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Fiche explicative de la leçon: Droites parallèles dans un triangle Mathématiques • Première secondaire

Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre à déterminer les longueurs inconnues dans un triangle contenant deux ou trois droites parallèles en utilisant la proportionnalité.

On rappelle que lorsque deux droites parallèles sont coupées par une sécante, les angles correspondants résultants sont égaux.

En ajoutant une seconde droite sécante comme illustré ci-dessous, on peut former deux triangles.

En donnant une lettre à chaque sommet, on peut définir le plus grand triangle comme 𝐴𝐷𝐸 et le plus petit triangle comme 𝐴𝐵𝐶.

Comme les angles correspondants sont égaux, le triangle 𝐴𝐷𝐸 est semblable au triangle 𝐴𝐵𝐶:𝐴𝐷𝐸𝐴𝐵𝐶.

Comme ces triangles sont semblables, les rapports des longueurs de leurs côtés correspondants doivent être égaux. En d’autres termes, on a𝐴𝐵𝐴𝐷=𝐴𝐶𝐴𝐸=𝐵𝐶𝐷𝐸.

Dans le premier exemple, nous allons montrer comment utiliser cette définition de la similitude des triangles pour identifier quelles paires de longueurs de côtés ont des proportions égales lorsqu’un triangle est coupé par une droite parallèle à l’un de ses côtés.

Exemple 1: Identifier les proportions dans des triangles

En utilisant le schéma, laquelle des expressions suivantes est égale à𝐴𝐵𝐴𝐷?

  1. 𝐴𝐶𝐸𝐶
  2. 𝐴𝐵𝐷𝐵
  3. 𝐴𝐷𝐷𝐵
  4. 𝐴𝐶𝐴𝐸
  5. 𝐴𝐸𝐸𝐶

Réponse

Le schéma indique que 𝐸𝐷 est parallèle à 𝐶𝐵. Comme les angles correspondants sont égaux, c’est-à-dire, 𝐷𝐸𝐴=𝐵𝐶𝐴 et 𝐸𝐷𝐴=𝐶𝐵𝐴,𝐸𝐷 crée un triangle 𝐴𝐷𝐸 qui est similaire au grand triangle 𝐴𝐵𝐶.

Comme ces triangles sont semblables, les rapports des longueurs de leurs côtés correspondants doivent être égaux. En particulier, 𝐴𝐸𝐴𝐶=𝐴𝐷𝐴𝐵.

Pour déterminer la fraction équivalente à 𝐴𝐵𝐴𝐷, on prend l’inverse des deux membres de cette équation:𝐴𝐶𝐴𝐸=𝐴𝐵𝐴𝐷.

L’expression 𝐴𝐶𝐴𝐸 est égal à 𝐴𝐵𝐴𝐷.

Exemple 2: Déterminer une longueur inconnue dans un triangle en utilisant des proportions

Déterminez la valeur de 𝑥.

Réponse

𝐴𝐶 et 𝐴𝐵 coupent les droites parallèles 𝐷𝐸 et 𝐵𝐶. Comme les angles correspondants créés par ces intersections sont égaux, c’est-à-dire 𝐷𝐸𝐴=𝐵𝐶𝐴,𝐸𝐷𝐴=𝐶𝐵𝐴, on peut dire que le triangle 𝐴𝐷𝐸 est semblable au triangle 𝐴𝐵𝐶:𝐴𝐵𝐶𝐴𝐷𝐸.

Lorsque deux triangles sont semblables, les rapports des longueurs des côtés correspondants sont égaux. En particulier, 𝐴𝐷𝐴𝐵=𝐷𝐸𝐵𝐶.

En substituant les valeurs connues des longueurs de 𝐴𝐷, 𝐷𝐸 et 𝐴𝐵 (où il convient de noter que 𝐴𝐵 est la somme de 𝐴𝐷 et 𝐷𝐵), on peut déterminer la valeur de 𝑥:1010+11=10𝑥. En isolant 𝑥, 𝑥=21.

Dans les deux exemples précédents, on a remarqué que si une droite coupant deux côtés d’un triangle est parallèle au troisième côté, alors le plus petit triangle créé par la droite parallèle est semblable au triangle initial. On rappelle le schéma présenté plus tôt.

Comme les triangles 𝐴𝐵𝐶 et 𝐴𝐷𝐸 sont semblables, on obtient l’égalité des proportions suivante:𝐴𝐵𝐴𝐷=𝐴𝐶𝐴𝐸.

D’après ce schéma, on remarque également que les segments 𝐴𝐷 et 𝐴𝐸 peuvent être divisé comme suit:𝐴𝐷=𝐴𝐵+𝐵𝐷𝐴𝐸=𝐴𝐶+𝐶𝐸.et

En substituant ces expressions dans l’équation précédente et en la réarrangeant, 𝐴𝐵𝐴𝐷=𝐴𝐶𝐴𝐸𝐴𝐵𝐴𝐵+𝐵𝐷=𝐴𝐶𝐴𝐶+𝐶𝐸𝐴𝐵(𝐴𝐶+𝐶𝐸)=𝐴𝐶(𝐴𝐵+𝐵𝐷)𝐴𝐵𝐴𝐶+𝐴𝐵𝐶𝐸=𝐴𝐶𝐴𝐵+𝐴𝐶𝐵𝐷.

On peut maintenant soustraire 𝐴𝐵𝐴𝐶 aux deux membres pour trouver 𝐴𝐵𝐶𝐸=𝐴𝐶𝐵𝐷,𝐴𝐵𝐵𝐷=𝐴𝐶𝐶𝐸.

Cela nous amène à la définition d’un théorème qui relie les segments créés lorsqu’un côté parallèle est ajouté à un triangle.

Théorème : Théorème de Thalès

Si une droite parallèle à un côté d’un triangle coupe les deux autres côtés du triangle, alors la droite divise ces deux côtés proportionnellement.

Remarque

Le théorème de Thalès peut être étendu pour inclure des droites parallèles situées à l’extérieur du triangle. Lorsqu’une droite se situe à l’extérieur d’un triangle et est parallèle à un côté du triangle, elle forme un autre triangle semblable au premier. Cela est illustré par le schéma suivant. Dans ce cas, une version analogue du théorème de Thalès peut être déduite directement à partir des triangles semblables.

Dans le prochain exemple, nous allons voir comment utiliser ce théorème pour identifier des segments proportionnels dans des triangles pour calculer une longueur inconnue.

Exemple 3: Utiliser les proportions dans un triangle pour calculer une longueur inconnue

Sur la figure, 𝑋𝑌 et 𝐵𝐶 sont parallèles. Si 𝐴𝑋=18, 𝑋𝐵=24 et 𝐴𝑌=27, quelle est la longueur de𝑌𝐶?

Réponse

On sait que 𝑋𝑌 est parallèle à 𝐵𝐶. Le théorème de Thalès stipule que si une droite parallèle à un côté d’un triangle coupe les deux autres côtés du triangle, alors la droite divise ces côtés proportionnellement.

En particulier, 𝐴𝑌𝑌𝐶=𝐴𝑋𝑋𝐵.

On remplace par 𝐴𝑋=18, 𝑋𝐵=24 et 𝐴𝑌=27 dans cette équation et on détermine 𝑌𝐶:27𝑌𝐶=1824𝑌𝐶27=2418𝑌𝐶=2418×27=36.

La longueur de 𝑌𝐶 est 36.

Dans le prochain exemple, nous allons montrer comment résoudre des problèmes impliquant des triangles et des droites parallèles en plusieurs étapes.

Exemple 4: Déterminer des inconnus dans un problème d’application

La figure donnée montre un triangle 𝐴𝐵𝐶.

  1. Déterminez la valeur de 𝑥.
  2. Déterminez la valeur de 𝑦.

Réponse

Partie 1

Sur la figure, une droite parallèle au côté 𝐵𝐶 coupe les deux autres côtés du triangle. Le théorème de Thalès stipule que cette droite divise ces côtés proportionnellement.

Si on désigne ce segment par 𝐷𝐸, on obtient 𝐴𝐷𝐷𝐵=𝐴𝐸𝐸𝐶.

Cela donne une équation qui peut être résolue pour déterminer 𝑥:32𝑥+3=2𝑥+53(𝑥+5)=2(2𝑥+3)3𝑥+15=4𝑥+615=𝑥+6𝑥=9.

Partie 2

Maintenant que l’on connaît la valeur de 𝑥, on peut utiliser cette information pour déterminer la valeur de 𝑦. Comme les angles correspondants créés par l’intersection de 𝐷𝐸 sont égaux, le triangle 𝐴𝐵𝐶 est semblable au triangle 𝐴𝐷𝐸:𝐴𝐵𝐶𝐴𝐷𝐸.

En particulier, 𝐴𝐷𝐴𝐵=𝐷𝐸𝐵𝐶.

La longueur de 𝐴𝐵 est la somme des longueurs de 𝐴𝐷 et 𝐷𝐵. On sait que𝐴𝐷=3 et que 𝐷𝐵=2𝑥+3. Comme 𝑥=9, 𝐷𝐵=21. Par conséquent, 𝐴𝐵=3+21=24.

En substituant ces valeurs dans l’équation précédente et en déterminant 𝑦, 324=2𝑦𝑦24=23𝑦=23×24=16.

Par conséquent, 𝑦=16.

Dans le prochain exemple, nous allons montrer comment appliquer le théorème de Thalès à un triangle qui contient plusieurs paires de droites parallèles.

Exemple 5: Déterminer la longueur d’un côté dans un triangle en utilisant la relation entre les droites parallèles

Déterminez la longueur de 𝐶𝐵.

Réponse

D’après le schéma ci-dessus, on remarque que 𝐷𝐹 est parallèle à 𝐴𝐸 dans le triangle 𝐶𝐴𝐸 et que 𝐷𝐸 est parallèle à 𝐴𝐵 dans le triangle 𝐶𝐴𝐵. Le théorème de Thalès stipule que si une droite parallèle à un côté d’un triangle coupe les deux autres côtés du triangle, alors la droite divise ces côtés proportionnellement. En appliquant ce théorème au triangle 𝐶𝐴𝐸𝐷𝐹 est parallèle à un côté du triangle, on obtient 𝐶𝐹𝐹𝐸=𝐶𝐷𝐷𝐴.

Comme 𝐷𝐸 est parallèle à un côté du grand triangle 𝐶𝐴𝐵, on peut également obtenir 𝐶𝐸𝐸𝐵=𝐶𝐷𝐷𝐴.

Les deux rapports 𝐶𝐹𝐹𝐸 et 𝐶𝐸𝐸𝐵 sont égaux à 𝐶𝐷𝐷𝐴. Cela signifie que l’on peut définir 𝐶𝐹𝐹𝐸=𝐶𝐸𝐸𝐵.

On peut substituer les valeurs données 𝐶𝐹=15, 𝐹𝐸=6 et 𝐶𝐸=15+6=21 dans cette équation pour obtenir une équation qui peut être résolue pour déterminer 𝐸𝐵:156=21𝐸𝐵𝐸𝐵=21×615.

Par conséquent, 𝐸𝐵=8,4.cm

Comme 𝐶𝐵=𝐶𝐹+𝐹𝐸+𝐸𝐵, 𝐶𝐵=15+6+8,4=29,4.cm

La longueur de 𝐶𝐵 est 29,4 cm.

Rappelons que le théorème de Thalès nous dit que si une droite parallèle à un côté d’un triangle coupe les deux autres côtés du triangle, alors la droite divise ces côtés proportionnellement. De plus, nous avons appris que ce théorème peut être étendu pour inclure des droites parallèles situées à l’extérieur du triangle. Il se trouve que la réciproque de ce théorème est également vraie, ce qui se révèle très utile pour résoudre des problèmes de ce type.

Théorème : Réciproque du théorème de Thalès

Si une droite coupe deux côtés d’un triangle et les divise en proportions égales, alors cette droite est parallèle au troisième côté du triangle.

Dans les trois schémas ci-dessus, 𝐴𝐵𝐶 est un triangle et 𝐷𝐸 coupe 𝐴𝐵 en 𝐷 et 𝐴𝐶 en 𝐸.

Si 𝐴𝐷𝐷𝐵=𝐴𝐸𝐸𝐶, alors 𝐷𝐸 est parallèle à 𝐵𝐶.

En appliquant la réciproque du théorème de Thalès, nous pouvons prouver qu’une droite est parallèle à un côté d’un triangle en raison de la proportionnalité qu’elle crée. Dans le dernier exemple, nous allons montrer ce processus.

Exemple 6: Déterminer les longueurs inconnues dans un triangle connaissant les longueurs des autres côtés en utilisant les relations des droites parallèles

Sachant que 𝐴𝐵𝐶𝐷 est un parallélogramme, déterminez la longueur de 𝑌𝑍.

Réponse

Pour déterminer la longueur de 𝑌𝑍 , nous commencerons par identifier des informations pertinentes sur les triangles 𝑋𝑌𝑍 et 𝑋𝐷𝐶. On nous donne que 𝑋𝑌=𝑌𝐷 et 𝑋𝑍=𝑍𝐶. On rappelle également que le théorème de Thalès stipule que si une droite parallèle à un côté d’un triangle coupe les deux autres côtés du triangle, alors la droite divise ces côtés proportionnellement. Réciproquement, si une droite divise deux côtés d’un triangle en proportions égales, alors cette droite doit être parallèle au troisième côté. Comme les côtés 𝑋𝐷 et 𝑋𝐶 du plus grand triangle 𝑋𝐷𝐶 ont été divisés en proportions égales, on peut appliquer la réciproque de ce théorème pour en déduire que 𝐷𝐶 et 𝑌𝑍 doivent être parallèle.

On rappelle également que si une droite parallèle à un côté d’un triangle coupe les deux autres côtés, alors le plus petit triangle créé par la droite parallèle est semblable au triangle initial. Ainsi, on obtient 𝑋𝑌𝑍𝑋𝐷𝐶.

Comme 𝐷𝐶 est le côté opposé à 𝐴𝐵 dans le parallélogramme 𝐴𝐵𝐶𝐷, ces deux côtés doivent avoir la même longueur. Par conséquent, la longueur de 𝐷𝐶 est 134,9 cm. En désignant la longueur de 𝑋𝑌 par une constante inconnue 𝑥, on peut tracer le schéma suivant.

Comme les triangles 𝑋𝑌𝑍 et 𝑋𝐷𝐶 sont semblables, on peut former une équation qui relie les longueurs des côtés 𝑋𝑌, 𝑋𝐷, 𝑌𝑍 et 𝐷𝐶:𝑋𝑌𝑋𝐷=𝑌𝑍𝐷𝐶𝑥2𝑥=𝑌𝑍134,912=𝑌𝑍134,9.

En isolant 𝑌𝑍, on trouve 𝑌𝑍=134,92=67,45.

La longueur de 𝑌𝑍 est 67,45 cm.

Nous allons maintenant récapituler les points clés de cette fiche explicative.

Points clés

  • Si une droite coupant deux côtés d’un triangle est parallèle au troisième côté, alors le petit triangle créé par la droite parallèle est semblable au grand triangle initial.
  • Le théorème de Thalès stipule que si une droite parallèle à un côté d’un triangle coupe les deux autres côtés du triangle, alors la droite divise ces côtés proportionnellement.
  • Le théorème de Thalès peut être étendu pour inclure des droites parallèles situées à l’extérieur d’un triangle. Si une droite située à l’extérieur d’un triangle est parallèle à un côté du triangle et coupe les prolongements des deux autres côtés du triangle, alors la droite divise les prolongements de ces côtés proportionnellement.
  • La réciproque du théorème de Thalès stipule que si une droite divise proportionnellement deux côtés d’un triangle, alors cette droite est parallèle au côté restant.

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