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Supposons que 𝑓 de 𝑥 égal moins six, si 𝑥 est différent de moins trois et six, si 𝑥 égal moins trois. Et que 𝑔 de 𝑥 égal neuf 𝑥 plus 12, si 𝑥 est différent de moins trois et 15, si 𝑥 égal moins trois. Que peut-on dire de la continuité de la fonction d’expression 𝑔 de 𝑓 de 𝑥 en 𝑥 égal moins trois ? Nous avons ici quatre options. Option A : la fonction est discontinue en 𝑥 égal moins trois car la limite de 𝑔 de 𝑓 de 𝑥, lorsque 𝑥 tend vers moins trois, n'existe pas. Option B : la fonction est continue en 𝑥 égal moins trois. Option C : la fonction est discontinue en 𝑥 égal moins trois car 𝑔 de 𝑓 de moins trois est indéfinie. Et enfin l'option D : la fonction est discontinue en 𝑥 égal moins trois car la limite de 𝑔 de 𝑓 de 𝑥, lorsque 𝑥 tend vers moins trois, est différente de 𝑔 de 𝑓 de moins trois.
Pour résumer, on s'intéresse à la continuité d'une fonction composée, d’expression 𝑔 de 𝑓 de 𝑥 en 𝑥 égal moins trois. Et il existe deux possibilités, soit la fonction est continue en 𝑥 égal moins trois, soit elle ne l'est pas. D’après les options, on voit que si la fonction est discontinue, il faut expliquer pourquoi. Ce sera pour l'une des trois raisons suivantes.
Nous allons maintenant effacer ces options, pour avoir de la place afin de répondre à la question. On a besoin de la définition de la continuité en un point. Une fonction 𝑓 est dite continue en un point 𝑐, si la limite de 𝑓 de 𝑥, lorsque 𝑥 tend vers 𝑐, est 𝑓 de 𝑐. Dans notre problème, la fonction est 𝑔 de 𝑓, ou la composée de 𝑔 par 𝑓. Et on essaie de voir si cette fonction est continue lorsque 𝑥 égal moins trois. Donc 𝑐 vaut moins trois. Alors se demander si 𝑔 de 𝑓 de 𝑥 est continue en 𝑥 égal moins trois revient à chercher si la limite de 𝑔 de 𝑓 de 𝑥, lorsque 𝑥 tend vers moins trois, est égale à 𝑔 de 𝑓 de moins trois.
Notons qu'il y a essentiellement trois raisons différentes pour lesquelles cette équation peut ne pas être vérifiée. Et donc trois raisons pour lesquelles notre fonction pourrait ne pas être continue en 𝑥 égal moins trois. Tout d'abord, il se peut que cette limite n'existe pas. Deuxièmement, la valeur de 𝑔 de 𝑓 de moins trois pourrait être indéfinie. Il se pourrait que moins trois ne soit pas dans l'ensemble de définition de notre fonction. Ou troisièmement, dans ces deux cas on peut avoir des valeurs réelles. Mais on peut avoir des valeurs réelles différentes. Et si vous repensez aux options de la question, ces trois cas ont été donnés comme des options distinctes. Bien sûr, une autre possibilité est qu'à la fois la limite de 𝑔 de 𝑓 de 𝑥, lorsque 𝑥 tend vers moins trois et 𝑔 de 𝑓 de moins trois sont indéfinis.
Commençons par calculer cette limite. Comment faire ? Eh bien, il s'agit de la limite lorsque 𝑥 tend vers moins trois. Ce qui est important, c'est que 𝑥 n'est jamais égal à moins trois. Il se rapproche simplement de plus en plus de cette valeur. On sait ce que vaut 𝑓 de 𝑥 lorsque 𝑥 est différent de moins trois. On nous indique que cela vaut moins six. Donc cette limite est la limite de 𝑔 de moins six, lorsque 𝑥 tend vers moins trois. On doit maintenant se demander ce que vaut 𝑔 de moins six ? Nous avons l’expression de 𝑔 de 𝑥. Et moins six est différent de moins trois. On voit donc comment calculer 𝑔 de moins six. C'est neuf fois moins six plus 12. Et en calculant, cela nous donne moins 42. La limite d'une fonction constante comme moins 42 est juste cette constante. Donc notre limite est -42. Faisons un peu de place et calculons 𝑔 de 𝑓 de moins trois. On a obtenu que le membre gauche de l'équation, qui doit exister pour que la fonction d’expression 𝑔 de 𝑓 de 𝑥 soit continue en 𝑥, est égal moins trois. Cette limite existe et sa valeur est moins 42.
Passons maintenant au calcul du membre droit de l'équation. On veut trouver 𝑔 de 𝑓 de moins trois. Notre première étape consiste donc à trouver 𝑓 de moins trois. Et on voit d'après la définition de 𝑓 dans la question que 𝑓 de 𝑥 vaut six, si 𝑥 égal moins trois. Autrement dit, que 𝑓 de moins trois égal six. Et donc 𝑔 de 𝑓 de moins trois égal 𝑔 de six. Mais quelle est la valeur de 𝑔 de six ? On regarde la définition de 𝑔 de 𝑥. Et nous voyons que 𝑔 de 𝑥 vaut neuf 𝑥 plus 12, si 𝑥 est différent de moins trois. Et six est différent de moins trois. Donc 𝑔 de six vaut neuf fois six plus 12.
Maintenant nous sommes prêts à répondre à notre question. La limite de la fonction d’expression 𝑔 de 𝑓 de 𝑥, lorsque 𝑥 tend vers moins trois, est-elle égale à 𝑔 de 𝑓 de moins trois ? En d'autres termes, la fonction 𝑔 de 𝑓 est-elle continue en 𝑥 égal moins trois ? Eh bien, non. Le membre de gauche est égal à moins 42. Et le membre de droite est égal à 66. Quelles sont nos conclusions ? La fonction est discontinue en 𝑥 égal moins trois. Et pourquoi ? Car, bien que la limite de 𝑔 de 𝑓 de 𝑥, lorsque 𝑥 tend vers moins trois, existe et bien que 𝑔 de 𝑓 de moins trois soit définie, ces deux valeurs ne sont pas égales. Et il faut que ces deux valeurs non seulement existent ou soient définies, mais soient aussi égales pour vérifier la définition de la continuité. C'était donc l'option D de notre liste d'options.
