥 par moins un. Deux 𝑓 de moins 𝑥 égale deux fois moins 𝑥 plus deux au cube plus six. Et nous avons ainsi l’équation de la fonction transformée, que l’on peut maintenant écrire comme 𝑔 de 𝑥. 𝑔 de 𝑥 égale deux fois moins 𝑥 plus deux au cube plus six.

Dans les exemples précédents, nous avons déterminé les expressions de fonctions après l’application d’une combinaison de transformations dans un ordre donné. Nous allons maintenant étudier des exemples où nous devons suivre le raisonnement inverse. Mais comment peut-on retracer les étapes permettant d’identifier toutes les transformations d’une fonction et son expression d’origine à partir de son expression transformée? Eh bien, nous devons pour cela connaître l’ordre dans lequel les transformations ont été effectuées pour obtenir l’expression donnée. Et tout comme il existe un ordre des opérations pour les calculs, on doit appliquer un ordre spécifique pour les combinaisons de transformations.

On recherche tout d’abord les translations horizontales et on les applique en premier. On recherche ensuite les dilatations ou réductions. Rappelez-vous que les dilatations peuvent être dans les directions horizontales et verticales, et peu importe l’ordre dans lequel on les applique. On effectue ensuite les symétries, le cas échéant, par rapport à l’axe des abscisses, des ordonnées ou des deux. Enfin, on applique en dernier la translation verticale. Et cet ordre est extrêmement important lorsque l’on applique une combinaison de transformations. Bien qu’il puisse arriver que des combinaisons et des ordres de transformations différents aient le même effet sur la courbe représentative d’une fonction.

Mais il n’est pas possible de le savoir quand on commence la résolution d’un problème. C’est pourquoi il faut suivre cet ordre. Voyons cela dans un exemple.

Voici la courbe représentative de la fonction exponentielle 𝑦 égale 𝑓 de 𝑥. Laquelle des courbes ci-dessous représente 𝑦 égale quatre moins 𝑓 de deux 𝑥?

Comparons l’équation d’origine et son équation transformée. Trois opérations distinctes se sont produites ici. On a ajouté quatre à la fonction, on a multiplié la fonction par moins un et on a multiplié 𝑥 par deux. Mais nous devons faire attention à les effectuer dans le bon ordre. L’ordre à suivre est le suivant. On commence par rechercher les translations horizontales. La courbe représentative est-elle translatée vers la gauche ou la droite? On effectue ensuite les dilatations, que l’on peut faire dans les deux directions si nécessaire. On réalise ensuite les symétries par rapport à l’axe des abscisses, des ordonnées ou les deux. Enfin, on traite les translations verticales. La courbe représentative est-elle translatée vers le haut ou vers le bas?

Une translation horizontale se produit lorsque l’on ajoute une constante à la variable 𝑥. C’est-à-dire quand 𝑓 de 𝑥 devient 𝑓 de 𝑥 plus 𝑎 par une translation de 𝑎 unités vers la gauche. En observant la fonction, on constate qu’aucune valeur n’est ajoutée à 𝑥. Nous n’allons donc appliquer aucune translation horizontale. Mais nous allons effectuer une dilatation. Pour une fonction 𝑓 de 𝑥, 𝑓 de 𝑏 fois 𝑥 correspond à une dilatation dans la direction horizontale par le facteur d’échelle un sur 𝑏. Et on a bien une expression de cette forme. Puisque le coefficient de 𝑥 est deux, c’est-à-dire que l’on multiplie 𝑥 par deux, le résultat est une dilatation horizontale par un facteur d’échelle de un sur deux. On peut ajouter cette courbe intermédiaire au graphique.

On sait qu’elle coupera toujours l’axe des ordonnées en deux. Ensuite, l’abscisse du point de coordonnées un, 0,7 est divisée par deux et on obtient le point 0,5; 0,7. De même, la courbe d’origine passe par le point deux, 0,2. L’abscisse de ce point doit être divisée par deux. Ce qui donne le point un, 0,2. En haut de la courbe, on a un point de coordonnées moins 0,6, quatre. Et en divisant par deux son abscisse, il devient moins 0,3, quatre. Donc la courbe représentative de 𝑦 égale 𝑓 de deux 𝑥 ressemble à cette courbe en orange. Et on voit que cela correspond bien à une contraction horizontale. Il s’agit d’une dilatation par le facteur d’échelle un sur deux. A-t-on à présent des symétries?

Eh bien, celles-ci se produisent lorsque l’on prend l’opposé de x ou lorsque l’on multiplie toute la fonction par moins un. Nous avons ici en effet moins 𝑓 de deux 𝑥. Cela va entraîner une symétrie par rapport à l’axe des ordonnées. Bien que nous n’ayons pas la place de tracer toute la courbe représentative, nous savons qu’elle coupera l’axe des ordonnées en moins deux, comme illustré en rose. Nous avons donc effectué une dilatation. Puis une symétrie. Y a-t-il maintenant une translation verticale? Elle serait représentée par une expression de la forme 𝑓 de 𝑥 plus 𝑑. Une fonction d’origine 𝑓 de 𝑥 est donc transformée en 𝑓 de 𝑥 plus 𝑑 par une translation verticale de d unités vers le haut.

Si on reformule notre fonction par 𝑦 égale moins 𝑓 de deux 𝑥, qui sont les transformations que nous avons déjà effectuées, plus quatre, on voit maintenant que nous devons translater la courbe représentative de quatre unités vers le haut. Et elle coupera maintenant l’axe des ordonnées en deux. Ce qui correspond à la courbe représentative (b). Par conséquent, la courbe (b) représente la fonction 𝑦 égale quatre moins 𝑓 de deux 𝑥.

Nous avons donc vu comment appliquer une série de transformations et l’ordre dans lequel elles doivent être appliquées. On en déduit bien sûr que pour inverser une série de transformations, c’est-à-dire pour déterminer l’expression de la fonction d’origine, on doit annuler l’effet de ces étapes . Et si on connaît l’ordre dans lequel une série de transformations ont été effectuées, on peut déterminer l’expression de la fonction d’origine en inversant l’ordre et les transformations. Voyons donc comment cela fonctionne.

La courbe ci-dessous représente une fonction 𝑔 de 𝑥 après une translation verticale de trois unités vers le haut, suivie d’une symétrie par rapport à l’axe des abscisses. Laquelle des expressions suivantes correspond à la fonction initiale 𝑓 de 𝑥? Est-ce (A) 𝑓 de 𝑥 égale moins 𝑥 plus deux au cube moins deux? (B) 𝑓 de 𝑥 égale moins trois fois 𝑥 moins un au cube moins six? (C) 𝑓 de 𝑥 égale 𝑥 moins un au cube plus deux? (D) 𝑓 de 𝑥 égale moins 𝑥 moins quatre au cube moins deux. Ou (E) 𝑓 de 𝑥 égale moins trois 𝑥 moins un au cube plus deux.

La question indique que la fonction 𝑔 de 𝑥 est obtenue après deux transformations de la fonction d’origine 𝑓 de 𝑥. On peut retrouver la fonction initiale 𝑓 de 𝑥 en effectuant les transformations inverses, mais en commençant par la seconde. Ce processus nous donnera une expression de 𝑓 de 𝑥 en fonction de 𝑔 de 𝑥. Nous pourrons ensuite répondre à la question en déterminant l’expression de 𝑔 de 𝑥.

Commençons donc par la deuxième transformation qui est une symétrie par rapport à l’axe des abscisses. On rappelle que pour une fonction ℎ de 𝑥, la fonction moins ℎ de 𝑥 correspond à une symétrie de la courbe représentative d’origine par rapport à l’axe des abscisses. On l’annule en appliquant la même transformation. On transforme donc 𝑔 de 𝑥 en moins 𝑔 de 𝑥.

On effectue maintenant l’inverse de la première transformation. Il s’agissait d’une translation de trois unités vers le haut. Sa transformation inverse est une translation verticale dans l’autre sens, c’est-à-dire une translation de la courbe représentative de trois unités vers le bas. Et on peut réaliser cette transformation en soustrayant 3 à la fonction ℎ de 𝑥. Ou dans notre cas, on soustrait trois à la fonction transformée moins 𝑔 de 𝑥, ce qui nous donne moins 𝑔 de 𝑥 moins trois. Et puisque nous avons inversé les deux transformations, cela doit être égal à la fonction d’origine 𝑓 de 𝑥.

Donc tout ce qu’il nous reste maintenant à faire est de trouver l’expression de 𝑔 de 𝑥. Simplement en observant la forme de sa courbe représentative, on peut voir qu’elle doit provenir de sa fonction parente 𝑦 égale 𝑥 cube. Il s’agit sans aucun doute d’une fonction polynôme de degré trois. Mais si le coefficient de 𝑥 cube était positif, la courbe aurait une forme miroir. En d’autres termes, il semble que la courbe représentative de la fonction cube ait subi une symétrie par rapport à l’axe des ordonnées.

Pour effectuer une symétrie par rapport à l’axe des ordonnées, on prend l’opposé de toute la fonction. Donc, 𝑦 égale moins 𝑥 cube a maintenant la forme et l’orientation correctes. Mais bien sûr, les courbes représentatives de 𝑦 égale 𝑥 cube et de 𝑦 égale moins 𝑥 cube passent par le point zéro, zéro. Il s’agit en réalité du point d’inflexion de ces fonctions. Sur notre courbe, il correspond au point de coordonnées un, moins cinq. On prend donc la courbe 𝑦 égale moins 𝑥 cube et on la translate d’une unité vers la droite et de cinq vers le bas. On réalise une translation d’une unité vers la droite en soustrayant un à 𝑥. Et pour la translation de cinq unités vers le bas, on soustrait simplement cinq à l’expression de la fonction. Il semble donc que nous ayons trouvé l’expression de notre fonction 𝑔 de 𝑥.

Il peut cependant être judicieux de le vérifier à l’aide de quelques points. Par exemple, lorsque 𝑥 est égal à moins un, 𝑦 est égal à moins moins un moins un au cube moins cinq, ce qui fait trois comme nous l’espérions. De même, lorsque 𝑥 est égal à zéro, 𝑦 est égal à moins zéro moins un au cube moins quatre, soit moins quatre comme attendu. Nous pouvons donc être assez confiants qu’il s’agit de la bonne équation pour cette courbe représentative. Donc 𝑔 de 𝑥 égale moins 𝑥 moins un cube moins cinq, et nous pouvons maintenant calculer l’expression de 𝑓 de 𝑥.

En remplaçant l’expression de 𝑔 de 𝑥, on obtient 𝑓 de 𝑥 égale moins moins 𝑥 moins un au cube moins cinq moins trois. On distribue ensuite le signe moins pour obtenir 𝑥 moins un au cube plus cinq moins trois, ce qui est égal à 𝑥 moins un au cube plus deux. On peut alors revenir aux réponses proposées et on voit que cela correspond à la réponse (C): 𝑓 de 𝑥 égale 𝑥 moins un au cube plus deux.

Nous avons maintenant présenté plusieurs exemples d’application d’une série de transformations. Nous avons utilisé des courbes représentatives et des expressions de fonctions. Et nous avons également vu comment inverser ces processus.

Récapitulons à présent les points clés. L’ordre dans lequel une combinaison de transformations doivent être appliquées est le suivant. On recherche d’abord les translations horizontales, on effectue ensuite les dilatations, suivies des symétries et on finit par les translations verticales. Et bien que cet ordre soit important car les appliquer dans un ordre différent peut produire des courbes représentatives finales différentes, il peut arriver que des combinaisons et des ordres de transformations différents aient le même effet sur la courbe représentative d’une fonction.

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