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Soit 𝑓 de 𝑥 égale six 𝑥 au carré plus un. Calculez l’intégrale de la fonction 𝑓 entre 𝑥 égale deux et 𝑥 égale trois.
On voit d'abord que la question nous demande d'évaluer l'intégrale définie de la fonction 𝑓 entre les bornes 𝑥 égale deux et 𝑥 égale trois, par rapport à 𝑥. On peut aussi voir dans la question que la fonction 𝑓 de 𝑥 est égale à six 𝑥 au carré plus un. Donc on peut réécrire 𝑓 de 𝑥 dans notre intégrale comme étant juste six 𝑥 au carré plus un.
On sait maintenant que pour une primitive, 𝑓 majuscule de 𝑥 de la fonction 𝑓 minuscule de 𝑥, on aura que l'intégrale définie de 𝑎 à 𝑏 de 𝑓 minuscule de 𝑥 par rapport à 𝑥 est égale à 𝑓 majuscule de 𝑏 moins 𝑓 majuscule de 𝑎. On pourrait donc utiliser cela pour calculer l'intégrale de notre question.
Si on avait la primitive de six 𝑥 au carré plus un, alors en évaluant cette primitive à trois et en soustrayant la primitive en deux, on obtiendrait la réponse à notre question. On peut trouver la primitive de 𝑓 de 𝑥 en utilisant la formule de l’intégrale d’une puissance qui dit que si 𝑛 n'est pas égal à moins un, alors l'intégrale de 𝑘 fois 𝑥 puissance 𝑛 par rapport à 𝑥 est égale à 𝑘 fois 𝑥 puissance 𝑛 plus un sur 𝑛 plus un plus une constante d'intégration. Il convient de noter que puisque nous parlons d'une intégrale définie, les constantes d'intégration seront toujours annulées dans nos calculs. Par conséquent, on peut ignorer ces constantes.
L'intégration du premier terme de six 𝑥 au carré nous donne six 𝑥 puissance deux plus un sur deux plus un, ce qui nous donne deux 𝑥 au cube. On sait également que un égale 𝑥 puissance zéro. Nous pouvons donc utiliser la formule d’une puissance pour l’intégration pour voir que l'intégrale de un par rapport à 𝑥 est égale à 𝑥 puissance un plus zéro divisé par un plus zéro. Ce qui nous donne simplement 𝑥, ce qui signifie que notre primitive de 𝑓 minuscule de 𝑥 est égale à deux 𝑥 au cube plus 𝑥.
Nous voilà maintenant prêts à l'évaluer entre les bornes deux et trois. En évaluant la primitive en trois et en soustrayant la primitive en deux, on obtient deux fois trois au cube plus trois moins deux fois deux au cube plus deux. Ce qui nous donne, après calcul, 39. Par conséquent, nous avons montré que l'intégrale définie de 𝑥 égale deux à 𝑥 égale trois de la fonction 𝑓 minuscule de 𝑥 égale six 𝑥 au carré plus un par rapport à 𝑥 égale 39.
