Vidéo : Continuité d’une fonction

Dans cette vidéo, nous allons apprendre comment vérifier la continuité d’une fonction sur son ensemble de définition, et à déterminer l’intervalle sur lequel elle est continue.

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Continuité d’une fonction

Dans cette vidéo, nous allons apprendre comment vérifier la continuité d’une fonction sur son ensemble de définition, et à déterminer l’intervalle sur lequel elle est continue.

Maintenant, vous êtes déjà familiers avec la continuité d’une fonction en un point et, en fait, les différents types de discontinuité que nous rencontrons. Nous pouvons vérifier si une fonction est continue en un point en utilisant la définition formelle suivante. Une fonction 𝑓 de 𝑥 est continue en le point où 𝑥 est égal à 𝑎 si la limite, lorsque 𝑥 tend vers 𝑎 de 𝑓 de 𝑥, est égale à la fonction évaluée en 𝑥 égale 𝑎.

Maintenant, l’exigence tellement implicite à cette condition est que ces deux éléments doivent exister. Pour que les limites normales existent, les limites gauche et droite doivent aussi exister lorsque 𝑥 tend vers 𝑎, et doivent égaler une certaine valeur 𝐿. Parallèlement à cela, il faut que 𝑓 de 𝑎 soit définie et soit égale à la limite gauche, droite et normale pour la continuité. Ici, nous avons dit que cette valeur est 𝐿.

Maintenant, pensons à la continuité sur un intervalle. La définition familière de ceci peut être, si vous êtes capable de dessiner le graphique de la fonction sur l’intervalle sans lever votre stylo. Une façon plus rigoureuse de penser à cela serait de dire que la fonction 𝑓 de 𝑥 est continue sur un intervalle si la condition de continuité en un point est valable pour toutes les valeurs de 𝑥 comprises dans l’intervalle. Cela peut sembler évident, mais un moyen de vérifier la continuité sur un intervalle consiste à s’assurer qu’il n’y a aucune discontinuité dans ledit intervalle. Nous allons voir quelques exemples de représentations graphiques pour en comprendre visuellement le sens.

Déterminez si l’affirmation suivante est vraie ou fausse. La fonction représentée par le graphique est une fonction continue.

Pour cette question, on nous donne une fonction 𝑔 de 𝑥, qui est définie pour toutes les valeurs de 𝑥 sur l’ensemble des nombres réels, indiqués par ces flèches. Maintenant, nous pouvons presque immédiatement voir que notre fonction 𝑔 de 𝑥 est discontinue, puisqu’en une valeur de 𝑥 égale trois, nous avons sur notre graphique un espace vide. En fait, nous pouvons reconnaître cela comme une discontinuité de saut, 𝑔 de 𝑥 n’étant pas définie au point trois, deux, désigné par le point creux, et définie au point trois, un, désigné par le point rempli.

Si nous examinions les limites à gauche et à droite, lorsque 𝑥 tend vers trois, nous constaterions que, même si les deux existent, leurs valeurs diffèrent. Et cela signifierait que la limite normale n’existe pas. Nous rappelons ici notre définition de la continuité en un point, qui énonce que la limite, lorsque 𝑥 tend vers 𝑎, de ladite fonction doit être égale à la valeur de la fonction évaluée où 𝑥 égale 𝑎. Or, dans notre cas, la limite, lorsque 𝑥 tend vers trois de 𝑔 de 𝑥, n’égale pas 𝑔 de trois, car la limite n’existe pas.

Nous avons donc prouvé que la fonction 𝑔 de 𝑥 a une discontinuité en 𝑥 égale trois. Notre réponse à la question est donc, l’affirmation est fausse. La fonction représentée par le graphique n’est pas une fonction continue. Enfin, notons que notre fonction peut avoir une discontinuité même si elle est définie sur tous les nombres réels. Voyons maintenant un autre exemple graphique permettant de déterminer si une fonction est continue ou non.

Déterminez si la fonction représentée par le graphique est continue ou discontinue.

Pour cette question, on nous donne la fonction 𝑓 de 𝑥, qui est définie lorsque 𝑥 est supérieur ou égal à zéro, ou inférieur ou égal à trois. Les points intéressants de cette fonction se produisent lorsque 𝑥 égale un et lorsque 𝑥 égale deux. Ici, nous voyons un changement brusque de gradient. Et nous pouvons reconnaître que cela signifie que notre fonction ne serait pas dérivable en ces points.

Aux fins de la continuité, toutefois, cela n’est pas nécessairement inquiétant. En prenant par exemple le point où 𝑥 égale un, nous voyons que les limites gauche et droite tendent toutes deux vers la même valeur. Et ce sera où 𝑓 de 𝑥 égale un. Il en résulte que la limite normale, lorsque 𝑥 tend vers un, prendra la même valeur. Et il est également clair que 𝑓 de un égale aussi un.

En fait, ces deux forment ensemble la condition de la continuité. Puisque nous avons que la limite normale, lorsque 𝑥 tend vers un de 𝑓 de 𝑥 égale 𝑓 de un. La même logique suivrait pour le point où 𝑥 égale deux et, en fait, pour tous les autres points de l’ensemble de définition de notre fonction. Cela nous met en mesure de répondre à notre question. Nous concluons que 𝑓 de 𝑥 est une fonction continue.

Dans les deux questions précédentes, nous avons vu des exemples graphiques de fonctions continues et de fonctions discontinues. Dans notre exemple, nous avons vu une fonction avec une discontinuité de saut. Toutefois, les fonctions représentant une autre discontinuité, telle que la discontinuité apparente ou infinie, ne seraient pas non plus classées comme fonctions continues. Inversement, il existe de nombreux types de fonctions continues. Et nous allons voir quelques exemples sur comment les évaluer algébriquement.

Les fonctions suivantes sont toutes continues sur tout leur ensemble de définition, fonctions polynômes, fonctions rationnelles, fonctions trigonométriques et fonctions exponentielles. Une distinction importante ici est que nous disons que ces fonctions sont continues sur tout leur ensemble de définition et non pour toutes les valeurs de 𝑥 sur l’ensemble des nombres réels. Nous reviendrons sur ce point plus tard. Mais avant cela, voici un autre fait important.

Les sommes, les différences, les produits, les quotients et les compositions de fonctions continues sont également continus pour tous les points où 𝑥 est correctement défini. Encore une fois, ceux-ci sont sur l’ensemble de définition de nos fonctions nouvellement créées. Maintenant, la preuve de la continuité pour tous ces types de fonctions sort du cadre de cette vidéo, mais nous pouvons en citer un exemple en utilisant une fonction polynôme et la question suivante.

Que peut-on dire de la continuité de la fonction 𝑥 au cube plus cinq 𝑥 au carré moins deux 𝑥 plus deux ?

Étant donné la règle générale selon laquelle une fonction polynôme est continue sur son ensemble de définition, et que l’ensemble de définition de de notre fonction est l’ensemble de tous les nombres réels, nous pouvons presque immédiatement donner la réponse suivante. La fonction est continue sur ℝ, l’ensemble des nombres réels, car c’est une fonction polynôme. C’est en fait la réponse rapide à notre question. Mais au lieu de nous arrêter ici, explorons une preuve réduite de la raison pour laquelle c’est le cas.

Le bloc de construction avec lequel nous allons commencer est la limite, lorsque 𝑥 tend vers 𝑎, d’une certaine constante 𝑘. Clairement, la valeur de 𝑥 n’a aucune importance pour notre constante 𝑘. Et donc, la réponse à cette limite est juste 𝑘. Ici, nous dirons que 𝑘 est un nombre réel. Ensuite, nous passons au cas de la limite, lorsque 𝑥 tend vers 𝑎, la fonction qui est juste 𝑥. En adoptant une approche de substitution directe de 𝑥 égale 𝑎, nous voyons que, ici, la réponse à notre limite est simplement 𝑎. Et nous devrions également préciser ici que 𝑎 est aussi l’un des nombres réels.

Ensuite, nous ajoutons une puissance et nous prenons la limite lorsque 𝑥 tend vers 𝑎 de 𝑥 élevé à une certaine puissance 𝑛. Dans ce cas, 𝑛 est l’un des nombres naturels, y compris zéro. Donc, zéro, un, deux, trois, etc. Avec le même argument de substitution directe, nous trouvons que cette limite est égale à 𝑎 à la puissance 𝑛. Et si on ajoutait une constante 𝑘 devant notre 𝑥 à la puissance 𝑛 ? La règle du multiple constant nous permet de déplacer notre constante 𝑘 hors de nos limites de la manière suivante. Nous voyons maintenant que la limite que nous recherchons est la même que celle dans la ligne précédente fois 𝑘. Et donc, notre réponse est 𝑘 fois 𝑎 à la puissance 𝑛, toujours avec l’approche de substitution directe.

Bon, ensuite, nous allons développer un peu en ajoutant deux nouveaux termes à notre limite et en différenciant les différentes valeurs de 𝑘 et 𝑛, où toutes les valeurs de 𝑘 et 𝑛 suivent ces mêmes règles. Maintenant, en utilisant les lois d’addition des limites, nous pouvons diviser notre limite en trois limites individuelles comme suit. Vous remarquerez peut-être que ces deux premiers termes ont la même forme que la ligne précédente de calcul que nous venons de compléter. On peut donc dire qu’ils sont respectivement 𝑘 un fois 𝑎 à la puissance 𝑛 un, et 𝑘 deux fois 𝑎 à la puissance 𝑛 deux. Bien entendu, notre dernier terme n’est qu’une constante, ce que nous avons vu dans notre premier exemple. La limite de cette constante est bien sûr 𝑘 trois.

Nous avons maintenant trouvé que notre limite est 𝑘 un fois 𝑎 à la puissance 𝑛 un plus 𝑘 deux fois 𝑎 à la puissance 𝑛 deux plus 𝑘 trois. Maintenant, si nous appelons la fonction que nous avons créée ici 𝑓 de 𝑥, nous devrions pouvoir voir que la limite que nous avons trouvée est égale à notre fonction évaluée en le point où 𝑥 est égal à 𝑎, autrement dit, 𝑓 de 𝑎.

Notre dernière étape cruciale consiste à reconnaître la forme de la fonction 𝑓 de 𝑥 que nous avons créée. Puisque 𝑘 est un nombre réel et que 𝑛 est un nombre naturel y compris zéro, chacun de ces termes nous donne un multiple réel de 𝑥 élevé à la puissance d’un entier relatif quelconque ou de zéro. Selon la loi d’addition des limites, nous pourrions ajouter à notre fonction autant que nous voulons de ces termes. Parallèlement à cela, nous avons couvert l’addition d’une constante réelle standard 𝑘. Notre fonction 𝑓 de 𝑥 représente donc tout polynôme que nous souhaitons construire.

Enfin, nous avons prouvé que la limite, lorsque 𝑥 tend vers 𝑎, pour notre fonction 𝑓 de 𝑥 est égale à 𝑓 de 𝑎. Puisque 𝑓 de 𝑥 est une fonction polynôme et que 𝑎 est un nombre réel, nous venons de prouver qu’une fonction polynôme est continue pour tout l’ensemble des nombres réels, puisqu’il s’agit bien de la condition de continuité.

Nous avons maintenant prouvé notre condition de continuité pour les fonctions polynômes. Et cette preuve peut être étendue ou modifiée pour couvrir les autres fonctions mentionnées précédemment. Maintenant, lorsque nous avons classé ces fonctions comme étant continues, nous avons veillé à bien distinguer qu’elles sont continues sur leurs ensembles de définition, et non sur l’ensemble des nombres réels. En l’occurrence, l’ensemble de définition d’une fonction polynôme est constitué par les nombres réels, mais ce n’est pas nécessairement le cas pour d’autres fonctions telles que les fonctions rationnelles. Voyons un exemple de ce type pour illustrer cela.

Trouvez l’ensemble sur lequel 𝑓 de 𝑥 qui est égale à 𝑥 moins 22 le tout sur 𝑥 au carré moins deux 𝑥 moins 63 est continue.

Pour cette question, nous avons une fonction rationnelle sous la forme de 𝑃 de 𝑥 sur 𝑄 de 𝑥. Nous savons maintenant qu’une fonction rationnelle est continue sur son ensemble de définition. Et par conséquent, notre question se réduit à trouver l’ensemble de définition de notre fonction 𝑓 de 𝑥. Essentiellement, nous voulons trouver les valeurs de 𝑥 qui rendraient notre fonction indéfinie ou qui la pousseraient à tendre vers l’infini positif ou négatif. En regardant la forme de notre fonction, nous voyons que ces points problématiques surviendront lorsque le dénominateur de notre quotient, 𝑄 de 𝑥, sera égal à zéro.

Nous pouvons commencer par poser notre question en factorisant 𝑄 de 𝑥. En examinant un peu, nous voyons que cette expression du second degré est factorisée en 𝑥 moins neuf fois 𝑥 plus sept puisque ces deux nombres ont une somme de moins deux et un produit de moins 63. D’après le théorème du facteur, nous pouvons alors voir que lorsque 𝑥 est neuf ou lorsque 𝑥 est moins sept, 𝑄 de 𝑥 sera égale à zéro. En replaçant cette version factorisée de 𝑄 de 𝑥 dans notre fonction, nous pouvons alors conclure que 𝑥 égale neuf et 𝑥 égale moins sept n’appartiennent pas à l’ensemble de définition de notre fonction. En effet, en ces valeurs, le dénominateur de notre quotient serait zéro. Et, par conséquent, 𝑓 de 𝑥 ne nous donnerait pas une évaluation numérique.

Puisque 𝑓 de 𝑥 se comporte à toutes les autres valeurs réelles de 𝑥, on peut dire ce qui suit. L’ensemble de définition de notre fonction 𝑓 de 𝑥 est l’ensemble des nombres réels moins l’ensemble de neuf et moins sept. Et ainsi, 𝑓 de 𝑥 est continue sur l’ensemble des nombres réels moins l’ensemble de neuf et moins sept. Et ici, nous avons répondu à notre question.

Pour approfondir notre question précédente, vous pouvez vous rappelez que lorsqu’un facteur commun peut être annulé aux moitiés supérieure et inférieure d’un quotient, tel que celui formant une fonction rationnelle, cela correspondrait à une singularité apparente sur notre représentation graphique. Dans ce cas, étant donné que la fonction est indéfinie où 𝑥 égale 𝑎, évidemment nous ne pouvons pas répondre aux critères de continuité. Dans les cas où les facteurs communs ne peuvent pas être annulés aux moitiés supérieure et inférieure de nos quotients, nous nous attendrions à voir des asymptotes où les valeurs de 𝑓 de 𝑥 tendront vers l’infini positif ou négatif.

À ces asymptotes, même si les limites à gauche et à droite devaient concorder, comme dans le cas présent, bien que nous puissions exprimer que la limite, lorsque 𝑥 tend vers 𝑎 de 𝑓 de 𝑥, égale l’infini, ceci une manière particulière de dire que la limite n’existe pas. Et, en fait, la limite n’existe en aucune de ces asymptotes. Maintenant, comme nous avons des points où notre limite n’existe pas, encore une fois, nous ne pouvons pas répondre aux critères de continuité. Et en ces points, 𝑓 de 𝑥 serait discontinue.

En avançant, certaines fonctions peuvent être définies par morceaux et se comportent différemment sur les intervalles. Les mêmes règles de continuité s’appliquent sur les intervalles de notre fonction définie par morceaux, mais nous devons être prudents lorsque nous examinons la borne entre les intervalles. Afin de maintenir la continuité sur la limite, les extrémités des deux sections, ou sous-fonctions, doivent se rejoindre. Ceci est mieux illustré à l’aide d’un exemple.

Supposez que 𝑓 de 𝑥 est égale à cinq sin de 𝑥 moins trois sur 𝑥 moins trois si 𝑥 est strictement inférieur à trois et cinq 𝑥 au carré sur neuf si 𝑥 est strictement supérieur ou égal à trois. Trouvez l’ensemble sur lequel 𝑓 est continue.

Ici, nous avons une fonction définie par morceaux sur deux intervalles. La borne de nos deux intervalles se situe au point où 𝑥 égale trois. Et par conséquent, c’est un point important. Pour notre première sous-fonction, nous avons une expression trigonométrique à la moitié supérieure de notre quotient et un binôme à la moitié inférieure. Puisque nous savons que les fonctions trigonométriques et les fonctions polynômes sont continues sur leurs ensembles de définition, et que les quotients des fonctions continues sont également continus sur leurs ensembles de définition, nous concluons donc que cette sous-fonction est également continue sur son ensemble de définition.

Maintenant, ici, il faut être prudent puisqu’aux valeurs où 𝑥 égale trois, cette sous-fonction égale zéro sur zéro, ce qui est une forme indéterminée. Heureusement pour nous, 𝑓 de 𝑥 n’est définie que par cette sous-fonction aux valeurs de 𝑥 qui sont strictement inférieures à trois, et non pas où 𝑥 égale trois. Au lieu de cela, lorsque 𝑥 est supérieur ou égal à trois, 𝑓 de 𝑥 est définie par cinq 𝑥 au carré sur neuf.

Encore une fois, il convient de noter que ce monôme est défini sur et a comme ensemble de définition l’ensemble de tous les nombres réels. Cela signifie que l’ensemble de définition de notre fonction 𝑓 de 𝑥 est l’ensemble de tous les nombres réels. Mais il faut faire attention à ne pas conclure hâtivement que 𝑓 de 𝑥 est également continue sur l’ensemble de tous les nombres réels. Au lieu de cela, nous devons toujours vérifier les critères de continuité à la borne entre nos sous-fonctions, ou lorsque 𝑥 égale trois.

Premièrement, déterminons 𝑓 de trois en substituant avec cinq 𝑥 au carré sur neuf. Cette valeur est facile à calculer. Et nous obtenons une réponse de cinq. Ensuite, nous devons vérifier que notre limite normale existe et est égale à cinq. Si ce n’est pas le cas, nous aurons une discontinuité en 𝑥 égale trois. Et par conséquent, notre fonction ne sera pas continue en ce point.

Pour avancer, nous reconnaissons d’abord que, de chaque côté de 𝑥 égale trois, notre fonction est définie par deux sous-fonctions différentes. Pour trouver notre limite gauche, ou lorsque 𝑥 tend vers le sens négatif, nous utilisons notre première sous-fonction. Nous avons déjà montré qu’une substitution directe de 𝑥 égal à trois nous mène à une forme indéterminée de zéro sur zéro, et nous devons donc utiliser une approche différente. Au lieu de cela, nous utilisons la règle selon laquelle la limite lorsque 𝑥 tend vers zéro de sin 𝑥 sur 𝑥 est égale à un.

Notre expression n’est pas sous cette forme. Ainsi, nous effectuons d’abord certaines manipulations en prenant un facteur de cinq en dehors de notre limite en utilisant la règle du multiple constant. Ensuite, nous effectuons une substitution de 𝑢. En définissant 𝑢 comme 𝑥 moins trois, nous obtenons ce qui suit. Notre limite devient sin 𝑢 sur 𝑢. Cependant, nous ne devons pas oublier de modifier la valeur de la limite elle-même. 𝑢 plus trois égale 𝑥. Par conséquent, 𝑢 plus trois tend vers trois dans le sens négatif, ou 𝑢 tend vers zéro dans le sens négatif.

En regardant notre règle, nous savons que si la limite normale existe et est égale à un, alors les limites gauche et droite existent également et sont égales à un. Nous pouvons maintenant utiliser notre règle pour déterminer que cette limite est égale à un. Par conséquent, la limite du côté gauche lorsque 𝑥 tend vers trois de 𝑓 de 𝑥 est égale à cinq fois un, ce qui est bien sûr cinq. Maintenant, notre limite droite est beaucoup plus facile à évaluer. Pour cela, puisque nous approchons 𝑥 égale trois de la droite, nous prenons la limite en utilisant notre autre sous-fonction. Simplement, par substitution directe, nous trouvons que cette limite est égale à cinq.

Puisque les limites gauche et droite existent et égalent la même valeur, nous pouvons donc conclure que la limite lorsque 𝑥 tend vers trois de 𝑓 de 𝑥 égale aussi cinq. Et toute à l’heure, rappelez-vous que nous avons trouvé que 𝑓 de trois égale aussi cinq. Puisque la limite lorsque 𝑥 tend vers trois de 𝑓 de 𝑥 égale 𝑓 de trois, nous concluons que 𝑓 de 𝑥 est continue lorsque 𝑥 égale trois.

Si vous y réfléchissiez visuellement, cela signifierait que les deux extrémités de nos sous-fonctions se rejoindraient. Rappelons-nous que, précédemment, nous avions conclu que 𝑓 de 𝑥 était continue sur l’ensemble de tous les nombres réels sauf trois, que nous devions vérifier. Et maintenant que nous avons vérifié le trois, nous sommes en mesure de dire que notre fonction 𝑓 de 𝑥 est continue sur l’ensemble de tous les nombres réels. Et c’est la réponse à notre question.

Pour conclure, reprenons quelques points clés. Une fonction est continue sur un intervalle si elle est continue sur tous les points dans cet intervalle. Une fonction, que nous appellerons 𝑓 de 𝑥, est continue en un point, disons où 𝑥 égale 𝑎, si la limite lorsque 𝑥 tend vers 𝑎 de 𝑓 de 𝑥 est égale à 𝑓 de 𝑎. Nous notons ici l’implication, d’une part, que cette limite existe et, d’autre part, que la fonction est définie lorsque 𝑥 égale 𝑎.

Les fonctions polynomiales, rationnelles, trigonométriques et exponentielles sont continues sur leurs ensembles de définition. Et ici, nous notons qu’il ne s’agit pas nécessairement des nombres réels. De plus, les sommes, les différences, les produits, les quotients et les compositions des fonctions continues sont également continus aux points où 𝑥 est correctement définie.

Les discontinuités d’une fonction peuvent souvent être trouvées en recherchant des valeurs de 𝑥 qui résultent en une division par zéro. Et celles-ci peuvent être des discontinuités apparentes ou essentielles. La borne entre les intervalles des fonctions définies par morceaux doit être vérifiée pour s’assurer que les extrémités des sous-fonctions se rejoignent. Si les limites gauche et droite ne concordent pas à ces points, alors le résultat sera une discontinuité de saut. Si les limites gauche et droite concordent, et si elles égalent toutes les deux la fonction évaluée en ce point, alors la continuité sera alors maintenue.

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