Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre à déterminer les longueurs inconnues dans un triangle contenant deux ou trois droites parallèles en utilisant la proportionnalité.
On rappelle que lorsque deux droites parallèles sont coupées par une sécante, les angles correspondants résultants sont égaux.
En ajoutant une seconde droite sécante comme illustré ci-dessous, on peut former deux triangles.
En donnant une lettre à chaque sommet, on peut définir le plus grand triangle comme et le plus petit triangle comme .
Comme les angles correspondants sont égaux, le triangle est semblable au triangle :
Comme ces triangles sont semblables, les rapports des longueurs de leurs côtés correspondants doivent être égaux. En d’autres termes, on a
Dans le premier exemple, nous allons montrer comment utiliser cette définition de la similitude des triangles pour identifier quelles paires de longueurs de côtés ont des proportions égales lorsqu’un triangle est coupé par une droite parallèle à l’un de ses côtés.
Exemple 1: Identifier les proportions dans des triangles
En utilisant le schéma, laquelle des expressions suivantes est égale à ?
Réponse
Le schéma indique que est parallèle à . Comme les angles correspondants sont égaux, c’est-à-dire, et crée un triangle qui est similaire au grand triangle .
Comme ces triangles sont semblables, les rapports des longueurs de leurs côtés correspondants doivent être égaux. En particulier,
Pour déterminer la fraction équivalente à , on prend l’inverse des deux membres de cette équation :
L’expression est égal à .
Exemple 2: Déterminer une longueur inconnue dans un triangle en utilisant des proportions
Déterminez la valeur de .
Réponse
et coupent les droites parallèles et . Comme les angles correspondants créés par ces intersections sont égaux, c’est-à-dire on peut dire que le triangle est semblable au triangle :
Lorsque deux triangles sont semblables, les rapports des longueurs des côtés correspondants sont égaux. En particulier,
En substituant les valeurs connues des longueurs de , et (où il convient de noter que est la somme de et ), on peut déterminer la valeur de : En isolant ,
Dans les deux exemples précédents, on a remarqué que si une droite coupant deux côtés d’un triangle est parallèle au troisième côté, alors le plus petit triangle créé par la droite parallèle est semblable au triangle initial. On rappelle le schéma présenté plus tôt.
Comme les triangles et sont semblables, on obtient l’égalité des proportions suivante :
D’après ce schéma, on remarque également que les segments et peuvent être divisé comme suit :
En substituant ces expressions dans l’équation précédente et en la réarrangeant,
On peut maintenant soustraire aux deux membres pour trouver
Cela nous amène à la définition d’un théorème qui relie les segments créés lorsqu’un côté parallèle est ajouté à un triangle.
Théorème : Théorème de Thalès
Si une droite parallèle à un côté d’un triangle coupe les deux autres côtés du triangle, alors la droite divise ces deux côtés proportionnellement.
Remarque
Le théorème de Thalès peut être étendu pour inclure des droites parallèles situées à l’extérieur du triangle. Lorsqu’une droite se situe à l’extérieur d’un triangle et est parallèle à un côté du triangle, elle forme un autre triangle semblable au premier. Cela est illustré par le schéma suivant. Dans ce cas, une version analogue du théorème de Thalès peut être déduite directement à partir des triangles semblables.
Dans le prochain exemple, nous allons voir comment utiliser ce théorème pour identifier des segments proportionnels dans des triangles pour calculer une longueur inconnue.
Exemple 3: Utiliser les proportions dans un triangle pour calculer une longueur inconnue
Sur la figure, et sont parallèles. Si , et , quelle est la longueur de ?
Réponse
On sait que est parallèle à . Le théorème de Thalès stipule que si une droite parallèle à un côté d’un triangle coupe les deux autres côtés du triangle, alors la droite divise ces côtés proportionnellement.
En particulier,
On remplace par , et dans cette équation et on détermine :
La longueur de est 36.
Dans le prochain exemple, nous allons montrer comment résoudre des problèmes impliquant des triangles et des droites parallèles en plusieurs étapes.
Exemple 4: Déterminer des inconnus dans un problème d’application
La figure donnée montre un triangle .
- Déterminez la valeur de .
- Déterminez la valeur de .
Réponse
Partie 1
Sur la figure, une droite parallèle au côté coupe les deux autres côtés du triangle. Le théorème de Thalès stipule que cette droite divise ces côtés proportionnellement.
Si on désigne ce segment par , on obtient
Cela donne une équation qui peut être résolue pour déterminer :
Partie 2
Maintenant que l’on connaît la valeur de , on peut utiliser cette information pour déterminer la valeur de . Comme les angles correspondants créés par l’intersection de sont égaux, le triangle est semblable au triangle :
En particulier,
La longueur de est la somme des longueurs de et . On sait que et que . Comme , . Par conséquent,
En substituant ces valeurs dans l’équation précédente et en déterminant ,
Par conséquent,
Dans le prochain exemple, nous allons montrer comment appliquer le théorème de Thalès à un triangle qui contient plusieurs paires de droites parallèles.
Exemple 5: Déterminer la longueur d’un côté dans un triangle en utilisant la relation entre les droites parallèles
Déterminez la longueur de .
Réponse
D’après le schéma ci-dessus, on remarque que est parallèle à dans le triangle et que est parallèle à dans le triangle . Le théorème de Thalès stipule que si une droite parallèle à un côté d’un triangle coupe les deux autres côtés du triangle, alors la droite divise ces côtés proportionnellement. En appliquant ce théorème au triangle où est parallèle à un côté du triangle, on obtient
Comme est parallèle à un côté du grand triangle , on peut également obtenir
Les deux rapports et sont égaux à . Cela signifie que l’on peut définir
On peut substituer les valeurs données , et dans cette équation pour obtenir une équation qui peut être résolue pour déterminer :
Par conséquent,
Comme ,
La longueur de est 29,4 cm.
Rappelons que le théorème de Thalès nous dit que si une droite parallèle à un côté d’un triangle coupe les deux autres côtés du triangle, alors la droite divise ces côtés proportionnellement. De plus, nous avons appris que ce théorème peut être étendu pour inclure des droites parallèles situées à l’extérieur du triangle. Il se trouve que la réciproque de ce théorème est également vraie, ce qui se révèle très utile pour résoudre des problèmes de ce type.
Théorème : Réciproque du théorème de Thalès
Si une droite coupe deux côtés d’un triangle et les divise en proportions égales, alors cette droite est parallèle au troisième côté du triangle.
Dans les trois schémas ci-dessus, est un triangle et coupe en et en .
Si , alors est parallèle à .
En appliquant la réciproque du théorème de Thalès, nous pouvons prouver qu’une droite est parallèle à un côté d’un triangle en raison de la proportionnalité qu’elle crée. Dans le dernier exemple, nous allons montrer ce processus.
Exemple 6: Déterminer les longueurs inconnues dans un triangle connaissant les longueurs des autres côtés en utilisant les relations des droites parallèles
Sachant que est un parallélogramme, déterminez la longueur de .
Réponse
Pour déterminer la longueur de , nous commencerons par identifier des informations pertinentes sur les triangles et . On nous donne que et . On rappelle également que le théorème de Thalès stipule que si une droite parallèle à un côté d’un triangle coupe les deux autres côtés du triangle, alors la droite divise ces côtés proportionnellement. Réciproquement, si une droite divise deux côtés d’un triangle en proportions égales, alors cette droite doit être parallèle au troisième côté. Comme les côtés et du plus grand triangle ont été divisés en proportions égales, on peut appliquer la réciproque de ce théorème pour en déduire que et doivent être parallèle.
On rappelle également que si une droite parallèle à un côté d’un triangle coupe les deux autres côtés, alors le plus petit triangle créé par la droite parallèle est semblable au triangle initial. Ainsi, on obtient
Comme est le côté opposé à dans le parallélogramme , ces deux côtés doivent avoir la même longueur. Par conséquent, la longueur de est 134,9 cm. En désignant la longueur de par une constante inconnue , on peut tracer le schéma suivant.
Comme les triangles et sont semblables, on peut former une équation qui relie les longueurs des côtés , , et :
En isolant , on trouve
La longueur de est 67,45 cm.
Nous allons maintenant récapituler les points clés de cette fiche explicative.
Points clés
- Si une droite coupant deux côtés d’un triangle est parallèle au troisième côté, alors le petit triangle créé par la droite parallèle est semblable au grand triangle initial.
- Le théorème de Thalès stipule que si une droite parallèle à un côté d’un triangle coupe les deux autres côtés du triangle, alors la droite divise ces côtés proportionnellement.
- Le théorème de Thalès peut être étendu pour inclure des droites parallèles situées à l’extérieur d’un triangle. Si une droite située à l’extérieur d’un triangle est parallèle à un côté du triangle et coupe les prolongements des deux autres côtés du triangle, alors la droite divise les prolongements de ces côtés proportionnellement.
- La réciproque du théorème de Thalès stipule que si une droite divise proportionnellement deux côtés d’un triangle, alors cette droite est parallèle au côté restant.