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Vidéo de la leçon: Continuité en un point Mathématiques • Deuxième année secondaire

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à vérifier la continuité d’une fonction en un point donné.

17:36

Transcription de la vidéo

Dans cette vidéo, nous allons découvrir ce qu’est la continuité en un point. C’est une étape dans la compréhension des fonctions continues telles que les fonctions polynomiales, les fonctions exponentielles et certaines fonctions trigonométriques. Dont les courbes peuvent être tracées sans lever le stylo. Vous avez peut-être remarqué que, pour beaucoup de fonctions 𝑓, la limite de 𝑓 de 𝑥 lorsque 𝑥 tend vers une valeur 𝑎 est simplement 𝑓 calculée en 𝑎, 𝑓 de 𝑎. Une fonction 𝑓 est dite continue au point 𝑎 si nous sommes dans ce cas. Si la limite de 𝑓 de 𝑥 lorsque 𝑥 tend vers 𝑥 est simplement 𝑓 de 𝑎. C’est la définition de la continuité en un point. Nous pouvons donc voir que la fonction 𝑓 est continue au point 𝑎 si la méthode de substitution directe fonctionne pour calculer la limite de 𝑓 de 𝑥 lorsque 𝑥 tend vers 𝑎.

Pour comprendre le principe de continuité en un point, il faut bien comprendre qu’une fonction peut ne pas être continue au point 𝑎. Comment est-il possible que cette équation ne soit pas vraie ? Il y a plusieurs choses qui peuvent ne pas fonctionner. Par exemple, la limite du côté gauche peut pas exister. Pour que 𝑓 soit continue en 𝑎, nous avons besoin que cette limite existe. De même, nous avons besoin que le côté droit de l’équation existe. 𝑓 doit être définie en 𝑎. Si ce n’est pas le cas, alors le côté droit de l’équation, c’est-à-dire 𝑓 de 𝑎, n’est pas défini. Et donc l’équation ne peut pas fonctionner. Une autre manière de savoir si 𝑓 est définie en 𝑎 est de vérifier si 𝑎 appartient à l’ensemble de définition de 𝑓. Quoi d’autre pourrait ne pas fonctionner ? Eh bien, nous pourrions avoir le cas où la limite sur le côté gauche existe. Et la fonction 𝑓 de 𝑎 est définie. Mais ces valeurs sont différentes. Nous avons besoin que les valeurs de la limite de 𝑓 de 𝑥 lorsque 𝑥 tend vers 𝑎 et 𝑓 de 𝑎 soient égales.

Ce sont les trois points à vérifier pour montrer qu’une fonction 𝑓 est continue en un point 𝑎. Regardons maintenant quelques exercices d’application pour utiliser cette checklist. Pour que ce soit plus pratique, nous allons toujours vérifier que 𝑓 est définie en 𝑎 avant de vérifier que la limite lorsque 𝑓 de 𝑥 tend vers 𝑎 existe. Et donc la checklist que nous allons utiliser dans les exercices a un ordre légèrement différent, que je vous encourage également à utiliser.

Sachant que 𝑓 de 𝑥 est égale à 𝑥 au carré plus 𝑥 moins deux, le tout divisé par 𝑥 moins un, si possible ou nécessaire, définissez 𝑓 de un de sorte que 𝑓 soit continue en 𝑥 égal un.

Nous avons donc une fonction 𝑓, qui est une fonction rationnelle. Et nous souhaitons que 𝑓 soit continue au point 𝑥 égal un. Et on nous dit que nous devons définir la valeur de 𝑓 de un pour que ce soit vrai, mais seulement si cela est possible ou nécessaire. Qu’est-ce que cela signifie ? Eh bien, si 𝑓 est déjà continue au point 𝑥 égal un, alors il n’est pas nécessaire de définir 𝑓 de un. C’est déjà le cas. Par ailleurs, 𝑓 pourrait être discontinue au point 𝑥 égal un. Mais de sorte qu’il ne soit pas possible de faire les choses simplement en définissant 𝑓 de un. Il pourrait y avoir un problème plus complexe empêchant 𝑓 d’être continue à ce stade.

Vérifions d’abord s’il est nécessaire de définir 𝑓 de un pour que 𝑓 soit continue en 𝑥 égal un. Est-ce que 𝑓 est déjà continue en 𝑥 égal un ? Eh bien, nous avons une checklist qui nous permet de vérifier si une fonction est continue en un certain point. 𝑓 doit être définie en ce point. Donc, dans notre cas, nous devons vérifier que 𝑓 de un est définie. Et la limite de 𝑓 de 𝑥 lorsque 𝑥 tend vers ce point, dans notre cas un, doit exister. Et enfin, ces deux valeurs doivent être égales.

Commençons par le début de la liste. 𝑓 de un est-elle définie ? Eh bien, nous allons utiliser la définition de 𝑓 de 𝑥 qui nous est donnée dans l’énoncé. En remplaçant 𝑥 par un, nous obtenons un au carré plus un moins deux sur un moins un. Au numérateur, un au carré plus un est égal à deux. Et en soustrayant les deux, nous obtenons zéro. Et au dénominateur, un moins un est égal à zéro. Nous obtenons donc une forme indéterminée de type zéro sur zéro. Zéro sur zéro, donc 𝑓 de un n’est pas définie. Et donc la fonction 𝑓 n’est pas déjà continue en 𝑥 égale un.

Ce n’est pas forcément un problème. Après tout, nous devons définir la valeur de 𝑓 de un. Si c’est la seule chose qui empêche 𝑓 d’être continue en 𝑥 égale un, nous pouvons simplement définir la valeur de 𝑓 de un. Et 𝑓 sera continue en ce point, comme demandé. Nous devons ensuite vérifier s’il n’y a pas d’autres problèmes. Nous avons besoin que la limite de 𝑓 de 𝑥 lorsque 𝑥 tend vers un existe. Et est-ce bien le cas ? Nous utilisons la définition de 𝑓 de 𝑥 donnée dans l’énoncé. Et bien sûr, nous savons que la méthode de substitution directe va nous donner une forme indéterminée. Il doit donc y avoir un autre moyen de calculer cette limite.

Eh bien, le théorème des facteurs nous dit que comme le numérateur et le dénominateur sont nuls pour 𝑥 égal un, le numérateur et le dénominateur peuvent tous les deux s’écrire avec un facteur 𝑥 moins un. Et en effet, nous pouvons factoriser le numérateur en 𝑥 plus deux fois 𝑥 moins un. Cela nous permet de simplifier le facteur commun 𝑥 moins un au numérateur et au dénominateur. Pour calculer la limite de 𝑥 plus deux lorsque 𝑥 tend vers un. C’est une limite qui peut être calculée avec la méthode de substitution directe. En remplaçant 𝑥 par un, nous obtenons un plus deux, soit trois. Donc oui, la limite de 𝑓 de 𝑥 lorsque 𝑥 tend vers un existe. Et elle est égale à trois.

Alors, le dernier point sur notre checklist est que la limite de 𝑓 de 𝑥 lorsque 𝑥 tend vers un doit être égale à 𝑓 de un. Nous avons vu que le côté gauche, limite de 𝑓 de 𝑥 lorsque 𝑥 tend vers un, est égale à trois. Mais le côté droit 𝑓 de un n’est pas définie. Mais notre travail consiste à définir la valeur de 𝑓 de un. Si nous définissons la valeur de 𝑓 de un comme étant trois, ce qui correspond à la valeur de la limite de 𝑓 de 𝑥 lorsque 𝑥 tend vers un. Alors le troisième point de la checklist est satisfait. Et bien sûr, en définissant 𝑓 de un comme étant égale à trois, nous validons également le premier point de la checklist. 𝑓 de un est maintenant définie. Donc, en définissant 𝑓 de un égale trois, la fonction 𝑓 est continue en 𝑥 égal un. Comme 𝑓 de un est maintenant définie, la limite de 𝑓 de 𝑥 lorsque 𝑥 tend vers un, comme nous l’avons vu, est égale à trois. Et maintenant que nous avons défini 𝑓 de un comme étant également égale à trois, ces deux valeurs sont égales.

Il peut être utile de regarder la courbe de 𝑓 de 𝑥 pour voir ce que nous avons fait. Comme nous l’avons vu pour des valeurs de 𝑥 différentes de un, 𝑓 de 𝑥 est simplement égale à 𝑥 plus deux. Alors la courbe de 𝑓 de 𝑥 est simplement la courbe de 𝑦 égale 𝑥 plus deux, avec ce trou ici pour 𝑥 égal un. Ce trou dans le graphique correspond au fait que 𝑓 de un n’est pas définie. Et par conséquent, 𝑓 n’est pas continue en 𝑥 égal un. Il y a donc un lien entre la définition technique de la continuité et la compréhension intuitive de ce que signifie la continuité. Il ne doit y avoir aucun trou. En définissant 𝑓 de un comme étant égale à trois, nous comblons ce trou et nous rendons la fonction continue Il n’y a maintenant plus de trous sur la courbe. Et 𝑓 est continue en 𝑥 égal un.

Voyons maintenant un exemple où il n’est en fait pas possible de combler le trou.

Sachant que 𝑓 de 𝑥 est égale à un sur 𝑥, si possible ou nécessaire, définissez 𝑓 de zéro de sorte que 𝑓 soit continue en 𝑥 égal zéro.

Nous avons donc ici la fonction inverse, qui, je l’espère, est une fonction que nous connaissons et que nous aimons bien. Et nous savons à quoi ressemble sa courbe. La courbe comporte deux parties, l’une dans le premier quadrant et l’autre dans le troisième. Et ces deux parties sont séparées par une asymptote verticale d’équation 𝑥 égal zéro. Alors intuitivement, on a l’impression que cette fonction n’est pas continue lorsque 𝑥 égal zéro. Parce que la courbe de la fonction n’est pas une courbe continue ; elle est formée de deux courbes avec une rupture au niveau de cette asymptote 𝑥 égale zéro. Juste à gauche de cette droite lorsque 𝑥 est petit et négatif, la valeur de 𝑓 de 𝑥 est grande et négative. Et à droite de cette droite lorsque 𝑥 est petit et positif, la valeur de 𝑓 de 𝑥 est grande et positive. Donc, lorsqu’on passe 𝑥 égal zéro, 𝑓 de 𝑥 passe d’une valeur grande et négative à une valeur grande et positive.

Voyons si notre intuition correspond à la définition technique en vérifiant les points de notre checklist pour voir si la fonction est continue. Pour que 𝑓 soit continue en 𝑥 égal zéro, 𝑓 de zéro doit être définie. La limite de 𝑓 de 𝑥 lorsque 𝑥 tend vers zéro doit exister. Et enfin, nous avons besoin que ces valeurs soient égales. Alors, est-ce que 𝑓 est définie en zéro ? Eh bien, si nous remplaçons 𝑥 par zéro dans la définition de 𝑓 de 𝑥, 𝑓 de 𝑥 égale à un sur 𝑥, nous obtenons 𝑓 de zéro égale un sur zéro. Et cette valeur n’existe pas. Zéro ne fait pas partie de l’ensemble de définition de la fonction. Donc 𝑓 n’est pas définie en zéro. Et par conséquent, 𝑓 n’est pas continue en 𝑥 égal zéro. Mais ce n’est pas vraiment une surprise car notre travail est de définir 𝑓 de zéro pour que 𝑓 soit continue en 𝑥 égal zéro. Il n’y aurait rien à faire si 𝑓 était continue en 𝑥 égal zéro et que 𝑓 de zéro était définie.

Vérifions le deuxième point. La limite de 𝑓 de 𝑥 lorsque 𝑥 tend vers zéro doit exister. Avec l’idée que si cette limite existe, alors nous pouvons simplement définir 𝑓 de zéro comme étant la valeur de cette limite. Et, comme cela la fonction sera continue en 𝑥 égal à zéro comme demandé. Cette limite existe-t-elle ? Eh bien, si nous regardons la limite par la gauche lorsque 𝑥 tend vers zéro, 𝑓 de 𝑥 tend vers moins l’infini. Et ça se gâte. La limite par la droite est égale à plus l’infini. Lorsque 𝑥 tend vers zéro par la droite, 𝑓 de 𝑥 devient de plus en plus grand sans limite.

La limite de 𝑓 de 𝑥 lorsque 𝑥 tend vers zéro n’existe donc pas. Et c’est un problème. Nous pouvons choisir la valeur que nous voulons pour 𝑓 de zéro. Mais quoi que nous choisissions, cela ne change pas le fait que la limite de 𝑓 de 𝑥 lorsque 𝑥 tend vers zéro n’existe pas. Et donc 𝑓 ne peut pas être continue en 𝑥 égal zéro. C’est donc notre réponse. La limite de 𝑓 de 𝑥 lorsque 𝑥 tend vers zéro n’existe pas. Et donc il n’est pas possible de rendre 𝑓 continue en 𝑥 égal zéro en définissant la valeur de 𝑓 de zéro. Le fait que la valeur de 𝑓 de zéro ne soit pas définie n’est pas vraiment le problème ici. Et en regardant la courbe nous pouvons en quelque sorte voir pourquoi cela est vrai. Sur la courbe, il ne s’agit pas d’un petit trou qui peut être bouché par un seul point. C’est un énorme gouffre. Même si 𝑓 de 𝑥 n’est pas continue en 𝑥 égale zéro et qu’il n’est pas possible de la rendre continue en définissant la valeur de 𝑓 de zéro, il faut tout de même souligner que la fonction 𝑓 de 𝑥 est continue pour d’autres valeurs de 𝑥.

Sachant que 𝑓 de 𝑥 est égal à un sur 𝑥, si possible ou nécessaire, définissez 𝑓 de un de sorte que 𝑓 soit continue en 𝑥 égale un. Parcourons notre checklist avec cette nouvelle question. Nous avons besoin que 𝑓 de un soit définie. La limite de 𝑓 de 𝑥 lorsque 𝑥 tend vers un doit exister. Et la limite de 𝑓 de 𝑥 lorsque 𝑥 tend vers un doit être égale à 𝑓 de un. 𝑓 de un est-elle définie ? Oui, 𝑓 de un est égale à un sur un, ce qui vaut un. 𝑓 de un est définie. Un se trouve dans le domaine de définition de 𝑓. Maintenant, la limite de 𝑓 de 𝑥 lorsque 𝑥 tend vers un existe-t-elle ? Regardons la courbe. Lorsque 𝑥 tend vers un par la gauche et que 𝑥 tend vers un par la droite. La valeur de 𝑓 de 𝑥 tend vers la même valeur finie, qui vaut un. Si nous voulions calculer la valeur de cette limite sans utiliser la courbe, nous pourrions probablement utiliser la méthode de substitution directe. Nous pouvons voir alors que le troisième point de la checklist, qui dit que la limite de 𝑓 de 𝑥 lorsque 𝑥 tend vers un doit être égale à 𝑓 de un est également satisfait. Les valeurs du côté gauche et du côté droit sont toutes deux égales. Notre réponse est alors que 𝑓 est déjà définie et continue en 𝑥 égal un. Il n’est pas nécessaire de définir à nouveau la valeur de 𝑓 de un pour que la fonction soit continue en ce point.

Voyons rapidement un autre exemple avant de conclure.

Est-ce la fonction 𝑓 de 𝑥 définie par morceaux comme égale à deux 𝑥 plus quatre, le tout divisé par 𝑥 plus deux si 𝑥 est plus petit que moins deux. Zéro si 𝑥 est égal à moins deux. Et 𝑥 au carré plus six 𝑥 plus huit, le tout divisé par 𝑥 plus deux si 𝑥 est plus grand que moins deux, est continue en 𝑥 égale moins deux.

Pour le savoir, regardons notre checklist. Pour que la fonction 𝑓 soit continue en 𝑥 égale moins deux, 𝑓 de moins deux doit être définie. La limite de 𝑓 de 𝑥 lorsque 𝑥 tend vers moins deux doit exister. Et ces valeurs doivent être égales. Nous commençons donc par vérifier que 𝑓 de moins deux est définie. Eh bien, c’est facile à voir à partir de l’énoncé. On nous dit que 𝑓 de 𝑥 est égale à zéro si 𝑥 est égal à moins deux. Donc 𝑓 de moins deux est définie. 𝑓 de moins deux est égale à zéro. Maintenant, nous devons vérifier que la limite de 𝑓 de 𝑥 lorsque 𝑥 tend vers moins deux existe. Il existe des définitions différentes pour 𝑓 de 𝑥 lorsque 𝑥 est plus petit que moins deux et lorsque 𝑥 est plus grand que moins deux. C’est ce que nous allons utiliser pour vérifier les limites à gauche et à droite pour être sûrs qu’elles existent et qu’elles sont égales.

Quelle est la limite à gauche ? Eh bien, à gauche de moins deux, 𝑓 de 𝑥 est définie par deux 𝑥 plus quatre, le tout divisé par 𝑥 plus deux. Nous devons donc trouver la limite de deux 𝑥 plus quatre, le tout divisé par 𝑥 plus deux, lorsque 𝑥 tend moins deux par la gauche. En utilisant la méthode de substitution directe, nous obtenons une forme indéterminée de type zéro sur zéro. Nous devons donc déterminer cette limite d’une autre manière. Pour cela, nous allons factorisant le numérateur en deux fois 𝑥 plus deux. Et le facteur 𝑥 plus deux se simplifie avec le facteur 𝑥 plus deux au dénominateur. Et donc la limite est celle de la fonction constante deux dont la valeur est deux. La limite de gauche existe donc. Qu’en est-il de la limite à droite ?

À droite de 𝑥 égale moins deux, 𝑓 de 𝑥 est égale à cette fraction. Et nous pouvons trouver la valeur de cette limite de la même manière. En factorisant le numérateur et en simplifiant le facteur commun 𝑥 plus deux, nous devons calculer la limite de 𝑥 plus quatre lorsque 𝑥 tend vers moins deux par la droite. Nous pouvons la calculer en utilisant la méthode de substitution directe. Nous obtenons moins deux plus quatre, soit deux. Donc, la limite à droite existe aussi et elle est égale à la limite à gauche. Les deux valent deux. Par conséquent, la limite de 𝑓 de 𝑥 lorsque 𝑥 tend vers moins deux dans les deux sens existe bien et sa valeur est deux.

Il nous reste juste à vérifier le troisième point. Pour que 𝑓 de 𝑥 soit continue en 𝑥 égale moins deux, nous avons besoin que la limite de 𝑓 de 𝑥 lorsque 𝑥 tend vers moins deux soit égale à la valeur de 𝑓 en moins deux, 𝑓 de moins deux. Mais nous venons de voir que la valeur de cette limite est deux, alors que 𝑓 calculée en moins deux vaut zéro. La limite de 𝑓 de 𝑥 lorsque 𝑥 tend vers moins deux n’est pas égale à 𝑓 de moins deux. Bien que les deux premières conditions de notre checklist soient remplies, la dernière ne l’est pas. Et la réponse est donc non. La fonction 𝑓 n’est pas continue en 𝑥 égale moins deux, car la limite de 𝑓 de 𝑥 lorsque 𝑥 tend vers moins deux n’est pas égale à 𝑓 de moins deux.

Terminons maintenant avec les points clés que nous avons vus dans cette vidéo. Une fonction 𝑓 est dite continue en un point 𝑎 si la limite de 𝑓 de 𝑥 lorsque 𝑥 tend vers 𝑎 est égale à 𝑓 de 𝑎. Pour vérifier la continuité en 𝑎, il faut vérifier que 𝑓 de 𝑎 est définie. Autrement dit que 𝑎 appartient bien à l’ensemble de définition de 𝑓 et que la limite de 𝑓 de 𝑥 lorsque 𝑥 tend vers 𝑎 existe. Et c’est seulement après avoir vérifié cela qu’il est logique de vérifier si les valeurs sont égales. Donc, si 𝑓 de 𝑎 n’est pas définie ou si la limite n’existe pas, alors 𝑓 n’est pas continue en 𝑎. Cependant, si 𝑓 de 𝑎 n’est pas définie, mais que la limite de 𝑓 de 𝑥 lorsque 𝑥 tend vers 𝑎 existe, il est possible de définir 𝑓 de 𝑎 comme étant la limite de 𝑓 de 𝑥 lorsque 𝑥 tend vers 𝑎 pour rendre 𝑓 continue en 𝑎. Si la limite de 𝑓 de 𝑥 lorsque 𝑥 tend vers 𝑥 n’existe pas, il n’est pas possible de rendre 𝑓 continue en 𝑎 en définissant ou en redéfinissant 𝑓 de 𝑎.

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