Vidéo : Continuité en un point

Dans cette vidéo, nous apprendrons à vérifier la continuité d’une fonction en un point donné.

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Transcription de vidéo

Dans cette vidéo, nous allons découvrir la continuité en un point donné. Il s’agit d’une étape sur la voie de la compréhension des fonctions continues, des fonctions telles que les fonctions polynomiales, les fonctions exponentielles et certaines fonctions trigonométriques. Dont les courbes peuvent être dessinées en un seul coup de crayon. Vous avez peut-être remarqué que, pour de nombreuses fonctions 𝑓, la limite de 𝑓 de 𝑥 lorsque 𝑥 approche une valeur 𝑎 est simplement 𝑓 évaluée en 𝑎, 𝑓 de 𝑎. Une fonction 𝑓 est dite continue au point 𝑎 si cela se produit. Si la limite de 𝑓 de 𝑥 que 𝑥 approche 𝑎 est juste 𝑓 de 𝑎. C’est la définition de la continuité en un point. On voit alors que la fonction 𝑓 est continue au point 𝑎 si la substitution directe fonctionne pour trouver la limite de 𝑓 de 𝑥 à mesure que 𝑥 approche 𝑎.

Pour comprendre la continuité en un point, nous devons comprendre comment une fonction peut ne pas être continue au point 𝑎. Comment cette équation peut ne pas être vraie. Il y a plusieurs choses qui peuvent mal tourner. Par exemple, cette limite sur le côté gauche ne pouvait pas exister. Pour que 𝑓 soit continue en 𝑎 alors, nous avons besoin que cette limite existe. De même, nous avons besoin que le côté droit de l’équation existe. 𝑓 doit être définie en 𝑎. Si ce n’est pas le cas, alors le côté droit de notre équation, c’est 𝑓 de 𝑎, n’est pas défini. Et donc notre équation ne peut pas tenir. Une autre façon de dire que 𝑓 doit être définie en 𝑎 est de dire que 𝑎 doit être dans l’ensemble de définition de 𝑓. Quoi d’autre pourrait mal tourner ? Eh bien, la limite sur le côté gauche pourrait exister. Et la fonction 𝑓 de 𝑎 pourrait être définie. Mais ces valeurs pourraient être différentes. Nous avons besoin que les valeurs de la limite de 𝑓 de 𝑥 lorsque 𝑥 approche 𝑎 et 𝑓 de 𝑎 soient égales.

Ce sont les trois choses que nous devions vérifier pour montrer qu’une fonction 𝑓 est continue en un nombre 𝑎. Appliquons maintenant cette liste de contrôle à quelques exemples. Pour plus de commodité, nous vérifierons toujours que 𝑓 est défini en 𝑎 avant de vérifier que la limite lorsque 𝑓 de 𝑥 approche 𝑎 existe. Et donc la liste de contrôle pour nos exemples a un ordre légèrement différent, que je vous encourage également à utiliser.

Étant donné que 𝑓 de 𝑥 est égal à 𝑥 au carré plus 𝑥 moins deux partout 𝑥 moins un, si possible ou nécessaire, définissez 𝑓 de un de sorte que 𝑓 soit continue en 𝑥 égal à un.

Nous avons donc une fonction 𝑓, qui est une fonction rationnelle. Et nous aimerions que 𝑓 soit continue au point 𝑥 est égal à un. Et on nous dit que nous devons définir 𝑓 de un pour que cela soit le cas, mais seulement si c’est possible ou nécessaire. Qu’est-ce que ça veut dire ? Eh bien, si 𝑓 est déjà continue au point 𝑥 est égal à un, alors il n’est pas nécessaire de définir 𝑓 de un pour qu’il en soit ainsi. C’est déjà fait pour nous. En revanche, 𝑓 pourrait être discontinue au point 𝑥 est égal à un. Mais de la manière qu’il n’est pas possible de faire les choses simplement en définissant les 𝑓 d’un. Il pourrait y avoir un problème plus important empêchant 𝑓 d’être continue en ce stade.

Vérifions d’abord s’il est nécessaire de définir 𝑓 de un pour que 𝑓 soit continue en 𝑥 égal à un. 𝑓 est-elle déjà continue en 𝑥 est égal à un ? Eh bien, nous avons une liste de contrôle qui nous permet de savoir si une fonction est continue en un certain point. 𝑓 doit être défini à ce point. Donc dans notre cas, nous devons vérifier que 𝑓 de un est défini. Et la limite de 𝑓 de 𝑥 lorsque 𝑥 s’approche de ce point, dans notre cas, doit exister. Et enfin, ces deux valeurs doivent être égales.

Commençons par le haut de la liste. Le 𝑓 de un est-il défini ? Eh bien, nous allons utiliser la définition de 𝑓 de 𝑥 qui nous est donnée dans la question. Substituer un à 𝑥 donne un carré plus un moins deux sur un moins un. Au numérateur, un carré plus un est deux. Et la soustraction des deux nous donne zéro. Et au dénominateur, un moins un est nul. Nous obtenons donc la forme indéterminée zéro sur zéro. Zéro sur zéro et donc 𝑓 de un ne sont pas définis. Et donc notre fonction 𝑓 n’est pas déjà continue en 𝑥 égale un.

Ce n’est pas nécessairement un gros problème. Après tout, notre tâche est de définir les 𝑓 d’un. Si c’est la seule chose qui empêche 𝑓 d’être continue en 𝑥 est égal à un, alors nous pouvons simplement définir 𝑓 de un. Et 𝑓 sera continue en ce point, comme requis. Nous devons alors vérifier qu’il n’y a pas d’autres problèmes. Nous avons besoin de la limite de 𝑓 de 𝑥 lorsque 𝑥 s’approche de un pour exister. Et ça ? Nous utilisons la définition de 𝑓 de 𝑥 de la question. Et bien sûr, nous savons que la substitution directe va nous donner une forme indéterminée. Il doit donc y avoir une autre façon d’évaluer cette limite.

Eh bien, le théorème des facteurs nous dit que, tant le numérateur que le dénominateur sont nuls lorsque 𝑥 est égal à un, le numérateur et le dénominateur doivent tous deux avoir un facteur 𝑥 moins un. Et en effet, nous pouvons factoriser le numérateur à 𝑥 plus deux fois 𝑥 moins un. Cela nous permet d’annuler le facteur commun de 𝑥 moins un dans le numérateur et le dénominateur. Pour obtenir la limite de 𝑥 plus deux à l’approche de 𝑥. Il s’agit d’une limite qui peut être évaluée par substitution directe. En substituant un à 𝑥, nous obtenons un plus deux, ce qui est trois. Alors oui, la limite de 𝑓 de 𝑥 à l’approche de 𝑥 existe. Et cela équivaut à trois.

Maintenant, la dernière chose sur notre liste de contrôle est que la limite de 𝑓 de 𝑥 lorsque 𝑓 tend vers un. Nous avons constaté que le côté gauche, la limite de 𝑓 de 𝑥 lorsque 𝑥 s’approche de un, est de trois. Mais le côté droit 𝑓 de un n’est pas défini. Mais notre tâche est de définir 𝑓 de un. Si nous définissons 𝑓 de un comme étant trois, c’est la valeur de la limite de 𝑓 de 𝑥 lorsque 𝑥 s’approche de un. Ensuite, notre troisième élément de la liste de contrôle sera satisfait. Et bien sûr, définir 𝑓 de un à trois trie également le premier élément de notre liste de contrôle. 𝑓 de un est maintenant défini. Donc, définir 𝑓 de un à trois fait que 𝑓 continue en 𝑥 est égal à un. Comme 𝑓 de un est maintenant défini, la limite de 𝑓 de 𝑥 lorsque 𝑥 tend vers un, comme nous l’avons vu, est de trois. Et maintenant que nous avons défini 𝑓 de un comme étant également trois, ces deux valeurs sont égales.

Il pourrait être utile de regarder la courbe de 𝑓 de 𝑥 pour voir ce que nous avons fait. Comme nous l’avons vu avec 𝑥 différent de un, 𝑓 de 𝑥 est juste 𝑥 plus deux. Et donc la courbe de 𝑓 de 𝑥 est juste la droite 𝑦 est égal à 𝑥 plus deux, avec ce trou ici quand 𝑥 vaut un. Ce trou dans la courbe vient parce que les 𝑓 d’un ne sont pas définis. Et par conséquent, 𝑓 n’est pas continue en 𝑥 est égal à un. Il y a alors ce lien entre la définition technique de la continuité et notre compréhension intuitive de ce que signifie la continuité. Il ne devrait y avoir aucune lacune. Nous comblons cet écart et rendons la fonction continue en définissant 𝑓 de un à trois. Maintenant, il n’y a pas de trou dans la courbe. Et 𝑓 est continue en 𝑥 est égal à un.

Voyons maintenant un exemple où nous ne pouvons pas simplement combler l’écart.

Étant donné que 𝑓 de 𝑥 est égal à un sur 𝑥, si possible ou nécessaire, définissez 𝑓 de zéro de sorte que 𝑓 soit continue en 𝑥 égal à zéro.

Nous avons donc ici la fonction réciproque, que nous espérons et que nous aimons. Et nous savons à quoi ressemble sa courbe. La courbe comporte deux pièces, une dans le premier quadrant et l’autre dans le troisième. Et ces pièces sont séparées par une asymptote verticale à 𝑥 égale à zéro. Intuitivement alors, on a l’impression que cette fonction n’est pas continue en 𝑥 égale à zéro. Parce que la courbe de notre fonction n’est pas une courbe continue mais est formé de deux courbes avec la rupture à cette asymptote 𝑥 égale zéro. Juste à gauche de cette droite lorsque 𝑥 est petit mais négatif, 𝑓 de 𝑥 est plus grand mais négatif. Et à droite de cette droite lorsque 𝑥 est petit mais positif, 𝑓 de 𝑥 est de plus grande amplitude et positif. Donc, lorsque nous passons 𝑥 est égal à zéro, le droit de 𝑓 de 𝑥 passe d’une valeur de plus grande amplitude et négative à une valeur de plus grande amplitude et positive.

Voyons si notre intuition est en accord avec la définition technique en parcourant notre liste de contrôle pour voir si la fonction est continue. Pour que 𝑓 soit continue en 𝑥 égal à zéro, nous avons besoin de définir 𝑓 de zéro. La limite de 𝑓 de 𝑥 lorsque 𝑥 se rapproche de zéro pour exister. Et enfin, nous avons besoin que ces valeurs soient égales. D’accord, donc 𝑓 est-elle définie en zéro ? Eh bien, si nous substituons zéro dans la définition de 𝑓 de 𝑥, 𝑓 de 𝑥 est un sur 𝑥, nous obtenons 𝑓 de zéro est un sur zéro. Et cela n’est pas défini. Zéro n’est pas dans l’ensemble de définition de notre fonction. Donc 𝑓 n’est pas définie en zéro. Et donc, 𝑓 n’est pas continue en 𝑥 égal à zéro. Mais ce n’est pas nécessairement une surprise car notre tâche consiste à définir 𝑓 de zéro pour que 𝑓 soit continue en 𝑥 égale à zéro. Nous n’aurions aucun travail à faire si 𝑓 était continue en 𝑥 égal à zéro et que 𝑓 de zéro était définie.

Nous vérifions le deuxième critère. La limite de 𝑓 de 𝑥 lorsque 𝑥 se rapproche de zéro existe. Avec l’idée que si cette limite existe, alors nous pouvons simplement définir 𝑓 de zéro pour être la valeur de cette limite. Et, alors la fonction sera continue en 𝑥 égale à zéro comme requis. Cet élément existe-t-il ? Eh bien, si nous regardons la limite de gauche lorsque 𝑥 s’approche de zéro, 𝑓 de 𝑥 s’approche de moins l’infini. Et ça empire. La limite de droite est plus l’infini. Lorsque 𝑥 s’approche de zéro à partir de la droite, 𝑓 de 𝑥 devient de plus en plus grand sans limite.

La limite de 𝑓 de 𝑥 lorsque 𝑥 se rapproche de zéro n’existe donc pas. Et c’est un problème. Nous pouvons définir 𝑓 de zéro comme ce que nous voulons. Mais quoi que nous définissions, cela ne change pas le fait que la limite de 𝑓 de 𝑥 lorsque 𝑥 approche zéro n’existe pas. Et donc 𝑓 ne peut pas être continue en 𝑥 égal à zéro. Voici donc notre réponse. La limite de 𝑓 de 𝑥 comme 𝑥 se rapproche de zéro n’existe pas. Et donc 𝑓 ne peut pas être rendu continue en 𝑥 égal à zéro en définissant 𝑓 de zéro. Le fait que 𝑓 de zéro ne soit pas défini n’est pas vraiment le problème ici. Et en regardant la courbe, nous pouvons en quelque sorte voir pourquoi cela est vrai. Il n’y a pas qu’un petit espace sur la courbe, qui peut être bouché par un seul point. Il y a un énorme gouffre. Alors que 𝑓 de 𝑥 n’est pas continue en 𝑥 est égal à zéro et ne peut pas être fait si simplement en définissant 𝑓 de zéro, il convient de souligner que la fonction 𝑓 de 𝑥 est en fait continue en d’autres valeurs de 𝑥.

Étant donné que 𝑓 de 𝑥 est égal à un sur 𝑥, si possible ou nécessaire, définissez 𝑓 de un de sorte que 𝑓 soit continue en 𝑥 est égal à un. Nous parcourons notre liste de contrôle avec cette nouvelle question. Il nous faut définir les 𝑓 d’un. La limite de 𝑓 de 𝑥 lorsque 𝑥 s’approche de l’existence. Et la limite de 𝑓 de 𝑥 lorsque 𝑥 s’approche de un pour égal 𝑓 de un. Le 𝑓 de un est-il défini ? Oui, 𝑓 de un est un sur un, ce qui est un. 𝑓 de un est défini. Un est dans l’ensemble de définition de 𝑓. Maintenant, la limite de 𝑓 de 𝑥 lorsque 𝑥 s’approche de un existe-t-elle ? Regardons la courbe. Comme 𝑥 s’approche de la gauche et comme 𝑥 s’approche de la droite. La valeur de 𝑓 de 𝑥 s’approche de la même à valeur finie, la valeur un. Si nous voulions trouver la valeur de cette limite sans utiliser la courbe, nous utiliserions probablement simplement la substitution directe. On peut alors voir que le troisième élément de la liste de contrôle à la limite de 𝑓 de 𝑥 comme 𝑥 se rapproche de un égal 𝑓 de un est également satisfait. Les valeurs du côté gauche et du côté droit sont toutes les deux égales. Notre réponse est alors que 𝑓 est déjà définie et continue en 𝑥 est égal à un. Il n’est pas nécessaire de définir à nouveau le 𝑓 de un pour que cela soit ainsi.

Voyons un autre exemple rapide avant de conclure.

La fonction 𝑓 de 𝑥, qui est définie par morceaux comme étant deux 𝑥 plus quatre partout 𝑥 plus deux si 𝑥 est inférieur à moins deux. Zéro si 𝑥 est égal à moins deux. Et 𝑥 au carré plus six 𝑥 plus huit le tout sur 𝑥 plus deux si 𝑥 est supérieur à moins deux, continue en 𝑥 est égal à moins deux.

Pour le savoir, nous parcourons notre check-list. Pour que la fonction 𝑓 soit continue en 𝑥 égale moins deux, 𝑓 de moins deux doit être défini. La limite de 𝑓 de 𝑥 lorsque 𝑥 s’approche de moins deux doit exister. Et ces valeurs doivent être égales. Nous commençons donc par vérifier que 𝑓 de moins deux est défini. Eh bien, c’est facile à voir dans la question. On nous dit que 𝑓 de 𝑥 est nul si 𝑥 est moins deux. Donc 𝑓 de moins deux est défini. 𝑓 de moins deux est égal à zéro. Maintenant, nous devons vérifier que la limite de 𝑓 de 𝑥 lorsque 𝑥 approche moins deux existe. Il existe différentes règles pour les valeurs de 𝑓 de 𝑥 lorsque 𝑥 est inférieur à moins deux et lorsque 𝑥 est supérieur à moins deux. Que nous utiliserons pour vérifier les limites gauche et droite, en vous assurant qu’elles existent et sont égales.

Quelle est la limite gauche ? Eh bien, à gauche de moins deux, 𝑓 de 𝑥 est défini par deux 𝑥 plus quatre partout 𝑥 plus deux. Nous devons donc trouver la limite de deux 𝑥 plus quatre partout 𝑥 plus deux, car 𝑥 s’approche de moins deux à partir de la gauche. Si nous essayons la substitution directe, nous obtenons la forme indéterminée zéro sur zéro. Nous devons donc trouver cette limite d’une autre manière. Nous faisons cela en factorisant le numérateur, en obtenant deux fois 𝑥 plus deux. Et ce facteur de 𝑥 plus deux s’annule avec le facteur de 𝑥 plus deux au dénominateur. Et donc notre limite est celle de la fonction constante deux dont la valeur doit être deux. La limite de gauche existe donc. Et celui de droite ?

À droite de 𝑥 est égal à moins deux, 𝑓 de 𝑥 est cette fraction algébrique. Et nous pouvons trouver la valeur de cette limite d’une manière similaire. Factoriser le numérateur et annuler le facteur commun de 𝑥 plus deux, pour obtenir la limite de 𝑥 plus quatre à mesure que 𝑥 approche moins deux à partir de la droite. Cela peut être résolu en utilisant la substitution directe. Nous obtenons moins deux plus quatre, ce qui est deux. Cette limite de droite existe donc également et est égale à la limite de gauche. Les deux ont la valeur deux. Par conséquent, la limite de 𝑓 de 𝑥 lorsque 𝑥 s’approche de moins deux directions existe également et a la valeur deux.

Il ne reste plus qu’à vérifier ce troisième point. Pour que 𝑓 de 𝑥 soit continue en 𝑥 est égal à moins deux, nous avons besoin que la limite de 𝑓 de 𝑥 lorsque 𝑥 approche moins deux soit égale à la valeur de 𝑓 à moins deux, 𝑓 de moins deux. Mais nous venons de voir que la valeur de cette limite est de deux, alors que 𝑓 évaluée en moins deux est nul. La limite de 𝑓 de 𝑥 lorsque 𝑥 s’approche de moins deux n’est pas égale à 𝑓 de moins deux. Bien que les deux premières conditions de notre liste de contrôle soient remplies, la dernière ne l’est pas. Et donc notre réponse est non. La fonction 𝑓 n’est pas continue en 𝑥 est égal à moins deux, car la limite de 𝑓 de 𝑥 lorsque 𝑥 s’approche de moins deux n’est pas égale à 𝑓 de moins deux.

Terminons maintenant avec les points clés que nous avons couverts dans cette vidéo. Une fonction 𝑓 est dite continue en un certain nombre 𝑎 si la limite de 𝑓 de 𝑥 lorsque 𝑥 approche 𝑎 égale 𝑓 de 𝑎. Pour vérifier la continuité en 𝑎, il faut vérifier que 𝑓 de 𝑎 est défini. C’est-à-dire que 𝑎 est dans l’ensemble de définition de 𝑓 et que la limite de 𝑓 de 𝑥 lorsque 𝑥 approche 𝑎 existe. Et c’est seulement alors qu’il est logique de demander s’ils sont égaux. Donc, si 𝑓 de 𝑎 n’est pas défini ou si la limite n’existe pas, alors 𝑓 n’est pas continue en 𝑎. Cependant, si 𝑓 de 𝑎 n’est pas défini, mais que la limite de 𝑓 de 𝑥 lorsque 𝑥 approche 𝑥 existe, nous pouvons définir 𝑓 de 𝑎 comme étant la limite de 𝑓 de 𝑥 lorsque 𝑥 approche 𝑎 pour rendre 𝑓 continue en 𝑎. Si la limite de 𝑓 de 𝑥 que 𝑥 approche 𝑎 n’existe pas, nous ne pouvons pas rendre 𝑓 continue en 𝑎 en définissant 𝑓 de 𝑎.

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