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Fiche explicative de la leçon : Formules de duplication et d’angle moitié Mathématiques

Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre comment utiliser l’identité pythagoricienne et les formules de duplication pour déterminer les valeurs trigonométriques.

Les formules de duplication expriment cos2𝜃 et sin2𝜃 en fonction de cos𝜃 et sin𝜃. Il s’agit en fait d’un cas particulier des formules d’addition, coscoscossinsin(𝜃+𝜃)=𝜃𝜃𝜃𝜃 et sinsincoscossin(𝜃+𝜃)=𝜃𝜃+𝜃𝜃, qui se produit lorsque 𝜃=𝜃. On peut donc déduire les formules de duplication à partir des formules d’addition:coscoscoscossinsincossinsinsincossincossincossin2𝜃=(𝜃+𝜃)=𝜃𝜃𝜃𝜃=𝜃𝜃,2𝜃=(𝜃+𝜃)=𝜃𝜃+𝜃𝜃=2𝜃𝜃.

Formule : Formules de duplication

Pour tout réel 𝜃, on a coscossinsincossin2𝜃=𝜃𝜃,2𝜃=2𝜃𝜃.

Pour 𝜃(45;135;225;315)+𝑛360𝜃𝜋4;3𝜋4;5𝜋4;7𝜋4+2𝑛𝜋, on a tantantan2𝜃=(2𝜃)1𝜃.

Ici, il peut être intéressant de prendre un moment pour réfléchir aux signes respectifs de cos2𝜃, sin2𝜃 et tan2𝜃 en tant que fonctions de 𝜃. Sur les cercles unités présentés ci-dessous, on peut voir que si 𝜃 appartient à un demi-quadrant, alors 2𝜃 appartient à un quadrant entier.

Par exemple, si 0𝜃45 (ou 0𝜃𝜋4), alors 02𝜃90 (ou 0𝜃𝜋2). Dans ce cas, cos𝜃, sin𝜃, tan𝜃, cos2𝜃, sin2𝜃 et tan2𝜃 sont tous positifs et tan2𝜃 n’est pas définie pour 𝜃=45.

Voyons si l’on obtient la même chose avec les formules de duplication. La première formule de duplication est coscossin2𝜃=𝜃𝜃. Puisqu’on a |𝜃||𝜃|cossin, alors on a également cossin𝜃𝜃, et par conséquent cossin𝜃𝜃0;on trouve donc bien que cos2𝜃 est positif.

À partir de la deuxième formule de duplication, sincossin2𝜃=2𝜃𝜃, on déduit que sin2𝜃 est positif lorsque cos𝜃 et sin𝜃 ont le même signe ou lorsque l’un des deux est nul. C’est le cas pour 0𝜃45.

Enfin, puisqu’on a cossin𝜃>𝜃0 lorsque 0𝜃<45, alors on a également 0𝜃=𝜃𝜃<1tansincos, donc 1𝜃>0tan, et par conséquent tantantan2𝜃=2𝜃1𝜃0.

On peut appliquer un raisonnement similaire à chacun des 8 demi-quadrants du cercle unité (attention, pour les 4 demi-quadrants du bas du cercle, les valeurs de 2𝜃 sont supérieures à 360, ou 2𝜋 rad) pour montrer la validité des formules de duplication pour toute valeur de 𝜃.

La formule de duplication de tan(2𝜃) peut se déduire des deux autres formules de duplication. Cette formule ne dépend que de tan𝜃;on a tansincossincoscossincostantantan(2𝜃)=(2𝜃)(2𝜃)=2𝜃𝜃𝜃𝜃𝑒𝑛𝑑𝑖𝑣𝑖𝑠𝑎𝑛𝑡𝑙𝑒𝑛𝑢𝑚𝑟𝑎𝑡𝑒𝑢𝑟𝑒𝑡𝑙𝑒𝑑𝑛𝑜𝑚𝑖𝑛𝑎𝑡𝑒𝑢𝑟𝑝𝑎𝑟𝜃==2(𝜃)(1)=2𝜃1𝜃,sincoscoscossincoscoscossincos ce qui nous donne tantantan(2𝜃)=2𝜃1𝜃 et cotcotcot(2𝜃)=𝜃12𝜃.

Passons à présent à notre premier exemple, dans lequel nous utiliserons les formules de duplication pour simplifier une expression trigonométrique.

Exemple 1: Simplifier des expressions trigonométriques en utilisant les formules de duplication

Simplifiez 12𝑥1+2𝑥.coscos

Réponse

Rappelons que coscossin2𝑥=𝑥𝑥, que l’on peut utiliser pour simplifier le numérateur et le dénominateur:12𝑥=1𝑥𝑥=1𝑥+𝑥=2𝑥,coscossincossinsin où nous utilisons l'identité pythagoricienne1𝑥=𝑥cossin. Pour le dénominateur, maintenant avec l'identité 1𝑥=𝑥sincos, 1+2𝑥=1+𝑥𝑥=1+𝑥=2𝑥.coscossincossincos

Par conséquent, 12𝑥1+2𝑥=2𝑥2𝑥=𝑥.coscossincostan

Dans l’exemple précédent, nous avons déduit deux nouvelles formules de la formule de duplication coscossin2𝜃=𝜃𝜃.

Formule : Formules dérivées de la formule de duplication cos 2𝜃 = cos2 𝜃 - sin2 𝜃

Pour tout réel 𝜃, on a 1+2𝜃=2𝜃,12𝜃=2𝜃.coscoscossin

Dans le prochain exemple, nous simplifierons une expression trigonométrique en appliquant une formule de duplication dans l’autre sens.

Exemple 2: Simplifier des expressions trigonométriques en utilisant les formules de duplication

Simplifiez sinsin𝑥𝑥.

Réponse

On remarque que l’on peut factoriser par sin𝑥:sinsinsinsin𝑥𝑥=𝑥1𝑥. L’identité pythagoricienne cossin𝑥+𝑥=1 nous donne 1𝑥=𝑥sincos. En remplaçant dans notre expression, on obtient sinsinsincossincos𝑥𝑥=𝑥𝑥=(𝑥𝑥). La formule de duplication sinsincos2𝑥=2𝑥𝑥 nous donne sincossin𝑥𝑥=2𝑥2. En remplaçant dans notre expression, on obtient sinsinsinsin𝑥𝑥=2𝑥2=14(2𝑥).

Passons à présent à un exemple dans lequel nous déterminerons la valeur d’une expression trigonométrique en utilisant une formule de duplication.

Exemple 3: Utiliser les formules de duplication pour évaluer une expression trigonométrique

Sans l’aide de la calculatrice, trouvez la valeur de sincos2𝐵22𝐵, sachant que cos𝐵=45 et 3𝜋2<𝐵<2𝜋.

Réponse

Pour pouvoir appliquer les formules de duplication, il nous faut la valeur de sin𝐵. Pour cela, on peut utiliser l’identité pythagoricienne sincos𝐵+𝐵=1 et remplacer la valeur donnée dans l’énoncé pour obtenir sincos𝐵=1𝐵=145=925.

Par conséquent, sin𝐵 est soit 35, soit 35. L’encadrement de l’angle 𝐵 donné dans l’énoncé nous apprend qu’il appartient au 4e quadrant, où le sinus est négatif. Par conséquent, sin𝐵=35.

En utilisant les formules de duplication:sinsincos2𝐵=2𝐵𝐵 et coscossin2𝐵=𝐵𝐵, on trouve que sincossincoscossin2𝐵22𝐵=2𝐵𝐵2𝐵𝐵=22==127.

Bien sûr, on aurait aussi pu résoudre ce problème en remarquant qu’on nous demandait d’évaluer tan2𝐵2, et donc utiliser la formule de duplication de la tangente.

Jusqu’ici, nous avons utilisé les formules de duplication. Pour cela, il suffit de réaliser qu’avec un simple changement de perspective, considérer un angle et son double revient au même que considérer un angle et sa moitié.

Dans la formule 2𝜃=1+2𝜃coscos, dérivée de la formule de duplication coscossin2𝜃=𝜃𝜃, on peut remplacer 2𝜃=𝜑 et 𝜃=𝜑2 pour obtenir 2𝜑2=1+𝜑𝜑2=±1+𝜑2.coscoscoscos

En partant de l’autre formule dérivée de la formule de duplication coscossin2𝜃=𝜃𝜃 (i.e., 2𝜃=12𝜃sincos), on trouve que 2𝜑2=1𝜑𝜑2=±1𝜑2.sincossincos

Enfin, pour trouver tan𝜑2, on utilise les expressions de cos𝜑2 et sin𝜑2 que l’on vient d’établir pour écrire que tansincoscoscoscoscos𝜑2==±1𝜑2±21+𝜑=±1𝜑1+𝜑.

Avec les trois formules d’angle moitié que l’on vient d’établir, on constate que les valeurs absolues des trois fonctions trigonométriques de la moitié d’un angle ne dépendent que de la valeur du cosinus de cet angle. Les « ± » indiquent cependant que leurs signes sont indéterminés. Cela signifie que lorsqu’on utilise ces formules, on ne peut écrire le signe correct que si l’on sait dans quel quadrant se trouve le demi-angle.

Ceci est dû au fait qu’un angle n’est pas entièrement déterminé par la valeur de son cosinus. Prenons par exemple 𝜑=140, 𝜑=220, 𝜑=500 et 𝜑=580. Bien que l’on ait coscoscoscos𝜑=𝜑=𝜑=𝜑, on a en revanche coscoscoscos𝜑2=𝜑2=𝜑2=𝜑2 et sinsinsinsin𝜑2=𝜑2=𝜑2=𝜑2, comme on peut le voir sur le diagramme ci-dessous.

Voyons à présent comment réécrire la formule d’angle moitié de la tangente de façon à ce que son signe soit déterminé.

En partant de tansincos𝜑2=, on multiplie le numérateur et le dénominateur du membre de droite par 2𝜑2cos pour obtenir tansincoscos𝜑2=22.

On peut voir que le numérateur est égal à sin𝜑 en utilisant la formule de duplication:2𝜃𝜃=2𝜃sincossin (avec 2𝜃=𝜑 et 𝜃=𝜑2) et que le dénominateur est égal à 1+𝜑cos en utilisant la formule:1+2𝜃=2𝜃coscos (avec 2𝜃=𝜑 et 𝜃=𝜑2) dérivée de la formule de duplication coscossin2𝜃=𝜃𝜃.

Par conséquent, on a tansincos𝜑2=𝜑1+𝜑.

En partant à nouveau de la formule tansincos𝜑2=, on multiplie cette fois le numérateur et le dénominateur du membre de droite par 2𝜑2sin. On obtient tansinsincos𝜑2=22.

En utilisant ici la formule 12𝜃=2𝜃cossin, on peut voir que 2𝜑2sin est égal à 1𝜑cos et, comme précédemment, que 2𝜑2𝜑2sincos est égal à sin𝜑. Cela nous donne tancossin𝜑2=1𝜑𝜑.

Notons également que si l’on réarrange tancoscos𝜑2=±1𝜑1+𝜑 en multipliant le membre de droite soit par 1+𝜑1+𝜑coscos, soit par 1𝜑1𝜑coscos, on obtient tansincos𝜑2=±|𝜑|1+𝜑 et tancossin𝜑2=±1𝜑|𝜑|. En étudiant les signes respectifs de tan𝜑2 et sin𝜑, tels que présentés dans le tableau ci-dessous, on constate que tan𝜑2 et sin𝜑 ont toujours le même signe. Cela nous permet d’établir les formules tansincos𝜑2=𝜑1+𝜑 et tancossin𝜑2=1𝜑𝜑.

𝜑 ()(0–90)(90–180)(180–270)(270–360)(360–450)(450–540)(540–630)(630–720)
cos𝜑++++
sin𝜑++++
tan𝜑++++
𝜑2 ()(0–45)(45–90)(90–135)(135–180)(180–225)(225–270)(270–315)(315–360)
cos𝜑2++++
sin𝜑2++++
tan𝜑2++++

Récapitulons les formules d’angle moitié que nous venons d’établir.

Formule: Formules d’angle moitié

Pour tout réel 𝜃, on a coscossincos𝜃2=±1+𝜃2,𝜃2==±1𝜃2.

Pour 𝜃180+𝑛360(𝜃𝜋+2𝑛𝜋), 𝑛 est un entier, on a tancoscostansincos𝜃2=±1𝜃1+𝜃,𝜃2=𝜃1+𝜃.

Pour 𝜃(0;180)+𝑛360(𝜃(0;𝜋)+2𝑛𝜋), on a tancossin𝜃2=1𝜃𝜃.

Nous verrons dans les prochains exemples comment utiliser ces formules d’angle moitié.

Exemple 4: Déterminer le cosinus d’un angle moitié à partir du cosinus et du quadrant de l’angle

Sans l’aide de la calculatrice, trouvez la valeur de cos𝜃2, sachant que cos𝜃=1517 et 0<𝜃<90.

Réponse

On rappelle la formule d’angle moitié coscos𝜃2=±1+𝜃2.

On sait que 0<𝜃<90. On a par conséquent 0<𝜃2<45 et cos𝜃2>0. On en déduit que coscos𝜃2=1+𝜃2 car 1+𝜃20.cos

Pour trouver la valeur de cos𝜃2, on remplace cos𝜃 par sa valeur dans l’équation ci-dessus:cos𝜃2=1+2=322×17=1617=417.

On peut simplifier le dénominateur en multipliant par 1717, on obtient cos𝜃2=41717.

Enfin, voyons dans le dernier exemple comment utiliser les formules de duplication et d’angle moitié pour trouver la valeur exacte d’une expression trigonométrique.

Exemple 5: Trouver la valeur exacte d’une expression trigonométrique

En utilisant les formules d’angle moitié ou la méthode de votre choix, trouvez la valeur exacte de tan𝜋8.

Réponse

L’angle 𝜋8 radians ne fait pas partie des angles remarquables, c’est-à-dire des angles dont les rapports trigonométriques exacts sont bien connus. On remarque cependant qu’il s’agit de la moitié de la valeur d’un angle remarquable, à savoir 𝜋4 radians. En utilisant la formule d’angle moitié tansincos𝜃2=𝜃1+𝜃, on trouve que tansincos𝜋8=1+.

Et puisque sincos𝜋4=𝜋4=12, on obtient tan𝜋8=1+=12+1.

En multipliant le membre de droite par 2121, on obtient tan𝜋8=2121=21. Par conséquent, 21, que l’on peut aussi écrire 1+2, est la valeur exacte de tan𝜋8.

On aurait bien sûr obtenu le même résultat si l’on avait utilisé la formule tancossin𝜃2=1𝜃𝜃.

On aurait également pu utiliser tancoscos𝜃2=±1𝜃1+𝜃, qui nous aurait donné tancoscos𝜋8=11+, car on sait que tan𝜋8 est positive.

Récapitulons ce que nous avons appris dans cette fiche explicative.

Points clés

  • Les formules de duplication énoncent que, pour tout réel 𝜃, on a coscossinsincossin2𝜃=𝜃𝜃,2𝜃=2𝜃𝜃, et pour 𝜃(45;135;225;315)+𝑛360𝜃𝜋4;3𝜋4;5𝜋4;7𝜋4+2𝑛𝜋, on a tantantan2𝜃=2𝜃1𝜃.
  • À partir de la formule de duplication coscossin2𝜃=𝜃𝜃, on peut établir deux autres formules pour tout réel 𝜃:1+2𝜃=2𝜃,12𝜃=2𝜃.coscoscossin
  • D’après les formules d’angle moitié, pour tout réel 𝜃, on a coscossincos𝜃2=±1+𝜃2,𝜃2=±1𝜃2. Pour 𝜃180+𝑛360(𝜃𝜋+2𝑛𝜋), on a tancoscostansincos𝜃2=±1𝜃1+𝜃,𝜃2=𝜃1+𝜃, et pour 𝜃(0;180)+𝑛360(𝜃(0;𝜋)+2𝑛𝜋), on a tancossin𝜃2=1𝜃𝜃.

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