Video Transcript
Déterminez, sans calculatrice, la valeur de cosinus 𝜃 sur deux sachant que cosinus 𝜃 est égal à 15 sur 17, où 𝜃 est compris entre zéro et 90 degrés.
La première chose que nous allons écrire est l’identité du demi-angle : cosinus 𝜃 sur deux est égal à plus ou moins racine carrée de un plus cosinus 𝜃 sur deux. Cela est valable pour toutes les valeurs de 𝜃.
En remplaçant par la valeur de cosinus 𝜃 qui nous est donnée dans la question, soit 15 sur 17, nous obtenons que cosinus 𝜃 sur deux est égal à plus ou moins racine carrée de un plus 15 sur 17 sur deux. Ce signe plus ou moins nous indique que nous avons déterminé les deux valeurs possibles de cosinus 𝜃 sur deux, mais nous devons fournir plus d’efforts pour trouver laquelle des deux valeurs de cosinus 𝜃 sur deux est la bonne.
On nous a donné une autre information qui nous aidera pour trouver la bonne réponse. On nous dit que 𝜃 est compris entre zéro et 90 degrés. Dans cet intervalle, nous pouvons voir que cosinus 𝜃 est toujours positif. Comme 𝜃 est compris entre zéro et 90 degrés, 𝜃 sur deux doit être compris entre zéro et 45 degrés. Et nous voyons que dans cet intervalle, cosinus 𝜃 sur deux doit être également positif.
Cela signifie que nous pouvons choisir en toute confiance la valeur positive de cosinus 𝜃 sur deux. Maintenant, il s’agit juste de simplifier l’expression. Il y a plusieurs façons de le faire. J’ai choisi de multiplier par 17 sur 17, c’est-à-dire un, à l’intérieur du radical. Cela donne racine carrée de 17 plus 15 sur 34.
Quand on trouve que le numérateur vaut 32, on voit qu’il y a donc un facteur commun deux. Nous divisons donc par deux pour obtenir racine carrée de 16 sur 17, c’est-à-dire quatre sur la racine de 17. Cos 𝜃 de quatre sur deux vaut quatre sur la racine de 17. Nous multiplions par racine carrée de 17 sur racine carrée de 17 pour rationaliser le dénominateur. Et cela donne une réponse finale de cos 𝜃 sur deux est égal à quatre racine de 17 sur 17.
