Vidéo : Le Théorème fondamental de l’analyse : évaluation des intégrales définies

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à utiliser le théorème fondamental de l’analyse pour calculer les intégrales définies.

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Le théorème fondamental de l’analyse : évaluation des intégrales définies. Dans cette vidéo, nous allons apprendre comment évaluer des intégrales définies en utilisant le théorème fondamental de l’analyse. Le théorème est généralement énoncé en deux parties. Aux fins de la présente vidéo, nous allons nous concentrer sur la deuxième partie. Celle-ci nous dit que si 𝑓 minuscule est une fonction continue sur l’intervalle fermé entre 𝑎 et 𝑏, et que 𝐹 majuscule est toute primitive de 𝑓 minuscule. Notée ici 𝐹 majuscule prime de 𝑥 égale 𝑓 minuscule de 𝑥. Alors l’intégrale entre 𝑎 et 𝑏 de 𝑓 minuscule de 𝑥 par rapport à 𝑥 est égale à 𝐹 majuscule de 𝑏 moins 𝐹 majuscule de 𝑎.

Maintenant, ici, un point intéressant à noter est que nous avons dit que 𝐹 majuscule est toute primitive de 𝑓 minuscules. Cela signifie que s’il y a plusieurs primitives, peu importe laquelle nous choisissons pour utiliser notre théorème. Pour donner un sens à tout cela, revenons à ce que nous entendons par une primitive. Nous sommes maintenant familiers avec le fait que la première partie du théorème fondamental de l’analyse nous dit essentiellement que la dérivation et l’intégration sont des processus inverses. Cela signifie que nous pouvons trouver la forme générale de la primitive d’une fonction, 𝑓 minuscule de 𝑥, en évaluant l’intégrale indéfinie de cette fonction. Considérons un exemple de fonction. 𝑓 minuscule un de 𝑥 égale deux 𝑥. Sa primitive, 𝐹 majuscule un de 𝑥 serait égale à l’intégrale indéfinie de deux 𝑥 par rapport à 𝑥.

Pour résoudre ce problème, nous utilisons la règle de la puissance de l’intégration en augmentant la puissance de 𝑥 d’une unité et en divisant par la nouvelle puissance. Bien sûr, ici, il ne faut pas oublier d’ajouter notre constante d’intégration, 𝑐. Plus simplement, notre réponse s’écrit 𝑥 au carré plus 𝑐. Maintenant, cette constante d’intégration 𝑐 peut prendre n’importe quelle valeur que nous voulons. Et notre expression serait encore l’une d’une infinité de primitives de notre fonction initiale 𝐹 un de 𝑥. Si nous prenons le cas de 𝑐 égale zéro, 𝐹 un de 𝑥 serait simplement 𝑥 au carré. 𝑐 égale cinq nous donnerait une primitive de 𝑥 au carré plus cinq. 𝑐 pourrait même être moins 𝜋, ce qui signifierait que notre primitive serait 𝑥 au carré moins 𝜋. Tous ces produits sont des primitives de deux 𝑥.

Étant donné que le théorème fondamental d’analyse nous permet d’utiliser n’importe laquelle de ces primitives pour évaluer une intégrale définie, alors que faisons-nous ? Continuons à utiliser notre exemple de fonction 𝑓 un de 𝑥 égale deux 𝑥. Et maintenant, envisageons l’intégrale définie entre 𝑎 et 𝑏 de cette fonction. Le théorème nous dit que celle-ci égale la primitive 𝐹 majuscule un de 𝑏 moins 𝐹 majuscule un de 𝑎. Nous pouvons choisir arbitrairement une de nos primitives, par exemple, 𝑥 au carré plus cinq. Si 𝐹 un de 𝑥 égale 𝑥 au carré plus cinq, alors 𝐹 un de 𝑏 est égale à 𝑏 au carré plus cinq. Le même raisonnement s’applique pour 𝐹 un de 𝑎. En simplifiant, nous voyons qu’il y a le plus cinq et le moins cinq qui s’annulent mutuellement. Et il nous reste donc 𝑏 au carré moins 𝑎 au carré.

En fait, si nous avions utilisé la forme générale qui aurait impliqué n’importe quelle constante 𝑐, nous aurions obtenu la même chose. Donc, quelle que soit la constante que nous utilisons, nous arrivons au même résultat. Étant donné ce fait, nous pouvons simplement choisir d’ignorer complètement la constante d’intégration lors de l’évaluation d’une intégrale définie. Et c’est essentiellement pareil au cas où 𝑐 égale zéro. Si nous avions considéré ce cas au départ, nous aurions obtenu la même réponse, mais avec moins d’étapes de travail.

Voyons maintenant un exemple de notre théorème dans la pratique.

Soit 𝑓 de 𝑥 égale six 𝑥 au carré plus un. Évaluez l’intégrale définie de 𝑓 de 𝑥 égale deux à 𝑥 égale trois.

Pour cette question, on nous demande d’évaluer une intégrale définie qui, en utilisant la notation standard, ressemblerait à ceci. Nous voyons que l’intégrande est notre fonction 𝑓 de 𝑥. Et les limites de l’intégration sont deux et trois, comme le précise la question. Pour évaluer cette intégrale définie, nous allons utiliser la deuxième partie du théorème fondamental de l’analyse. Celle-ci nous indique que si 𝑓 minuscule est une fonction continue sur l’intervalle fermé entre 𝑎 et 𝑏 et 𝐹 majuscule prime de 𝑥 est égale à 𝑓 minuscule de 𝑥. Autrement dit, 𝐹 majuscule est une primitive de 𝑓 minuscule. Alors l’intégrale entre 𝑎 et 𝑏 de 𝑓 minuscule de 𝑥 par rapport à 𝑥 est égale à 𝐹 majuscule de 𝑏 moins 𝐹 majuscule de 𝑎.

Appliquons maintenant ce théorème pour résoudre notre problème. Notre fonction 𝑓 minuscule de 𝑥 est égale à six 𝑥 au carré plus un. Pour déterminer cette primitive, 𝐹 majuscule de 𝑥, on peut intégrer 𝑓 minuscule de 𝑥. Si nous appliquons la règle de la puissance de l’intégration, en augmentant la puissance de 𝑥 dans chacun de nos termes et en divisant ensuite par la nouvelle puissance, nous obtenons une réponse de six 𝑥 au cube sur trois plus 𝑥. Et nous ajoutons aussi notre constante d’intégration 𝑐. A ce stade, nous rappelons que le théorème fondamental de l’analyse nous permet d’utiliser n’importe quelle primitive, ce qui signifie que 𝑐 peut prendre n’importe quelle valeur. Logiquement, nous allons choisir le cas le plus simple possible, c’est-à-dire lorsque 𝑐 égale zéro. Essentiellement, cela signifie que nous pouvons ignorer cette constante. En simplifiant, la primitive que nous allons utiliser ensuite est deux 𝑥 au cube plus 𝑥. Parfait. Mettons cette primitive d’un côté et revenons à notre calcul initial.

La question nous demande d’évaluer cette intégrale définie. Notre limite supérieure d’intégration est de trois. Et notre limite inférieure est de deux. Le théorème fondamental de l’analyse nous dit alors que cette intégrale égale 𝐹 majuscule de trois moins 𝐹 majuscule de deux. Maintenant, puisque nous venons de déterminer 𝐹 majuscule de 𝑥, notre primitive, nous pouvons remplacer par les valeurs de trois et deux dans cette fonction. Après avoir introduit ces valeurs, nous pouvons effectuer quelques simplifications sur notre nouvelle expression. Après avoir effectué ces simplifications, nous obtenons la réponse 39. Avec cette étape, nous avons terminé notre question. La valeur de l’intégrale définie donnée dans la question est 39. Nous avons évalué notre intégrale en utilisant la primitive de la fonction donnée 𝐹 de 𝑥. Et l’outil que nous avons utilisé pour nous aider était la deuxième partie du théorème fondamental de l’analyse.

Bon, avant de continuer, un bref mot sur la notation. Étant donné l’intégrale définie entre 𝑎 et 𝑏 d’une fonction 𝑓 de 𝑥 par rapport à 𝑥, très souvent, vous verrez l’étape suivante écrite sous la forme suivante. Avec la primitive de la fonction donnée écrite entre parenthèses comme ça et les limites de l’intégration reportées sur le crochet droit. Et ce n’est qu’un sténo. C’est une façon d’exprimer la primitive comme une fonction avant de remplacer avec nos limites d’intégration et d’évaluer. C’est l’équivalent de ce que nous devrions maintenant connaître, à savoir 𝐹 majuscule de 𝑏 moins 𝐹 majuscule de 𝑎. Vous verrez presque toujours cette étape, car c’est un sténo très utile qui aide à mettre de l’ordre dans notre travail.

En retournant à notre précédent exemple de fonction d’exemple, 𝑓 un de 𝑥 égale deux 𝑥. Si nous devions envisager l’intégrale définie entre un et trois de cette fonction par rapport à 𝑥, notre étape suivante ressemblerait à ceci, avec la primitive de 𝑓 un de 𝑥 entre parenthèses, comme indiqué. Nous procéderions ensuite à la poursuite de notre évaluation en remplaçant par trois et un, les limites d’intégration. Et nous avons terminé par obtenir la réponse huit.

Voyons un exemple utilisant cette notation.

Évaluez l’intégrale entre zéro et deux de deux sin 𝑥 moins trois 𝑒 à la puissance 𝑥 par rapport à 𝑥.

Pour répondre à cette question, nous allons utiliser la deuxième partie du théorème fondamental de l’analyse. Elle nous indique que si 𝑓 minuscule est une fonction continue sur l’intervalle fermé entre 𝑎 et 𝑏 et que 𝐹 majuscule est n’importe quelle primitive de 𝑓 minuscule. Alors l’intégrale entre 𝑎 et 𝑏 de 𝑓 minuscule de 𝑥 par rapport à 𝑥 est égale à 𝐹 majuscule de 𝑏 moins 𝐹 majuscule de 𝑎. En repensant à notre question, la première chose que nous pouvons remarquer est que la fonction 𝑓 minuscule, qui est notre intégrande, se compose de deux termes différents. Le premier terme implique la fonction trigonométrique sinus. Et le second implique l’exponentielle 𝑒. Maintenant, nous devrions être familiers avec le fait que les fonctions trigonométriques et exponentielles sous cette forme sont continues sur l’ensemble des nombres réels. Nous avons donc rempli le critère que notre fonction 𝑓 doit être continue sur l’intervalle fermé entre 𝑎 et 𝑏, qui dans notre cas est l’intervalle fermé entre zéro et deux.

Maintenant, étant donné que nous avons deux termes, nous pourrions trouver que notre travail est plus clair si nous les découpions en intégrales séparées. Nous le ferions de cette manière, en gardant à l’esprit que les limites de l’intégration doivent rester les mêmes aux deux termes. Nous pouvons maintenant évaluer chacune de ces intégrales séparément. La primitive de deux sin 𝑥 est moins deux cos 𝑥. Et la primitive de moins trois 𝑒 à la puissance 𝑥 est moins trois 𝑒 à la puissance 𝑥. Rappelez-vous bien sûr que nous pouvons ignorer la constante de l’intégration dans les deux cas puisque nous travaillons avec des intégrales définies.

Nous notons ici que nous avons exprimé notre primitive entre deux crochets, les limites d’intégration étant reportées sur le crochet droit dans les deux cas. Étant donné que ces deux crochets ont les mêmes limites d’intégration, nous pouvons simplement les combiner. Maintenant, vous remarquerez peut-être que nous aurions pu passer directement de notre intégrale initiale à cette étape, en traitant chacun des termes séparément. Au lieu de diviser notre intégrale en deux et de la recombiner, nous aurions simplement trouvé la primitive de chacun de nos termes. Si vous n’êtes pas sûr, cependant, il n’y a pas de mal à écrire la méthode entièrement.

Pour aller de l’avant avec notre question, nous remplaçons maintenant avec les limites de notre intégration, qui sont zéro et deux. On arrive alors à l’expression suivante. Avec notre premier ensemble de parenthèses, aucune simplification n’est nécessaire. Donc on peut juste laisser ça. Pour le deuxième ensemble de parenthèses, on peut rappeler que cos zéro égale un. Donc moins deux cos zéro égale moins deux. Parallèlement à cela, 𝑒 à la puissance zéro est également un. Donc moins trois 𝑒 à la puissance zéro est moins trois. Notre deuxième ensemble de parenthèses devient donc moins deux moins trois, ce qui donne moins cinq. Mais pour notre réponse finale, nous soustrayons ceci. Il nous reste donc plus cinq. Et nous sommes maintenant arrivés à notre réponse finale. La valeur de l’intégrale définie donnée dans la question est moins deux cos deux moins trois 𝑒 au carré plus cinq.

D’accord, si nous revenons au théorème fondamental de l’analyse, une autre condition importante à considérer est la continuité de la fonction 𝑓 minuscule pour laquelle nous intégrons. Rappelez-vous que le théorème indique que notre fonction doit être continue sur l’intervalle fermé entre 𝑎 et 𝑏. Ce 𝑎 et 𝑏 forment les limites de notre intégrale. Si 𝑓 minuscule n’est pas continue sur cet intervalle, nous ne pouvons pas affirmer avec certitude que cette relation est vraie. Pour illustrer cela, considérons la fonction un sur la racine carrée de 𝑥. Si nous devions tracer le graphique de cette fonction, il pourrait ressembler à ceci. Considérons maintenant l’intégrale définie de notre fonction entre un et deux par rapport à 𝑥. Celle-ci pourrait être interprétée comme l’aire sous la courbe entre un et deux, comme le montre notre graphique.

Pour évaluer ceci, nous voudrions peut-être ré-exprimer un sur racine carrée de 𝑥, de sorte que la puissance de 𝑥 soit dans une forme plus facile à gérer. Nous utilisons ensuite la règle connue da puissance de l’intégration. Et nous simplifions. Si on continue, on ne trouvera aucun problème. Et nous aurons une réponse numérique. Bon, que se passerait-il si l’on nous demandait d’évaluer l’intégrale définie entre moins un et un ? Ici, nous pourrions commencer à avoir des problèmes. Il devrait être clair d’après notre graphique que 𝑓 de 𝑥 est indéfinie lorsque 𝑥 est inférieure ou égale à zéro. Essayer d’imaginer l’espace sous notre courbe entre ces limites n’aurait aucun sens. Puisque notre fonction n’est pas définie sur une partie de l’intervalle fermé entre moins un négatif et un, on ne peut pas dire qu’elle est continue. Compte tenu de ce fait, il n’y a aucun sens à continuer, puisque nous ne pouvons pas utiliser le théorème fondamental de l’analyse pour évaluer cette intégrale.

Prenons un exemple pour illustrer cela.

Évaluez l’intégrale entre quatre et neuf de moins deux fois la racine carrée de 𝑥 par rapport à 𝑥.

Pour cette question, on nous demande d’évaluer une intégrale définie. Avec des questions de ce genre, il peut parfois être utile de déplacer des facteurs constants, tels que le moins deux, de l’intérieur de l’intégrande vers l’extérieur. Ensuite, il pourrait être utile de ré-exprimer notre racine carrée de 𝑥 comme 𝑥 à la puissance un demi ou 𝑥 à la puissance de 0,5. Et nous verrons pourquoi dans un instant. Pour aller de l’avant avec cette question, nous allons utiliser la deuxième partie du théorème fondamental de l’analyse. Ça nous permet d’évaluer des intégrales définies à l’aide de la primitive de la fonction qui forme l’intégrande.

À ce stade, nous notons que le théorème indique que la fonction 𝑓 minuscule doit être continue sur l’intervalle fermé entre 𝑎 et 𝑏. 𝑎 et 𝑏 sont les limites de l’intégration, qui dans notre cas sont quatre et neuf. La fonction avec laquelle nous travaillons maintenant, 𝑓 minuscules, est la racine carrée de 𝑥, que nous venons d’exprimer sous la forme 𝑥 à la puissance un demi. Cette fonction n’est pas continue sur l’ensemble des nombres réels, mais n’est continue que lorsque 𝑥 est supérieure ou égal à zéro. Heureusement, les deux limites de notre intégrale définie, quatre et neuf, sont supérieures ou égales à zéro. On peut donc dire que la racine carrée de 𝑥 est continue sur l’intervalle fermé entre quatre et neuf. Cela signifie qu’il est tout à fait possible d’utiliser notre théorème.

Pour poursuivre avec notre évaluation, nous utilisons la règle de puissance de l’intégration, en augmentant la puissance de 𝑥 d’une unité et en divisant par la nouvelle puissance. La primitive de 𝑥 à la puissance un demi est donc deux sur trois fois 𝑥 à la puissance trois sur deux. Encore une fois, nous allons sortir ce facteur constant de nos parenthèses pour faciliter nos calculs. Ensuite, nous substituons avec nos limites d’intégration. À ce stade, il pourrait être plus utile de voir notre puissance de trois sur deux exprimée comme le cube d’une racine carrée. Avantageusement, neuf et quatre sont des nombres carrés. Et nous pouvons simplifier nos parenthèses pour qu’elles soient trois au cube moins deux au cube. Nous allons maintenant simplifier davantage. Et finalement, nous obtenons comme réponse moins 76 sur trois. C’est la réponse finale à notre question.

Nous avons évalué l’intégrale définie donnée en utilisant la deuxième partie du théorème fondamental de l’analyse. En cours de route, nous avons bien vérifié que notre fonction 𝑓 minuscule était continue sur l’intervalle fermé entre les limites de l’intégration. Un dernier point que nous n’avons pas vraiment abordé plus tôt. Nous pouvons dire que la racine carrée de 𝑥 n’est pas continue lorsque 𝑥 est strictement inférieure à zéro, car, en fait, la racine carrée de 𝑥 est indéfinie sur l’ensemble des nombres réels lorsque 𝑥 est inférieure à zéro. Et bien sûr, une fonction ne peut pas être continue en des points où elle n’est pas définie.

Passons maintenant à autre chose. D’autres cas qui valent la peine d’être considérées sont les cas de fonctions définies par morceaux ou les cas impliquant la valeur absolue d’une fonction. La raison pour laquelle nous pourrions avoir besoin de réfléchir attentivement à ces fonctions est qu’elles peuvent être considérées comme ayant des comportements différents selon les différentes régions de leur ensemble de définition.

Voyons ce qu’il faut faire dans l’exemple suivant.

Évaluez l’intégrale définie entre moins quatre et cinq de la valeur absolue de 𝑥 moins deux par rapport à 𝑥.

Pour cette question, on nous demande d’évaluer l’intégrale définie d’une fonction, que nous appellerons 𝑓 minuscule. Cette fonction est la valeur absolue ou le module de 𝑥 moins deux. Maintenant, pour n’importe quel nombre réel, nous pouvons exprimer une fonction de valeur absolue sous la forme d’une fonction définie par morceaux. On peut le faire en rappelant que si 𝑥 moins deux a comme valeur un nombre négatif ou une valeur absolue, on la multiplie par moins un pour la transformer en un nombre positif. Donc quand 𝑥 moins deux est supérieure ou égale à zéro, notre fonction est simplement 𝑥 moins deux. Mais lorsque 𝑥 moins deux est strictement inférieure à zéro, notre fonction est multipliée par moins un. C’est donc moins 𝑥 moins deux. Bien sûr, il est probablement plus utile pour nous d’isoler 𝑥 d’un côté de ces inéquations. Nous le faisons en ajoutant deux de chaque côté. Maintenant, il pourrait aussi être utile pour nous de simplifier cela comme moins 𝑥 plus deux.

Bon. Maintenant que nous avons ré-exprimé notre fonction définie par morceaux, nous pouvons penser à sa représentation graphique. Nous voyons ici le graphique. Bien que l’échelle ne soit pas exacte, le graphique et la définition par morceau devraient nous montrer la différence de comportement de notre fonction de chaque côté de 𝑥 égale deux. Nous voyons un coin pointu au point deux, zéro sur notre graphique. En fait, nous dirions que notre fonction n’est pas dérivable lorsque 𝑥 égale deux. Mais elle est continue lorsque 𝑥 égale deux. C’est important, car pour évaluer notre intégrale définie, nous utiliserons la deuxième partie du théorème fondamental de l’analyse. Cela nous permet d’évaluer une intégrale définie à l’aide de la primitive, 𝐹 majuscule, de la fonction qui forme notre intégrande, 𝑓 minuscule. La condition pour faire cela est que 𝑓 minuscule soit continue sur l’intervalle fermé entre 𝑎 et 𝑏, qui sont les limites de l’intégration. Étant donné que notre fonction 𝑓 minuscule est continue lorsque 𝑥 égale deux, nous pouvons conclure qu’elle est continue sur l’ensemble des nombres réels. La condition de continuité est donc remplie.

Bon, commençons à l’évaluer l’intégrale définie. Nous avons déjà dit que notre fonction se comporte différemment de chaque côté de la droite 𝑥 égale deux. Une première étape utile pour nous est donc de découper notre intégrale en deux parties. La première va de la limite inférieure, moins quatre à deux, et la deuxième de deux à cinq. Puisque la limite supérieure de notre première intégrale est la même que la limite inférieure de notre deuxième intégrale, la somme de ces deux sera la même que notre intégrale initiale. Maintenant que nous avons divisé notre intégrale en deux parties, nous sommes en mesure de substituer avec les deux sous-fonctions distinctes que nous avons définies en utilisant la définition par morceaux de la valeur absolue de 𝑥 moins deux. Nous pouvons le comprendre en considérant nos intégrales comme l’aire sous ces droites. De moins quatre à deux, notre fonction se comporte comme moins 𝑥 plus deux. Et de deux à cinq, notre fonction se comporte comme 𝑥 moins deux. Nous pouvons interpréter la somme de ces deux aires comme étant la même que notre intégrale initiale.

À partir de ce point, nous pouvons maintenant aller de l’avant en utilisant la règle connue de puissance de l’intégration. Nous élevons la puissance de 𝑥 pour chacun de nos termes et divisons par la nouvelle puissance. Remettons de l’ordre pour faire de la place pour les étapes suivantes. Ici, nous avons introduit les limites des deux intégrales. Et un peu de couleur a été ajoutée pour aider à suivre le calcul. Nous devrons effectuer quelques étapes supplémentaires de simplification. Encore une fois, nous allons dégager un peu d’espace. Et nous continuerons à simplifier. Finalement, nous arrivons à un point où nous exprimons tout en fonction de demis. Et nous obtenons une réponse finale de quarante-cinq demis ou 45 sur deux. Ainsi, nous avons terminé notre question. Pour ce faire, nous avons d’abord exprimé la valeur absolue de 𝑥 moins deux sous la forme d’une fonction définie par morceaux. Ensuite, en divisant notre intégrale initiale en deux parties et en utilisant la deuxième partie du théorème fondamental de l’analyse pour nous aider à évaluer chaque partie séparément.

Bon. Pour terminer, passons en revue quelques points clés. La deuxième partie du théorème fondamental de l’analyse nous dit que si 𝑓 minuscule est une fonction continue sur l’intervalle fermé entre 𝑎 et 𝑏, et si le 𝐹 majuscule est n’importe quelle primitive de 𝑓 minuscule, que nous pouvons exprimer sous la forme de 𝐹 majuscule prime de 𝑥 égale 𝑓 minuscule de 𝑥. Alors l’intégrale entre 𝑎 et 𝑏 de 𝑓 minuscule de 𝑥 par rapport à 𝑥 est égale à 𝐹 majuscule de 𝑏 moins 𝐹 majuscule de 𝑎. Rappelez-vous, nous pouvons utiliser n’importe quelle primitive de la fonction 𝑓 minuscules. Cela signifie que nous pouvons choisir de prendre le cas qui rend nos calculs aussi simples que possible. C’est alors lorsque 𝑐, notre constante d’intégration, est égale à zéro, ce qui nous permet essentiellement de l’ignorer.

Souvent, lorsqu’on nous donne une intégrale définie, l’étape suivante sera d’écrire la primitive entre parenthèses avec les limites de l’intégration reportées sur le crochet droit. C’est une façon d’exprimer la primitive comme une fonction avant d’introduire les limites d’intégration. Mais il s’agit généralement d’une étape intermédiaire sur votre chemin vers 𝐹 majuscule de 𝑏 moins le 𝐹 majuscule de 𝑎. Pour utiliser ce théorème, n’oubliez pas de vérifier que la fonction 𝑓 minuscule est continue et définie sur l’intervalle fermé entre 𝑎 et 𝑏. Si ce n’est pas le cas, l’intégration peut échouer. Enfin, les fonctions définies par morceaux ou les fonctions impliquant des valeurs absolues peuvent vous obliger à découper l’intégrale en plusieurs parties, car ces types de fonctions se comportent différemment sur différentes régions de leurs ensembles de définition.

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