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Fiche explicative de la leçon : Continuité des fonctions Mathématiques

Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre à vérifier la continuité d’une fonction sur son ensemble de définition, et à déterminer l’intervalle sur lequel elle est continue.

Une fonction est continue en un point à condition que les deux limites unilatérales convergeant vers ce point soient égales à la valeur en ce point (et donc l’une à l’autre). Ce n’est pas difficile à vérifier dans le cas particulier où la fonction est définie par morceaux et que l’on étudie le point où deux morceaux se rencontrent.

Un graphique peut clarifier cela. On considère la représentation graphique suivante de 𝑦=𝑓(𝑥). Lorsque l’on se déplace le long de l’axe des abscisses 𝑥 et que l’on se rapproche de la valeur 𝑥=1 depuis la gauche (flèche bleue continue),

on voit que la valeur de 𝑓(𝑥) tend vers 𝑦=1 (flèche verte en pointillés). Mais quand on se rapproche depuis la droite,

la valeur de 𝑓(𝑥) tend vers 𝑦=2, un nombre différent.

La valeur de la fonction est indiquée par le point plein en (1;3) ce qui indique que 𝑓(1)=3.

En résumé, on a limlim𝑓(𝑥)=1;𝑓(𝑥)=2;𝑓(1)=3 et on peut conclure ce qui suit :

  1. La limite de cette fonction quand 𝑥1 n’existe pas (car les deux limites unilatérales ne sont pas égales).
  2. Par conséquent, la fonction n’est pas continue en 𝑥=1.

En une phrase, on peut dire que cette fonction est discontinue en 𝑥=1 parce que la limite lim𝑓(𝑥) n’existe pas.

Le fait que 𝑓(1)=3 ne joue aucun rôle dans cette conclusion.

Dans l’exemple suivant, toujours à partir de sa représentation graphique, la fonction 𝑔 n’est pas du tout définie en 𝑥=1. Mais, comme les flèches bleues l’indiquent, en se déplaçant depuis la gauche ou la droite de 𝑥=1, il apparaît que les valeurs limites de 𝑔(𝑥) sont 1,5.

Cette fois, on a limlim:nondéni𝑔(𝑥)=1,5;𝑔(𝑥)=1,5;𝑔(1).

Conclusion : la limite lim𝑔(𝑥) existe et est égale à 1,5, mais la fonction 𝑔 est discontinue en 𝑥=1 car 𝑔(1) est indéfini.

En effet, la définition de la continuité en un point a trois conditions nécessaires.

Définition : Continuité en un point

Une fonction 𝑓 est continue en 𝑥=𝑎 à condition que

  1. 𝑓(𝑎) soit défini;
  2. lim𝑓(𝑥) existe;
  3. lim𝑓(𝑥)=𝑓(𝑎).

D’une certaine manière, la discontinuité du deuxième exemple est « meilleure » que dans le premier. On peut la réparer en effectuant la définition nécessaire : si on définit 𝑔(1)=1,5, alors 𝑔 devient une fonction continue en 𝑥=1. On dit que 𝑔 peut être prolongée par continuité au point 𝑥=1. La fonction précédente 𝑓 ne pouvait pas être prolongée par continuité en 𝑥=1.

Exemple 1: Déterminer les valeurs d’une variable qui rendent une fonction définie par morceaux continue en un certain point

Soit 𝑓(𝑥)=𝑎𝑥+18𝑥9;6𝑎𝑥=9.sisi Déterminez la valeur de 𝑎 tel que 𝑓 est continue en 𝑥=9.

Réponse

Au lieu d’une représentation graphique, on connaît les formules de la fonction sur les deux intervalles. Pour déterminer la continuité à la limite 𝑥=9, on doit normalement calculer les deux limites unilatérales et les comparer. Mais ici, il est indiqué que la même formule s’applique : 𝑓(𝑥)=𝑎𝑥+18 que 𝑥<9 ou 𝑥>9.

En outre, comme 𝑎𝑥+18 est un polynôme, on sait que la limite en tout point est simplement sa valeur en ce point. Les polynômes sont continus sur tout leur ensemble de définition : limlim𝑓(𝑥)=𝑎𝑥+18=𝑎9+18=81𝑎+18.

Pour que la fonction soit continue, l’identité suivante doit être vérifiée : limou𝑓(𝑥)=𝑓(9)81𝑎+18=6𝑎87𝑎=18𝑎=1887=629.

De toute évidence, d’autres valeurs de 𝑎 produiraient des discontinuités non prolongeables d’après la définition de 𝑓 ci-dessus. La valeur. 𝑎=629 est la valeur exacte nécessaire pour que 𝑓 soit continue.

Certaines questions de cette leçon nécessitent le calcul de limites. Le principal résultat que nous utilisons est le suivant.

Théorème : Continuité des fonctions usuelles

Les classes de fonctions suivantes sont continues en tous points de leur ensemble de définition :

  • fonctions polynomiales (y compris les constantes);
  • fonctions rationnelles;
  • fonctions trigonométriques;
  • fonctions exponentielles.

Exemple 2: Déterminer les limites unilatérales d’une fonction définie par morceaux

Trouvez lim𝑓(𝑥) et lim𝑓(𝑥), 𝑓(𝑥)=78𝑥<9;9𝑥7𝑥9.sisi

  1. limlim𝑓(𝑥)=74;𝑓(𝑥)=78
  2. limlim𝑓(𝑥)=78;𝑓(𝑥)=74
  3. limlim𝑓(𝑥)=78;𝑓(𝑥)=78
  4. limlim𝑓(𝑥)=74;𝑓(𝑥)=74

Réponse

Les définitions de 𝑓 à gauche et à droite de 𝑥=9 sont différentes. Cependant, elles sont toutes les deux donnés par des polynômes, qui sont évidemment définis en 𝑥=9.. D’après le théorème ci-dessus, on a limlimfonctionconstante𝑓(𝑥)=78=78() tandis que limlimfonctionpolynomiale𝑓(𝑥)=9𝑥7=9(9)7()=74.

La bonne réponse est (B).

L’exemple suivant demande ce que nous pouvons dire de la continuité/discontinuité en un point. Sa résolution est simplement une application soigneuse de la définition et du théorème ci-dessus.

Exemple 3: Continuité d’une fonction définie par morceaux en un point donné

Soit 𝑓(𝑥)=7𝑥𝑥3;7𝑥+3𝑥>3.sisi

Que pouvez-vous dire de la continuité de 𝑓 en 𝑥=7?

  1. La fonction est continue en 𝑥=7.
  2. La fonction est discontinue en 𝑥=7 parce que 𝑓(7) n’est pas défini.
  3. La fonction est discontinue en 𝑥=7 parce que lim𝑓(𝑥) n’existe pas.
  4. La fonction est discontinue en 𝑥=7 parce que lim𝑓(𝑥)𝑓(7).

Réponse

(A)

Bien que cette fonction soit en effet définie par morceaux, le point spécial où les deux intervalles se rencontrent est 𝑥=3, et non le 𝑥=7 sujet de la question! Donc 𝑓(𝑥)=7𝑥 en et autour de 7, car 73. Par conséquent,

  1. la valeur est 𝑓(7)=(7)(3)=21. La fonction y est définie, donc (B) est fausse;
  2. comme 𝑓(𝑥)=7𝑥 est une fonction polynomiale, la limite existe en tous points, donc (C) est fausse ;
  3. de plus, les fonctions polynomiales sont continues sur leur ensemble de définition - la droite numérique entière - donc (D) est fausse;
  4. en fait, (A) est vérifiée.

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