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En utilisant les formules d’angle moitié, ou à l’aide d’une autre méthode, déterminez la valeur exacte de tangente de 𝜋 sur huit.
Avant de commencer la résolution de la question, on rappelle que 𝜋 radians équivaut à 180 degrés. Ce qui signifie que 𝜋 sur quatre radian est égal à 45 degrés. 45 degrés fait partie des angles remarquables en trigonométrie. Le sinus et le cosinus de 45 degrés sont tous les deux égaux à la racine de deux sur deux et la tangente de 45 degrés est égale à un. Certaines de ces valeurs nous serviront par la suite.
On nous dit dans l’énoncé d’utiliser les formules d’angle moitié. On rappelle donc que la tangente de 𝜃 sur deux est égale à un moins le cosinus de 𝜃, le tout divisé par le sinus de 𝜃, ou au sinus de 𝜃 divisé par un plus le cosinus de 𝜃. Dans cette question, on utilisera la première version de la formule. Ainsi, on a que la tangente de 𝜋 sur huit est égale à un moins le cosinus de 𝜋 sur quatre divisé par le sinus de 𝜋 sur quatre. On sait que 𝜋 sur quatre radian est égal à 45 degrés, donc on peut remplacer le cosinus de 𝜋 sur quatre et le sinus de 𝜋 sur quatre par racine de deux sur deux.
On sépare le numérateur en deux pour former deux fractions, ce qui nous donne un sur racine de deux sur deux, moins racine de deux sur deux sur racine de deux sur deux. C’est égal à deux sur racine de deux, moins un. On peut simplifier le dénominateur du premier terme en multipliant le numérateur et le dénominateur par racine de deux. Cela nous donne deux racine de deux sur deux, ce qui est égal à racine de deux. Notre expression devient alors racine de deux moins un, ou autrement dit, moins un plus racine de deux. Et il s’agit de la valeur exacte de la tangente de 𝜋 sur huit radian.
