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Fiche explicative de la leçon: Continuité des fonctions Mathématiques

Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre à vérifier la continuité d’une fonction sur son ensemble de définition et à déterminer l’intervalle sur lequel elle est continue.

Commençons par rappeler ce que cela signifie pour une fonction d’être continue en un point.

Définition : Continuité d’une fonction en un point

Soit 𝑎. On dit qu’une fonction à valeur réelle 𝑓(𝑥) est continue en 𝑥=𝑎 si lim𝑓(𝑥)=𝑓(𝑎).

Cette définition nécessite que la fonction remplisse les trois conditions suivantes:

  1. 𝑓(𝑎) est défini;
  2. lim𝑓(𝑥) existe;
  3. 𝑓(𝑎)=𝑓(𝑥)lim.

Chacune des conditions énumérées ci-dessus a des implications géométriques sur la courbe représentative de la fonction. La compréhension de ces implications nous aidera à comprendre ce que cela signifie pour une fonction d’être continue sur un intervalle.

La première condition de continuité en 𝑥=𝑎 indique que 𝑓(𝑎) doit être défini. Cette condition peut être vue comme une condition d’absence de trou. Nous pouvons mieux comprendre cette condition en considérant le cas contraire, où 𝑓(𝑎) n’est pas défini. Cela signifie que 𝑎 n’est pas dans l’ensemble de définition de la fonction, ce qui signifie que la courbe de cette fonction ne coupera pas la droite verticale d’équation 𝑥=𝑎. De manière générale, on représente une telle courbe avec un cercle vide en 𝑥=𝑎.

Par exemple, considérons la fonction définie par 𝑓(𝑥)=𝑥+1 sur l’ensemble {1}. La courbe représentative de 𝑦=𝑥+1 est une ligne droite, mais on peut voir que l’ensemble de définition de cette fonction exclut 𝑥=1. Ce fait peut être indiqué en plaçant un cercle ouvert sur la droite en 𝑥=1, comme on le voit ci-dessous.

Si l’on considère la même fonction sur l’ensemble de définition , la courbe n’aura pas de cercle vide. Par conséquent, cette condition est souvent appelée condition d’absence de trou.

La deuxième condition de continuité dit que la limite de 𝑓(𝑥) en 𝑥=𝑎 existe, ce qui peut être considéré comme une condition d’absence de saut (et de non-oscillation). Rappelons que la limite d’une fonction n’existe pas si:

  • la limite en ce point est non bornée;
  • les limites unilatérales du point ne sont pas égales;ou
  • la fonction oscille en ce point.

Le dernier cas est un cas spécial qui n’apparaît pas souvent dans les exemples, et nous pouvons voir ce comportement sur la courbe de fonction suivante.

Nous pouvons voir que lorsque 𝑥 tend vers 0, l’ordonnée 𝑦 des points sur la courbe oscille entre 1 et 1 de plus en plus rapidement. Étant donné que cette valeur ne s’approche pas d’une valeur spécifique, la limite de cette fonction lorsque 𝑥 tend vers 0 n’existe pas.

Outre le dernier scénario, les deux premiers cas signifient qu’il y aura un saut dans la courbe de la fonction entre le côté gauche et le côté droit de 𝑥=𝑎. Par exemple, on peut considérer la fonction 𝑔(𝑥)=1𝑥<0,1𝑥0.sisi

On sait que la limite de cette fonction en 𝑥=0 n’existe pas car les limites unilatérales ne sont pas égales. Par conséquent, il y a un saut dans la courbe de la fonction en 𝑥=0. Si la limite d’une fonction existe en un point, la courbe n’aura ni saut ni oscillation en ce point. Par conséquent, cette condition est appelée condition d’absence de saut (et de non-oscillation).

La troisième condition de continuité stipule que la limite de la fonction en 𝑥=𝑎 doit être égale à la valeur de la fonction en 𝑥=𝑎. Cette condition correspond également à la condition d’absence de trou. On rappelle que la limite d’une fonction en 𝑥=𝑎 décrit le comportement de la fonction à proximité de 𝑥=𝑎, mais pas en 𝑎. Par conséquent, cette condition nous indique que, à mesure que nous nous rapprochons de 𝑥=𝑎, la valeur de la fonction tend vers l’ordonnée 𝑦 du point sur le graphique en 𝑥=𝑎. Considérons le cas contraire lorsque cette condition n’est pas remplie. Voici la courbe représentative de la fonction (𝑥)=𝑥+1𝑥1,1𝑥=1.sisi

D’après la courbe donnée, nous pouvons voir que la limite de (𝑥) en 𝑥=1 vaut 2. En revanche, la valeur de (1) est donnée par l’ordonnée 𝑦 du cercle plein, qui est égale à 1. Puisque 21, la limite de 𝑓(𝑥) en 𝑥=1 n’est pas égale à (1) pour cette fonction. Par conséquent, nous voyons qu’il y a un trou, un cercle vide, sur la courbe représentative de (𝑥) en 𝑥=1. La différence avec la courbe représentative de 𝑓(𝑥) plus haut est que la courbe représentative de (𝑥) comporte un cercle plein en (1;1). Les deux courbes représentatives ont un cercle vide, ou trou, en (1;2).

Voyons le cas où les trois conditions sont remplies, ce qui conduit à une fonction qui est continue en 𝑥=𝑎. Considérons la courbe représentative de la fonction 𝑗(𝑥)=𝑥+1𝑥1,2𝑥=1.sisi

En 𝑥=1, on peut voir que 𝑗(1) est définie, et la limite de cette fonction en 𝑥=1 existe. On peut voir sur le graphique que lim𝑗(𝑥)=2,𝑗(1)=2.

Cela nous indique que la troisième condition de continuité en 𝑥=1 est remplie. Ainsi, cette fonction est continue en 𝑥=1. Par conséquent, il n’y a ni trou, ni saut, ni oscillation dans la courbe représentative de cette fonction en 𝑥=1.

Définissons maintenant la continuité d’une fonction sur un intervalle.

Définition : Continuité d’une fonction sur un intervalle ou un ensemble

On dit qu’une fonction est continue sur un intervalle (ou un ensemble) si elle est continue en chaque point de l’intervalle (ou de l’ensemble).

Que nous indique la continuité sur un intervalle sur la courbe représentative de la fonction?Si une fonction est continue sur un intervalle, elle est continue en chaque point de l’intervalle. Cela nous indique que la courbe représentative de cette fonction ne peut avoir aucun trou ou saut sur cet intervalle. En d’autres termes, la courbe représentative de cette fonction est une courbe liée. En d’autres termes, cela signifie que nous pouvons tracer la courbe représentative d’une fonction continue sans lever notre crayon du papier.

Dans notre premier exemple, nous déterminerons si une fonction est continue sur un intervalle en utilisant sa courbe représentative.

Exemple 1: Identifier graphiquement les fonctions continues et discontinues

Déterminez si la fonction représentée sur le graphique est continue ou discontinue sur l’intervalle [0,3].

Réponse

Dans cet exemple, nous avons besoin de déterminer si une fonction est continue sur un intervalle à l’aide du graphique donné. Nous montrerons comment déterminer la continuité d’une fonction, d’abord, en utilisant l’heuristique et, ensuite, les définitions.

Méthode 1

Nous savons qu’une fonction est continue sur un intervalle si la courbe représentative de la fonction n’a ni trou ni saut sur l’intervalle. En d’autres termes, cela signifie que nous pouvons tracer la courbe représentative d’une fonction continue sans lever le crayon du papier. Nous pouvons tracer la courbe représentative donnée sans lever le crayon du papier car la courbe est liée.

Ceci nous indique que la fonction représentée par la courbe est continue.

Méthode 2

On rappelle qu’une fonction est continue sur un intervalle si elle est continue en tout point de l’intervalle. Par conséquent, nous devons déterminer si 𝑓(𝑥) est continue en 𝑥=𝑎 pour tout 𝑎[0,3]. Nous rappelons que 𝑓(𝑥) est continue en 𝑥=𝑎 si elle remplit les trois conditions suivantes:

  1. 𝑓(𝑎) est défini;
  2. lim𝑓(𝑥) existe;
  3. 𝑓(𝑎)=𝑓(𝑥)lim.

Nous pouvons voir que 𝑓(𝑎) est défini pour chaque nombre 𝑎 dans l’intervalle [0,3] car on peut trouver un point sur la courbe représentative de la fonction pour chaque abscisse 𝑥 valant 𝑎. L’ordonnée 𝑦 de ce point est 𝑓(𝑎). Cela signifie que la première condition est remplie.

Pour la deuxième condition, nous pouvons voir que la limite de la fonction existe en chaque abscisse 𝑥 dans cet intervalle puisque suivre la courbe représentative de la fonction lorsque 𝑥 tend vers 𝑎 aboutit toujours à un point spécifique. L’ordonnée 𝑦 du point que nous atteignons est la limite de 𝑓(𝑥) en 𝑥=𝑎. Ainsi, la deuxième condition est remplie.

Nous pouvons voir que le point que nous atteignons lors de la détermination de la limite de 𝑓(𝑥) en 𝑥=𝑎 se situe sur la courbe représentative de la fonction, ce qui signifie que la limite de la fonction et la valeur de la fonction en 𝑥=𝑎 sont toutes deux égales à l’ordonnée 𝑦 de ce point. Par conséquent, ces deux valeurs sont égales, ce qui signifie que la troisième condition est remplie.

Étant donné que les trois conditions de continuité en un point sont remplies pour chaque nombre 𝑎 dans l’intervalle [0,3], on sait que 𝑓(𝑥) est continue en chaque point de l’intervalle.

Ainsi, la fonction représentée sur le graphique est continue sur l’intervalle [0,3].

Dans l’exemple précédent, nous avons déterminé si une fonction était continue sur un intervalle en examinant sa courbe. On dit qu’une fonction est continue partout si elle est continue sur , ou de manière équivalente ],+[. En général, quand on se réfère à une fonction comme étant continue sans référence à un point ou intervalle spécifique, on veut dire que la fonction est continue partout.

Considérons un autre exemple pour déterminer si une fonction est continue à partir de sa courbe représentative.

Exemple 2: Déterminer si une courbe représentative donnée est continue

Vrai ou faux:la fonction représentée sur le graphique donné est une fonction continue.

Réponse

Dans cet exemple, nous avons besoin de déterminer si une fonction est continue à l’aide du graphique donné. Rappelons que, quand on dit qu’une fonction est continue sans indiquer de point ou intervalle spécifique, cela signifie que la fonction est continue partout. Une fonction est continue partout si elle est continue en tout point.

Nous montrerons comment déterminer la continuité d’une fonction, d’abord, en utilisant l’heuristique et, ensuite, les définitions.

Méthode 1

Nous savons qu’une fonction est continue sur un intervalle si la courbe représentative de la fonction n’a ni trou ni saut sur l’intervalle. En d’autres termes, cela signifie que nous pouvons tracer la courbe représentative d’une fonction continue sans lever le crayon du papier. Nous ne pouvons pas tracer la courbe représentative donnée sans lever le crayon du papier parce que la courbe représentative contient un saut en 𝑥=3. Nous devons lever le crayon lorsque nous passerons du côté gauche de 𝑥=3 au côté droit de 𝑥=3. Cela nous indique que la fonction représentée sur le graphique donné n’est pas continue.

Par conséquent, l’assertion donnée est fausse.

Méthode 2

On rappelle qu’une fonction est continue partout si elle est continue en tout point. Par conséquent, nous devons déterminer si 𝑔(𝑥) est continue en 𝑥=𝑎 pour tout 𝑎. Nous rappelons que 𝑔(𝑥) est continue en 𝑥=𝑎 si elle remplit les trois conditions suivantes:

  1. 𝑔(𝑎) est défini;
  2. lim𝑔(𝑥) existe;
  3. 𝑔(𝑎)=𝑔(𝑥)lim.

Nous pouvons voir que 𝑔(𝑎) est défini pour chaque nombre réel 𝑎 car on peut trouver un point sur la courbe représentative de la fonction pour chaque abscisse 𝑥 valant 𝑎. L’ordonnée 𝑦 de ce point est 𝑔(𝑎). Cela signifie que la première condition est remplie.

Ensuite, considérons la deuxième condition. Rappelons que la limite d’une fonction n’existe pas si les limites unilatérales ne sont pas égales. D’après le graphique donné, nous pouvons voir que la limite à gauche de 𝑔(𝑥) en 𝑥=3 est égale à 2, tandis que la limite à droite en ce point est égale à 1. Cela signifie que limlim𝑔(𝑥)=2,𝑔(𝑥)=1.

Puisque 21, les limites à gauche et à droite ne sont pas égales. Cela nous indique que la limite de cette fonction n’existe pas en 𝑥=3 de sorte que la deuxième condition de continuité n’est pas remplie en 𝑥=3. Par conséquent, la fonction représentée sur le graphique donné n’est pas continue en 𝑥=3.

L’affirmation donnée est fausse.

Lorsque nous considérons la courbe représentative d’une fonction, nous pouvons déterminer sa continuité comme nous l’avons vu dans les exemples précédents. Si nous connaissons la courbe représentative de la fonction, nous pouvons déterminer si elle est continue sur un intervalle en regardant s’il est possible de tracer la courbe représentative sans lever le crayon du papier. Bien sûr, il s’agit d’un processus informel et cela ne fonctionne pas dans toutes les situations car il y a des courbes représentatives de fonctions continues impossibles à dessiner à la main. Cependant, il s’agit d’exceptions sur lesquelles nous ne nous attarderons pas pour le moment. Ce processus informel fonctionne très bien dans les cas génériques.

Par exemple, nous savons que la courbe de tout polynôme est une courbe liée et que son ensemble de définition contient tous les nombres réels, ce qui signifie qu’une fonction polynomiale est continue partout. Les polynômes ne sont pas les seules fonctions ayant cette propriété, et nous pouvons résumer la liste des fonctions familières qui sont continues partout.

Propriété : fonctions continues partout

Les fonctions des types suivants sont continues partout:

  • fonctions constantes;
  • fonctions polynomiales;
  • fonctions exponentielles;
  • fonction valeur absolue;
  • fonctions racine impaire (par exemple racine cubique);
  • fonctions sinus et cosinus.

Voyons quelques exemples où nous déterminerons si une fonction donnée est continue en identifiant son type.

Exemple 3: Discuter de la continuité d’une fonction polynomiale

Que peut-on dire de la continuité de la fonction définie par 𝑓(𝑥)=𝑥+5𝑥2𝑥+2?

  1. La fonction d’image 𝑓(𝑥) est discontinue sur parce que c’est un polynôme.
  2. La fonction d’image 𝑓(𝑥) est continue sur parce que c’est un polynôme.

Réponse

Nous pouvons voir que 𝑓(𝑥) est une fonction polynomiale. Rappelons qu’une fonction polynomiale est continue ;par conséquent, 𝑓(𝑥) est continue sur .

Une autre façon d’arriver à cette conclusion est de rappeler qu’une fonction est continue si nous pouvons tracer sa courbe représentative sans lever le crayon du papier. Comme la courbe représentative d’un polynôme est une courbe liée, nous pouvons la tracer sans lever le crayon du papier. Cela nous indique que 𝑓(𝑥) est continue sur parce que c’est un polynôme.

La bonne réponse est l’option B.

Plus haut, nous avons identifié une liste de fonctions qui sont continues partout. Mais il y a beaucoup de fonctions que nous connaissons qui ne sont pas mentionnées dans cette liste. Par exemple, nous connaissons les fonctions rationnelles, qui ne sont pas listées comme fonctions continues. Nous savons que la courbe représentative d’une fonction rationnelle peut ne pas être constitué d’une seule courbe liée, surtout si la fonction a des asymptotes verticales. Ces asymptotes verticales se produisent en dehors de l’ensemble de définition des fonctions rationnelles. Si nous limitons notre attention aux fonctions rationnelles, nous pouvons voir que leurs courbes sont toujours liées à l’intérieur de leurs ensembles de définition.

En fait, cela est vrai pour presque toutes les fonctions que nous connaissons, à l’exception des fonctions définies par morceaux. Pour la plupart des fonctions génériques, nous pouvons tracer leurs courbes représentatives dans chaque intervalle lié de leurs ensembles de définition sans lever le crayon du papier. Cela conduit à la liste suivante de fonctions qui sont continues sur leurs ensembles de définition.

Propriété : fonctions qui sont continues sur leurs ensembles de définition

Les fonctions des types suivants sont continues sur leurs ensembles de définition:

  • fonctions rationnelles;
  • fonctions logarithmiques;
  • fonctions racine paire (par exemple, racine carrée);
  • fonction tangente.

Si un nombre n’appartient pas à l’ensemble de définition d’une fonction, on sait que la fonction n’y est pas continue car la première condition de continuité n’est pas remplie en ce point. Ainsi, pour les fonctions listées ci-dessus, déterminer l’ensemble sur lequel elles sont continues équivaut à déterminer les ensembles de définition des fonctions.

Dans l’exemple suivant, nous allons déterminer l’ensemble sur lequel une fonction rationnelle donnée est continue.

Exemple 4: Discuter de la continuité des fonctions rationnelles

Déterminez l’ensemble sur lequel 𝑓(𝑥)=𝑥22𝑥2𝑥63 est continue.

  1. La fonction d’image 𝑓(𝑥)est continue sur {22}.
  2. La fonction d’image 𝑓(𝑥)est continue sur {9;7}.
  3. La fonction d’image 𝑓(𝑥)est continue sur .
  4. La fonction d’image 𝑓(𝑥)est continue sur {9;7}.

Réponse

Dans cet exemple, nous devons déterminer l’ensemble sur lequel une fonction rationnelle est continue. Rappelons qu’une fonction rationnelle est continue sur son ensemble de définition. Ainsi l’ensemble sur lequel 𝑓(𝑥) est continue est le même que son ensemble de définition. Déterminons l’ensemble de définition de 𝑓(𝑥).

Rappelons que l’ensemble de définition d’une fonction rationnelle est l’ensemble de tous les nombres réels à l’exception des racines du dénominateur. Dans la fonction donnée, le dénominateur est le polynôme du second degré 𝑥2𝑥63. Nous devons déterminer les racines de cette fonction du second degré.

On peut déterminer la racine de la fonction du second degré en commençant par factoriser:𝑥2𝑥63=(𝑥9)(𝑥+7).

Cela nous indique que les racines du dénominateur de la fonction rationnelle donnée sont 𝑥=9 et 7. Par conséquent, l’ensemble de définition de 𝑓(𝑥) est {9,7}, qui est aussi l’ensemble sur lequel 𝑓(𝑥) est continue.

La bonne réponse est l’option B.

On rappelle la propriété de continuité d’une fonction en un point.

Propriété : continuité des fonctions en un point

Soient 𝑓(𝑥) et 𝑔(𝑥) les images de deux fonctions continues en 𝑥=𝑎. Alors:

  • les fonctions d’images 𝑓(𝑥)+𝑔(𝑥), 𝑓(𝑥)𝑔(𝑥) et 𝑓(𝑥)𝑔(𝑥) sont continues en 𝑥=𝑎;
  • la fonction d’image 𝑓(𝑥)𝑔(𝑥) est continue en 𝑥=𝑎 si 𝑔(𝑎)0.

De plus, supposons que 𝑓(𝑥) et 𝑔(𝑦) sont continues respectivement en 𝑥=𝑎 et 𝑦=𝑓(𝑎). Alors, la fonction composée 𝑔(𝑓(𝑥)) est continue en 𝑥=𝑎.

Puisque la continuité d’une fonction sur un intervalle est définie comme la continuité de la fonction en chaque point de l’intervalle, des propriétés similaires sont valables pour la continuité sur un intervalle, comme nous allons le voir.

Propriété : continuité pour la somme, la différence, le produit, le quotient et la composition des fonctions

Soient 𝑓(𝑥) et 𝑔(𝑥) les images de fonctions continues sur les ensembles 𝑆 et 𝑇 respectivement. Alors:

  • les fonctions d’images 𝑓(𝑥)+𝑔(𝑥), 𝑓(𝑥)𝑔(𝑥) et 𝑓(𝑥)𝑔(𝑥) sont continues sur 𝑆𝑇;
  • la fonction d’image 𝑓(𝑥)𝑔(𝑥) est continue sur l’ensemble 𝑆𝑇𝐴 avec 𝐴 l’ensemble défini par 𝐴={𝑥𝑔(𝑥)=0},;
  • la fonction d’image 𝑓𝑔(𝑥) est continue sur l’ensemble 𝐵𝑇 avec 𝐵 l’ensemble défini par 𝐵={𝑥𝑔(𝑥)𝑆}.

Dans l’exemple suivant, nous déterminerons l’ensemble sur lequel la somme de deux fonctions rationnelles est continue.

Exemple 5: Discuter de la continuité de la somme de deux fonctions rationnelles

Déterminez l’ensemble sur lequel la fonction définie par 𝑓(𝑥)=4𝑥+10𝑥+9 est continue.

  1. La fonction 𝑓 est continue sur .
  2. La fonction 𝑓 est continue sur {0;3}.
  3. La fonction 𝑓 est continue sur {3}.
  4. La fonction 𝑓 est continue sur {0}.
  5. La fonction 𝑓 est continue sur {0;3}.

Réponse

Dans cet exemple, nous devons déterminer l’ensemble sur lequel la somme de deux fonctions rationnelles est continue. La première fonction ne semble pas être une fonction rationnelle, mais nous pouvons réécrire cette fonction comme suit:4𝑥. Ainsi, la fonction donnée est la somme de 𝑔(𝑥)=4𝑥 et (𝑥)=10𝑥+9.

Rappelons que la somme de deux fonctions est continue sur l’intersection des ensembles sur lesquels l’une ou l’autre fonction est continue. On peut commencer par identifier les ensembles sur lesquels les fonctions d’images 𝑔(𝑥) et (𝑥) sont continues.

Commençons par 𝑔(𝑥). Nous savons qu’une fonction rationnelle est continue sur son ensemble de définition. Ainsi l’ensemble sur lequel 𝑔(𝑥) est continue est le même que son ensemble de définition. L’ensemble de définition d’une fonction rationnelle est l’ensemble de tous les nombres réels à l’exception des racines du dénominateur. Dans 𝑔(𝑥), le dénominateur est 𝑥, qui a une racine 𝑥=0. Cela conduit à l’ensemble de définition de 𝑔(𝑥):{0}.

On note que c’est aussi l’ensemble sur lequel 𝑔(𝑥) est continue.

Considérons (𝑥). Le dénominateur de (𝑥) est 𝑥+9. Pour déterminer la racine du dénominateur, nous devons résoudre l’équation 𝑥+9=0.

Réarranger cette équation conduit à 𝑥=9. Mais nous savons qu’un carré d’un nombre réel ne peut pas être négatif, ce qui nous indique que cette équation n’a pas de solution réelle. Cela nous indique que l’ensemble de définition de (𝑥) est , qui est aussi l’ensemble sur lequel (𝑥) est continue.

Pour que la somme de ces fonctions soit continue, nous devons déterminer l’intersection de ces deux ensembles:({0})={0}.

La bonne réponse est l’option D.

Voyons maintenant des fonctions définies par morceaux. Une fonction définie par morceaux est généralement constituée de sous-fonctions définies sur des intervalles disjoints. Les sous-fonctions sont généralement des fonctions familières telles que celles de la liste des fonctions continues (que ce soit partout ou sur leurs ensembles de définition respectifs). Cela signifie que, en général, nous avons seulement besoin d’examiner de près la continuité de la fonction définie par morceaux aux extrémités (ou limites) des intervalles disjoints.

Dans le prochain exemple, nous examinerons où une fonction définie par morceaux est continue.

Exemple 6: Discuter de la continuité d’une fonction définie par des morceaux, impliquant des rapports trigonométriques en un point

Discutez de la continuité de la fonction 𝑓 définie par:𝑓(𝑥)=3+𝑥,0𝑥<𝜋2,4+𝑥𝜋2,𝑥𝜋2.sin

Réponse

Dans cet exemple, nous devons examiner la continuité d’une fonction définie par morceaux. Nous savons qu’une fonction n’est jamais continue en dehors de son ensemble de définition, alors commençons par déterminer l’ensemble de définition de cette fonction. Pour que 𝑓(𝑥) soit défini, 𝑥 doit remplir l’une ou l’autre des conditions suivantes:0𝑥<𝜋2𝑥𝜋2.ou

Cela signifie que l’union de ces intervalles, qui est [0,+[ est l’ensemble de définition de 𝑓(𝑥). Maintenant, nous devons déterminer si 𝑓(𝑥) est continue en chaque point de son ensemble de définition.

La fonction définie par morceaux donnée a deux sous-fonctions:𝑔(𝑥)=3+𝑥0,𝜋2,(𝑥)=4+𝑥𝜋2𝜋2,+.sinsurlintervallesurlintervalle

Nous pouvons voir que 𝑔(𝑥) est la somme d’une constante et de la fonction sinus. Nous savons que la fonction constante et la fonction sinus sont continues partout et que la somme de deux fonctions continues est continue. Par conséquent, 𝑔(𝑥) est continue. L’expression (𝑥) est un polynôme, et l’on rappelle qu’une fonction polynomiale est continue.

Puisque les deux sous-fonctions sont des fonctions continues, nous savons que la fonction donnée 𝑓(𝑥) est continue excepté aux extrémités des intervalles disjoints 0,𝜋2 et 𝜋2,+. Par conséquent, il suffit de considérer la continuité de 𝑓(𝑥) aux extrémités de ces intervalles, qui sont 𝑥=0 et 𝑥=𝜋2.

Considérons d’abord le point 𝑥=0. Nous pouvons voir que 𝑓(𝑥) n’est pas défini sur le côté gauche de ce point, 𝑥<0. Par conséquent, la continuité de 𝑓(𝑥) en 𝑥=0 ne dépend que de la continuité de la sous-fonction 𝑔(𝑥) en 𝑥=0. Puisque 𝑔(𝑥) est continue partout, 𝑓(𝑥) est continue en 𝑥=0.

Ensuite, considérons le point 𝑥=𝜋2. Pour déterminer la continuité de 𝑓(𝑥) en ce point, nous rappelons les trois conditions de continuité:𝑓(𝑥) est continue en 𝑥=𝑎 si elle remplit les trois conditions suivantes:

  1. 𝑓(𝑎) est défini;
  2. lim𝑓(𝑥) existe;
  3. 𝑓(𝑎)=𝑓(𝑥)lim.

Puisque 𝑥=𝜋2 remplit la deuxième condition par morceaux 𝑥𝜋2, on sait que 𝑓𝜋2 est défini à l’aide de la deuxième sous-fonction d’image (𝑥). En particulier, on peut calculer 𝑓𝜋2=𝜋2=4+𝜋2𝜋2=4.

Ainsi, la première condition de continuité est remplie. Pour considérer la deuxième condition, nous rappelons que la limite d’une fonction en un point existe si et seulement si les limites unilatérales sont égales. Déterminons les limites unilatérales de 𝑓(𝑥) en 𝑥=𝜋2.

La limite à gauche considère les valeurs de 𝑓(𝑥) sur le côté gauche de 𝑥=𝜋2, ce qui signifie 𝑥<𝜋2. Ces valeurs de 𝑥 remplissent la première condition par morceaux, de sorte que nous pouvons calculer 𝑓(𝑥) en utilisant la première sous-fonction 𝑔(𝑥). Par conséquent, limlimlimsin𝑓(𝑥)=𝑔(𝑥)=(3+𝑥).

Il s’agit d’une limite unilatérale de la somme d’une fonction constante et de la fonction sinus. Rappelons que nous pouvons déterminer la limite (normale ou unilatérale) de telles fonctions par substitution directe. Cela conduit à limsinsin(3+𝑥)=3+𝜋2=3+1=4.

Cela nous donne lim𝑓(𝑥)=4.

Ensuite, nous devons déterminer la limite à droite. Les limites à droite considèrent les valeurs de 𝑓(𝑥) sur le côté droit de 𝑥=𝜋2, ce qui signifie 𝑥>𝜋2. Pour ces valeurs de 𝑥, 𝑓(𝑥) est égal à (𝑥), ce qui conduit à limlimlim𝑓(𝑥)=(𝑥)=4+𝑥𝜋2.

Rappelons que nous pouvons déterminer la limite (normale ou unilatérale) d’un polynôme par substitution directe. Par conséquent, lim4+𝑥𝜋2=4+𝜋2𝜋2=4.

Cela nous donne lim𝑓(𝑥)=4.

Puisque les limites à gauche et à droite de 𝑓(𝑥) en 𝑥=𝜋2 sont égales, nous savons que la limite existe et est égale à cette valeur. C’est-à-dire lim𝑓(𝑥)=4.

Cela nous indique que la deuxième condition de continuité est remplie.

Nous avons déjà calculé 𝑓𝜋2=4,𝑓(𝑥)=4.lim

Cela conduit à la troisième condition 𝑓𝜋2=𝑓(𝑥).lim

Les trois conditions de continuité étant remplies, 𝑓(𝑥) est continue en 𝑥=𝜋2.

Enfin, nous avons observé que 𝑓(𝑥) est continue en chaque point de son ensemble de définition [0,+[. Ainsi, la fonction 𝑓 est continue sur [0,+[.

Dans notre dernier exemple, nous identifierons une constante inconnue dans une fonction définie par morceaux en utilisant le fait que la fonction est continue.

Exemple 7: Déterminer l’inconnue qui rend une fonction définie par morceaux continue sur son ensemble de définition

Déterminez la valeur 𝑎 qui rend continue sur son ensemble de définition la fonction 𝑓 définie par:𝑓(𝑥)=𝑎7𝑥,𝑥2,𝑎𝑥+7,𝑥>2.

Réponse

Dans cet exemple, nous devons identifier la valeur de 𝑎 qui rend la fonction 𝑓 continue sur son ensemble de définition. Commençons par déterminer l’ensemble de définition de cette fonction. Pour que 𝑓(𝑥) soit défini, 𝑥 doit remplir l’une ou l’autre des conditions suivantes:𝑥2𝑥>2.ou

Cela signifie que l’union de ces intervalles, qui est est l’ensemble de définition de 𝑓(𝑥). Maintenant, nous devons choisir 𝑎 de sorte que 𝑓(𝑥) soit continue en tout nombre.

La fonction d’image 𝑓(𝑥) a deux sous-fonctions:𝑔(𝑥)=𝑎7𝑥],2],(𝑥)=𝑎𝑥+7]2,+[.surlintervallesurlintervalle

Les deux sous-fonctions d’images 𝑔(𝑥) et (𝑥) sont des polynômes, et on peut rappeler qu’une fonction polynomiale est continue partout. Cela signifie que les deux sous-fonctions d’images 𝑔(𝑥) et (𝑥) sont continues partout. Comme les deux sous-fonctions sont des fonctions continues, nous savons que la fonction donnée, d’image 𝑓(𝑥), est continue excepté à l’extrémité des intervalles disjoints ],2] et ]2,+[, c’est-à-dire au point 𝑥=2. En d’autres termes, on sait que 𝑓(𝑥) est continue sur {2} quelle que soit la valeur de 𝑎. Par conséquent, le choix de 𝑎 doit être tel que 𝑓(𝑥) soit continue en 𝑥=2.

Considérons la continuité de 𝑓(𝑥) en 𝑥=2. Rappelons les trois conditions pour que 𝑓(𝑥) soit continue en 𝑥=𝑎:

  1. 𝑓(𝑎) est défini;
  2. lim𝑓(𝑥) existe;
  3. 𝑓(𝑎)=𝑓(𝑥)lim.

Puisque 𝑥=2 remplit la première condition par morceaux 𝑥2, on sait que 𝑓(2) est défini à l’aide de la première sous-fonction 𝑔(𝑥). Par conséquent, nous pouvons calculer 𝑓(2)=𝑔(2)=𝑎7×2=𝑎14.

Ainsi, la première condition de continuité est remplie, quel que soit le choix de 𝑎. Pour considérer la deuxième condition, nous rappelons que la limite d’une fonction en un point existe si et seulement si les limites unilatérales sont égales. Déterminons les limites unilatérales de 𝑓(𝑥) en 𝑥=2.

Les limites à gauche considèrent les valeurs de 𝑓(𝑥) sur le côté gauche de 𝑥=2, ce qui signifie 𝑥<2. Ces valeurs de 𝑥 remplissent la première condition par morceaux, de sorte que nous pouvons calculer 𝑓(𝑥) en utilisant la première sous-fonction 𝑔(𝑥). Par conséquent, limlimlim𝑓(𝑥)=𝑔(𝑥)=(𝑎7𝑥).

Cela est la limite unilatérale d’une fonction polynomiale. Rappelons que nous pouvons déterminer la limite (normale ou unilatérale) d’un polynôme par substitution directe. Cela conduit à lim(𝑎7𝑥)=𝑎7×2=𝑎14.

Cela nous donne lim𝑓(𝑥)=𝑎14.

Ensuite, nous devons déterminer la limite à droite. Les limites à droite considèrent les valeurs de 𝑓(𝑥) sur le côté droit de 𝑥=2, ce qui signifie 𝑥>2. Pour ces valeurs de 𝑥, 𝑓(𝑥) est égal à (𝑥), ce qui conduit à limlimlim𝑓(𝑥)=(𝑥)=𝑎𝑥+7.

En utilisant une substitution directe, on peut écrire lim𝑎𝑥+7=𝑎×2+7=4𝑎+7.

Cela nous donne lim𝑓(𝑥)=4𝑎+7.

Afin de remplir la deuxième condition de continuité, nous devons nous assurer que les limites à gauche et à droite sont égales. Cela signifie 𝑎14=4𝑎+7.

Réarranger cette équation conduit à 3𝑎=21, ce qui donne 𝑎=7. Cela nous indique que la deuxième condition ne sera remplie que si 𝑎=7. Avec ce choix de 𝑎, la limite existe et est égale à la limite unilatérale. Par conséquent, lim𝑓(𝑥)=4×(7)+7=21.

De plus, 𝑓(2)=714=21.

Cela nous indique qu’avec 𝑎=7, nous avons 𝑓(2)=𝑓(𝑥).lim

Étant donné que les trois conditions de continuité sont remplies pour 𝑎=7, la fonction d’image 𝑓(𝑥) est continue en 𝑥=2 avec ce choix de 𝑎. Avec notre conclusion précédente selon laquelle la fonction d’image 𝑓(𝑥) est continue sur {2} quel que soit le choix de 𝑎, on peut conclure que la fonction d’image 𝑓(𝑥) est continue sur si on choisit 𝑎=7.

Par conséquent, la valeur de 𝑎 qui rend la fonction 𝑓 continue sur son ensemble de définition est 7.

Terminons en récapitulant quelques concepts importants de cette fiche explicative.

Points clés

  • On dit qu’une fonction est continue sur un intervalle (ou un ensemble) si elle est continue en chaque point de l’intervalle (ou de l’ensemble).
  • De manière informelle, une fonction est continue sur un intervalle si nous pouvons tracer la courbe représentative d’une fonction continue sur l’intervalle sans lever le crayon du papier.
  • Les fonctions de types suivants sont continues partout:
    • fonctions constantes;
    • fonctions polynomiales;
    • fonctions exponentielles;
    • fonction valeur absolue;
    • fonctions racine impaire (par exemple racine cubique);
    • fonctions sinus et cosinus.
  • Les fonctions de types suivants sont continues sur leur ensemble de définition:
    • fonctions rationnelles;
    • fonctions logarithmiques;
    • fonctions de racine paire (par exemple racine carrée);
    • fonction tangente.
  • Soient deux fonctions d’images 𝑓(𝑥) et 𝑔(𝑥) continues sur les ensembles 𝑆 et 𝑇 respectivement. Alors:
    • Les fonctions d’images 𝑓(𝑥)+𝑔(𝑥), 𝑓(𝑥)𝑔(𝑥) et 𝑓(𝑥)𝑔(𝑥) sont continues sur 𝑆𝑇;
    • La fonction d’image 𝑓(𝑥)𝑔(𝑥) est continue sur l’ensemble 𝑆𝑇𝐴, avec 𝐴 l’ensemble défini par 𝐴={𝑥𝑔(𝑥)=0},
    • La fonction d’image 𝑓𝑔(𝑥)est continue sur l’ensemble 𝐵𝑇, avec 𝐵 l’ensemble défini par 𝐵={𝑥𝑔(𝑥)𝑆}.
  • Si les sous-fonctions d’une fonction définie par morceaux sont continues, il suffit d’examiner la continuité de la fonction définie par morceaux aux extrémités des intervalles disjoints.

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