Vidéo de la leçon: Continuité des fonctions Mathématiques

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Continuité des fonctions

Dans cette leçon, nous allons apprendre à vérifier la continuité d’une fonction et à déterminer l’intervalle sur lequel elle est continue.

Vous savez déjà peut-être déterminer la continuité d’une fonction en un point et même identifier les différents types de discontinuité que nous pouvons rencontrer. Nous pouvons vérifier si une fonction est continue en un point en utilisant la définition formelle suivante. Une fonction 𝑓 de 𝑥 est continue au point où 𝑥 est égal à 𝑎 si la limite de 𝑓 de 𝑥 lorsque 𝑥 tend vers 𝑎 est égale à la valeur de la fonction en 𝑥 égale 𝑎.

La condition implicite à cette définition est que ces deux éléments doivent exister. Pour que la limite existe, les limites à gauche et à droite lorsque 𝑥 tend vers 𝑎 doivent également exister et être égales à une certaine valeur 𝐿. En parallèle, 𝑓 de 𝑎 doit être défini et égal aux limites à gauche, à droite et normale pour que la fonction soit continue. On a défini cette valeur par 𝐿.

Considérons maintenant à la continuité sur un intervalle. De manière non formelle, si vous pouvez tracer la représentation graphique de la fonction sur l’intervalle sans lever votre stylo, alors la fonction est continue sur cet intervalle. Une façon plus rigoureuse de le définir est de dire que la fonction 𝑓 de 𝑥 est continue sur un intervalle si la condition de continuité en un point est vérifiée pour toutes les valeurs de 𝑥 dans l’intervalle. Maintenant, cela peut sembler évident, mais une façon de vérifier la continuité sur un intervalle est de s’assurer qu’il n’y a pas de discontinuités sur cet intervalle. Étudions quelques exemples graphiques pour comprendre cette notion visuellement.

Déterminez si l’affirmation suivante est vraie ou fausse. La fonction correspondant à cette représentation graphique est une fonction continue.

Pour cette question, nous avons une fonction 𝑔 de 𝑥 qui est définie pour toutes les valeurs de 𝑥 dans les nombres réels, indiqués par ces flèches. On peut voir presque immédiatement que la fonction 𝑔 de 𝑥 n’est pas continue car sa courbe présente un écart en 𝑥 égale trois. En fait, on peut reconnaître qu’il s’agit d’un saut de discontinuité, car 𝑔 n’est pas définie au point trois, deux, désigné par le point creux, et elle est définie au point trois, un, désigné par le point plein.

Si on étudiait les limites à gauche et à droite lorsque 𝑥 tend vers trois, on constaterait que bien qu’elles existent toutes les deux, leurs valeurs ne sont pas égales. Et cela signifierait que la limite normale n’existe pas. On rappelle que la définition de la continuité en un point stipule que la limite lorsque 𝑥 tend vers 𝑎 de la fonction doit être égale à la valeur de la fonction en 𝑥 égale 𝑎. Or, dans ce cas, la limite de 𝑔 de 𝑥 lorsque 𝑥 tend vers trois n’est pas égale à 𝑔 de trois car la limite n’existe pas.

Nous avons donc prouvé que la fonction 𝑔 présente une discontinuité en 𝑥 égale trois. La réponse à la question est donc : faux. La fonction correspondant à la représentation graphique n’est pas une fonction continue. Pour conclure, nous pouvons remarquer qu’une fonction peut présenter une discontinuité même si elle est définie sur tous les nombres réels.

Étudions maintenant un autre exemple graphique où nous devons déterminer si une fonction est continue.

Déterminez si la fonction correspondant à la représentation graphique est continue ou non.

Pour cette question, nous avons une fonction 𝑓 qui est définie lorsque 𝑥 est supérieur ou égal à zéro et inférieur ou égal à trois. Les points intéressants de cette fonction se produisent lorsque 𝑥 est égal à un et lorsque 𝑥 est égal à deux. En ces points, nous observons en effet un changement brusque de coefficient directeur. Et nous pouvons en déduire que la fonction n’est pas dérivable en ces points.

Pour prouver la continuité cependant, cela n’est pas nécessairement préoccupant. En prenant le point où 𝑥 égale un par exemple, on peut voir que les limites à gauche et à droite tendent vers la même valeur. Et elles tendent vers 𝑓 de 𝑥 égale un. On en déduit que la limite lorsque 𝑥 tend vers un est égale à cette même valeur. Et il est également clair que 𝑓 de un égale un.

Ces deux condition suffisent à prouver la continuité. Car la limite de 𝑓 de 𝑥 lorsque 𝑥 tend vers un est égale à 𝑓 de un. La même logique s’applique pour le point 𝑥 égale deux, et pour en fait tous les autres points de l’ensemble de définition de la fonction. Cela nous permet de répondre à la question. Nous concluons que 𝑓 de 𝑥 est une fonction continue.

Les deux questions précédentes nous ont donné des exemples graphiques de fonctions continues et non continues. Dans un exemple, nous avons vu une fonction avec un saut de discontinuité. Les fonctions présentant un autre type de discontinuité, comme celles pouvant être prolongées par continuité ou ayant une asymptote verticale, ne sont pas non plus classées comme des fonctions continues. Inversement, il existe de nombreux types de fonctions qui sont continus. Et nous allons en étudier quelques exemples dans la suite de cette vidéo.

Les types de fonctions suivants sont continus sur la totalité de leur ensemble de définition: les fonctions polynomiales, les fonctions rationnelles, les fonctions trigonométriques et les fonctions exponentielles. Une distinction importante ici est que nous spécifions que ces fonctions sont continues sur tout leur ensemble de définition et non pour toutes les valeurs réelles de 𝑥. Nous reviendrons sur ce point plus tard. Avant cela, une autre propriété importante.

Les sommes, les différences, les produits, les quotients et les compositions de fonctions continues sont également continus pour tous les points où les fonctions obtenues sont définies. Encore une fois, ces points appartiennent aux ensembles de définition des fonctions obtenues. Prouver la continuité de tous ces types de fonctions sort du cadre de cette vidéo, mais nous pouvons en donner un exemple en utilisant une fonction polynomiale dans la question suivante.

Que peut-on dire de la continuité de la fonction 𝑥 cube plus cinq 𝑥 carré moins deux 𝑥 plus deux?

Sachant qu’une une fonction polynomiale est continue sur son ensemble de définition et que l’ensemble de définition de cette fonction est l’ensemble des nombres réels, nous pouvons presque immédiatement donner la réponse suivante. La fonction est continue sur ℝ, les nombres réels, car elle est polynomiale. Il s’agit de la réponse rapide à la question.

Plutôt que de nous arrêter ici, effectuons une démonstration formelle de ce résultat.

La base sur laquelle nous allons nous appuyer est la limite d’une constante 𝑘 lorsque 𝑥 tend vers 𝑎. Il est clair que la valeur de 𝑥 n’a pas d’importance pour la constante 𝑘. Et donc, la valeur de cette limite est simplement 𝑘. On suppose ici que 𝑘 est un nombre réel. Nous passons ensuite au cas de la limite de la fonction simple 𝑥 lorsque 𝑥 tend vers 𝑎. En effectuant une substitution directe de 𝑥 égale 𝑎, nous voyons que la limite est simplement égale à 𝑎. Et on suppose également ici que 𝑎 est un nombre réel.

Nous ajoutons ensuite une puissance et nous prenons la limite de 𝑥 puissance 𝑛 lorsque 𝑥 tend vers 𝑎. Dans ce cas, 𝑛 est un nombre naturel, zéro inclus. Donc, zéro, un, deux, trois, etc. Avec le même argument de substitution directe, nous trouvons que cette limite est égale à 𝑎 puissance 𝑛. Et si nous ajoutions une constante devant 𝑥 puissance 𝑛? D’après la propriété de multiplication d’une limite par un réel, on peut déplacer la constante 𝑘 en dehors de la limite comme cela. On voit maintenant que la limite que l’on recherche est égale à la limite de la ligne précédente fois 𝑘. La réponse est donc 𝑘 fois 𝑎 puissance 𝑛, en utilisant à nouveau la substitution directe.

Nous allons maintenant étendre un peu cela en ajoutant deux nouveaux termes à la limite pour différentes valeurs de 𝑘 et 𝑛, où toutes les valeurs de 𝑘 et 𝑛 obéissent à ces mêmes règles. En utilisant la propriété d’addition des limites, on peut séparer la limite en trois limites individuelles comme ceci. Vous avez peut-être remarqué que ces deux premiers termes ont la même forme que la ligne précédente. On peut donc dire qu’ils sont respectivement égaux à 𝑘 un 𝑎 puissance 𝑛 un et à 𝑘 deux 𝑎 puissance 𝑛 deux. Bien sûr, le dernier terme n’est qu’une constante, comme on l’a vu au tout départ. La limite de cette constante est bien entendu 𝑘 trois.

Nous avons maintenant trouvé que la limite est égale à 𝑘 un 𝑎 puissance 𝑛 un plus 𝑘 deux 𝑎 puissance 𝑛 deux plus 𝑘 trois. Maintenant, si nous appelons la fonction que nous avons créée ici 𝑓 de 𝑥, nous pouvons voir que la limite que nous avons calculée est égale à la valeur de la fonction au point 𝑥 égale 𝑎, soit 𝑓 de 𝑎.

La dernière et cruciale étape consiste à reconnaître la forme de la fonction 𝑓 que nous avons créée. Comme 𝑘 est un nombre réel et 𝑛 est un nombre naturel incluant zéro, chacun de ces termes est un multiple réel de 𝑥 élevé à une puissance entière positive ou nulle. D’après la propriété d’addition des limites, on pourrait ajouter autant de termes qu’on le souhaite à la fonction. En parallèle, nous avons également couvert l’addition d’une constante réelle 𝑘. La fonction 𝑓 de 𝑥 peut donc être toute fonction polynomiale.

Enfin, nous avons prouvé que la limite de la fonction 𝑓 de 𝑥 lorsque 𝑥 tend vers 𝑎 est égale à 𝑓 de 𝑎. Comme 𝑓 de 𝑥 est polynomiale et 𝑎 est un nombre réel, nous venons de prouver qu’une fonction polynomiale est continue sur l’ensemble des nombres réels, car il s’agit bien de la condition de continuité.

Nous avons maintenant prouvé la continuité des fonctions polynomiales. Et cette démonstration peut être étendue ou modifiée pour s’appliquer aux autres fonctions précédemment citées. Lorsque nous avons indiqué que ces fonctions étaient continues, nous avons fait attention à préciser qu’elles étaient continues sur leur ensemble de définition et non pour l’ensemble des nombres réels. Il se trouve que l’ensemble de définition d’une fonction polynomiale est l’ensemble des nombres réels, mais ce n’est pas nécessairement le cas pour d’autres fonctions telles que les fonctions rationnelles. Étudions un exemple pour illustrer cela.

Déterminez l’ensemble sur lequel 𝑓 de 𝑥 égale 𝑥 moins 22 sur 𝑥 carré moins deux 𝑥 moins 63 est continue.

Pour cette question, nous avons une fonction rationnelle sous la forme 𝑃 de 𝑥 sur 𝑄 de 𝑥. Nous savons qu’une fonction rationnelle est continue sur son ensemble de définition. Et la question se réduit donc à trouver l’ensemble de définition la fonction 𝑓 de 𝑥. En résumé, nous souhaitons trouver les valeurs de 𝑥 pour lesquelles la fonction n’est pas définie ou tend vers l’infini positif ou négatif. En regardant la forme de la fonction, on voit que cela se produit lorsque le dénominateur du quotient 𝑄 de 𝑥 est nul.

On peut donc commencer par factoriser 𝑄 de 𝑥. Avec un peu d’observation, on peut voir que cette fonction du second degré se factorise par 𝑥 moins neuf fois 𝑥 plus sept car la somme de ces deux nombres est moins deux et leur produit est moins 63. On en déduit que de égale zéro lorsque 𝑥 égale neuf ou 𝑥 égale moins sept. En plaçant cette version factorisée de 𝑄 de 𝑥 dans la fonction, nous pouvons alors conclure que 𝑥 égale neuf et 𝑥 égale moins sept ne font pas partie de l’ensemble de définition de la fonction. Le dénominateur du quotient serait en effet nul pour ces valeurs. Et 𝑓 de 𝑥 ne serait donc pas définie.

Comme 𝑓 de 𝑥 est définie pour toutes les autres valeurs réelles de 𝑥, nous pouvons donner la conclusion suivante. L’ensemble de définition de la fonction 𝑓 est l’ensemble des nombres réels moins l’ensemble neuf, moins sept. Et 𝑓 est donc continue sur les nombres réels moins l’ensemble neuf, moins sept. Nous avons ainsi répondu à la question.

Pour développer sur la question précédente, vous vous souvenez peut-être que lorsqu’un facteur commun peut être annulé au numérateur et au numérateur d’un quotient, pour une fonction rationnelle par exemple, cela correspond à un point prolongeable par continuité sur sa représentation graphique. Dans ce cas, comme la fonction n’est pas définie en 𝑥 égale 𝑎, elle ne répond visiblement pas aux critères de continuité. Dans le cas où les facteurs communs ne peuvent pas être annulés au numérateur et au dénominateur du quotient, nous devons nous attendre à observer des asymptotes où les valeurs de 𝑓 de 𝑥 tendent vers plus ou moins l’infini.

Pour ces asymptotes, même si les limites à gauche et à droite sont égales comme dans ce cas, écrire que la limite de 𝑓 de 𝑥 est égale à l’infini lorsque 𝑥 tend vers 𝑎 n’est qu’un raccourci pour dire que la limite n’existe pas. Et la limite n’existe en fait à aucune de ces asymptotes. Comme il existe des points où la limite n’existe pas, les conditions de continuité ne sont à nouveau pas remplies. Et 𝑓 de 𝑥 est discontinue en ces points.

Maintenant, certaines fonctions sont définies par morceaux et se comportent différemment selon les intervalles. Les mêmes règles de continuité s’appliquent sur les intervalles de la fonction définie par morceaux, mais nous devons être prudents lorsque nous étudions la frontière entre les intervalles. Pour que la continuité soit maintenue sur la frontière, les extrémités des deux sections, ou sous-fonctions, doivent se rejoindre. Illustrons cela par un exemple.

On suppose que 𝑓 de 𝑥 est égale à cinq sinus de 𝑥 moins trois sur 𝑥 moins trois si est inférieur à trois et cinq 𝑥 carré sur neuf si 𝑥 est supérieur ou égal à trois. Déterminez l’ensemble sur lequel 𝑓 est continue.

Nous avons ici une fonction définie par morceaux sur deux intervalles. La frontière entre les deux intervalles se situe au point 𝑥 égale trois. Nous devons donc étudier ce point avec attention. Pour la première sous-fonction, nous avons une expression trigonométrique au numérateur du quotient et un binôme au dénominateur. Comme nous savons que les fonctions trigonométriques et polynomiales sont continues sur leurs ensembles de définition et que les quotients de fonctions continues sont également continus sur leurs ensembles de définition, nous concluons que cette sous-fonction est continue sur son ensemble de définition.

Nous devons cependant faire preuve de prudence car quand 𝑥 égale trois, cette sous-fonction est égale à zéro sur zéro, ce qui est une forme indéterminée. Heureusement pour nous, 𝑓 n’est définie par cette sous-fonction que pour des valeurs de 𝑥 strictement inférieures à trois, et non lorsque 𝑥 égale trois. Lorsque 𝑥 est en effet supérieur ou égal à trois, 𝑓 de 𝑥 est définie par cinq 𝑥 carré sur neuf.

Il convient de noter à nouveau que ce monôme est défini sur tout son ensemble de définition et que son ensemble de définition est tous les nombres réels. Cela signifie que l’ensemble de définition de la fonction 𝑓 de 𝑥 est l’ensemble des nombres réels. Mais nous devons faire attention à ne pas conclure trop hâtivement que 𝑓 est continue sur tous les nombres réels. Nous devons pour cela vérifier les conditions de continuité à la frontière entre les sous-fonctions, c’est-à-dire lorsque 𝑥 égale trois.

Commençons par calculer 𝑓 de trois en substituant 3 dans cinq 𝑥 carré sur neuf. Cette valeur est facile à calculer. Et nous obtenons une valeur de cinq. Nous devons en suite vérifier que la limite quand tend vers 3 existe et qu’elle est aussi égale à cinq. Si ce n’est pas le cas, alors la fonction présentera une discontinuité en 𝑥 égale trois. Et elle ne sera donc pas continue.

On rappelle d’abord que la fonction est définie par deux sous-fonctions différentes de chaque côté de 𝑥 égale trois. Pour trouver la limite à gauche, ou lorsque 𝑥 approche depuis les nombres négatifs, on utilise la première sous-fonction. On a déjà montré qu’une substitution directe de 𝑥 égale trois conduit à une forme indéterminée de zéro sur zéro, on doit donc utiliser une approche différente. On rappelle plutôt la formule selon laquelle la limite de sin 𝑥 sur 𝑥 lorsque 𝑥 tend vers zéro est égale à un.

L’expression n’est pas encore sous cette forme. On effectue donc plusieurs manipulations en sortant le facteur cinq de la limite d’après la propriété de la multiplication d’une limite par un réel. On réalise ensuite un changement de variable. En définissant 𝑢 égale 𝑥 moins trois, on obtient ce qui suit. La limite devient sin 𝑢 sur 𝑢. On ne doit cependant pas oublier de modifier la valeur limite elle-même. 𝑢 plus trois égale 𝑥. Par conséquent, 𝑢 plus trois tend vers trois à droite ou 𝑢 tend vers zéro à droite.

En regardant la formule, on sait que si la limite normale existe et est égale à un, alors les limites à gauche et à droite existent aussi et sont égales à un. On peut maintenant utiliser cette formule pour calculer que cette limite est égale à un. Par conséquent, la limite à gauche de 𝑓 de 𝑥 lorsque 𝑥 tend vers trois est égale à cinq fois un, ce qui est bien sûr cinq. La limite à droite est beaucoup plus facile à calculer. Comme 𝑥 tend vers trois depuis la droite, on calcule la limite en utilisant l’autre sous-fonction. Par simple substitution directe, on trouve que cette limite est égale à cinq.

Comme les limites à gauche et à droite existent et ont la même valeur, nous pouvons donc conclure que la limite de 𝑓 de 𝑥 lorsque 𝑥 tend vers trois est égale à cinq. Et rappelez-vous que nous avons également montré que 𝑓 de trois égale cinq. Comme la limite de 𝑓 de 𝑥 lorsque 𝑥 tend vers trois est égale à 𝑓 de trois, nous concluons que 𝑓 de 𝑥 est continue en 𝑥 égale trois.

Si vous essayez de visualiser ce résultat, cela signifie que les deux extrémités des sous-fonctions se rejoignent. Rappelons que nous avions montré plus tôt que 𝑓 de 𝑥 était continue sur l’ensemble des nombres réels sauf trois, que nous devions vérifier. Et maintenant que nous l’avons vérifié en égale trois, nous pouvons dire que la fonction 𝑓 de 𝑥 est continue sur tous les nombres réels. Et c’est la réponse à la question.

Pour conclure, passons en revue quelques points clés. Une fonction est continue sur un intervalle si elle est continue sur tous les points de cet intervalle. Une fonction 𝑓 est continue en un point 𝑥 égale 𝑎 si la limite de 𝑓 de 𝑥 lorsque 𝑥 tend vers 𝑎 est égale à 𝑓 de 𝑎. Remarquons que cela implique d’une part que cette limite existe et d’autre part, que la fonction est définie lorsque 𝑥 est égal à 𝑎.

Les fonctions polynomiales, rationnelles, trigonométriques et exponentielles sont continues sur leurs ensembles de définition. Et nous notons ici qu’il ne s’agit pas nécessairement tous les nombres réels. En outre, les sommes, les différences, les produits, les quotients et les compositions de fonctions continues sont également continus aux points où les fonctions obtenues sont définies.

Les points de discontinuités d’une fonction peuvent souvent être déterminés en recherchant les valeurs de x qui aboutissent à une division par zéro. Il peut s’agir de fonctions prolongeables par continuité ou dont une des limites unilatérales n’existe pas. Nous devons vérifier les frontières entre les intervalles des fonctions définies par morceaux pour nous assurer que les extrémités des sous-fonctions se rejoignent. Si les limites à gauche et à droite ne sont pas égales en ces points, alors la fonction présente un saut de discontinuité. Si les limites à gauche et à droite sont égales et si elles sont aussi égales à la valeur de la fonction en ce point alors la continuité est maintenue.