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Fiche explicative de la leçon : Continuité en un point Mathématiques

Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre à vérifier la continuité d’une fonction en un point donné.

Etudier la limite d’une fonction en un point est un moyen utilisé pour obtenir des informations du résultat de cette fonction à proximité (mais pas au) du point et fait partie du calcul différentiel En d'autres termes, une limite indique la valeur que prend une fonction lorsque les entrées se rapprochent d'un point ou d'un nombre donné.

L’étude des limites de certaines fonctions peut s’avérer difficile et nécessite dans ce cas une réécriture de la limite sous une forme différente. Cependant, on peut souvent déterminer ces limites en remplaçant directement ce point dans notre fonction. Lorsque cela est vérifié, on dit que la fonction continue en ce point.

Définition : Continuité d’une fonction en un point

Soit 𝑎. On dit qu’une fonction à valeur réelle 𝑓(𝑥) est continue en 𝑥=𝑎 si lim𝑓(𝑥)=𝑓(𝑎).

La continuité en 𝑥=𝑎 peut être vérifié en traçant la représentation graphique de 𝑓(𝑥) à proximité de 𝑥=𝑎 sans retirer le stylo du papier.

Avant d’étudier la continuité de fonctions en un point, on introduit d’abord la notion de discontinuité. Si une fonction ne respecte pas les critères de définition de continuité en 𝑥=𝑎, alors on dit que 𝑓(𝑥) est discontinue en 𝑥=𝑎.

Nous pouvons alors poser la question, « comment une fonction peut-elle ne pas être continue en 𝑥=𝑎? » Pour que cela se produise, nous avons besoin que l’équation lim𝑓(𝑥)=𝑓(𝑎) ne soit pas vraie. Cela peut se produire dans trois situations:

  1. 𝑓(𝑎) est indéfini;
  2. lim𝑓(𝑥) n’existe pas;
  3. lim𝑓(𝑥)𝑓(𝑎).

Par conséquent, étudier la continuité d’une fonction en 𝑥=𝑎, revient à vérifier ces trois propriétés.

Comment : Vérifier si une fonction est continue en un point

Pour vérifier que la fonction 𝑓(𝑥) est continue en 𝑥=𝑎, nous devons vérifier que les trois conditions suivantes sont satisfaites.

  1. 𝑓 doit être défini en 𝑎 ( 𝑎 appartient à l’ensemble de définition de 𝑓);
  2. lim𝑓(𝑥) doit exister. (Ceci veut dire en d’autres termes que les limites à gauche et à droite de 𝑓(𝑥) en 𝑥=𝑎 existent et sont égales);
  3. lim𝑓(𝑥)et 𝑓(𝑎) doivent avoir la même valeur.

Par exemple, étudions la continuité de 𝑓(𝑥)=|𝑥| en 𝑥=𝑎.

Premièrement, nous savons que si 𝑓(0)=|0|=0, alors 𝑥=0 appartient à l’ensemble de définition de 𝑓.

Deuxièmement, nous devons déterminer lim|𝑥|. Pour déterminer cette limite, rappelons-nous de vérifier que cette limite existe en vérifiant si les limites à gauche et à droite de ce point existent et sont égales. Nous devons nous rappeler de la définition par morceaux de la fonction valeur absolue:|𝑥|=𝑥𝑥<0,𝑥𝑥0.

Nous pouvons l’utiliser pour déterminer les limites à gauche et à droite. Premièrement, lors de l’étude de lim|𝑥|, les valeurs de 𝑥 sont toutes négatives, alors |𝑥|=𝑥 dans cette limite. On peut alors déterminer cette limite par substitution directe:limlim|𝑥|=(𝑥)=0.

De même, pour la limite à gauche, les valeurs de 𝑥 sont toutes positives, alors limlim|𝑥|=𝑥=0.

Ainsi, nous avons montré que limlim|𝑥|=|𝑥|=0.

Par conséquent, les limites à gauche et à droite de |𝑥| en 0 sont égales, alors lim|𝑥|=0.

Troisièmement, nous avons trouvé les valeurs de 𝑓(0) et lim𝑓(𝑥) et avons démontré que les deux sont égales et ont la même valeur, 0.

Comme les trois conditions sont vérifiés, nous pouvons conclure que 𝑓(𝑥)=|𝑥| est continue en 0.

Dans notre premier exemple, on va étudier la continuité d’une fonction définie par morceaux aux extrémités de ses sous-ensembles de son ensemble de définition.

Exemple 1: Discuter la continuité d’une fonction définie par morceaux, contenant des rapports trigonométriques, en un point

Etudiez la continuité de la fonction 𝑓 en 𝑥=𝜋2, sachant que 𝑓(𝑥)=7𝑥+7𝑥,𝑥𝜋2,62𝑥1,𝑥>𝜋2.sincoscos

Réponse

Pour que la fonction 𝑓(𝑥) soit continue en 𝑎, nous avons besoin de vérifier les trois conditions suivantes:

  1. 𝑓 doit être défini en 𝑎 ( 𝑎 appartient à l’ensemble de définition de 𝑓);
  2. lim𝑓(𝑥) doit exister;
  3. lim𝑓(𝑥) et 𝑓(𝑎) doivent avoir la même valeur.

Dans notre exemple 𝑎=𝜋2, on peut voir à partir de la définition de 𝑓 que 𝑓𝜋2=7𝜋2+7𝜋2=7+0=7.sincos

Par conséquent, 𝜋2 appartient à l’ensemble de définition de 𝑓 et 𝑓𝜋2=7. Ainsi, la première condition de continuité en 𝑥=𝜋2 est vérifiée.

Pour vérifier la deuxième condition de continuité, nous allons vérifier si les limites à gauche et à droite de 𝑓 en 𝑥=𝜋2 existent et sont égales. Commençons par la limite à gauche et notons que lorsque 𝑥𝜋2, 𝑓(𝑥)=7𝑥+7𝑥sincos et donc limlimsincos𝑓(𝑥)=(7𝑥+7𝑥).

Puisqu’il s’agit d’une expression trigonométrique, nous pouvons déterminer cette limite par substitution directe:limsincossincos7𝑥+7𝑥=7𝜋2+7𝜋2=7+0=7.

On peut faire de même pour la limite à droite en notant que lorsque 𝑥>𝜋2, 𝑓(𝑥)=62𝑥1cos et donc limlimcos𝑓(𝑥)=(62𝑥1).

On peut alors déterminer cette limite par substitution directe:limcoscos(62𝑥1)=62𝜋21=61=7.

Ainsi, les limites à gauche et à droite existent et sont égales en 7, nous avons donc montré que lim𝑓(𝑥)=7.

Ainsi, la deuxième condition de continuité de 𝑓 en 𝑥=𝜋2 est vérifiée.

Enfin, étant donné que cette limite est aussi égale à 𝑓𝜋2, on peut conclure que la troisième condition de continuité est vérifiée;on peut donc conclure que la fonction 𝑓 est continue en 𝑥=𝜋2.

Considérons un exemple où nous utilisons la définition de continuité en un point pour l’appliquer à une valeur en dehors de son ensemble de définition.

Exemple 2: Utiliser la continuité pour déterminer la valeur nécessaire pour prolonger l’ensemble de définition d’une fonction

Étant donné 𝑓(𝑥)=𝑥+𝑥2𝑥1, si possible ou nécessaire, définissez 𝑓(1) tel que 𝑓 soit continue en 𝑥=1.

Réponse

Une fonction 𝑓(𝑥) est continue si elle respecte les trois conditions suivantes:

  1. 𝑓 doit être défini en 𝑎 ( 𝑎 appartient à l’ensemble de définition de 𝑓);
  2. lim𝑓(𝑥) doit exister;
  3. lim𝑓(𝑥) et 𝑓(𝑎) doivent avoir la même valeur.

Nous pouvons décider de donner n’importe quelle valeur a 𝑓(1), la première condition est donc vérifiée à l’avance.

Pour déterminer lim𝑓(𝑥), on pourrait essayer la substitution directe car 𝑓 est une fonction rationnelle;cependant, 𝑓(1)=1+1211=00, on ne peut pas l’appliquer dans ce cas. Au lieu de cela, nous allons vérifier que les limites à gauche et à droite existent et sont égales. Premièrement, limlimlim𝑓(𝑥)=𝑥+𝑥2𝑥1=(𝑥1)(𝑥+2)𝑥1.

Comme on prend la limite lorsque 𝑥 se rapproche de 1 depuis la gauche, les valeurs de 𝑥 ne sont jamais égales à 1, ainsi nous pouvons annuler le facteur commun 𝑥1;cela ne changera pas la valeur de cette limite:limlim(𝑥1)(𝑥+2)𝑥1=(𝑥+2).

Puisqu’il s’agit d’un polynôme, nous pouvons alors déterminer la limite par substitution directe:lim(𝑥+2)=1+2=3.

On peut déterminer la limite à droite de la même manière:limlimlimlim𝑓(𝑥)=𝑥+𝑥2𝑥1=(𝑥1)(𝑥+2)𝑥1=(𝑥+2)=3.

Comme les limites à gauche et à droite existent et sont égales à 3, nous pouvons conclure que lim𝑓(𝑥)=3.

Pour que la troisième condition soit vraie, nous avons besoin que 𝑓(1) soit égale à lim𝑓(𝑥). Nous avons montré que cette limite vaut trois, par conséquent on doit définir 𝑓(1)=3. Cela nous garantit donc que les trois conditions de continuité en ce point sont respectées.

Par conséquent, 𝑓(1)=3 rend 𝑓 continue quand 𝑥=1.

Dans notre prochain exemple, nous déterminerons si on peut rendre la fonction inverse continue lorsque 𝑥=0 en prolongeant son ensemble de définition par continuité.

Exemple 3: Déterminer s’il est possible de prolonger l’ensemble de définition de la fonction inverse pour qu’elle soit continue

Étant donné 𝑓(𝑥)=1𝑥, définissez si possible ou nécessaire, 𝑓(0) tel que 𝑓 soit continue en 𝑥=0.

Réponse

Pour qu’une fonction 𝑓(𝑥) soit continue en 𝑎, nous avons besoin de vérifier les trois conditions suivantes:

  1. 𝑓 doit être défini en 𝑎 ( 𝑎 appartient à l’ensemble de définition de 𝑓);
  2. lim𝑓(𝑥) doit exister;
  3. lim𝑓(𝑥) et 𝑓(𝑎) doivent avoir la même valeur.

Nous pouvons donner n’importe quelle valeur à 𝑓(0), ce qui vérifie la première condition de continuité.

Comme 𝑓 est une fonction rationnelle, nous pouvons déterminer la limite de 𝑓(𝑥) quand 𝑥 se rapproche de 0 par substitution directe:lim𝑓(0)=10, Comme cela n’est pas défini, nous ne pouvons pas déterminer cette limite par substitution directe. Au lieu de cela, nous allons vérifier si les limites à gauche et à droite existent et sont égales. On peut voir pourquoi ces limites n’existent pas en traçant la représentation graphique de 𝑦=1𝑥.

Lorsque les valeurs d’entrée de notre fonction se rapprochent de zéro à partir de la droite, le dénominateur de la fraction reste positif en diminuant au fur et à mesure;la valeur de la fonction augmente sans limite. De même, quand 𝑥 se rapproche de zéro de la gauche, les sorties se rapprochent de l’infini négative.

Comme prévu, les limites à gauche et à droite de 𝑓(𝑥) en 0 n’existe pas et nous concluons que lim𝑓(𝑥) n’existe pas. Cela signifie donc que la deuxième condition pour la continuité de 𝑓(𝑥) en 0 n’est pas respectée.

Par conséquent, la fonction ne peut pas être continue en 𝑥=0 en définissant 𝑓(0) car lim𝑓(𝑥) n’existe pas.

Dans notre prochain exemple, nous allons vérifier la continuité d’une fonction définie par morceaux en un point.

Exemple 4: Etudier la continuité d’une fonction en un point

Est-ce que 𝑓(𝑥)=2𝑥+4𝑥+2𝑥<2,0𝑥=2,𝑥+6𝑥+8𝑥+2𝑥>2sisisi est continue quand 𝑥=2?

Réponse

Nous rappelons que pour que 𝑓(𝑥) soit continue en 2, nous avons besoin de vérifier trois conditions:

  1. 𝑓 doit être définie en 2;
  2. lim𝑓(𝑥) doit exister;
  3. lim𝑓(𝑥) et 𝑓(2) doit avoir la même valeur.

D’après la définition de 𝑓(𝑥), on peut voir que 𝑓(2)=0,ce qui vérifie donc la première condition.

Pour vérifier la deuxième condition, nous allons montrer que les limites à gauche et à droite existent et sont égales. Premièrement, quand 𝑥<2, nous avons 𝑓(𝑥)=2𝑥+4𝑥+2, alors limlim𝑓(𝑥)=2𝑥+4𝑥+2.

En essayant de déterminer la limite par substitution directe, nous obtenons une valeur indéfinie, donc, à la place, on simplifie la limite:limlimlim2𝑥+4𝑥+2=2(𝑥+2)𝑥+2=(2)=2.

Nous pouvons faire la même chose pour déterminer la limite à droite:limlimlimlim𝑓(𝑥)=𝑥+6𝑥+8𝑥+2=(𝑥+2)(𝑥+4)𝑥+2=(𝑥+4)=2.

Du fait que les limites à gauche et à droite existent et sont égales à 2, nous concluons que lim𝑓(𝑥)=2.

Cependant, cette limite n’est pas égale à 𝑓(2) qui vaut 0;par conséquent, la troisième condition de la continuité au point 𝑥=2 n’est pas vérifiée.

Par conséquent, 𝑓(𝑥) est discontinue en 𝑥=2 parce que lim𝑓(𝑥) et 𝑓(2) ont des valeurs différentes.

Réponse:non

Dans notre dernier exemple, nous utiliserons la définition de la continuité pour déterminer les valeurs d’une variable qui permettent à la fonction d’être continue en ce point.

Exemple 5: Déterminer les valeurs d’une variable qui rendent une fonction définie par morceaux continue

Déterminez les valeurs de 𝑐 qui rendent la fonction 𝑓 continue en 𝑥=𝑐 sachant que 𝑓(𝑥)=2+𝑥𝑥𝑐,3𝑥𝑥>𝑐.sisi

Réponse

Nous rappelons que pour 𝑓(𝑥) soit continue à 𝑐, nous avons besoin de vérifier trois conditions:

  1. 𝑥=𝑐 doit appartenir à l’ensemble de définition de 𝑓;
  2. lim𝑓(𝑥) doit exister;
  3. lim𝑓(𝑥) et 𝑓(𝑐) doivent avoir la même valeur.

Ces trois conditions doivent être respectées pour les valeurs de 𝑐 que nous recherchons. Nous pouvons vérifier chaque condition séparément, en commençant par la première condition.

D’après la définition de 𝑓(𝑥), on peut voir que 𝑓(𝑐)=2+𝑐, donc toute valeur réelle de 𝑐 prise dans l’ensemble de définition de 𝑓 vérifie la première condition.

Pour vérifier la deuxième condition, nous devrons déterminer les limites à gauche et à droite de 𝑓 en 𝑐. Premièrement, comme 𝑓(𝑥)=2+𝑥 quand 𝑥𝑐, limlim𝑓(𝑥)=2+𝑥=2+𝑐.

Deuxièmement, comme 𝑓(𝑥)=3𝑥 quand 𝑥>𝑐, limlim𝑓(𝑥)=(3𝑥)=3𝑐.

Nous avons besoin que ces deux limites soient égales ce qui revient à résoudre l’équation 2+𝑐=3𝑐.

On obtient 𝑐 en factorisant le polynôme du second degré:2+𝑐=3𝑐𝑐+3𝑐+2=0(𝑐+1)(𝑐+2)=0.

Ainsi, 𝑐=1 et 𝑐=2 sont les seules valeurs réelles de 𝑐 pour que la deuxième condition soit vérifier.

Nous devons encore vérifier si ces valeurs vérifient la troisième condition.

Si 𝑐=1, 𝑓(1)=2+(1)=3𝑓(𝑥)=2+(1)=3.etlim

Si 𝑐=2, 𝑓(2)=2+(2)=6𝑓(𝑥)=2+(2)=6.etlim

Par conséquent, 𝑓 est uniquement continue en 𝑐 quand 𝑐=1 ou 𝑐=2.

Terminons en récapitulant certains points importants de cette fiche explicative.

Points Clés

  • On dit qu’une fonction 𝑓(𝑥) est continue en 𝑎 si lim𝑓(𝑥)=𝑓(𝑎).
  • Si une fonction est continue en 𝑎, alors on peut déterminer sa limite en 𝑎 par substitution directe.
  • On peut vérifier la continuité de 𝑓(𝑥) en 𝑎 en s’assurant que les trois conditions suivantes sont satisfaites:
    • 𝑓 doit être défini en 𝑎 ( 𝑎 appartient à l’ensemble de définition de 𝑓);
    • lim𝑓(𝑥) doit exister (cela revient à dire à la fois que les limites à gauche et à droite de 𝑓(𝑥) en 𝑥=𝑎 existent et sont égales);
    • lim𝑓(𝑥) et 𝑓(𝑎) doivent avoir la même valeur.

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