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Etudiez la continuité de la fonction 𝑓 étant donné que 𝑓 de 𝑥 égale 𝑥 au carré moins quatre sur 𝑥 plus deux. On peut choisir entre deux options : A) la fonction est continue sur l'ensemble des nombres réels ℝ moins le singleton mois deux et B) la fonction est continue sur l'ensemble des nombres réels ℝ.
La seule différence entre ces deux options est de savoir si moins deux est inclus dans l'ensemble sur lequel 𝑓 est continue. Donc 𝑓 est-elle continue en 𝑥 égale moins deux ? On rappelle qu'une fonction 𝑓 est dite continue en un nombre 𝑐 si la limite de 𝑓 de 𝑥 quand 𝑥 tend vers 𝑐 est juste 𝑓 de 𝑐.
Et la condition un peu cachée ici est que les quantités des deux côtés de cette équation doivent exister. Donc la limite de 𝑓 de 𝑥 quand 𝑥 tend vers 𝑐 doit exister et 𝑓 de 𝑐 doit exister. Donc 𝑐 doit être compris dans l'ensemble de définition de 𝑓.
Si on regarde la définition de 𝑓 de 𝑥, on voit que moins deux n'appartient pas à l'ensemble de définition de 𝑓. Si on essaie d'utiliser la définition pour calculer 𝑓 de moins deux on obtient la forme indéterminée zéro sur zéro. Et comme moins deux n'est pas dans l'ensemble de définition de 𝑓, on ne peut pas dire que 𝑓 soit continue en moins deux. Moins deux n'est donc pas dans l'ensemble sur lequel 𝑓 est continue. Notre réponse est donc A la fonction est continue sur l'ensemble des nombres réels en excluant moins deux.
On peut vérifier si on veut que 𝑓 est bien continue en tous les nombres réels sauf moins deux. Mais on n’a pas besoin de décider entre les deux options données. Nous pouvons pour cela utiliser le fait qu'une fonction rationnelle est continue sur son ensemble de définition.
Ceci est prouvé en utilisant les lois des limites et l'ensemble de définition de notre fonction rationnelle est l'ensemble des nombres réels moins le seul nombre réel qui rend le dénominateur nul. C'est-à-dire moins deux.
Il est possible que vous avez tenté de factoriser le numérateur de cette fonction rationnelle, qui est la différence de deux carrés, puis de simplifier par le facteur commun 𝑥 plus deux, ce qui laisse seulement 𝑥 moins deux. Si on pose 𝑔 de 𝑥 égale 𝑥 moins deux, alors 𝑓 de 𝑥 égale 𝑔 de 𝑥 pour toute valeur de 𝑥 sauf moins deux et 𝑔 de moins deux est moins quatre.
Si vous avez simplifié 𝑓 de 𝑥 deux 𝑥 moins deux, alors vous pouvez penser que 𝑓 de moins deux est également moins quatre. Et alors, vous vous diriez probablement que l'option B était la bonne réponse et que 𝑓 de 𝑥 était continue sur l'ensemble des nombres réels ℝ. Mais malheureusement, ce n'est pas le cas. 𝑓 de moins deux n'est pas vraiment définie. Même en la simplifiant en quelque sorte, on pourrait penser que la valeur devrait être moins quatre.
On peut cependant utiliser 𝑔 de 𝑥 pour montrer que la limite de 𝑓 de 𝑥 lorsque 𝑥 tend vers moins deux est moins quatre. Même si 𝑓 de moins deux n'est pas égale à 𝑔 de moins deux, la limite de 𝑓 de 𝑥 lorsque 𝑥 tend vers moins deux est égale à la limite de 𝑔 de 𝑥 lorsque 𝑥 tend vers moins deux.
