Fiche explicative de la leçon: Théorème fondamental de l’analyse : calculer les intégrales définies

Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre à utiliser le théorème fondamental de l’analyse pour calculer les intégrales définies.

Les intégrales sont une somme de quantités données et sont étroitement liées aux primitives. Elles fournissent un outil puissant pour comprendre et modéliser un bon nombre de phénomènes du monde réel, et qu’on peut rencontrer dans de nombreuses disciplines : en mathématiques par exemple lors de calcul d’air et de volume, en physique lors de la recherche de la masse d’un objet, du travail effectué, ou de la pression exercée sur un objet, pour n’en nommer que quelques exemples.

L’intégrale de la fonction de à peut être interprétée comme l’aire délimitée par la courbe de , les axes , et l’axe des abscisses ; une représentation visuelle de cette intégrale est donnée ci-dessous

Quelle est donc la définition des intégrales ? Avant de donner leur définition précise, on remarque que l’on peut estimer l’aire sous la courbe représentative d’une fonction bornée par et et l’axe des abscisses et ce en divisant d’abord l’intervalle en sous-intervalles de même largeur, pour , comme indiqué sur la figure.

Cela donne rectangles de même largeur où la hauteur de chaque rectangle est égale à la valeur de la fonction, à l’extrémité supérieure de chaque sous-intervalle. L’aire de chaque rectangle est le produit de cette hauteur et de cette largeur, . On peut estimer l’aire sous la courbe de en additionnant les aires de chaque rectangle :

Cette méthode est également connue sous le nom de la somme de Riemann à droite. Quand le nombre de rectangles devient plus grand et que la largeur devient plus petite, cette estimation se rapproche de l’aire réelle sous la courbe représentative. En fait, l’intégrale, qui est égale à l’aire exacte sous la courbe, est définie en prenant la limite de cette somme lorsque le nombre de rectangles tend vers l’infini.

Définition : Intégrale

Pour une fonction continue et définie sur l’intervalle , on peut diviser l’intervalle en sous-intervalles de largeur égale , et choisir des points d’échantillonnage . L’intégrale de à est définie en fonction de la somme de Riemann par où à condition que la limite existe et donne la même valeur pour tous les points d’échantillonnage .

Le choix du point d’échantillonnage dans le sous-intervalle n’a pas d’importance. Comme la différence ou la largeur des termes sommés , il en va de même pour la différence entre deux points quelconques de l’intervalle. Le choix des est en effet arbitraire, ce qui peut produire différentes sommes de Riemann qui convergent vers la même valeur. En particulier, les choix fréquemment utilisés sont les suivants :

Si , c’est-à-dire si la fonction est évaluée à l’extrémité supérieure de chaque sous-intervalle, on a alors la somme de Riemann à droite. L’intégrale en fonction de cette somme est Il s’agit du choix le plus fréquent pour déterminer une somme de Riemann spécifique ou une intégrale, en raison de sa simplicité, et il correspond à l’exemple ci-dessus de l’estimation de l’aire sous la courbe en utilisant rectangles de même largeur, avec la limite quand .
Si , c’est-à-dire si la fonction est évaluée à l’extrémité inférieure de chaque sous-intervalle, on a alors la somme de Riemann à gauche.
Si , c’est-à-dire si la fonction est évaluée au milieu de chaque sous-intervalle, on a alors la somme de Riemann du point médian.

L’intégrale est toujours égale à l’aire sous la courbe (dans le cadre de cette fiche explicative, on appelle aire sous la courbe, l’aire entre la courbe et l’axe des abscisses) ; l’intégrale correspondant à l’aire au-dessus de l’axe des est toujours positive, alors qu’elle est toujours négative quand elle est sous l’axe des , comme le montre la figure.

Si la courbe représentative a des portions au-dessus et en dessous de l’axe des sur l’intervalle , alors l’intégrale est égale à l’aire au-dessus de l’axe des moins l’aire sous l’axe des sur l’intervalle .

Comment évalue-t-on ces intégrales ? Utiliser la définition de l’intégrale en fonction de la limite des sommes de Riemann est assez laborieux dans la pratique. On peut en fait les évaluer en utilisant le théorème fondamental de l’analyse.

Lorsqu’une fonction à valeurs réelles est continue sur un intervalle , le premier théorème permet de déterminer sa primitive à partir de son intégrale indéfinie. Rappelons d’abord le premier théorème fondamental de l’analyse concernant l’existence d’une primitive.

Premier théorème fondamental de l’analyse

Si est une fonction réelle définie et continue sur et que est la fonction définie pour tout appartenant à par alors est uniformément continue sur et dérivable sur , et pour tout appartenant à .

En d’autres termes, on peut calculer la primitive d’une fonction en calculant l’intégrale indéfinie de donnée par où est appelée une constante d’intégration. D’après le premier théorème, les primitives de existent toujours lorsque est continue et il existe une infinité de primitives de , obtenues en ajoutant cette constante arbitraire à .

On remarque que la constante d’intégration est incluse dans le premier terme, que l’on ajoute généralement après l’intégration de , mais on l’a explicitement indiquée ici pour examiner l’intégrale indéfinie. Cela permet de clarifier pourquoi il peut exister une infinité de primitives paramétrées par cette constante. Cependant, pour des intégrales, on peut ignorer cette constante ou la définir nulle car elle s’annule, comme on le verra plus tard.

Le premier théorème fondamental de l’analyse a également un corollaire puissant que l’on va utiliser pour évaluer des intégrales.

Corollaire

Le théorème fondamental est souvent utilisé pour calculer l’intégrale d’une fonction pour laquelle une primitive est connue. Plus précisément, si est une fonction continue à valeurs réelles sur et si est une primitive de sur , alors

Les crochets sont souvent utilisés comme une abréviation après intégration, pour indiquer les bornes auxquelles la primitive doit être évaluée et sont équivalents à .

Le corollaire suppose une continuité sur tout l’intervalle car il est déduit du premier théorème fondamental de l’analyse. Ce résultat est légèrement renforcé dans le deuxième théorème.

Deuxième théorème fondamental de l’analyse (axiome de Newton-Leibniz)

Soient une fonction à valeurs réelles sur un intervalle fermé et une primitive de sur :

Si est intégrable au sens de Riemann sur , alors

Le deuxième théorème fondamental de l’analyse est un peu plus fort que le corollaire car il ne suppose pas que est continue.

Bien que cela ne soit pas strictement requis par le deuxième théorème, on supposera dans cette fiche explicative que toutes les fonctions sont continues sur afin de pouvoir justifier l’existence de la primitive et de l’intégrale.. En fait, le corollaire du premier théorème fondamental de l’analyse est suffisant pour évaluer les intégrales que l’on va étudier grâce à cette hypothèse de continuité.

On considère une application réelle pour comprendre ces théorèmes de manière intuitive. On suppose que la température d’une tasse de café diminue à une vitesse de , où est une fonction continue.

En d’autres termes, le taux de variation de la température est donné par la dérivée première de la température à l’instant :

À l’instant (le début), la température de la tasse de café est de 40 degrés Celsius. Comment détermine-t-on de combien a diminué la température 5 minutes plus tard ? On peut résoudre ce problème en utilisant l’intégration avec le théorème fondamental de l’analyse, ou en trouvant une expression générale de la température par

En fait, pour toute quantité dont le taux de variation est donné par la fonction continue , l’intégrale décrit la variation de la quantité entre et .

Les intégrales vérifient également certaines propriétés semblables aux primitives, dérivées et limites. Introduisons quelques propriétés qui seront utiles pour les problèmes de cette fiche explicative.

Propriétés des intégrales

Pour des fonctions et continues sur , on a :

La variable qui apparaît dans des intégrales est appelée variable muette, et on peut la remplacer par une autre et obtenir le même résultat :
L’intégrale d’une constante est proportionnelle à la largeur de l’intervalle :
On peut séparer des intégrales par une somme ou une différence :
On peut sortir un facteur constant de l’intégrale :
On peut également séparer l’intégrale selon ses bornes par une valeur comme .

Ces propriétés des intégrales ainsi que d’autres seront étudiées plus en détail dans une autre fiche explicative ; on n’a listé ici que celles utiles pour évaluer les intégrales relatives aux problèmes de cette fiche explicative. On peut démontrer ces propriétés directement à partir du théorème fondamental de l’analyse ; pour la dernière propriété par exemple, on peut séparer l’intégrale et appliquer le théorème fondamental de l’analyse pour obtenir ; pour la dernière propriété par exemple, on peut séparer l’intégrale et appliquer le théorème fondamental de l’analyse pour obtenir

Cette propriété est intuitive car la somme des aires de chacune des parties est égale à l’aire totale sur . Cela peut être visualisé comme suit :

On note également que l’on peut ignorer la constante d’intégration ou la définir nulle quand on détermine la primitive d’intégrales car elle s’annule lorsque l’on calcule la différence aux bornes de l’intégrale .

Afin de voir une application de cela, on considère l’intégrale de de à , comme indiqué sur la représentation graphique de la fonction. On va calculer l’aire sous la courbe représentative en utilisant le théorème fondamental de l’analyse, mais également graphiquement pour ce cas particulier.

Sur l’intervalle , la courbe représentative se situe au-dessus de l’axe des , on s’attend donc à ce que l’intégrale soit positive car elle est égale à l’aire relative sous la courbe représentative.

Comme est une fonction linéaire, elle est continue pour tout ; comme elle est continue partout sur , on peut utiliser le corollaire du premier théorème ou le deuxième théorème fondamental de l’analyse pour évaluer cette intégrale en utilisant la primitive définie par , en l’évaluant aux bornes de l’intégrale et , et en déterminant la différence. La primitive est égale à l’intégrale indéfinie de que l’on détermine en utilisant la formule de l’intégrale d’une puissance

Par conséquent, l'intégrale définie est donnée par

Par conséquent, l'aire sous la courbe entre 6 et 0 est de 18 unités d'aire. Comme on peut le voir, la même constante d’intégration apparaît dans les deux termes de la différence des primitives, elle s’annule donc toujours et on peut l’ignorer ou la définir nulle pour les intégrales définies.

Pour cette fonction en particulier, on peut également calculer graphiquement l’aire sous la courbe, car elle est égale à l’aire du triangle rectangle. On rappelle qu’un triangle rectangle de base et de hauteur a une aire de

Le triangle rectangle, comme indiqué sur le graphique, a une base et une hauteur de 6, son aire est donc

Cela donne le même résultat que le théorème fondamental de l’analyse, comme attendu.

Si une fonction est constante , alors l’intégrale est égale à l’aire relative sous la courbe entre et , qui est égale à l’aire du rectangle dont les côtés sont de longueurs et , au signe près.

Cela ne fonctionne que pour les fonctions constantes et linéaires, car l’aire sous la courbe représentative est équivalente à l’aire du rectangle ou du triangle sur . Pour les autres fonctions ou polynômes, on doit calculer l’aire en utilisant l’intégrale avec le théorème fondamental de l’analyse.

On considère maintenant l’intégrale de de à , comme indiqué sur la représentation graphique de la fonction.

Sur l’intervalle , la courbe représentative se situe au-dessus de l’axe des , on s’attend donc à ce que l’intégrale soit positive car elle est égale à l’aire relative sous la courbe.

Comme est une fonction polynômiale, elle est continue pour tout car elle est continue sur tout . Comme précédemment, en utilisant le théorème fondamental de l’analyse, on peut calculer sa primitive :

L’intégrale est donc

Par conséquent, l’aire sous la courbe entre 1 et 2 est égale à unités de surface.

On considère maintenant l’intégrale de de à , comme indiqué sur la représentation graphique.

Sur l’intervalle , une partie de la courbe représentative se situe au-dessus de l’axe des et une autre partie se situe en dessous de l’axe des , l’intégrale est donc égale à l’aire au-dessus de l’axe des moins l’aire en dessous de l’axe des et on s’attend à ce qu’elle soit positive

La fonction est continue pour tout car elle est continue sur tout . À nouveau, en utilisant le théorème fondamental de l’analyse, on peut calculer sa primitive : On l’évalue ensuite aux bornes de l’intégrale et on détermine la différence :

Comme l’intégrale est égale à l’aire relative sous la courbe représentative, elle est égale à l’aire rouge soustraite à l’aire bleue. En d’autres termes, elle est égale à l’aire sous la courbe représentative au-dessus de l’axe des moins l’aire au-dessus de la courbe représentative en dessous de l’axe des sur l’intervalle .

On considère l’intégrale de de à , comme le montre le graphique ci-dessous.

Sur l’intervalle , la courbe représentative se situe au-dessus de l’axe des , on s’attend donc à ce que l’intégrale soit positive car elle est égale à l’aire relative sous la courbe.

La fonction est continue pour tout car elle est continue sur tout . En utilisant le théorème fondamental de l’analyse, on peut évaluer cette intégrale à l’aide de sa primitive :

Étudions maintenant quelques exemples pour pratiquer et renforcer notre compréhension. Dans le premier exemple, nous allons évaluer l’intégrale d’une fonction du second degré.

Exemple 1: Évaluer l’intégrale d’une fonction du second degré

Soit . Évaluez l’intégrale de de à .

Réponse

Dans cet exemple, on souhaite trouver l’intégrale de de à . Sur l’intervalle , la courbe représentative se situe au-dessus de l’axe des , on s’attend donc à ce que l’intégrale soit positive car elle est égale à l’aire relative sous la courbe représentative. Cela est représenté visuellement sur le graphique ci-dessous qui montre l’aire sous la courbe représentative entre et .

On commence par déterminer la primitive de à partir de l’intégrale indéfinie en utilisant la formule de l’intégrale d’une puissance :

Pour l’intégrale, on peut appliquer le théorème fondamental de l’analyse qui stipule que si est continue sur et si , alors

On remarque que l’on peut ignorer la constante d’intégration de la primitive car elle s’annule dans la différence .

L’intégrande est une fonction polynomiale et donc continue et définie pour tout . Par conséquent, en évaluant la primitive aux bornes de l’intégrale et en déterminant leur différence, on a

Dans le prochain exemple, nous allons évaluer l’intégrale d’une fonction impliquant des fonctions exponentielles et trigonométriques.

Exemple 2: Évaluer l’intégrale d’une fonction impliquant des fonctions exponentielles et trigonométriques

Évaluez .

Réponse

Dans cet exemple, on doit évaluer l’intégrale de de à . Sur l’intervalle , la courbe représentative se situe en dessous de l’axe des , on s’attend donc à ce que l’intégrale soit négative car elle est égale à l’aire relative au-dessus de la courbe représentative. Cela est représenté visuellement sur le graphique ci-dessous qui montre l’aire au-dessus de la courbe représentative entre et .

On peut trouver l’intégrale indéfinie en déterminant d’abord la primitive de l’intégrande , ce qui donne

Pour l’intégrale, on peut appliquer le théorème fondamental de l’analyse qui stipule que si est continue sur et si , alors

On remarque que l’on peut ignorer la constante d’intégration de la primitive car elle s’annule dans la différence .

L’intégrande est une différence de fonctions continues et est donc continue et définie pour tout . Par conséquent, en évaluant la primitive aux bornes de l’intégrale et en déterminant leur différence, on a

Dans le prochain exemple, nous allons évaluer l’intégrale d’une fonction impliquant une racine.

Exemple 3: Évaluer l’intégrale d’une fonction racine

Évaluez .

Réponse

On commence par trouver la primitive de à partir de son intégrale indéfinie :

Pour l’intégrale, on peut appliquer le théorème fondamental de l’analyse qui stipule que si est continue sur et si , alors

On remarque que l’on peut ignorer la constante d’intégration de la primitive car elle s’annule dans la différence .

L’intégrande est continue et définie pour tout . Par conséquent, en évaluant la primitive aux bornes de l’intégrale et en déterminant leur différence, on a

Dans le prochain exemple, nous allons évaluer l’intégrale d’une fonction de valeur absolue.

Exemple 4: Évaluer l’intégrale d’une fonction de valeur absolue

Évaluez .

Réponse

Dans cet exemple, on doit évaluer l’intégrale de de à . Sur l’intervalle , la courbe représentative se situe au-dessus de l’axe des , on s’attend donc à ce que l’intégrale soit positive car elle est égale à l’aire relative sous la courbe représentative. Cela est représenté visuellement sur le graphique ci-dessous qui montre l’aire sous la courbe représentative entre et .

Comme l’intégrande implique une valeur absolue, on rappelle la définition de :

On a donc

On commence par trouver la primitive de à partir de son intégrale indéfinie mais elle dépend de la valeur de . En d’autres termes, comme est une fonction continue par morceaux, on peut trouver séparément la primitive de chaque sous-fonction pour déterminer la primitive de :

Pour l’intégrale, on peut appliquer le théorème fondamental de l’analyse qui stipule que si est continue sur et si , alors

On remarque que l’on peut ignorer la constante d’intégration de la primitive car elle s’annule dans la différence .

Sur l’intervalle , l’intégrale de est équivalente à l’intégrale de pour et à l’intégrale de pour . On peut séparer l’intégrale en deux intervalles et afin de pouvoir calculer les intégrales séparément, car si , alors

L’intégrande est continue et définie pour tout . Par conséquent, en évaluant la primitive aux bornes de l’intégrale et en déterminant leur différence, on a

On peut également vérifier cette réponse graphiquement car l’aire sous la courbe représentative est égale à la somme des aires de deux triangles rectangles, comme indiqué sur le graphique. On rappelle qu’un triangle rectangle de base et de hauteur a une aire de

Le plus grand triangle a une base et une hauteur de 6, tandis que le plus petit triangle a une base et une hauteur de 3. L’intégrale est simplement égale à la somme des aires :

Cela donne le même résultat que le théorème fondamental de l’analyse, comme attendu.

Dans le prochain exemple, nous allons évaluer l’intégrale d’un polynôme.

Exemple 5: Évaluer l’intégrale d’un polynôme

Évaluez .

Réponse

Dans cet exemple, on doit évaluer l’intégrale de de à . Sur l’intervalle , une partie de la courbe représentative se situe au-dessus de l’axe des et une autre partie se situe en dessous de l’axe des , l’intégrale est donc égale à l’aire au-dessus de l’axe des moins l’aire en dessous de l’axe des et on s’attend à ce qu’elle soit positive. Cela est représenté visuellement sur le graphique ci-dessous qui montre l’aire sous la courbe représentative entre et .

On commence par trouver la primitive de à partir de son intégrale indéfinie en utilisant la formule de l’intégrale d’une puissance :

Pour l’intégrale, on peut appliquer le théorème fondamental de l’analyse qui stipule que si est continue sur et si , alors

On remarque que l’on peut ignorer la constante d’intégration de la primitive car elle s’annule dans la différence .

L’intégrande est une fonction polynomiale et est donc continue et définie pour tout . Par conséquent, en évaluant la primitive aux bornes de l’intégrale et en déterminant leur différence, on a

Comme l’intégrale est égale à l’aire relative sous la courbe, elle est égale à l’aire rouge soustraite à l’aire bleue. En d’autres termes, elle est égale à l’aire sous la courbe au-dessus de l’axe des moins l’aire sous la courbe en dessous de l’axe des sur l’intervalle .

Dans le prochain exemple, nous allons évaluer l’intégrale d’une fonction exponentielle de base entière.

Exemple 6: Évaluer l’intégrale d’une fonction exponentielle de base entière

Évaluez .

Réponse

Dans cet exemple, on doit évaluer l’intégrale de de à . Sur l’intervalle , la courbe représentative se situe au-dessus de l’axe des , on s’attend donc à ce que l’intégrale soit positive car elle est égale à l’aire relative sous la courbe. Cela est représenté visuellement sur le graphique ci-dessous qui montre l’aire sous la courbe représentative entre et .

On commence par trouver la primitive de à partir de son intégrale indéfinie :

On a également utilisé la formule du logarithme d’une puissance pour reformuler la dernière ligne en utilisant . Pour l’intégrale, on peut appliquer le théorème fondamental de l’analyse qui stipule que si est continue sur et si , alors

On remarque que l’on peut ignorer la constante d’intégration de la primitive car elle s’annule dans la différence .

L’intégrande est continue et définie pour tout . Par conséquent, en évaluant la primitive aux bornes de l’intégrale et en déterminant leur différence, on a

Dans le prochain exemple, nous allons évaluer l’intégrale d’une fonction puissance avec un exposant fractionnaire négatif.

Exemple 7: Évaluer l’intégrale d’une fonction puissance avec un exposant fractionnaire

Évaluez .

Réponse

Dans cet exemple, on doit évaluer l’intégrale de de à . Sur l’intervalle , la courbe représentative se situe au-dessus de l’axe des , on s’attend donc à ce que l’intégrale soit positive car elle est égale l’aire relative sous la courbe représentative. Cela est représenté visuellement sur le graphique ci-dessous qui montre l’aire sous la courbe représentative entre et .

On commence par trouver la primitive de à partir de son intégrale indéfinie en utilisant la formule de l’intégrale d’une puissance :

Pour l’intégrale, on peut appliquer le théorème fondamental de l’analyse qui stipule que si est continue sur et si , alors

On remarque que l’on peut ignorer la constante d’intégration de la primitive , car elle s’annule dans la différence .

L’intégrande est continue et définie pour tout . Par conséquent, en évaluant la primitive aux bornes de l’intégrale et en déterminant leur différence, on a

Dans le dernier exemple, nous allons évaluer l’intégrale d’une fonction trigonométrique.

Exemple 8: Déterminer l’intégrale d’une fonction trigonométrique

Déterminez .

Réponse

On commence par trouver la primitive de à partir de son intégrale indéfinie :

Pour l’intégrale, on peut appliquer le théorème fondamental de l’analyse qui stipule que si est continue sur et si , alors

On remarque que l’on peut ignorer la constante d’intégration de la primitive car elle s’annule dans la différence .

L’intégrande est continue et définie pour tout . Par conséquent, en évaluant la primitive aux bornes de l’intégrale et en déterminant leur différence, on a

Points clés

L’intégrale de la fonction continue de à est égale à l’aire relative sous la courbe représentative de de à .
L’intégrale correspondant à l’aire de la fonction située au-dessus de l’axe des sur l’intervalle est positive, alors que celle en dessous de l’axe des est négative.
S’il y a des parties de la courbe au-dessus et en dessous de l’axe des sur l’intervalle , alors l’intégrale est égale à l’aire au-dessus de l’axe des moins l’aire en dessous de l’axe des .
Le théorème fondamental de l’analyse permet de déterminer des intégrales à partir de leur primitive. Le corollaire du premier théorème ou le deuxième théorème indiquent que si est une fonction continue à valeurs réelles sur et si est une primitive de (c.à.d. ) sur , alors
Pour évaluer des intégrales de cette manière, on doit vérifier que est bien continue et définie partout sur l’intervalle .
On peut ignorer la constante d’intégration ou la définir nulle pour les primitives dans le calcul d’intégrales car elle s’annule avec la différence .
Pour certaines fonctions continues par morceaux ou impliquant des valeurs absolues dans l’intégrande, il peut être nécessaire de séparer l’intégrale en plusieurs parties en utilisant la propriété : si , alors