Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre comment utiliser l’identité pythagoricienne et les formules de duplication pour déterminer les valeurs trigonométriques.
Les formules de duplication expriment et en fonction de et . Il s’agit en fait d’un cas particulier des formules d’addition, et , qui se produit lorsque . On peut donc déduire les formules de duplication à partir des formules d’addition :
Formule : Formules de duplication
Pour tout réel , on a
Pour , on a
Ici, il peut être intéressant de prendre un moment pour réfléchir aux signes respectifs de , et en tant que fonctions de . Sur les cercles unités présentés ci-dessous, on peut voir que si appartient à un demi-quadrant, alors appartient à un quadrant entier.
Par exemple, si (ou ), alors (ou ). Dans ce cas, , , , , et sont tous positifs et n’est pas définie pour .
Voyons si l’on obtient la même chose avec les formules de duplication. La première formule de duplication est . Puisqu’on a , alors on a également , et par conséquent ; on trouve donc bien que est positif.
À partir de la deuxième formule de duplication, , on déduit que est positif lorsque et ont le même signe ou lorsque l’un des deux est nul. C’est le cas pour .
Enfin, puisqu’on a lorsque , alors on a également , donc , et par conséquent .
On peut appliquer un raisonnement similaire à chacun des 8 demi-quadrants du cercle unité (attention, pour les 4 demi-quadrants du bas du cercle, les valeurs de sont supérieures à , ou rad) pour montrer la validité des formules de duplication pour toute valeur de .
La formule de duplication de peut se déduire des deux autres formules de duplication. Cette formule ne dépend que de ; on a ce qui nous donne et
Passons à présent à notre premier exemple, dans lequel nous utiliserons les formules de duplication pour simplifier une expression trigonométrique.
Exemple 1: Simplifier des expressions trigonométriques en utilisant les formules de duplication
Simplifiez
Réponse
Rappelons que , que l’on peut utiliser pour simplifier le numérateur et le dénominateur : où nous utilisons l'identité pythagoricienne. Pour le dénominateur, maintenant avec l'identité ,
Par conséquent,
Dans l’exemple précédent, nous avons déduit deux nouvelles formules de la formule de duplication .
Formule : Formules dérivées de la formule de duplication cos 2𝜃 = cos2 𝜃 - sin2 𝜃
Pour tout réel , on a
Dans le prochain exemple, nous simplifierons une expression trigonométrique en appliquant une formule de duplication dans l’autre sens.
Exemple 2: Simplifier des expressions trigonométriques en utilisant les formules de duplication
Simplifiez .
Réponse
On remarque que l’on peut factoriser par : L’identité pythagoricienne nous donne . En remplaçant dans notre expression, on obtient La formule de duplication nous donne . En remplaçant dans notre expression, on obtient
Passons à présent à un exemple dans lequel nous déterminerons la valeur d’une expression trigonométrique en utilisant une formule de duplication.
Exemple 3: Utiliser les formules de duplication pour évaluer une expression trigonométrique
Sans l’aide de la calculatrice, trouvez la valeur de , sachant que et .
Réponse
Pour pouvoir appliquer les formules de duplication, il nous faut la valeur de . Pour cela, on peut utiliser l’identité pythagoricienne et remplacer la valeur donnée dans l’énoncé pour obtenir
Par conséquent, est soit , soit . L’encadrement de l’angle donné dans l’énoncé nous apprend qu’il appartient au 4e quadrant, où le sinus est négatif. Par conséquent,
En utilisant les formules de duplication : et , on trouve que
Bien sûr, on aurait aussi pu résoudre ce problème en remarquant qu’on nous demandait d’évaluer , et donc utiliser la formule de duplication de la tangente.
Jusqu’ici, nous avons utilisé les formules de duplication. Pour cela, il suffit de réaliser qu’avec un simple changement de perspective, considérer un angle et son double revient au même que considérer un angle et sa moitié.
Dans la formule , dérivée de la formule de duplication , on peut remplacer et pour obtenir
En partant de l’autre formule dérivée de la formule de duplication (i.e., ), on trouve que
Enfin, pour trouver , on utilise les expressions de et que l’on vient d’établir pour écrire que
Avec les trois formules d’angle moitié que l’on vient d’établir, on constate que les valeurs absolues des trois fonctions trigonométriques de la moitié d’un angle ne dépendent que de la valeur du cosinus de cet angle. Les « » indiquent cependant que leurs signes sont indéterminés. Cela signifie que lorsqu’on utilise ces formules, on ne peut écrire le signe correct que si l’on sait dans quel quadrant se trouve le demi-angle.
Ceci est dû au fait qu’un angle n’est pas entièrement déterminé par la valeur de son cosinus. Prenons par exemple , , et . Bien que l’on ait , on a en revanche et , comme on peut le voir sur le diagramme ci-dessous.
Voyons à présent comment réécrire la formule d’angle moitié de la tangente de façon à ce que son signe soit déterminé.
En partant de on multiplie le numérateur et le dénominateur du membre de droite par pour obtenir
On peut voir que le numérateur est égal à en utilisant la formule de duplication : (avec et ) et que le dénominateur est égal à en utilisant la formule : (avec et ) dérivée de la formule de duplication .
Par conséquent, on a
En partant à nouveau de la formule on multiplie cette fois le numérateur et le dénominateur du membre de droite par . On obtient
En utilisant ici la formule , on peut voir que est égal à et, comme précédemment, que est égal à . Cela nous donne
Notons également que si l’on réarrange en multipliant le membre de droite soit par , soit par , on obtient et . En étudiant les signes respectifs de et , tels que présentés dans le tableau ci-dessous, on constate que et ont toujours le même signe. Cela nous permet d’établir les formules et .
| () | (0–90) | (90–180) | (180–270) | (270–360) | (360–450) | (450–540) | (540–630) | (630–720) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| () | (0–45) | (45–90) | (90–135) | (135–180) | (180–225) | (225–270) | (270–315) | (315–360) |
Récapitulons les formules d’angle moitié que nous venons d’établir.
Formule: Formules d’angle moitié
Pour tout réel , on a
Pour , où est un entier, on a
Pour , on a
Nous verrons dans les prochains exemples comment utiliser ces formules d’angle moitié.
Exemple 4: Déterminer le cosinus d’un angle moitié à partir du cosinus et du quadrant de l’angle
Sans l’aide de la calculatrice, trouvez la valeur de , sachant que et .
Réponse
On rappelle la formule d’angle moitié
On sait que . On a par conséquent et . On en déduit que car
Pour trouver la valeur de , on remplace par sa valeur dans l’équation ci-dessus :
On peut simplifier le dénominateur en multipliant par , on obtient
Enfin, voyons dans le dernier exemple comment utiliser les formules de duplication et d’angle moitié pour trouver la valeur exacte d’une expression trigonométrique.
Exemple 5: Trouver la valeur exacte d’une expression trigonométrique
En utilisant les formules d’angle moitié ou la méthode de votre choix, trouvez la valeur exacte de .
Réponse
L’angle radians ne fait pas partie des angles remarquables, c’est-à-dire des angles dont les rapports trigonométriques exacts sont bien connus. On remarque cependant qu’il s’agit de la moitié de la valeur d’un angle remarquable, à savoir radians. En utilisant la formule d’angle moitié , on trouve que
Et puisque , on obtient
En multipliant le membre de droite par , on obtient Par conséquent, , que l’on peut aussi écrire , est la valeur exacte de .
On aurait bien sûr obtenu le même résultat si l’on avait utilisé la formule .
On aurait également pu utiliser , qui nous aurait donné , car on sait que est positive.
Récapitulons ce que nous avons appris dans cette fiche explicative.
Points clés
- Les formules de duplication énoncent que, pour tout réel , on a et pour , on a
- À partir de la formule de duplication , on peut établir deux autres formules pour tout réel :
- D’après les formules d’angle moitié, pour tout réel , on a Pour , on a et pour , on a
