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Dans cette leçon, nous allons apprendre Ă identifier des transformations de fonctions combinant des translations, des dilatations et des symĂ©tries de leurs courbes reprĂ©sentatives. Commençons par rappeler les transformations de fonction de base Ă connaĂźtre. Celles-ci peuvent ĂȘtre classĂ©es en deux groupes: les transformations qui provoquent des changements horizontaux de la courbe reprĂ©sentative, et qui sont obtenues en modifiant la variable đ„, et celles qui provoquent des changement verticaux, obtenues en modifiant lâexpression de la fonction elle-mĂȘme.
Pour une fonction đ, la fonction đ de đ„ plus đ pour un nombre rĂ©el đ correspond Ă une translation de đ unitĂ©s vers la gauche ou du vecteur moins đ, zĂ©ro. Et la fonction đ de đ„ plus đ correspond Ă une translation de đ unitĂ©s vers le haut ou du vecteur zĂ©ro, đ. On peut ensuite multiplier đ„ par une constante đ, ce qui donne la fonction đ de đđ„. Cela conduit Ă une dilatation, ou contraction, horizontale par le facteur dâĂ©chelle un sur đ. Et multiplier la fonction par une constante đ pour obtenir đđ de đ„ correspond Ă une dilatation verticale par le facteur dâĂ©chelle đ. Pour la transformation prĂ©cĂ©dente, si đ est de plus infĂ©rieur Ă zĂ©ro, cela se traduit Ă©galement par une symĂ©trie par rapport Ă lâaxe des ordonnĂ©es. Et si đ est infĂ©rieur Ă zĂ©ro, cela donne une symĂ©trie par rapport Ă lâaxe des abscisses.
Pour simplifier, on peut sĂ©parer les cas oĂč đ et đ sont Ă©gaux Ă moins un. La fonction đ de moins đ„ correspond Ă une symĂ©trie par rapport Ă lâaxe des ordonnĂ©es et la fonction moins đ de đ„ correspond Ă une symĂ©trie par rapport Ă lâaxe des abscisses. Remarquez au passage que pour les transformations horizontales, lâaddition ou la multiplication produisent un effet contraire Ă ce que lâon pourrait attendre. Par exemple, đ de đ„ plus trois, câest-Ă -dire ajouter trois Ă đ„ avant de lâentrer dans la fonction, entraĂźne une transformation gĂ©omĂ©trique qui translate la courbe reprĂ©sentative de trois unitĂ©s vers la gauche. Et multiplier la valeur de đ„ par deux produit une dilatation horizontale par un facteur dâĂ©chelle de un sur deux. En revanche, les transformations algĂ©briques sur lâexpression de la fonction elle-mĂȘme entraĂźnent les transformations gĂ©omĂ©triques verticales attendues. Avec cela Ă lâesprit, rĂ©capitulons comment identifier les transformations de fonction.
Si on effectue une symĂ©trie de la reprĂ©sentation graphique suivante par rapport Ă lâaxe des abscisses puis quâon la translate dâune unitĂ© vers la gauche et de trois unitĂ©s vers le bas, quelle sera lâĂ©quation de la nouvelle reprĂ©sentation graphique?
Rappelez-vous que pour une fonction đ de đ„, la fonction moins đ de đ„ correspond Ă une symĂ©trie de la reprĂ©sentation graphique dâorigine par rapport Ă lâaxe des abscisses. Afin de reprĂ©senter une translation Ă gauche dâune unitĂ©, on doit transformer đ de đ„ en đ de đ„ plus un. Enfin, pour une fonction đ de đ„, la fonction đ de đ„ moins trois est le rĂ©sultat dâune translation de la courbe dâorigine de trois unitĂ©s vers le bas. On prend donc la fonction dâorigine, qui est dĂ©finie par đŠ Ă©gale valeur absolue de đ„, puis on effectue chacune de ces transformations lâune aprĂšs lâautre.
Pour effectuer une symĂ©trie par rapport Ă lâaxe des abscisses, la fonction đŠ Ă©gale valeur absolue de đ„ doit ĂȘtre transformĂ©e en đŠ Ă©gale moins valeur absolue de đ„. Et la reprĂ©sentation graphique de cette fonction sâaffiche en orange. Ensuite, afin de la translater dâune unitĂ© vers la gauche, on ajoute un Ă la variable đ„. Et cette transformation doit ĂȘtre appliquĂ©e Ă la nouvelle fonction. La fonction est donc maintenant đŠ Ă©gale moins valeurs absolue de đ„ plus un, et sa reprĂ©sentation graphique sâaffiche en rose.
Enfin, pour translater cette courbe de trois unitĂ©s vers le bas, on soustrait trois Ă lâexpression de la fonction. On prend donc la nouvelle fonction et on y soustrait trois, ce qui nous donne đŠ Ă©gale moins valeur absolue de đ„ plus un moins trois. Et sa reprĂ©sentation graphique sâaffiche en vert. Par consĂ©quent, aprĂšs cette sĂ©rie de transformations, lâĂ©quation de la nouvelle reprĂ©sentation graphique est đŠ Ă©gale moins valeur absolue de đ„ plus un moins trois.
Dans le prochain exemple, nous allons combiner une dilatation verticale et une symĂ©trie de la courbe reprĂ©sentative dâune fonction.
Soit la fonction đ de đ„ Ă©gale đ„ plus deux au cube plus trois ; on effectue une dilatation verticale de sa courbe reprĂ©sentative par un facteur dâĂ©chelle deux puis une symĂ©trie par rapport Ă lâaxe des ordonnĂ©es. DĂ©terminez lâexpression de la fonction transformĂ©e đ de đ„.
Deux transformations sont appliquĂ©es Ă la courbe reprĂ©sentative de đ de đ„. Dâabord une dilatation verticale puis une symĂ©trie. On rappelle alors que pour dilater une courbe reprĂ©sentative dans la direction verticale, on doit multiplier lâexpression de sa fonction par le facteur dâĂ©chelle. Donc, đ de đ„ est transformĂ©e en deux fois đ de đ„. Et pour une fonction đ de đ„, la fonction đ de moins đ„ correspond Ă une symĂ©trie par rapport Ă lâaxe des ordonnĂ©es de la courbe dâorigine. Maintenant, lâordre dans lequel on les applique est important. Nous allons donc suivre lâordre de lâĂ©noncĂ©, en commençant par la dilatation verticale.
On a đ de đ„ Ă©gale đ„ plus deux au cube plus trois, et on doit multiplier toute lâexpression par deux. On obtient ainsi deux đ de đ„ Ă©gale deux fois đ„ plus deux au cube plus trois. On peut ensuite distribuer le 2 et on obtient deux đ de đ„ Ă©gale deux fois đ„ plus deux au cube plus six. Maintenant que nous avons effectuĂ© la dilatation dans la direction verticale, nous allons effectuer la symĂ©trie par rapport Ă lâaxe des ordonnĂ©es.
Pour cela, on change x par son opposĂ©. Ce qui revient Ă multiplier la valeur de đ„ par moins un. En commençant avec la fonction dĂ©jĂ transformĂ©e, nous devons transformer deux đ de đ„ en deux đ de moins đ„. Donc tout ce quâil y a Ă faire est de multiplier la valeur de đ„ par moins un. Deux đ de moins đ„ Ă©gale deux fois moins đ„ plus deux au cube plus six. Et nous avons ainsi lâĂ©quation de la fonction transformĂ©e, que lâon peut maintenant Ă©crire comme đ de đ„. đ de đ„ Ă©gale deux fois moins đ„ plus deux au cube plus six.
Dans les exemples prĂ©cĂ©dents, nous avons dĂ©terminĂ© les expressions de fonctions aprĂšs lâapplication dâune combinaison de transformations dans un ordre donnĂ©. Nous allons maintenant Ă©tudier des exemples oĂč nous devons suivre le raisonnement inverse. Mais comment peut-on retracer les Ă©tapes permettant dâidentifier toutes les transformations dâune fonction et son expression dâorigine Ă partir de son expression transformĂ©e? Eh bien, nous devons pour cela connaĂźtre lâordre dans lequel les transformations ont Ă©tĂ© effectuĂ©es pour obtenir lâexpression donnĂ©e. Et tout comme il existe un ordre des opĂ©rations pour les calculs, on doit appliquer un ordre spĂ©cifique pour les combinaisons de transformations.
On recherche tout dâabord les translations horizontales et on les applique en premier. On recherche ensuite les dilatations ou rĂ©ductions. Rappelez-vous que les dilatations peuvent ĂȘtre dans les directions horizontales et verticales, et peu importe lâordre dans lequel on les applique. On effectue ensuite les symĂ©tries, le cas Ă©chĂ©ant, par rapport Ă lâaxe des abscisses, des ordonnĂ©es ou des deux. Enfin, on applique en dernier la translation verticale. Et cet ordre est extrĂȘmement important lorsque lâon applique une combinaison de transformations. Bien quâil puisse arriver que des combinaisons et des ordres de transformations diffĂ©rents aient le mĂȘme effet sur la courbe reprĂ©sentative dâune fonction.
Mais il nâest pas possible de le savoir quand on commence la rĂ©solution dâun problĂšme. Câest pourquoi il faut suivre cet ordre. Voyons cela dans un exemple.
Voici la courbe reprĂ©sentative de la fonction exponentielle đŠ Ă©gale đ de đ„. Laquelle des courbes ci-dessous reprĂ©sente đŠ Ă©gale quatre moins đ de deux đ„?
Comparons lâĂ©quation dâorigine et son Ă©quation transformĂ©e. Trois opĂ©rations distinctes se sont produites ici. On a ajoutĂ© quatre Ă la fonction, on a multipliĂ© la fonction par moins un et on a multipliĂ© đ„ par deux. Mais nous devons faire attention Ă les effectuer dans le bon ordre. Lâordre Ă suivre est le suivant. On commence par rechercher les translations horizontales. La courbe reprĂ©sentative est-elle translatĂ©e vers la gauche ou la droite? On effectue ensuite les dilatations, que lâon peut faire dans les deux directions si nĂ©cessaire. On rĂ©alise ensuite les symĂ©tries par rapport Ă lâaxe des abscisses, des ordonnĂ©es ou les deux. Enfin, on traite les translations verticales. La courbe reprĂ©sentative est-elle translatĂ©e vers le haut ou vers le bas?
Une translation horizontale se produit lorsque lâon ajoute une constante Ă la variable đ„. Câest-Ă -dire quand đ de đ„ devient đ de đ„ plus đ par une translation de đ unitĂ©s vers la gauche. En observant la fonction, on constate quâaucune valeur nâest ajoutĂ©e Ă đ„. Nous nâallons donc appliquer aucune translation horizontale. Mais nous allons effectuer une dilatation. Pour une fonction đ de đ„, đ de đ fois đ„ correspond Ă une dilatation dans la direction horizontale par le facteur dâĂ©chelle un sur đ. Et on a bien une expression de cette forme. Puisque le coefficient de đ„ est deux, câest-Ă -dire que lâon multiplie đ„ par deux, le rĂ©sultat est une dilatation horizontale par un facteur dâĂ©chelle de un sur deux. On peut ajouter cette courbe intermĂ©diaire au graphique.
On sait quâelle coupera toujours lâaxe des ordonnĂ©es en deux. Ensuite, lâabscisse du point de coordonnĂ©es un, 0,7 est divisĂ©e par deux et on obtient le point 0,5; 0,7. De mĂȘme, la courbe dâorigine passe par le point deux, 0,2. Lâabscisse de ce point doit ĂȘtre divisĂ©e par deux. Ce qui donne le point un, 0,2. En haut de la courbe, on a un point de coordonnĂ©es moins 0,6, quatre. Et en divisant par deux son abscisse, il devient moins 0,3, quatre. Donc la courbe reprĂ©sentative de đŠ Ă©gale đ de deux đ„ ressemble Ă cette courbe en orange. Et on voit que cela correspond bien Ă une contraction horizontale. Il sâagit dâune dilatation par le facteur dâĂ©chelle un sur deux. A-t-on Ă prĂ©sent des symĂ©tries?
Eh bien, celles-ci se produisent lorsque lâon prend lâopposĂ© de x ou lorsque lâon multiplie toute la fonction par moins un. Nous avons ici en effet moins đ de deux đ„. Cela va entraĂźner une symĂ©trie par rapport Ă lâaxe des ordonnĂ©es. Bien que nous nâayons pas la place de tracer toute la courbe reprĂ©sentative, nous savons quâelle coupera lâaxe des ordonnĂ©es en moins deux, comme illustrĂ© en rose. Nous avons donc effectuĂ© une dilatation. Puis une symĂ©trie. Y a-t-il maintenant une translation verticale? Elle serait reprĂ©sentĂ©e par une expression de la forme đ de đ„ plus đ. Une fonction dâorigine đ de đ„ est donc transformĂ©e en đ de đ„ plus đ par une translation verticale de d unitĂ©s vers le haut.
Si on reformule notre fonction par đŠ Ă©gale moins đ de deux đ„, qui sont les transformations que nous avons dĂ©jĂ effectuĂ©es, plus quatre, on voit maintenant que nous devons translater la courbe reprĂ©sentative de quatre unitĂ©s vers le haut. Et elle coupera maintenant lâaxe des ordonnĂ©es en deux. Ce qui correspond Ă la courbe reprĂ©sentative (b). Par consĂ©quent, la courbe (b) reprĂ©sente la fonction đŠ Ă©gale quatre moins đ de deux đ„.
Nous avons donc vu comment appliquer une sĂ©rie de transformations et lâordre dans lequel elles doivent ĂȘtre appliquĂ©es. On en dĂ©duit bien sĂ»r que pour inverser une sĂ©rie de transformations, câest-Ă -dire pour dĂ©terminer lâexpression de la fonction dâorigine, on doit annuler lâeffet de ces Ă©tapes . Et si on connaĂźt lâordre dans lequel une sĂ©rie de transformations ont Ă©tĂ© effectuĂ©es, on peut dĂ©terminer lâexpression de la fonction dâorigine en inversant lâordre et les transformations. Voyons donc comment cela fonctionne.
La courbe ci-dessous reprĂ©sente une fonction đ de đ„ aprĂšs une translation verticale de trois unitĂ©s vers le haut, suivie dâune symĂ©trie par rapport Ă lâaxe des abscisses. Laquelle des expressions suivantes correspond Ă la fonction initiale đ de đ„? Est-ce (A) đ de đ„ Ă©gale moins đ„ plus deux au cube moins deux? (B) đ de đ„ Ă©gale moins trois fois đ„ moins un au cube moins six? (C) đ de đ„ Ă©gale đ„ moins un au cube plus deux? (D) đ de đ„ Ă©gale moins đ„ moins quatre au cube moins deux. Ou (E) đ de đ„ Ă©gale moins trois đ„ moins un au cube plus deux.
La question indique que la fonction đ de đ„ est obtenue aprĂšs deux transformations de la fonction dâorigine đ de đ„. On peut retrouver la fonction initiale đ de đ„ en effectuant les transformations inverses, mais en commençant par la seconde. Ce processus nous donnera une expression de đ de đ„ en fonction de đ de đ„. Nous pourrons ensuite rĂ©pondre Ă la question en dĂ©terminant lâexpression de đ de đ„.
Commençons donc par la deuxiĂšme transformation qui est une symĂ©trie par rapport Ă lâaxe des abscisses. On rappelle que pour une fonction â de đ„, la fonction moins â de đ„ correspond Ă une symĂ©trie de la courbe reprĂ©sentative dâorigine par rapport Ă lâaxe des abscisses. On lâannule en appliquant la mĂȘme transformation. On transforme donc đ de đ„ en moins đ de đ„.
On effectue maintenant lâinverse de la premiĂšre transformation. Il sâagissait dâune translation de trois unitĂ©s vers le haut. Sa transformation inverse est une translation verticale dans lâautre sens, câest-Ă -dire une translation de la courbe reprĂ©sentative de trois unitĂ©s vers le bas. Et on peut rĂ©aliser cette transformation en soustrayant 3 Ă la fonction â de đ„. Ou dans notre cas, on soustrait trois Ă la fonction transformĂ©e moins đ de đ„, ce qui nous donne moins đ de đ„ moins trois. Et puisque nous avons inversĂ© les deux transformations, cela doit ĂȘtre Ă©gal Ă la fonction dâorigine đ de đ„.
Donc tout ce quâil nous reste maintenant Ă faire est de trouver lâexpression de đ de đ„. Simplement en observant la forme de sa courbe reprĂ©sentative, on peut voir quâelle doit provenir de sa fonction parente đŠ Ă©gale đ„ cube. Il sâagit sans aucun doute dâune fonction polynĂŽme de degrĂ© trois. Mais si le coefficient de đ„ cube Ă©tait positif, la courbe aurait une forme miroir. En dâautres termes, il semble que la courbe reprĂ©sentative de la fonction cube ait subi une symĂ©trie par rapport Ă lâaxe des ordonnĂ©es.
Pour effectuer une symĂ©trie par rapport Ă lâaxe des ordonnĂ©es, on prend lâopposĂ© de toute la fonction. Donc, đŠ Ă©gale moins đ„ cube a maintenant la forme et lâorientation correctes. Mais bien sĂ»r, les courbes reprĂ©sentatives de đŠ Ă©gale đ„ cube et de đŠ Ă©gale moins đ„ cube passent par le point zĂ©ro, zĂ©ro. Il sâagit en rĂ©alitĂ© du point dâinflexion de ces fonctions. Sur notre courbe, il correspond au point de coordonnĂ©es un, moins cinq. On prend donc la courbe đŠ Ă©gale moins đ„ cube et on la translate dâune unitĂ© vers la droite et de cinq vers le bas. On rĂ©alise une translation dâune unitĂ© vers la droite en soustrayant un Ă đ„. Et pour la translation de cinq unitĂ©s vers le bas, on soustrait simplement cinq Ă lâexpression de la fonction. Il semble donc que nous ayons trouvĂ© lâexpression de notre fonction đ de đ„.
Il peut cependant ĂȘtre judicieux de le vĂ©rifier Ă lâaide de quelques points. Par exemple, lorsque đ„ est Ă©gal Ă moins un, đŠ est Ă©gal Ă moins moins un moins un au cube moins cinq, ce qui fait trois comme nous lâespĂ©rions. De mĂȘme, lorsque đ„ est Ă©gal Ă zĂ©ro, đŠ est Ă©gal Ă moins zĂ©ro moins un au cube moins quatre, soit moins quatre comme attendu. Nous pouvons donc ĂȘtre assez confiants quâil sâagit de la bonne Ă©quation pour cette courbe reprĂ©sentative. Donc đ de đ„ Ă©gale moins đ„ moins un cube moins cinq, et nous pouvons maintenant calculer lâexpression de đ de đ„.
En remplaçant lâexpression de đ de đ„, on obtient đ de đ„ Ă©gale moins moins đ„ moins un au cube moins cinq moins trois. On distribue ensuite le signe moins pour obtenir đ„ moins un au cube plus cinq moins trois, ce qui est Ă©gal Ă đ„ moins un au cube plus deux. On peut alors revenir aux rĂ©ponses proposĂ©es et on voit que cela correspond Ă la rĂ©ponse (C): đ de đ„ Ă©gale đ„ moins un au cube plus deux.
Nous avons maintenant prĂ©sentĂ© plusieurs exemples dâapplication dâune sĂ©rie de transformations. Nous avons utilisĂ© des courbes reprĂ©sentatives et des expressions de fonctions. Et nous avons Ă©galement vu comment inverser ces processus.
RĂ©capitulons Ă prĂ©sent les points clĂ©s. Lâordre dans lequel une combinaison de transformations doivent ĂȘtre appliquĂ©es est le suivant. On recherche dâabord les translations horizontales, on effectue ensuite les dilatations, suivies des symĂ©tries et on finit par les translations verticales. Et bien que cet ordre soit important car les appliquer dans un ordre diffĂ©rent peut produire des courbes reprĂ©sentatives finales diffĂ©rentes, il peut arriver que des combinaisons et des ordres de transformations diffĂ©rents aient le mĂȘme effet sur la courbe reprĂ©sentative dâune fonction.