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Fiche explicative de la leçon : Théorème fondamental de l’analyse : calculer les intégrales définies Mathématiques

Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre à utiliser le théorème fondamental de l’analyse pour calculer les intégrales définies.

Les intégrales sont une somme de quantités données et sont étroitement liées aux primitives. Elles fournissent un outil puissant pour comprendre et modéliser un bon nombre de phénomènes du monde réel, et qu’on peut rencontrer dans de nombreuses disciplines:en mathématiques par exemple lors de calcul d’air et de volume, en physique lors de la recherche de la masse d’un objet, du travail effectué, ou de la pression exercée sur un objet, pour n’en nommer que quelques exemples.

L’intégrale de la fonction 𝑓(𝑥) de 𝑥=𝑎 à 𝑥=𝑏 peut être interprétée comme l’aire délimitée par la courbe de 𝑓(𝑥), les axes 𝑥=𝑎 , 𝑥=𝑏 et l’axe des abscisses;une représentation visuelle de cette intégrale est donnée ci-dessous

Quelle est donc la définition des intégrales?Avant de donner leur définition précise, on remarque que l’on peut estimer l’aire sous la courbe représentative d’une fonction 𝑦=𝑓(𝑥) bornée par 𝑥=𝑎 et 𝑥=𝑏 et l’axe des abscisses et ce en divisant d’abord l’intervalle [𝑎;𝑏] en 𝑛 sous-intervalles de même largeur, [𝑥;𝑥] pour 𝑖=1,,𝑛, comme indiqué sur la figure.

Cela donne 𝑛 rectangles de même largeur Δ𝑥 où la hauteur de chaque rectangle est égale à la valeur de la fonction, 𝑓(𝑥) à l’extrémité supérieure de chaque sous-intervalle. L’aire de chaque rectangle est le produit de cette hauteur et de cette largeur, 𝑓(𝑥)Δ𝑥. On peut estimer l’aire sous la courbe de 𝑓(𝑥) en additionnant les aires de chaque rectangle:Aire𝑓(𝑥)Δ𝑥++𝑓(𝑥)Δ𝑥=𝑓(𝑥)Δ𝑥.

Cette méthode est également connue sous le nom de la somme de Riemann à droite. Quand le nombre de rectangles 𝑛 devient plus grand et que la largeur Δ𝑥 devient plus petite, cette estimation se rapproche de l’aire réelle sous la courbe représentative. En fait, l’intégrale, qui est égale à l’aire exacte sous la courbe, est définie en prenant la limite de cette somme lorsque le nombre de rectangles tend vers l’infini.

Définition : Intégrale

Pour une fonction 𝑓 continue et définie sur l’intervalle [𝑎;𝑏], on peut diviser l’intervalle en 𝑛 sous-intervalles [𝑥;𝑥] de largeur égale Δ𝑥, et choisir des points d’échantillonnage 𝑥[𝑥;𝑥]. L’intégrale de 𝑥=𝑎 à 𝑥=𝑏 est définie en fonction de la somme de Riemann par 𝑓(𝑥)𝑥=𝑓𝑥Δ𝑥,dlim𝑥=𝑎+𝑖Δ𝑥,Δ𝑥=𝑏𝑎𝑛=𝑥𝑥, à condition que la limite existe et donne la même valeur pour tous les points d’échantillonnage 𝑥[𝑥;𝑥].

Le choix du point d’échantillonnage 𝑥 dans le sous-intervalle [𝑥;𝑥] n’a pas d’importance. Comme la différence ou la largeur des termes sommés Δ𝑥0, il en va de même pour la différence entre deux points quelconques de l’intervalle. Le choix des 𝑥 est en effet arbitraire, ce qui peut produire différentes sommes de Riemann qui convergent vers la même valeur. En particulier, les choix fréquemment utilisés sont les suivants:

  • Si 𝑥=𝑥, c’est-à-dire si la fonction 𝑓 est évaluée à l’extrémité supérieure de chaque sous-intervalle, on a alors la somme de Riemann à droite. L’intégrale en fonction de cette somme est 𝑓(𝑥)𝑥=𝑓(𝑥)Δ𝑥.dlim Il s’agit du choix le plus fréquent pour déterminer une somme de Riemann spécifique ou une intégrale, en raison de sa simplicité, et il correspond à l’exemple ci-dessus de l’estimation de l’aire sous la courbe en utilisant 𝑛 rectangles de même largeur, avec la limite quand 𝑛+.
  • Si 𝑥=𝑥, c’est-à-dire si la fonction 𝑓 est évaluée à l’extrémité inférieure de chaque sous-intervalle, on a alors la somme de Riemann à gauche.
  • Si 𝑥=(𝑥+𝑥)2, c’est-à-dire si la fonction 𝑓 est évaluée au milieu de chaque sous-intervalle, on a alors la somme de Riemann du point médian.

L’intégrale est toujours égale à l’aire sous la courbe (dans le cadre de cette fiche explicative, on appelle aire sous la courbe, l’aire entre la courbe et l’axe des abscisses);l’intégrale correspondant à l’aire au-dessus de l’axe des 𝑥 est toujours positive, alors qu’elle est toujours négative quand elle est sous l’axe des 𝑥, comme le montre la figure.

Si la courbe représentative a des portions au-dessus et en dessous de l’axe des 𝑥 sur l’intervalle [𝑎;𝑏], alors l’intégrale est égale à l’aire au-dessus de l’axe des 𝑥 moins l’aire sous l’axe des 𝑥 sur l’intervalle [𝑎;𝑏].

Comment évalue-t-on ces intégrales?Utiliser la définition de l’intégrale en fonction de la limite des sommes de Riemann est assez laborieux dans la pratique. On peut en fait les évaluer en utilisant le théorème fondamental de l’analyse.

Lorsqu’une fonction à valeurs réelles est continue sur un intervalle [𝑎;𝑏], le premier théorème permet de déterminer sa primitive à partir de son intégrale indéfinie. Rappelons d’abord le premier théorème fondamental de l’analyse concernant l’existence d’une primitive.

Premier théorème fondamental de l’analyse

Si 𝑓 est une fonction réelle définie et continue sur [𝑎;𝑏] et que 𝐹 est la fonction définie pour tout 𝑥 appartenant à [𝑎;𝑏] par 𝐹(𝑥)=𝑓(𝑡)𝑡,d alors 𝐹 est uniformément continue sur [𝑎;𝑏] et dérivable sur [𝑎;𝑏], et 𝐹(𝑥)=𝑓(𝑥), pour tout 𝑥 appartenant à [𝑎;𝑏].

En d’autres termes, on peut calculer la primitive 𝐹 d’une fonction 𝑓 en calculant l’intégrale indéfinie de 𝑓 donnée par 𝐹(𝑥)=𝑓(𝑥)𝑥+𝐶,d𝐶 est appelée une constante d’intégration. D’après le premier théorème, les primitives de 𝑓 existent toujours lorsque 𝑓 est continue et il existe une infinité de primitives de 𝑓, obtenues en ajoutant cette constante arbitraire à 𝐹.

On remarque que la constante d’intégration 𝐶 est incluse dans le premier terme, que l’on ajoute généralement après l’intégration de 𝑓(𝑥), mais on l’a explicitement indiquée ici pour examiner l’intégrale indéfinie. Cela permet de clarifier pourquoi il peut exister une infinité de primitives paramétrées par cette constante. Cependant, pour des intégrales, on peut ignorer cette constante ou la définir nulle car elle s’annule, comme on le verra plus tard.

Le premier théorème fondamental de l’analyse a également un corollaire puissant que l’on va utiliser pour évaluer des intégrales.

Corollaire

Le théorème fondamental est souvent utilisé pour calculer l’intégrale d’une fonction 𝑓 pour laquelle une primitive 𝐹 est connue. Plus précisément, si 𝑓 est une fonction continue à valeurs réelles sur [𝑎;𝑏] et si 𝐹 est une primitive de 𝑓 sur [𝑎;𝑏], alors 𝑓(𝑡)𝑡=[𝐹(𝑡)]=𝐹(𝑏)𝐹(𝑎).d

Les crochets [𝐹(𝑡)] sont souvent utilisés comme une abréviation après intégration, pour indiquer les bornes auxquelles la primitive doit être évaluée et sont équivalents à 𝐹(𝑏)𝐹(𝑎).

Le corollaire suppose une continuité sur tout l’intervalle car il est déduit du premier théorème fondamental de l’analyse. Ce résultat est légèrement renforcé dans le deuxième théorème.

Deuxième théorème fondamental de l’analyse (axiome de Newton-Leibniz)

Soient 𝑓 une fonction à valeurs réelles sur un intervalle fermé [𝑎;𝑏] et 𝐹 une primitive de 𝑓 sur [𝑎;𝑏]:𝐹(𝑥)=𝑓(𝑥).

Si 𝑓 est intégrable au sens de Riemann sur [𝑎;𝑏], alors 𝑓(𝑡)𝑡=[𝐹(𝑡)]=𝐹(𝑏)𝐹(𝑎).d

Le deuxième théorème fondamental de l’analyse est un peu plus fort que le corollaire car il ne suppose pas que 𝑓 est continue.

Bien que cela ne soit pas strictement requis par le deuxième théorème, on supposera dans cette fiche explicative que toutes les fonctions sont continues sur [𝑎;𝑏] afin de pouvoir justifier l’existence de la primitive et de l’intégrale.. En fait, le corollaire du premier théorème fondamental de l’analyse est suffisant pour évaluer les intégrales que l’on va étudier grâce à cette hypothèse de continuité.

On considère une application réelle pour comprendre ces théorèmes de manière intuitive. On suppose que la température 𝑇(𝑡) d’une tasse de café diminue à une vitesse de 𝑣(𝑡)degrésCelsiusparminute, 𝑣(𝑡) est une fonction continue.

En d’autres termes, le taux de variation de la température est donné par la dérivée première de la température à l’instant 𝑡:𝑣(𝑡)=𝑇𝑡.dd

À l’instant 𝑡=0 (le début), la température de la tasse de café est de 40 degrés Celsius. Comment détermine-t-on de combien a diminué la température 5 minutes plus tard?On peut résoudre ce problème en utilisant l’intégration avec le théorème fondamental de l’analyse, 𝑣(𝑡)𝑡=𝑇(5)𝑇(0),d ou en trouvant une expression générale de la température 𝑇(𝑡) par 𝑇(𝑡)=𝑣(𝑡)𝑡+𝑇(0).d

En fait, pour toute quantité 𝜆(𝑡) dont le taux de variation est donné par la fonction continue 𝑣(𝑡), l’intégrale 𝑣(𝑡)𝑡=𝜆(𝑏)𝜆(𝑎),d décrit la variation de la quantité 𝜆 entre 𝑡=𝑎 et 𝑡=𝑏.

Les intégrales vérifient également certaines propriétés semblables aux primitives, dérivées et limites. Introduisons quelques propriétés qui seront utiles pour les problèmes de cette fiche explicative.

Propriétés des intégrales

Pour des fonctions 𝑓 et 𝑔 continues sur [𝑎;𝑏], on a:

  • La variable 𝑥 qui apparaît dans des intégrales est appelée variable muette, et on peut la remplacer par une autre et obtenir le même résultat:𝑓(𝑥)𝑥=𝑓(𝑡)𝑡.dd
  • L’intégrale d’une constante 𝑐 est proportionnelle à la largeur de l’intervalle:𝑐𝑥=𝑐(𝑏𝑎).d
  • On peut séparer des intégrales par une somme ou une différence:(𝑓(𝑥)±𝑔(𝑥))𝑥=𝑓(𝑥)𝑥±𝑔(𝑥)𝑥.ddd
  • On peut sortir un facteur constant 𝑐 de l’intégrale:𝑐𝑓(𝑥)𝑥=𝑐𝑓(𝑥)𝑥.dd
  • On peut également séparer l’intégrale selon ses bornes par une valeur 𝑐[𝑎;𝑏]comme 𝑓(𝑥)𝑥=𝑓(𝑥)𝑥+𝑓(𝑥)𝑥.ddd.

Ces propriétés des intégrales ainsi que d’autres seront étudiées plus en détail dans une autre fiche explicative;on n’a listé ici que celles utiles pour évaluer les intégrales relatives aux problèmes de cette fiche explicative. On peut démontrer ces propriétés directement à partir du théorème fondamental de l’analyse;pour la dernière propriété par exemple, on peut séparer l’intégrale et appliquer le théorème fondamental de l’analyse pour obtenir;pour la dernière propriété par exemple, on peut séparer l’intégrale et appliquer le théorème fondamental de l’analyse pour obtenir 𝑓(𝑥)𝑥=𝑓(𝑥)𝑥+𝑓(𝑥)𝑥=(𝐹(𝑐)𝐹(𝑎))+(𝐹(𝑏)𝐹(𝑐))=𝐹(𝑏)𝐹(𝑎).ddd𝑓(𝑥)𝑥=𝑓(𝑥)𝑥+𝑓(𝑥)𝑥=(𝐹(𝑐)𝐹(𝑎))+(𝐹(𝑏)𝐹(𝑐))=𝐹(𝑏)𝐹(𝑎).ddd

Cette propriété est intuitive car la somme des aires de chacune des parties est égale à l’aire totale sur [𝑎;𝑏]. Cela peut être visualisé comme suit:

On note également que l’on peut ignorer la constante d’intégration ou la définir nulle quand on détermine la primitive d’intégrales car elle s’annule lorsque l’on calcule la différence aux bornes de l’intégrale 𝐹(𝑏)𝐹(𝑎).

Afin de voir une application de cela, on considère l’intégrale de 𝑓(𝑥)=𝑥 de 𝑥=0 à 𝑥=6, comme indiqué sur la représentation graphique de la fonction. On va calculer l’aire sous la courbe représentative en utilisant le théorème fondamental de l’analyse, mais également graphiquement pour ce cas particulier.

Sur l’intervalle [0;6], la courbe représentative se situe au-dessus de l’axe des 𝑥, on s’attend donc à ce que l’intégrale soit positive car elle est égale à l’aire relative sous la courbe représentative.

Comme 𝑓(𝑥) est une fonction linéaire, elle est continue pour tout 𝑥[0;6];comme elle est continue partout sur , on peut utiliser le corollaire du premier théorème ou le deuxième théorème fondamental de l’analyse pour évaluer cette intégrale en utilisant la primitive 𝐹(𝑥) définie par 𝐹(𝑥)=𝑓(𝑥), en l’évaluant aux bornes de l’intégrale 𝑥=0 et 𝑥=6, et en déterminant la différence. La primitive est égale à l’intégrale indéfinie de 𝑓(𝑥) que l’on détermine en utilisant la formule de l’intégrale d’une puissance 𝐹(𝑥)=𝑥𝑥=12𝑥+𝐶.d

Par conséquent, l'intégrale définie est donnée par 𝑥𝑥=12𝑥+𝐶=12(6)+𝐶12(0)+𝐶=362=18.d

Par conséquent, l'aire sous la courbe 𝑦=𝑥 entre 6 et 0 est de 18 unités d'aire. Comme on peut le voir, la même constante d’intégration apparaît dans les deux termes de la différence des primitives, elle s’annule donc toujours et on peut l’ignorer ou la définir nulle pour les intégrales définies.

Pour cette fonction en particulier, on peut également calculer graphiquement l’aire sous la courbe, car elle est égale à l’aire du triangle rectangle. On rappelle qu’un triangle rectangle de base 𝑏 et de hauteur a une aire de 𝐴=12𝑏.

Le triangle rectangle, comme indiqué sur le graphique, a une base et une hauteur de 6, son aire est donc 𝐴=12×6×6=18.

Cela donne le même résultat que le théorème fondamental de l’analyse, comme attendu.

Si une fonction est constante 𝑓(𝑥)=𝑐, alors l’intégrale est égale à l’aire relative sous la courbe entre 𝑥=𝑎 et 𝑥=𝑏, qui est égale à l’aire du rectangle dont les côtés sont de longueurs |𝑐| et |𝑏𝑎|, au signe près.

Cela ne fonctionne que pour les fonctions constantes et linéaires, car l’aire sous la courbe représentative est équivalente à l’aire du rectangle ou du triangle sur [𝑎;𝑏]. Pour les autres fonctions ou polynômes, on doit calculer l’aire en utilisant l’intégrale avec le théorème fondamental de l’analyse.

On considère maintenant l’intégrale de 𝑓(𝑥)=𝑥+2𝑥 de 𝑥=1 à 𝑥=2, comme indiqué sur la représentation graphique de la fonction.

Sur l’intervalle [1;2], la courbe représentative se situe au-dessus de l’axe des 𝑥, on s’attend donc à ce que l’intégrale soit positive car elle est égale à l’aire relative sous la courbe.

Comme 𝑓(𝑥) est une fonction polynômiale, elle est continue pour tout 𝑥[1;2] car elle est continue sur tout . Comme précédemment, en utilisant le théorème fondamental de l’analyse, on peut calculer sa primitive:𝐹(𝑥)=𝑥+2𝑥𝑥=13𝑥+𝑥+𝐶.d

L’intégrale est donc 𝑥+2𝑥𝑥=13𝑥+𝑥+𝐶=13(2)+(2)+𝐶13(1)+(1)+𝐶=83+4+𝐶13+1+𝐶=163.d

Par conséquent, l’aire sous la courbe 𝑦=𝑥+2𝑥 entre 1 et 2 est égale à 163 unités de surface.

On considère maintenant l’intégrale de 𝑓(𝑥)=(3𝑥)sin de 𝑥=0 à 𝑥=𝜋, comme indiqué sur la représentation graphique.

Sur l’intervalle [0;𝜋], une partie de la courbe représentative se situe au-dessus de l’axe des 𝑥 et une autre partie se situe en dessous de l’axe des 𝑥, l’intégrale est donc égale à l’aire au-dessus de l’axe des 𝑥 moins l’aire en dessous de l’axe des 𝑥 et on s’attend à ce qu’elle soit positive

La fonction 𝑓(𝑥) est continue pour tout 𝑥[0;𝜋] car elle est continue sur tout . À nouveau, en utilisant le théorème fondamental de l’analyse, on peut calculer sa primitive:𝐹(𝑥)=(3𝑥)𝑥=13(3𝑥)+𝐶;sindcos On l’évalue ensuite aux bornes de l’intégrale et on détermine la différence:(3𝑥)𝑥=13(3𝑥)=13(3(𝜋))13(3(0))=13(1)+13(1)=23.sindcoscoscos

Comme l’intégrale est égale à l’aire relative sous la courbe représentative, elle est égale à l’aire rouge soustraite à l’aire bleue. En d’autres termes, elle est égale à l’aire sous la courbe représentative au-dessus de l’axe des 𝑥 moins l’aire au-dessus de la courbe représentative en dessous de l’axe des 𝑥 sur l’intervalle [0;𝜋].

On considère l’intégrale de 𝑓(𝑥)=1+𝑒 de 𝑥=0 à 𝑥=2ln, comme le montre le graphique ci-dessous.

Sur l’intervalle [0;2]ln, la courbe représentative se situe au-dessus de l’axe des 𝑥, on s’attend donc à ce que l’intégrale soit positive car elle est égale à l’aire relative sous la courbe.

La fonction 𝑓(𝑥) est continue pour tout 𝑥[0;2]ln car elle est continue sur tout . En utilisant le théorème fondamental de l’analyse, on peut évaluer cette intégrale à l’aide de sa primitive:1+𝑒𝑥=𝑥+14𝑒=(2)+14𝑒(0)+14𝑒=(2+4)14=154+2.lnlnln()()dlnlnln

Étudions maintenant quelques exemples pour pratiquer et renforcer notre compréhension. Dans le premier exemple, nous allons évaluer l’intégrale d’une fonction du second degré.

Exemple 1: Évaluer l’intégrale d’une fonction du second degré

Soit 𝑓(𝑥)=6𝑥+1. Évaluez l’intégrale de 𝑓 de 𝑥=2 à 𝑥=3.

Réponse

Dans cet exemple, on souhaite trouver l’intégrale de 𝑓(𝑥)=6𝑥+1 de 𝑥=2 à 𝑥=3. Sur l’intervalle [2;3], la courbe représentative se situe au-dessus de l’axe des 𝑥, on s’attend donc à ce que l’intégrale soit positive car elle est égale à l’aire relative sous la courbe représentative. Cela est représenté visuellement sur le graphique ci-dessous qui montre l’aire sous la courbe représentative entre 𝑥=2 et 𝑥=3.

On commence par déterminer la primitive de 𝑓(𝑥)=6𝑥+1 à partir de l’intégrale indéfinie en utilisant la formule de l’intégrale d’une puissance:𝐹(𝑥)=6𝑥+1𝑥=2𝑥+𝑥+𝐶.d

Pour l’intégrale, on peut appliquer le théorème fondamental de l’analyse qui stipule que si 𝑓 est continue sur [𝑎;𝑏] et si 𝐹(𝑥)=𝑓(𝑥), alors 𝑓(𝑥)𝑥=[𝐹(𝑥)]=𝐹(𝑏)𝐹(𝑎).d

On remarque que l’on peut ignorer la constante d’intégration de la primitive 𝐹(𝑥) car elle s’annule dans la différence 𝐹(𝑏)𝐹(𝑎).

L’intégrande est une fonction polynomiale et donc continue et définie pour tout 𝑥[2;3]. Par conséquent, en évaluant la primitive aux bornes de l’intégrale et en déterminant leur différence, on a 6𝑥+1𝑥=2𝑥+𝑥=2(3)+32(2)+2=5718=39.d

Dans le prochain exemple, nous allons évaluer l’intégrale d’une fonction impliquant des fonctions exponentielles et trigonométriques.

Exemple 2: Évaluer l’intégrale d’une fonction impliquant des fonctions exponentielles et trigonométriques

Évaluez (2𝑥3𝑒)𝑥sind.

Réponse

Dans cet exemple, on doit évaluer l’intégrale de 2𝑥3𝑒sin de 𝑥=0 à 𝑥=2. Sur l’intervalle [0;2], la courbe représentative se situe en dessous de l’axe des 𝑥, on s’attend donc à ce que l’intégrale soit négative car elle est égale à l’aire relative au-dessus de la courbe représentative. Cela est représenté visuellement sur le graphique ci-dessous qui montre l’aire au-dessus de la courbe représentative entre 𝑥=0 et 𝑥=2.

On peut trouver l’intégrale indéfinie en déterminant d’abord la primitive de l’intégrande 2𝑥3𝑒sin, ce qui donne (2𝑥3𝑒)𝑥=2𝑥3𝑒+𝐶.sindcos

Pour l’intégrale, on peut appliquer le théorème fondamental de l’analyse qui stipule que si 𝑓 est continue sur [𝑎;𝑏] et si 𝐹(𝑥)=𝑓(𝑥), alors 𝑓(𝑥)𝑥=[𝐹(𝑥)]=𝐹(𝑏)𝐹(𝑎).d

On remarque que l’on peut ignorer la constante d’intégration de la primitive 𝐹(𝑥) car elle s’annule dans la différence 𝐹(𝑏)𝐹(𝑎).

L’intégrande est une différence de fonctions continues et est donc continue et définie pour tout 𝑥[0;2]. Par conséquent, en évaluant la primitive aux bornes de l’intégrale et en déterminant leur différence, on a (2𝑥3𝑒)𝑥=[2𝑥3𝑒]=2(2)3𝑒2(0)3𝑒=3𝑒22+5.sindcoscoscoscos

Dans le prochain exemple, nous allons évaluer l’intégrale d’une fonction impliquant une racine.

Exemple 3: Évaluer l’intégrale d’une fonction racine

Évaluez 2𝑥𝑥d.

Réponse

Dans cet exemple, on doit évaluer l’intégrale de 2𝑥 de 𝑥=4 à 𝑥=9. Sur l’intervalle [4;9], la courbe représentative se situe en dessous de l’axe des 𝑥, on s’attend donc à ce que l’intégrale soit négative car elle est égale à l’aire relative au-dessus de la courbe représentative. Cela est représenté visuellement sur le graphique ci-dessous qui montre l’aire au-dessus de la courbe représentative entre 𝑥=4 et 𝑥=9.

On commence par trouver la primitive de 2𝑥 à partir de son intégrale indéfinie:2𝑥𝑥=2𝑥𝑥=43𝑥+𝐶.dd

Pour l’intégrale, on peut appliquer le théorème fondamental de l’analyse qui stipule que si 𝑓 est continue sur [𝑎;𝑏] et si 𝐹(𝑥)=𝑓(𝑥), alors 𝑓(𝑥)𝑥=[𝐹(𝑥)]=𝐹(𝑏)𝐹(𝑎).d

On remarque que l’on peut ignorer la constante d’intégration de la primitive 𝐹(𝑥) car elle s’annule dans la différence 𝐹(𝑏)𝐹(𝑎).

L’intégrande est continue et définie pour tout 𝑥[4;9]. Par conséquent, en évaluant la primitive aux bornes de l’intégrale et en déterminant leur différence, on a 2𝑥𝑥=43𝑥=439434=43(27)43(8)=763.d

Dans le prochain exemple, nous allons évaluer l’intégrale d’une fonction de valeur absolue.

Exemple 4: Évaluer l’intégrale d’une fonction de valeur absolue

Évaluez |𝑥2|𝑥d.

Réponse

Dans cet exemple, on doit évaluer l’intégrale de |𝑥2| de 𝑥=4 à 𝑥=5. Sur l’intervalle [4;5], la courbe représentative se situe au-dessus de l’axe des 𝑥, on s’attend donc à ce que l’intégrale soit positive car elle est égale à l’aire relative sous la courbe représentative. Cela est représenté visuellement sur le graphique ci-dessous qui montre l’aire sous la courbe représentative entre 𝑥=4 et 𝑥=5.

Comme l’intégrande implique une valeur absolue, on rappelle la définition de |𝑥|:|𝑥|=𝑥𝑥0,𝑥𝑥<0.sisi

On a donc |𝑥2|=𝑥2𝑥2,2𝑥𝑥<2.sisi

On commence par trouver la primitive de |𝑥2| à partir de son intégrale indéfinie mais elle dépend de la valeur de 𝑥. En d’autres termes, comme |𝑥2| est une fonction continue par morceaux, on peut trouver séparément la primitive de chaque sous-fonction pour déterminer la primitive de |𝑥2|:|𝑥2|𝑥=(𝑥2)𝑥𝑥2,(2𝑥)𝑥𝑥<2,=𝑥22𝑥+𝐶𝑥2,2𝑥𝑥2+𝐶𝑥<2.ddsidsisisi

Pour l’intégrale, on peut appliquer le théorème fondamental de l’analyse qui stipule que si 𝑓 est continue sur [𝑎;𝑏] et si 𝐹(𝑥)=𝑓(𝑥), alors 𝑓(𝑥)𝑥=[𝐹(𝑥)]=𝐹(𝑏)𝐹(𝑎).d

On remarque que l’on peut ignorer la constante d’intégration de la primitive 𝐹(𝑥) car elle s’annule dans la différence 𝐹(𝑏)𝐹(𝑎).

Sur l’intervalle [4;5], l’intégrale de |𝑥2| est équivalente à l’intégrale de 𝑥2 pour 𝑥2 et à l’intégrale de 2𝑥 pour 𝑥2. On peut séparer l’intégrale en deux intervalles [4;2] et [2;5] afin de pouvoir calculer les intégrales séparément, car si 𝑐[𝑎;𝑏], alors 𝑓(𝑥)𝑥=𝑓(𝑥)𝑥+𝑓(𝑥)𝑥.ddd

L’intégrande est continue et définie pour tout 𝑥[4;5]. Par conséquent, en évaluant la primitive aux bornes de l’intégrale et en déterminant leur différence, on a |𝑥2|𝑥=|𝑥2|𝑥+|𝑥2|𝑥=(2𝑥)𝑥+(𝑥2)𝑥=2𝑥𝑥2+𝑥22𝑥=2(2)222(4)(4)2+522(5)222(2)=2+8+162+25210+2=452.ddddd

On peut également vérifier cette réponse graphiquement car l’aire sous la courbe représentative est égale à la somme des aires de deux triangles rectangles, comme indiqué sur le graphique. On rappelle qu’un triangle rectangle de base 𝑏 et de hauteur a une aire de 𝐴=12𝑏.

Le plus grand triangle a une base et une hauteur de 6, tandis que le plus petit triangle a une base et une hauteur de 3. L’intégrale est simplement égale à la somme des aires:|𝑥2|𝑥=12×6×6+12×3×3=362+92=452.d

Cela donne le même résultat que le théorème fondamental de l’analyse, comme attendu.

Dans le prochain exemple, nous allons évaluer l’intégrale d’un polynôme.

Exemple 5: Évaluer l’intégrale d’un polynôme

Évaluez 45𝑡+34𝑡23𝑡𝑡d.

Réponse

Dans cet exemple, on doit évaluer l’intégrale de 45𝑡+34𝑡23 de 𝑡=0 à 𝑡=1. Sur l’intervalle [0;1], une partie de la courbe représentative se situe au-dessus de l’axe des 𝑡 et une autre partie se situe en dessous de l’axe des 𝑡, l’intégrale est donc égale à l’aire au-dessus de l’axe des 𝑡 moins l’aire en dessous de l’axe des 𝑡 et on s’attend à ce qu’elle soit positive. Cela est représenté visuellement sur le graphique ci-dessous qui montre l’aire sous la courbe représentative entre 𝑡=0 et 𝑡=1.

On commence par trouver la primitive de 45𝑡+34𝑡23 à partir de son intégrale indéfinie en utilisant la formule de l’intégrale d’une puissance:45𝑡+34𝑡23𝑡𝑡=15𝑡+14𝑡13𝑡+𝐶.d

Pour l’intégrale, on peut appliquer le théorème fondamental de l’analyse qui stipule que si 𝑓 est continue sur [𝑎;𝑏] et si 𝐹(𝑡)=𝑓(𝑡), alors 𝑓(𝑡)𝑡=[𝐹(𝑡)]=𝐹(𝑏)𝐹(𝑎).d

On remarque que l’on peut ignorer la constante d’intégration de la primitive 𝐹(𝑡) car elle s’annule dans la différence 𝐹(𝑏)𝐹(𝑎).

L’intégrande est une fonction polynomiale et est donc continue et définie pour tout 𝑡[0;1]. Par conséquent, en évaluant la primitive aux bornes de l’intégrale et en déterminant leur différence, on a 45𝑡+34𝑡23𝑡𝑡=15𝑡+14𝑡13𝑡=15(1)+14(1)13(1)15(0)+14(0)13(0)=760.d

Comme l’intégrale est égale à l’aire relative sous la courbe, elle est égale à l’aire rouge soustraite à l’aire bleue. En d’autres termes, elle est égale à l’aire sous la courbe au-dessus de l’axe des 𝑡 moins l’aire sous la courbe en dessous de l’axe des 𝑡 sur l’intervalle [0;1].

Dans le prochain exemple, nous allons évaluer l’intégrale d’une fonction exponentielle de base entière.

Exemple 6: Évaluer l’intégrale d’une fonction exponentielle de base entière

Évaluez 4𝑠d.

Réponse

Dans cet exemple, on doit évaluer l’intégrale de 4 de 𝑠=3 à 𝑠=4. Sur l’intervalle [3;4], la courbe représentative se situe au-dessus de l’axe des 𝑠, on s’attend donc à ce que l’intégrale soit positive car elle est égale à l’aire relative sous la courbe. Cela est représenté visuellement sur le graphique ci-dessous qui montre l’aire sous la courbe représentative entre 𝑠=3 et 𝑠=4.

On commence par trouver la primitive de 4 à partir de son intégrale indéfinie:4𝑠=𝑒𝑠=14𝑒+𝐶=144+𝐶=1224+𝐶.ddlnlnlnlnln

On a également utilisé la formule du logarithme d’une puissance lnln𝑝=𝑥𝑝 pour reformuler la dernière ligne en utilisant lnlnln4=2=22. Pour l’intégrale, on peut appliquer le théorème fondamental de l’analyse qui stipule que si 𝑓 est continue sur [𝑎;𝑏] et si 𝐹(𝑠)=𝑓(𝑠), alors 𝑓(𝑠)𝑠=[𝐹(𝑠)]=𝐹(𝑏)𝐹(𝑎).d

On remarque que l’on peut ignorer la constante d’intégration de la primitive 𝐹(𝑠) car elle s’annule dans la différence 𝐹(𝑏)𝐹(𝑎).

L’intégrande est continue et définie pour tout 𝑠[3;4]. Par conséquent, en évaluant la primitive aux bornes de l’intégrale et en déterminant leur différence, on a 4𝑠=1224=12241224=1282322=962.()()dlnlnlnlnlnln

Dans le prochain exemple, nous allons évaluer l’intégrale d’une fonction puissance avec un exposant fractionnaire négatif.

Exemple 7: Évaluer l’intégrale d’une fonction puissance avec un exposant fractionnaire

Évaluez 4𝑥𝑥d.

Réponse

Dans cet exemple, on doit évaluer l’intégrale de 4𝑥 de 𝑥=1 à 𝑥=27. Sur l’intervalle [1;27], la courbe représentative se situe au-dessus de l’axe des 𝑥, on s’attend donc à ce que l’intégrale soit positive car elle est égale l’aire relative sous la courbe représentative. Cela est représenté visuellement sur le graphique ci-dessous qui montre l’aire sous la courbe représentative entre 𝑥=1 et 𝑥=27.

On commence par trouver la primitive de 4𝑥 à partir de son intégrale indéfinie en utilisant la formule de l’intégrale d’une puissance:4𝑥𝑥=12𝑥+𝐶.d

Pour l’intégrale, on peut appliquer le théorème fondamental de l’analyse qui stipule que si 𝑓 est continue sur [𝑎;𝑏] et si 𝐹(𝑥)=𝑓(𝑥), alors 𝑓(𝑥)𝑥=[𝐹(𝑥)]=𝐹(𝑏)𝐹(𝑎).d

On remarque que l’on peut ignorer la constante d’intégration de la primitive 𝐹(𝑥), car elle s’annule dans la différence 𝐹(𝑏)𝐹(𝑎).

L’intégrande est continue et définie pour tout 𝑥[1;27]. Par conséquent, en évaluant la primitive aux bornes de l’intégrale et en déterminant leur différence, on a 4𝑥𝑥=12𝑥=12(27)12(1)=(12(3))(12(1))=24.d

Dans le dernier exemple, nous allons évaluer l’intégrale d’une fonction trigonométrique.

Exemple 8: Déterminer l’intégrale d’une fonction trigonométrique

Déterminez (4+𝜋9𝑥)𝑥cosd.

Réponse

Dans cet exemple, on doit évaluer l’intégrale de 4+𝜋9𝑥cos de 𝑥=𝜋4 à 𝑥=𝜋6. Sur l’intervalle 𝜋4;𝜋6, la courbe représentative se situe au-dessus de l’axe des 𝑥, on s’attend donc à ce que l’intégrale soit positive car elle est égale à l’aire relative sous la courbe représentative. Cela est représenté visuellement sur le graphique ci-dessous qui montre l’aire sous la courbe représentative entre 𝑥=𝜋4 et 𝑥=𝜋6.

On commence par trouver la primitive de 4+𝜋9𝑥cos à partir de son intégrale indéfinie:(4+𝜋9𝑥)𝑥=4𝑥+𝜋99𝑥+𝐶.cosdsin

Pour l’intégrale, on peut appliquer le théorème fondamental de l’analyse qui stipule que si 𝑓 est continue sur [𝑎;𝑏] et si 𝐹(𝑥)=𝑓(𝑥), alors 𝑓(𝑥)𝑥=[𝐹(𝑥)]=𝐹(𝑏)𝐹(𝑎).d

On remarque que l’on peut ignorer la constante d’intégration de la primitive 𝐹(𝑥) car elle s’annule dans la différence 𝐹(𝑏)𝐹(𝑎).

L’intégrande est continue et définie pour tout 𝑥𝜋4;𝜋6. Par conséquent, en évaluant la primitive aux bornes de l’intégrale et en déterminant leur différence, on a (4+𝜋9𝑥)𝑥=4𝑥+𝜋99𝑥=4𝜋6+𝜋99𝜋64𝜋4+𝜋99𝜋4=2𝜋3+𝜋99𝜋6𝜋+𝜋99𝜋4=2𝜋3𝜋93𝜋2𝜋𝜋99𝜋4=2𝜋3+𝜋9𝜋2𝜋18=2𝜋18+4𝜋9.cosdsinsinsinsinsinsinsin

Points clés

  • L’intégrale de la fonction continue 𝑓(𝑥) de 𝑥=𝑎 à 𝑥=𝑏 est égale à l’aire relative sous la courbe représentative de 𝑓(𝑥) de 𝑥=𝑎 à 𝑥=𝑏.
    L’intégrale correspondant à l’aire de la fonction située au-dessus de l’axe des 𝑥 sur l’intervalle [𝑎;𝑏] est positive, alors que celle en dessous de l’axe des 𝑥 est négative.
    S’il y a des parties de la courbe au-dessus et en dessous de l’axe des 𝑥 sur l’intervalle [𝑎;𝑏], alors l’intégrale est égale à l’aire au-dessus de l’axe des 𝑥 moins l’aire en dessous de l’axe des 𝑥.
  • Le théorème fondamental de l’analyse permet de déterminer des intégrales à partir de leur primitive. Le corollaire du premier théorème ou le deuxième théorème indiquent que si 𝑓 est une fonction continue à valeurs réelles sur [𝑎;𝑏] et si 𝐹 est une primitive de 𝑓 (c.à.d. 𝐹(𝑥)=𝑓(𝑥)) sur [𝑎;𝑏], alors 𝑓(𝑥)𝑥=𝐹(𝑏)𝐹(𝑎).d
  • Pour évaluer des intégrales de cette manière, on doit vérifier que 𝑓 est bien continue et définie partout sur l’intervalle [𝑎;𝑏].
  • On peut ignorer la constante d’intégration ou la définir nulle pour les primitives dans le calcul d’intégrales car elle s’annule avec la différence 𝐹(𝑏)𝐹(𝑎).
  • Pour certaines fonctions continues par morceaux ou impliquant des valeurs absolues dans l’intégrande, il peut être nécessaire de séparer l’intégrale en plusieurs parties en utilisant la propriété:si 𝑐[𝑎;𝑏], alors 𝑓(𝑥)𝑥=𝑓(𝑥)𝑥+𝑓(𝑥)𝑥.ddd

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