Vidéo de la leçon: Formules de duplication et d’angle moitié Mathématiques

Transcription de la vidéo

Dans cette vidéo, nous allons apprendre comment utiliser l’identité pythagoricienne et les formules de duplication pour déterminer les valeurs trigonométriques. Nous allons commencer par démontrer ces formules de duplication et d’angle moitié pour les fonctions sinus, cosinus et tangente sur la base de nos connaissances actuelles.

On rappelle d’abord que pour un angle 𝑥, qui peut être exprimé en degrés ou en radians, le sinus de cet angle au carré plus le cosinus de cet angle au carré est égal à un. On appelle cette formule l’identité pythagoricienne. On rappelle également ce qu’on appelle les formules trigonométriques de la somme et de la différence. Celles-ci permettent d’exprimer les fonctions sinus, cosinus et tangente de la somme ou de la différence de deux angles, ici appelés 𝛼 et 𝛽, en fonctions des sinus, cosinus et tangente de ces deux angles.

À partir de ces formules, nous pouvons commencer à établir les formules de duplication et d’angle moitié. Nous allons commencer par les formules de duplication, avec l’objectif suivant. Pour un angle que nous appellerons 𝜃, nous souhaitons déterminer les expressions de sinus de deux 𝜃, cosinus de deux 𝜃 et tangente de deux 𝜃. Commençons par établir une expression du sinus de deux 𝜃. Une façon d’écrire deux fois 𝜃 est 𝜃 plus 𝜃. Et nous l’écrivons de cette façon parce que cela peut nous rappeler la formule de la somme pour la fonction sinus. Cette formule donne l’expression du sinus de la somme de deux angles, qui sont ici tous les deux égaux à 𝜃. Sin de 𝜃 plus 𝜃 égale sin 𝜃 fois cos 𝜃 plus sin 𝜃 fois cos 𝜃, c’est-à-dire deux sin 𝜃 cos 𝜃. Nous avons maintenant une expression de sin de deux 𝜃 en fonction de l’angle 𝜃 lui-même. Nous pouvons donc la noter comme notre première formule de duplication.

Essayons maintenant de trouver une relation similaire pour cos de deux 𝜃. Une fois de plus, on peut écrire deux 𝜃 comme 𝜃 plus 𝜃 et utiliser la formule de la somme pour la fonction cosinus, ce qui donne cos 𝜃 fois cos 𝜃 moins sin 𝜃 fois sin 𝜃, soit cos 𝜃 au carré moins sin 𝜃 au carré. Il s’agit d’une façon d’écrire la formule de duplication pour la fonction cosinus. Remarquez cependant qu’il y a un terme cosinus carré et un terme sinus carré dans cette expression. Chaque fois que nous voyons un cosinus carré ou un sinus carré, cela doit nous rappeler l’identité pythagoricienne. Cela signifie que l’on peut écrire sin x au carré comme ceci ou cos x au carré comme ceci.

Et nous pouvons effectuer ces deux substitutions dans l’expression de cos de deux 𝜃. Remplaçons d’abord cos 𝜃 au carré par un moins sin 𝜃 au carré. Cela nous donne cette expression, obtenue grâce à l’identité pythagoricienne, et qui se simplifie par un moins deux sin 𝜃 au carré. On peut donc la considérer comme une deuxième version de la formule de duplication pour la fonction cosinus.

Mais il en existe encore une autre version ; en revenant en effet à l’expression de cos de deux 𝜃, on peut maintenant remplacer le terme sin 𝜃 au carré par un moins cos 𝜃 au carré. Cela nous donne cette expression, qui se simplifie par deux cos 𝜃 au carré moins un. Il s’agit alors de la troisième et dernière version de la formule de duplication pour la fonction cosinus.

Nous pouvons enfin chercher une expression similaire pour tan de deux 𝜃. Tan de deux 𝜃 égale tan de 𝜃 plus 𝜃. Une fois de plus, la formule de la somme nous permet de reformuler cette expression. Et elle se simplifie par deux tan 𝜃 sur un moins tan 𝜃 au carré.

Nous pouvons noter ce résultat et nous avons maintenant atteint notre objectif. Nous avons obtenu les expressions du sinus, du cosinus et de la tangente de deux 𝜃 en fonction de l’angle 𝜃. Passons maintenant aux formules d’angle moitié pour ces mêmes fonctions. Notre objectif est légèrement différent. Pour un angle 𝜃, nous souhaitons maintenant déterminer les expressions du sinus, du cosinus et de la tangente de 𝜃 sur deux. Nous allons pour cela utilisé le résultat que nous venons de démontrer pour la formule de duplication de la fonction cosinus. Nous allons en particulier utiliser cette version de la formule de duplication du cosinus pour établir une expression de sin de 𝜃 sur deux. On peut en fait l’écrire simplement comme ceci.

Même s’il peut sembler étrange que nous utilisions ici cos de 𝜃 et sin de 𝜃 sur deux au carré. Remarquez que cet angle, que nous avons appelé deux 𝜃, peut en réalité être n’importe quel angle tant qu’il est deux fois plus grand que l’angle que nous avons appelé 𝜃. Ainsi, pour cette version de la formule d’angle double, tant que l’angle du sinus au carré est égal à un demi de l’angle du cosinus, l’identité reste vraie. On peut donc écrire que cos 𝜃 est égal à un moins deux fois sin de 𝜃 sur deux au carré. C’est une bonne nouvelle car cela signifie que nous devons simplement réorganiser cette expression pour isoler sinus de 𝜃 sur deux.

Soustraire un aux deux membres nous donne ce résultat. Puis diviser les deux membres par moins deux annule le facteur de droite. On peut réorganiser le membre de gauche et on obtient un moins cos 𝜃 le tout sur deux. Si on prend ensuite la racine carrée des deux membres, on trouve que sin de 𝜃 sur deux est égal à racine carrée de un moins cos 𝜃, le tout sur deux.

Avant de le noter comme notre réponse, regardons le cercle trigonométrique. Si on divise ce cercle en quatre quadrants, on sait que les trois fonctions avec lesquelles nous travaillons - sinus, cosinus et tangente - peuvent avoir des signes différents selon le quadrant dans lequel l’angle est situé. Et cela est important pour notre expression de sin de 𝜃 sur deux.

En observant le membre de droite de l’équation, comme cos 𝜃 n’est jamais inférieur à moins un ou supérieur à plus un alors le numérateur, un moins cos 𝜃, ne sera jamais négatif. Cela signifie que le membre de droite de cette expression sera toujours positif ou nul mais jamais strictement négatif.

Dans le membre de gauche, cependant, on pourrait tout à fait avoir un sinus négatif. Supposons par exemple que cet angle ici sur le cercle trigonométrique est 𝜃 sur deux. Cet angle se situe dans le troisième quadrant, là où le sinus est négatif. En appliquant la formule que nous venons de trouver, nous obtiendrions un membre gauche négatif mais un membre droit positif. Afin que cette formule puisse couvrir tous les angles possibles, on ajoute donc un signe plus ou moins au membre de droite. Cette ambiguïté permet au membre de droite d’être négatif, contrairement à la racine carrée qui ne le sera jamais. Nous avons donc maintenant la formule d’angle moitié pour la fonction sinus.

Passons maintenant à cos de 𝜃 sur deux. Et nous allons commencer de la même manière que précédemment. Nous allons à nouveau utiliser une version de la formule de duplication de la fonction cosinus. Mais cette fois on utilisera cette forme. On choisit cette forme car si on remplace deux 𝜃 par 𝜃 et donc 𝜃 par 𝜃 sur deux, on retrouve cos de 𝜃 sur deux dans l’expression.

Ajouter un aux deux membres de cette équation nous donne ce résultat. En divisant ensuite les deux membres par deux, on peut éliminer ce facteur à droite et prendre la racine carrée des deux membres. On trouve que cos de 𝜃 sur deux est égal à racine carrée de cos 𝜃 plus un sur deux. Tout comme pour la formule de sinus de 𝜃 sur deux, le membre de droite ne sera ici jamais négatif alors que le membre de gauche pourrait l’être. On rajoute donc à nouveau le signe plus ou moins devant la racine carrée.

Nous avons ainsi établi la formule d’angle moitié pour la fonction cosinus. Notre dernière tâche consiste alors à trouver quelque chose de similaire pour la fonction tangente. Nous allons, pour cela, utiliser les formules d’angle moitié que nous venons de démontrer. On rappelle que la tangente d’un angle est égale au sinus de cet angle sur le cosinus du même angle et on peut donc écrire que tan de 𝜃 sur deux est égal à sin de 𝜃 sur deux sur cos de 𝜃 sur deux. Ce qui donne cette expression à droite.

Remarquez qu’il y a alors un sur racine carrée de deux au numérateur et au dénominateur de cette fraction. On peut donc simplifier cette expression par plus ou moins racine carrée de un moins cos 𝜃 sur cos 𝜃 plus un.

Pour simplifier davantage cette expression, nous avons maintenant deux options. Selon celle que nous choisissons, nous obtiendrons une version différente de la formule d’angle moitié pour la tangente. La première méthode implique de multiplier le numérateur et le dénominateur du membre de droite par racine carrée de un moins cos 𝜃. Remarquez que ce facteur est identique au numérateur de la fraction d’origine. On obtient donc cette fraction. Ce qui donne un moins cos 𝜃 au numérateur. Et en multipliant tous les termes du dénominateur, on obtient cos 𝜃 moins cos 𝜃 au carré plus un moins cos 𝜃. cos 𝜃 moins cos 𝜃 égale zéro. Le dénominateur se simplifie donc par racine carrée de un moins cos 𝜃 au carré.

Et on peut effectuer une dernière simplification ici. Elle repose à nouveau sur l’identité pythagoricienne. Un moins le cosinus d’un angle au carré est égal au sinus de ce même angle au carré. Cela signifie que l’on peut remplacer un moins cos 𝜃 au carré par sin 𝜃 au carré. Et la racine carrée de sin 𝜃 au carré devient alors simplement sin 𝜃.

Notez que nous n’avons plus le signe plus ou moins devant cette fraction. Cela est délibéré car comme nous l’avons vu, un moins le cosinus de tout angle n’est jamais négatif. De plus, pour tout angle 𝜃, le sinus de cet angle est toujours du même signe que la tangente de l’angle moitié 𝜃 sur deux. On peut alors noter cette expression de la tangente de l’angle moitié 𝜃 sur deux.

Comme nous l’avons mentionné précédemment, ce n’est qu’une des deux façons d’écrire cette formule d’angle moitié. À cette étape des calculs, on aurait en effet pu multiplier par le dénominateur de la fraction d’origine plutôt que par son numérateur. Si on suit cette approche, on obtient cette fraction. En développant les parenthèses, on a un cos 𝜃 et un moins cos 𝜃 qui s’annulent. En utilisant à nouveau l’identité pythagoricienne, on peut remplacer un moins cos 𝜃 au carré par sin 𝜃 au carré. Et la racine carrée de sin 𝜃 au carré est simplement égale à sin 𝜃. Pour la même raison que précédemment, nous pouvons également retirer le signe plus ou moins devant cette fraction. Elle sera toujours du même signe que tan de 𝜃 sur deux.

Nous avons ainsi établi les formules d’angle double et d’angle moitié pour le sinus, le cosinus et la tangente. Nous allons maintenant nous entraîner à les utiliser dans un exemple.

Laquelle des expressions suivantes est égale à racine carrée de un moins sin de deux 𝑥? (A) valeur absolue de cos 𝑥 moins sin 𝑥. (B) cos 𝑥 moins sin 𝑥. (C) valeur absolue de cos 𝑥 plus sin 𝑥. (D) cos 𝑥 plus sin 𝑥. (E) sin 𝑥 moins cos 𝑥.

Nous étudions donc cette expression. Et nous souhaitons déterminer à laquelle de ces cinq expressions elle est égale. La première chose que l’on peut remarquer est que l’on calcule le sinus de deux fois un angle 𝑥. Ce n’est rien d’autre que le sinus de la duplication d’un angle, où 𝑥 est l’angle en question. En rappelant la formule de duplication pour la fonction sinus, on sait que sin de deux 𝑥 est égal à deux sin 𝑥 cos 𝑥. En substituant cette expression dans notre racine carrée, on obtient ce résultat.

On considère maintenant ce terme de un. D’après l’identité pythagoricienne, ce simple nombre est égal au sinus d’un angle au carré plus le cosinus de ce même angle au carré. On substitue donc cette expression et on obtient ceci. Il semble pour le moment que nous soyons en train de compliquer l’expression de la racine carrée plutôt que de la simplifier. Mais maintenant que nous avons ces trois termes - sin 𝑥 au carré, cos 𝑥 au carré et deux sin 𝑥 cos 𝑥 – on peut les factoriser par cos 𝑥 moins sin 𝑥 au carré. Et on voit alors que prendre la racine carrée d’un nombre au carré donne tout simplement ce nombre. Nous pourrions donc penser que la réponse est cos 𝑥 moins sin 𝑥.

Nous devons cependant faire attention à ce que ce résultat soit vraiment égal à l’expression initiale. On sait que la fonction sinus a pour maximum un et pour minimum moins un. Cela signifie que un moins sin de deux 𝑥 ne sera jamais négatif et donc sa racine sera définie et positive. Comme l’expression d’origine ne peut pas être négative, cela doit également être vrai pour son expression équivalente. Il est cependant tout à fait possible que cos 𝑥 moins sin 𝑥 soit négatif. Pour corriger cela et rendre notre expression vraiment égale à racine carrée de un moins sin de deux 𝑥, on en prend la valeur absolue. Voici donc notre réponse finale. Racine carrée de un moins sin de deux 𝑥 est égal à valeur absolue de cos 𝑥 moins sin 𝑥.

Étudions maintenant un autre exemple.

Laquelle des expressions suivantes est égale à racine carrée de un moins cos de deux 𝑥? (A) valeur absolue de sin 𝑥. (B) Deux valeur absolue de cos 𝑥. (C) racine carrée de deux valeur absolue de cos 𝑥. (D) Deux valeur absolue de sin 𝑥. (E) racine carrée de deux valeur absolue de sin 𝑥.

OK, nous cherchons donc à convertir cette expression en une des cinq options proposées. La première chose que l’on peut remarquer est que l’on calcule le cosinus de deux fois un angle 𝑥. Cela nous suggère d’utiliser la formule de duplication de la fonction cosinus. Mais il en existe trois versions. Et nous pourrions choisir n’importe laquelle. Remarquez cependant que si on choisit la troisième et qu’on la substitue à cos de deux 𝑥 sous la racine carrée, on ajoute moins un à plus un, ce qui donne zéro. Et cela simplifie l’expression sous la racine carrée. On choisit donc cette troisième version de la formule de duplication.

En la substituant, on constate en effet que ce moins un ajouté au plus un nous donne zéro. Et en distribuant le signe négatif, on obtient racine carrée de deux sin 𝑥 au carré. Ce qui est égal à racine carrée de deux fois racine carrée de sin 𝑥 au carré. Nous devons rester prudents ici car nous pourrions être tentés de dire que la racine carrée de sin 𝑥 au carré est simplement égale à sin 𝑥. Notez que la racine carrée de sin 𝑥 au carré ne sera jamais négative alors que sin 𝑥 pourrait l’être. Nous devons donc ajouter des barres de valeur absolue autour de sinus 𝑥. Cela garantit que quelle que soit la valeur de 𝑥, l’expression obtenue ne sera jamais négative.

Nous concluons donc que racine carrée de un moins cos de deux 𝑥 est égal à racine carrée de deux valeur absolue de sinus 𝑥.

Terminons à présent cette leçon en résumant quelques points clés. Dans cette leçon, nous avons établi les formules de duplication et d’angle moitié pour les fonctions sinus, cosinus et tangente. Nous avons vu que les formules d’angle double peuvent être déduites de l’identité pythagoricienne et des formules trigonométriques de la somme et de la différence. Puis que les formules d’angle moitié peuvent à leur tout être démontrées à partir des formules de duplication. Voici un récapitulatif des formules de duplication et d’angle moitié.