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Vidéo de la leçon : Théorème fondamental de l’analyse: évaluer des intégrales Mathématiques

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à utiliser le théorème fondamental de l’analyse pour évaluer des intégrales.

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Transcription de vidéo

Théorème fondamental de l’analyse: évaluer des intégrales. Dans cette vidéo, nous allons apprendre à évaluer des intégrales en utilisant le théorème fondamental de l’analyse. Le théorème est généralement énoncé en deux parties. Pour les besoins de cette vidéo, nous allons nous concentrer sur la deuxième partie. Elle stipule que si 𝑓 est une fonction continue sur l’intervalle fermé entre 𝑎 et 𝑏 et que grand 𝐹 est une primitive de 𝑓. Ici exprimé par grand 𝐹 prime de 𝑥 égale 𝑓 de 𝑥. Alors l’intégrale entre 𝑎 et 𝑏 de 𝑓 de 𝑥 par rapport à 𝑥 est égale à grand 𝐹 de 𝑏 moins grand 𝐹 de 𝑎.

Un point intéressant à noter est qu’il est précisé que grand 𝐹 est une primitive de petit 𝑓. Cela signifie que bien qu’il existe de nombreuses primitives de petit , peu importe celle que l’on choisit pour utiliser le théorème. Pour expliquer cela, revenons à ce que nous entendons par primitive. À ce stade, vous devriez être familiers avec la première partie du théorème fondamental de l’analyse qui dit essentiellement que la dérivation et l’intégration sont des opérations réciproques. Cela signifie que nous pouvons trouver la forme générale de la primitive d’une fonction 𝑓 en évaluant l’intégrale indéfinie de cette fonction. Prenons un exemple de fonction. 𝑓 un de 𝑥 égale deux 𝑥. Sa primitive, grand 𝐹 un de 𝑥, est égale à l’intégrale indéfinie de deux 𝑥 par rapport à 𝑥.

Pour résoudre cela, on utilise la formule de la primitive d’une puissance : on augmente la puissance de 𝑥 d’une unité et on divise par la nouvelle puissance. Bien sûr, il ne faut pas oublier d’ajouter ici la constante d’intégration 𝑐. Plus simplement, la réponse est 𝑥 au carré plus 𝑐. Cette constante d’intégration 𝑐 peut prendre n’importe quelle valeur que l’on souhaite. Et l’expression obtenue correspondra toujours à une expression parmi une infinité de primitives de la fonction initiale petit un de 𝑥. Si on prend le cas 𝑐 égale zéro, grand 𝐹 un de 𝑥 sera simplement 𝑥 au carré. 𝑐 égale cinq donnerait une primitive de 𝑥 au carré plus cinq. 𝑐 pourrait même être moins 𝜋, ce qui signifierait que la primitive serait 𝑥 au carré moins 𝜋. Toutes ces fonctions sont des primitives de deux 𝑥.

Comme le théorème fondamental de l’analyse permet d’utiliser n’importe laquelle de ces primitives pour évaluer une intégrale, laquelle devons-nous choisir? Continuons avec l’exemple de la fonction 𝑓 un de 𝑥 égale deux 𝑥. Mais nous cherchons maintenant l’intégrale entre 𝑎 et 𝑏 de cette fonction. Le théorème indique qu’elle est égale à la primitive grand 𝐹 un de 𝑏 moins grand 𝐹 un de 𝑎. On peut choisir arbitrairement une des primitives, par exemple, 𝑥 au carré plus cinq. Si grand 𝐹 un de 𝑥 égale 𝑥 au carré plus cinq, alors grand 𝐹 un de 𝑏 égale 𝑏 au carré plus cinq. Un raisonnement similaire s’applique pour grand 𝐹 un de 𝑎. En simplifiant, on voit que les termes plus cinq et moins cinq s’annulent. Et il reste donc 𝑏 au carré moins 𝑎 au carré.

En fait, si nous avions utilisé la forme générale avec la constante 𝑐, la même chose se serait produite. Donc, quelle que soit la constante que nous utilisons, nous obtenons le même résultat. Sachant cela, nous pouvons simplement choisir d’ignorer complètement la constante d’intégration lors de l’évaluation d’une intégrale définie. Et cela équivaut à prendre le cas où 𝑐 est égal à zéro. Si nous avions considéré ce cas dès le départ, nous aurions obtenu la même réponse, mais avec moins d’étapes de calculs.

Voyons maintenant un exemple d’application de ce théorème.

Soit 𝑓 de 𝑥 égale six 𝑥 carré plus un. Évaluez l’intégrale de 𝑓 de 𝑥 égale deux à 𝑥 égale trois.

Pour cette question, nous devons évaluer une intégrale qui, en utilisant la notation standard, ressemble à ceci. L’intégrande est la fonction 𝑓 de 𝑥. Et les bornes de l’intégrale sont deux et trois, comme le précise la question. Pour évaluer cette intégrale, nous allons utiliser la deuxième partie du théorème fondamental de l’analyse. Elle stipule que si 𝑓 est une fonction continue sur l’intervalle fermé entre 𝑎 et 𝑏 et grand 𝐹 prime de 𝑥 est égale à 𝑓 de 𝑥. En d’autres termes, grand est une primitive de petit 𝑓. Alors l’intégrale entre 𝑎 et 𝑏 de 𝑓 de 𝑥 par rapport à 𝑥 est égale à grand 𝐹 de 𝑏 moins grand 𝐹 de 𝑎.

Appliquons maintenant ce théorème pour résoudre le problème. La fonction 𝑓 de 𝑥 est égale à six 𝑥 carré plus un. Pour trouver sa primitive, grand 𝐹 de 𝑥, on peut intégrer petit 𝑓 de 𝑥. Si on applique la formule de la primitive d’une puissance, en augmentant la puissance de 𝑥 de chacun des termes et en divisant par la nouvelle puissance, on obtient six 𝑥 au cube sur trois plus 𝑥. Et on ajoute également la constante d’intégration 𝑐. On rappelle maintenant que le théorème fondamental de l’analyse permet d’utiliser n’importe quelle primitive, ce qui signifie que 𝑐 peut prendre n’importe quelle valeur. Il est logique de choisir le cas le plus simple, c’est-à-dire lorsque 𝑐 égale zéro. Cela signifie que l’on peut en fait ignorer cette constante. En simplifiant, la primitive que nous utiliserons par la suite est donc deux 𝑥 au cube plus 𝑥. Très bien. Gardons cette primitive de côté et revenons au calcul initial.

La question demande d’évaluer cette intégrale. La borne supérieure de l’intégrale est trois. Et la borne inférieure est deux. Le théorème fondamental de l’analyse dit alors que cette intégrale est égale à grand 𝐹 de trois moins grand 𝐹 de deux. Comme nous venons de déterminer la primitive grand 𝐹 de 𝑥, nous pouvons substituer les valeurs trois et deux dans cette fonction. Après avoir entré ces valeurs, on peut effectuer quelques simplifications sur cette nouvelle expression. Après simplifications, on obtient 39. Avec cette étape, nous avons répondu à la question. L’intégrale donnée dans la question est égale à 39. Nous avons évalué l’intégrale en utilisant la primitive de la fonction de 𝑥. Et l’outil que nous avons utilisé pour nous aider était la deuxième partie du théorème fondamental de l’analyse.

Avant de poursuivre, un mot sur la notation. Pour l’intégrale entre 𝑎 et 𝑏 d’une fonction de 𝑥 par rapport à 𝑥, vous verrez très souvent l’étape suivante écrite sous cette forme. Avec la primitive de la fonction écrite entre crochets comme cela et les bornes de l’intégrale reportées sur le crochet de droite. Ce n’est qu’une abréviation. Il s’agit d’une façon d’exprimer la primitive comme une fonction avant de substituer les bornes de l’intégrale et de l’évaluer. Cela est équivalent à ce que nous avons vu précédemment, grand 𝐹 de 𝑏 moins grand 𝐹 de 𝑎. Cette étape est presque toujours présente car c’est un raccourci très utile qui aide à organiser les calculs.

En revenant à l’exemple précédent, 𝑓 un de égale deux 𝑥. Si nous devions calculer l’intégrale entre un et trois de cette fonction par rapport à 𝑥, la prochaine étape ressemblerait à ceci, avec la primitive de 𝑓 un de 𝑥 entre crochets, comme indiqué. On continuerait ensuite les calculs en substituant trois et un, les bornes de l’intégrale. Et on arriverait finalement à une réponse de huit.

Étudions un exemple de question où nous utilisons cette notation.

Évaluez l’intégrale entre zéro et deux de deux sinus 𝑥 moins trois exponentielle de 𝑥 par rapport à 𝑥.

Pour répondre à cette question, nous allons utiliser la deuxième partie du théorème fondamental de l’analyse. Elle stipule que si 𝑓 est une fonction continue sur l’intervalle fermé entre 𝑎 et 𝑏 et que grand 𝐹 est une primitive de 𝑓. Alors l’intégrale entre 𝑎 et 𝑏 de 𝑓 de 𝑥 par rapport à 𝑥 est égale à grand 𝐹 de 𝑏 moins grand 𝐹 de 𝑎. En revenant à la question, la première chose que l’on remarque est que la fonction 𝑓, qui est l’intégrande, se compose de deux termes différents. Le premier terme implique la fonction trigonométrique sinus. Et la seconde implique l’exponentielle 𝑒. Vous devez déjà certainement savoir que les fonctions trigonométriques et exponentielles de cette forme sont continues sur l’ensemble des nombres réels. On a donc rempli le critère de continuité de la fonction 𝑓 sur l’intervalle fermé entre 𝑎 et 𝑏, qui est dans ce cas l’intervalle fermé entre zéro et deux.

Maintenant, comme il y a deux termes, on voit que les calculs seront plus clairs si on les sépare en deux intégrales distinctes. On le fait donc en se rappelant de conserver les mêmes bornes de l’intégrale pour les deux termes. On peut maintenant évaluer chacune de ces intégrales séparément. La primitive de deux sin 𝑥 est moins deux cos 𝑥. Et la primitive de moins trois exponentielle 𝑥 est moins trois exponentielle 𝑥. On rappelle que l’on peut bien sûr ignorer la constante d’intégration dans les deux cas car on calcule des intégrales définies.

On note ici que l’on a exprimé la primitive entre crochets, les bornes de l’intégrale étant reportées sur le crochet de droite dans les deux cas. Comme ces deux crochets ont les mêmes bornes d’intégration, on peut tout simplement les regrouper. Vous remarquerez peut-être que nous aurions pu passer directement de l’intégrale initiale à cette étape, en traitant chacun des termes individuellement. Au lieu de séparer l’intégrale en deux et de la regrouper, nous aurions simplement pu déterminer la primitive de chacun des termes. Si vous n’êtes cependant pas confiant dans vos calculs, il n’y a aucun mal à écrire la méthode dans son intégralité.

Pour avancer dans la question, on substitue maintenant les bornes de l’intégrale, qui sont zéro et deux. On arrive alors à l’expression suivante. Pour le premier ensemble de parenthèses, aucune simplification n’est nécessaire. On peut donc le laisser comme cela. Pour le deuxième ensemble de parenthèses, on peut rappeler que cos de zéro égale un. Donc, moins deux cos de zéro égale moins deux. En parallèle, exponentielle de zéro est aussi égal à un. Donc, moins trois exponentielle de zéro égale moins trois. Le deuxième ensemble de parenthèses devient donc moins deux moins trois, soit moins cinq. Mais pour la réponse finale, on doit soustraire cette valeur. Elle devient donc plus cinq. Et nous avons maintenant atteint la réponse finale. L’intégrale donnée dans la question est égale à deux cosinus de deux moins trois exponentielle de 2 plus cinq.

Ok, si nous revenons au théorème fondamental de l’analyse, une autre condition importante à considérer est la continuité de la fonction 𝑓 que nous intégrons. Rappelez-vous que le théorème stipule que la fonction doit être continue sur l’intervalle fermé entre 𝑎 et 𝑏. 𝑎 et 𝑏 forment les bornes de notre intégrale. Si 𝑓 n’est pas continue sur cet intervalle, alors nous ne pouvons pas dire avec certitude que cette relation est vraie. Pour illustrer cela, considérons la fonction un sur racine carrée de 𝑥. Si on trace la représentation graphique de cette fonction, elle ressemble à peu près à cela. Considérons maintenant l’intégrale de la fonction par rapport à 𝑥 entre un et deux. Elle peut être interprétée comme l’aire sous la courbe entre un et deux, comme le montre le graphique.

Pour l’évaluer, il peut être utile de reformuler un sur racine carrée de 𝑥 pour que la puissance de 𝑥 soit sous une forme plus facile à traiter. On utilise ensuite la formule connue de la primitive d’une puissance. Et on simplifie. Si on continue, on ne rencontre aucun problème dans la suite des calculs. Et on arrive à une réponse numérique. Que se passerait-il maintenant si nous devions évaluer l’intégrale entre moins un et un? Ici, nous pourrions commencer à rencontrer des problèmes. Il est clair sur la représentation graphique que 𝑓 de 𝑥 n’est pas défini lorsque 𝑥 est inférieur ou égal à zéro. Essayer d’imaginer l’aire sous la courbe entre ces bornes n’aurait aucun sens. Comme la fonction n’est pas définie sur une partie de l’intervalle fermé entre moins un et un, nous ne pouvons pas dire qu’elle est continue. Compte tenu de ce fait, cela n’a aucun sens de continuer les calculs car nous ne pouvons pas utiliser le théorème fondamental de l’analyse pour évaluer cette intégrale.

Prenons un exemple pour illustrer cela.

Évaluez l’intégrale de quatre à neuf de moins deux racine carrée de 𝑥 par rapport à 𝑥.

Nous devons évaluer une intégrale. Pour ce type ce question, il peut parfois être utile de déplacer les facteurs constants, tels que le moins deux, de l’intérieur de l’intégrale vers l’extérieur. On peut également reformuler racine carrée de 𝑥 comme 𝑥 puissance un sur 2 ou 𝑥 puissance 0,5. Et nous allons voir pourquoi dans un instant. Pour continuer l’évaluation, nous allons utiliser la deuxième partie du théorème fondamental de l’analyse. Elle fournit un moyen d’évaluer des intégrales en utilisant la primitive de la fonction dans l’intégrale.

On rappelle que le théorème stipule que la fonction 𝑓 doit être continue sur l’intervalle fermé entre 𝑎 et 𝑏. 𝑎 et 𝑏 sont les bornes de l’intégrale, qui sont dans ce cas quatre et neuf. Maintenant, la fonction 𝑓 est racine carrée de 𝑥, que l’on vient d’exprimer comme 𝑥 puissance un sur 2. Cette fonction n’est pas continue sur l’ensemble des nombres réels, elle ne l’est que lorsque 𝑥 est supérieur ou égal à zéro. Heureusement, les deux bornes de l’intégrale, quatre et neuf, sont supérieures ou égales à zéro. On peut donc dire que racine carrée de 𝑥 est continue sur l’intervalle fermé entre quatre et neuf. Cela signifie que nous pouvons tout à fait utiliser le théorème.

Pour poursuivre l’évaluation, on utilise la formule de la primitive d’une puissance, en augmentant la puissance de 𝑥 de un et en divisant par la nouvelle puissance. La primitive de 𝑥 puissance un sur deux est donc deux sur trois fois 𝑥 puissance trois sur deux. À nouveau, on sort le facteur constant des crochets pour faciliter les calculs. On substitue ensuite les bornes d’intégration. À ce stade, il est plus utile d’exprimer la puissance de trois sur deux comme le cube d’une racine carrée. Neuf et quatre sont tous les deux des nombres carrés, ce qui facilite les calculs. Et on peut simplifier les parenthèses par trois au cube moins deux au cube. On effectue maintenant quelques simplifications supplémentaires. Et nous obtenons enfin la réponse moins 76 sur trois. Il s’agit de la réponse finale à la question.

Nous avons évalué l’intégrale en utilisant la deuxième partie du théorème fondamental de l’analyse. Lors du processus, nous avons vérifié que la fonction 𝑓 était bien continue sur l’intervalle fermé entre les bornes de l’intégrale. Un dernier point que nous n’avons pas encore abordé. Nous pouvons dire que racine carrée de 𝑥 n’est pas continue lorsque 𝑥 est inférieur à zéro, car racine carrée de 𝑥 n’est en fait pas définie sur les nombres réels inférieurs à zéro. Et bien sûr, une fonction ne peut pas être continue en des points où elle n’est pas définie.

Passons maintenant à la suite de cette leçon. D’autres cas intéressants sont les fonctions définies par morceaux ou les valeurs absolues de fonctions. La raison pour laquelle nous devons être prudents avec ces fonctions est qu’elles ont des comportements différents sur différentes régions de leur ensemble de définition.

Voyons un exemple de cela dans la question suivante.

Évaluez l’intégrale de valeur absolue de 𝑥 moins deux par rapport à 𝑥 entre moins quatre et cinq.

Pour cette question, nous devons évaluer l’intégrale d’une fonction, que nous appelons 𝑓. Cette fonction est la valeur absolue, ou le module, de 𝑥 moins deux. Maintenant, pour tout nombre réel, on peut exprimer une fonction de valeur absolue comme une fonction définie par morceaux. On rappelle que si 𝑥 moins deux est égal à un nombre négatif, on doit le multiplier par moins un pour le transformer en un nombre positif. Donc lorsque 𝑥 moins deux est supérieur ou égal à zéro, la fonction est simplement 𝑥 moins deux. Mais lorsque 𝑥 moins deux est inférieur à zéro, la fonction est multipliée par moins un. Cela donne donc moins 𝑥 moins deux. Bien sûr, il est plus pratique d’isoler 𝑥 d’un côté de ces inégalités. On ajoute donc deux aux deux termes. On simplifie également cette expression par moins 𝑥 plus deux.

Ok. Maintenant que nous avons reformulé la fonction en une fonction définie par morceaux, nous pouvons nous demander à quoi elle ressemble. Voici ici sa représentation graphique. Bien que l’échelle ne soit pas exacte, sa représentation graphique et sa définition par morceaux montrent la différence de comportement de la fonction de chaque côté de 𝑥 égale deux. On observe un angle au point deux, zéro sur la représentation graphique. En fait, on peut dire que la fonction n’est pas dérivable lorsque 𝑥 égale deux. Mais elle est continue lorsque 𝑥 égale deux. Cela est important car pour évaluer l’intégrale, nous allons utiliser la deuxième partie du théorème fondamental de l’analyse. Elle permet d’évaluer une intégrale en utilisant la primitive grand 𝐹, de la fonction dans l’intégrale, petit 𝑓. Pour cela, 𝑓 doit être continue sur l’intervalle fermé entre 𝑎 et 𝑏, qui sont les bornes de l’intégrale. Sachant que la fonction 𝑓 est continue lorsque 𝑥 égale deux, on peut conclure qu’elle est continue sur l’ensemble des nombres réels. Et la condition de continuité est par conséquent remplie.

Revenons maintenant à l’évaluation de l’intégrale. Nous avons déjà établi que la fonction se comporte différemment de chaque côté de la droite 𝑥 égale deux. Une première étape utile est alors de séparer l’intégrale en deux parties. La première va de la borne inférieure, moins quatre, à deux et la seconde de deux à cinq. Comme la borne supérieure de la première intégrale est égale à la borne inférieure de la deuxième intégrale, leur somme est égale à l’intégrale initiale. Maintenant que l’on a séparé l’intégrale en deux parties, on peut substituer les deux sous-fonctions de la définition par morceaux de valeur absolue de 𝑥 moins deux. On peut comprendre ce processus en considérant les intégrales comme l’aire sous ces droites. De moins quatre à deux, la fonction se comporte comme moins 𝑥 plus deux. Et de deux à cinq, elle se comporte comme 𝑥 moins deux. La somme de ces deux aires est donc égale à l’intégrale initiale.

Nous pouvons maintenant continuer les calculs en utilisant la formule connue de la primitive d’une puissance. On augmente la puissance de 𝑥 de un et on divise par la nouvelle puissance dans chacun des termes. Faisons un peu de place pour les prochaines étapes. On a ici substitué les bornes des deux intégrales. Et ajouté de la couleur pour vous aider à suivre les calculs. On doit effectuer quelques étapes supplémentaires de simplification. Libérons à nouveau de l’espace. Et continuons à simplifier. On arrive enfin à un point où on peut exprimer tous les termes comme une fraction sur deux. Et nous obtenons la réponse finale quarante-cinq demis, soit 45 sur deux. Nous avons donc répondu à la question. Pour cela, nous avons d’abord exprimé la valeur absolue de 𝑥 moins deux comme une fonction définie par morceaux. Puis avons séparé l’intégrale initiale en deux parties et utilisé la deuxième partie du théorème fondamental de l’analyse pour nous aider à évaluer chaque intégrale.

Ok. Pour terminer, passons en revue quelques points clés. La deuxième partie du théorème fondamental de l’analyse stipule si 𝑓 est une fonction continue sur l’intervalle fermé entre 𝑎 et 𝑏 et si grand 𝐹 est une primitive de 𝑓, que l’on peut exprimer par grand 𝐹 prime de 𝑥 égale 𝑓 de 𝑥. Alors l’intégrale entre 𝑎 et 𝑏 de 𝑓 de 𝑥 par rapport à 𝑥 est égale à grand 𝐹 de 𝑏 moins grand 𝐹 de 𝑎. Gardez à l’esprit que nous pouvons utiliser n’importe quelle primitive de la fonction petit 𝑓. Cela signifie que nous pouvons choisir le cas qui rend nos calculs aussi simples que possible. Ce qui se produit lorsque 𝑐, la constante d’intégration, est égale à zéro, et qui nous permet essentiellement de l’ignorer.

Pour calculer une intégrale, une des étapes est souvent d’écrire la primitive entre crochets avec les bornes de l’intégrale reportées sur le crochet de droite. Cela permet d’exprimer la primitive comme une fonction avant de substituer les bornes de l’intégrale. Il s’agit généralement d’une étape intermédiaire pour arriver à grand 𝐹 de 𝑏 moins grand 𝐹 de 𝑎. Pour utiliser ce théorème, pensez à vérifier que 𝑓 est bien continue et donc définie sur l’intervalle fermé entre 𝑎 et 𝑏. Si ce n’est pas le cas, l’intégration peut ne pas fonctionner. Enfin, les fonctions par morceaux ou les fonctions impliquant des valeurs absolues peuvent nécessiter de séparer l’intégrale en plusieurs parties, car ces types de fonctions se comportent différemment sur différentes régions de leurs ensembles de définition.

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