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Sachant que 𝑍 est le milieu de 𝐷𝐶, le périmètre du triangle 𝐴𝐷𝐶 est 33
centimètres, 𝐴𝐷 est égal à sept centimètres et 𝑍𝐶 est égal à cinq centimètres,
déterminez la longueur de 𝐴𝑌.
Eh bien, tout d’abord, ce que nous allons faire, c’est marquer certaines des
informations que nous avons. Nous savons que 𝑍𝐶 est cinq centimètres et 𝐴𝐷 est sept centimètres. Eh bien, ensuite, si nous jetons un coup d’œil, ce que nous pouvons voir, c’est que
𝐴𝐷 est parallèle à 𝑌𝑍, ce qui signifie que nous avons maintenant des propriétés
que nous pouvons observer. Et nous pouvons diviser notre triangle en deux triangles, le triangle 𝐶𝑌𝑍 et le
triangle 𝐴𝐶𝐷.
Eh bien, parce que nous avons deux droites parallèles, puis quelques droites qui les
coupent, nous pouvons voir que nous avons des angles correspondants. Nous avons donc des angles correspondants ici en 𝐴 et 𝑌, puis nous avons des angles
correspondants en 𝑍 et 𝐷. Et nous pouvons aussi voir que nous avons un angle commun en 𝐶. Donc, ce que nous pouvons voir, c’est qu’en fait nous avons trois angles
correspondants entre les triangles. L’angle 𝐶 est égal à l’angle 𝐶, l’angle 𝑌 est égal à l’angle 𝐴, l’angle 𝑍 est
égal à l’angle 𝐷. Nous avons donc le critère des trois angles. Le triangle 𝐶𝑌𝑍 et triangle 𝐴𝐷𝑌 sont donc semblables. Donc, l’un est un agrandissement de l’autre. Et nous pouvons également dire qu’à cause de cela, les côtés correspondants seront
proportionnels.
D’accord, super, alors maintenant ça va nous aider à résoudre le problème. Maintenant, avant d’utiliser la similitude de triangles pour trouver la longueur du
segment 𝐴𝑌, ce que nous allons faire, c’est marquer toutes les autres valeurs que
nous pouvons utiliser à l’aide d’autres informations. Eh bien, tout d’abord, nous savons que 𝑍𝐷 va être égal à cinq centimètres. Et c’est parce qu’on nous dit que les deux segments 𝑍𝐶 et 𝑍𝐷 sont identiques. Eh bien, nous savons aussi que le périmètre du triangle 𝐴𝐷𝐶 est égal à 33
centimètres. Donc, 𝐴𝐶 va être égal à 33 moins sept moins cinq moins cinq. Et c’est parce que c’est le périmètre total moins la longueur des deux autres côtés
de ce triangle, ce qui va être égal à 16 centimètres.
Très bien, alors maintenant, que voulons-nous trouver ? Eh bien, nous ne trouverons pas la longueur du segment 𝐴𝑌. Mais pour faire cela, nous devons tout d’abord trouver un rapport. Eh bien, le rapport d’agrandissement entre nos deux triangles, donc du petit triangle
au plus grand triangle, sera donc deux. Et c’est parce que si nous observons ce côté-ci, on nous dit que 𝐷𝐶 est égal à deux
𝐷𝑍 parce qu’on nous dit que 𝑍𝐶 et 𝑍𝐷 sont en fait les mêmes. Par conséquent, nous savons que 𝐴𝐶 est égal à deux 𝐶𝑌. Et nous pouvons l’écrire comme deux 𝐶𝑌 est égal à 𝐴𝐶. Par conséquent, 𝐶𝑌 va être égal à 𝐴𝐶 sur deux, ce qui est logique car si nous
pensons qu’il vaut le double, alors 𝐶𝑌 sera la moitié de sa longueur.
Par conséquent, 𝐶𝑌 va être égal à 16 sur deux, ce qui est égal à huit
centimètres. D’accord, super, alors maintenant nous avons obtenu 𝐶𝑌, trouvons 𝐴𝑌 parce que
c’est ce que nous recherchons. Eh bien, le segment 𝐴𝑌 va être la moitié de 𝐴𝐶, car c’est le segment total, moins
𝐶𝑌, qui va être égal à 16 moins huit, ce qui nous donne la réponse huit
centimètres. Et c’est en fait ce à quoi nous nous attendions. Et c’est parce que nous savions que 𝐴𝐶 était le double de 𝐶𝑌. Nous nous attendons donc à ce que le segment 𝐴𝑌 soit le même que 𝐶𝑌, donc les
deux mesurent huit centimètres.
