Vidéo de la leçon: Droites parallèles dans un triangle Mathématiques

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Dans cette vidéo, nous allons apprendre à déterminer les longueurs inconnues dans un triangle contenant deux ou trois droites parallèles en utilisant la proportionnalité. Nous pourrons reconnaître lorsque des droites parallèles à l’intérieur ou à l’extérieur des triangles créent des triangles semblables, parfois appelés théorème de Thalès, utiliser la proportionnalité pour trouver des longueurs inconnues dans des triangles avec des droites parallèles, et nous examinerons également la réciproque du théorème de Thalès.

Commençons par rappeler quelques propriétés des droites parallèles. On sait, par exemple, que lorsque deux droites parallèles sont coupées par une transversale, les angles correspondants résultants sont égaux. On sait aussi qu’en ajoutant une seconde transversale, on peut former deux triangles. Maintenant, en attribuant une étiquette à chaque sommet, nous pouvons définir le plus grand triangle 𝐴𝐷𝐸 et le plus petit triangle 𝐴𝐵𝐶.

Maintenant, puisque les deux paires d’angles correspondants sont égales, on peut dire que le triangle 𝐴𝐷𝐸 est semblable au triangle 𝐴𝐵𝐶. Et puisque ces triangles sont semblables, les rapports de leurs longueurs de côtés correspondants doivent être égaux. Cela signifie que 𝐴𝐵 sur 𝐴𝐷, c’est-à-dire le rapport de 𝐴𝐵 sur 𝐴𝐷, est égal à 𝐴𝐶 sur 𝐴𝐸, qui à son tour est égal à BC sur 𝐷𝐸. Donc 𝐴𝐵 est à 𝐴𝐷 comme 𝐴𝐶 est à 𝐴𝐸, et 𝐴𝐶 est à 𝐴𝐸 comme 𝐵𝐶 est à 𝐷𝐸.

Nous allons utiliser ces propriétés de triangles semblables dans notre premier exemple pour identifier quelle paire de longueurs des côtés ont des proportions égales lorsqu’un triangle est coupé par une droite parallèle à l’un de ses côtés.

En utilisant le diagramme, lequel des éléments suivants est égal à 𝐴𝐵 sur 𝐴𝐷. Est-ce (A) 𝐴𝐶 sur 𝐸𝐶 ou (B) 𝐴𝐵 sur 𝐷𝐵 ou (C) 𝐴𝐷 sur 𝐷𝐵, (D) 𝐴𝐶 sur 𝐴𝐸, ou (E) 𝐴𝐸 sur 𝐸𝐶.

On voit sur le schéma que la base du triangle 𝐴𝐸𝐷, c’est le côté 𝐸𝐷, est parallèle à la base du triangle 𝐴𝐵𝐶, c’est le côté 𝐶𝐵. Puisque les angles correspondants doivent être égaux si les deux droites sont parallèles, l’angle 𝐷𝐸𝐴 est égal à l’angle 𝐵𝐶𝐴 et l’angle 𝐸𝐷𝐴 est égal à l’angle 𝐶𝐵𝐴. Ensuite, le côté 𝐸𝐷 crée le triangle 𝐴𝐷𝐸, qui est semblable au plus grand triangle 𝐴𝐵𝐶. Étant donné que ces triangles sont semblables, les rapports de leurs longueurs de côtés correspondantes doivent être égaux. En particulier, 𝐴𝐸 sur 𝐴𝐶 est égal à 𝐴𝐷 sur 𝐴𝐵.

Maintenant, nous voulons trouver laquelle des fractions données est égale à 𝐴𝐵 sur 𝐴𝐷. Et nous pouvons le faire en trouvant l’inverse des deux membres de notre équation, ce qui nous donne 𝐴𝐶 sur 𝐴𝐸 est égal à 𝐴𝐵 sur 𝐴𝐷. Par conséquent, 𝐴𝐵 sur 𝐴𝐷 est égal à 𝐴𝐶 sur 𝐴𝐸, ce qui correspond à l’option donnée (D).

Dans notre exemple suivant, nous voyons comment trouver une longueur inconnue dans un triangle en utilisant des proportions.

Trouvez la valeur de 𝑥.

On voit sur la figure que les droites 𝐴𝐶 et 𝐴𝐵 sont des transversales qui coupent les droites parallèles 𝐷𝐸 et 𝐵𝐶. Et nous savons que les deux paires d’angles correspondants créées par cette intersection sont égales. Ce sont les angles 𝐷𝐸𝐴 et 𝐵𝐶𝐴 et les angles 𝐸𝐷𝐴 et 𝐶𝐵𝐴. Ceci étant le cas, on peut dire que les triangles 𝐴𝐵𝐶 et 𝐴𝐷𝐸 sont des triangles semblables puisqu’ils ont chacun l’angle commun BAC et que leurs deux autres angles sont également égaux.

Rappelons maintenant que lorsque deux triangles sont semblables, les rapports de la longueur de leurs côtés correspondants sont égaux. En particulier, 𝐴𝐷 est à 𝐴𝐵 comme 𝐷𝐸 est à 𝐵𝐶. En d’autres termes, 𝐴𝐷 sur 𝐴𝐵 est égal à 𝐷𝐸 sur 𝐵𝐶. Maintenant, nous savons que 𝐴𝐷 est égal à 10 unités. 𝐴𝐵 est égal à 10 plus 11 unités, soit 𝐴𝐷 plus 𝐷𝐵. 𝐷𝐸 est égal à 10 unités, et 𝐵𝐶 est 𝑥. Et donc nous avons 10 sur 10 plus 11 est égal à 10 sur 𝑥. Autrement dit, 10 sur 21 est égal à 10 sur 𝑥.

Maintenant, en résolvant pour trouver 𝑥, nous multiplions par 21𝑥 et divisons les deux membres par 10, et nous avons 𝑥 égal à 21. Par conséquent, en utilisant le diagramme donné, nous trouvons que 𝑥 est égal à 21 unités.

Dans les deux exemples précédents, nous avons vu que si une droite coupant deux côtés d’un triangle est parallèle au troisième côté, alors le plus petit triangle créé par cette droite est semblable au triangle d’origine. Et puisque les triangles 𝐴𝐵𝐶 et 𝐴𝐷𝐸 sont semblables, nous avons que les proportions 𝐴𝐵 sur 𝐴𝐷 et 𝐴𝐶 sur 𝐴𝐸 sont égales. À partir du diagramme, nous pouvons voir également que le segment 𝐴𝐷 peut être divisé en 𝐴𝐵 plus 𝐵𝐷 et le segment 𝐴𝐸 peut être divisé en 𝐴𝐶 plus 𝐶𝐸.

En remplaçant maintenant ces expressions dans notre équation, nous avons 𝐴𝐵 sur 𝐴𝐵 plus 𝐵𝐷 est égal à 𝐴𝐶 sur 𝐴𝐶 plus 𝐶𝐸. Et nous pouvons réorganiser cela pour donner 𝐴𝐵 fois 𝐴𝐶 plus 𝐶𝐸 est égal à 𝐴𝐶 fois 𝐴𝐵 plus 𝐵𝐷. Si nous distribuons ensuite nos parenthèses et soustrayons 𝐴𝐵 fois 𝐴𝐶 des deux membres, nous avons 𝐴𝐵 fois 𝐶𝐸 est égal à 𝐴𝐶 fois 𝐵𝐷. Et nous pouvons réorganiser cela pour obtenir les proportions égales 𝐴𝐵 sur 𝐵𝐷 est égal à 𝐴𝐶 sur 𝐶𝐸.

Cela nous amène au théorème de Thalès reliant les segments créés lorsqu’un côté parallèle est ajouté à un triangle. Le théorème de Thalès stipule que si une droite parallèle à un côté d’un triangle coupe les deux autres côtés du triangle, alors la droite divise ces côtés proportionnellement.

Dans notre diagramme, le côté 𝐵𝐶 est parallèle au côté 𝐷𝐸. Nous voyons donc que dans notre cas, le théorème de Thalès nous dit que 𝐴𝐵 est à 𝐵𝐷 comme 𝐴𝐶 est à 𝐶𝐸. Notez que cela peut être étendu pour inclure des droites parallèles à l’extérieur du triangle. Nous pouvons former un triangle semblable à l’extérieur du premier triangle avec une droite parallèle comme indiqué dans le diagramme. Et nous pouvons déduire un analogue du théorème de Thalès directement à partir de ces triangles semblables.

Dans notre prochain exemple, nous verrons comment utiliser le théorème de Thalès pour identifier les segments proportionnels des côtés des triangles afin que nous puissions calculer une longueur inconnue.

Sur la figure, les côtés 𝑋𝑌 et 𝐵𝐶 sont parallèles. Si 𝐴𝑋 est égal à 18, 𝑋𝐵 égal à 24 et 𝐴𝑌 est égal à 27, quelle est la longueur de 𝑌𝐶 ?

On nous donne les longueurs des côtés 𝐴𝑋, 𝑋𝐵 et 𝐴𝑌. Et nous voulons trouver la longueur de 𝑌𝐶. On nous dit aussi que les côtés 𝑋𝑌 et 𝐵𝐶 sont parallèles. Maintenant, le théorème de Thalès nous dit que si une droite parallèle à un côté d’un triangle coupe les deux autres côtés, alors cette droite divise ces deux côtés proportionnellement. En particulier, dans notre cas, cela signifie que 𝐴𝑌 est à 𝑌𝐶 comme 𝐴𝑋 est à 𝑋𝐵. Maintenant, si nous remplaçons nos longueurs connues dans cette équation, 𝐴𝑌 est 27, 𝐴𝑋 est 18 et 𝑋𝐵 est 24, nous avons 27 sur 𝑌𝐶 est égal à 18 sur 24. Nous pouvons réorganiser cela pour obtenir 𝑌𝐶 égal à 24 sur 18 fois 27, qui vaut 36.

Et donc en utilisant le théorème de Thalès, nous trouvons que la longueur de 𝑌𝐶 est de 36 unités.

Dans notre prochain exemple, nous utiliserons le théorème de Thalès pour nous aider à résoudre un problème à plusieurs étapes impliquant des triangles et des droites parallèles.

La figure donnée montre un triangle 𝐴𝐵𝐶. (1) Calculez la valeur de 𝑥. Et (2) calculer la valeur de 𝑦.

On nous donne un triangle avec une droite parallèle à un côté inscrit à l’intérieur et différentes longueurs des côtés du triangle. Et on nous demande de trouver la valeur de 𝑥 et la valeur de 𝑦.

Commençons par la partie (1), qui consiste à trouver 𝑥, où nous voyons que deux parmi nos côtés impliquent 𝑥. Notons d’abord qu’une droite de longueur deux unités à l’intérieur du triangle est parallèle au côté 𝐵𝐶. Maintenant, le théorème de Thalès nous dit que cette droite divise les deux côtés 𝐴𝐶 et 𝐴𝐵 proportionnellement.

Rappelez-vous, selon le théorème de Thalès, si une droite parallèle à un côté d’un triangle coupe les deux autres côtés du triangle, alors la droite divise ces côtés proportionnellement. Si nous étiquetons ce segment 𝐷𝐸 dans notre diagramme, nous pourrions dire que 𝐴𝐷 sur 𝐷𝐵 est égal à 𝐴𝐸 sur 𝐸𝐶. En remplaçant les longueurs données, nous pouvons former une équation que nous pouvons résoudre pour trouver 𝑥. C’est trois sur deux 𝑥 plus trois est égal à deux sur 𝑥 plus cinq. Maintenant, en multipliant les deux membres par 𝑥 plus cinq et deux 𝑥 plus trois et en distribuant les parenthèses, nous avons trois 𝑥 plus 15 égales quatre 𝑥 plus six. En soustrayant trois 𝑥 et six des deux membres et en échangeant les membres, nous avons alors 𝑥 est égal à neuf.

Alors maintenant, en prenant une note de cela et en faisant un peu d’espace, nous pouvons utiliser cette valeur de 𝑥 dans la partie (2) de la question pour trouver la valeur de 𝑦. Maintenant, puisque les deux triangles créés par l’intersection du côté 𝐷𝐸 partagent un angle commun 𝐴 et que les paires d’angles correspondants également créées par cette droite sont égales, on peut dire que les triangles 𝐴𝐷𝐸 et 𝐴𝐵𝐶 sont des triangles semblables. En particulier, cela signifie que les proportions 𝐴𝐷 sur 𝐴𝐵 et 𝐷𝐸 sur 𝐵𝐶 sont égales. Maintenant, nous savons que 𝐴𝐵 est égal à la somme 𝐴𝐷 plus 𝐷𝐵. Et c’est trois plus deux 𝑥 plus trois. Et nous avons 𝑥 égal à neuf de la partie (1). Et donc cela vaut 24.

Alors maintenant, en remplaçant nos valeurs 𝐴𝐷 est égal à trois, 𝐴𝐵 est égal à 24, 𝐷𝐸 est égal à deux et 𝐵𝐶 est égal à 𝑦 dans notre équation, nous avons trois sur 24 est égal à deux sur 𝑦. Maintenant, en multipliant les deux membres par 𝑦 et par 24 sur trois, nous avons 𝑦 égal à 16. Par conséquent, à partir de la figure donnée, nous trouvons que 𝑥 est égal à neuf et 𝑦 est égal à 16.

Jusqu’à présent, nous avons utilisé le théorème de Thalès pour résoudre des problèmes de proportionnalité et de triangles. Nous avons également appris que cela peut être étendu à des droites parallèles à l’extérieur d’un triangle donné. En fait, il s’avère que la réciproque de ce résultat est également vrai. Et cela peut être très utile pour résoudre des problèmes de ce type. La réciproque du théorème de Thalès nous dit que si une droite coupant deux côtés d’un triangle divise ces côtés en proportions égales, alors cette droite doit être parallèle au troisième côté du triangle.

Dans les trois diagrammes présentés, 𝐴𝐵𝐶 est un triangle et la droite 𝐷𝐸 coupe 𝐴𝐵 en 𝐷 et 𝐴𝐶 en 𝐸. En d’autres termes, si les proportions 𝐴𝐷 sur 𝐷𝐵 et 𝐴𝐸 sur 𝐸𝐶 sont égales, alors les droites 𝐷𝐸 et 𝐵𝐶 doivent être parallèles. Utilisons maintenant la réciproque du théorème de Thalès pour trouver des longueurs inconnues dans un triangle donné.

Étant donné que 𝐴𝐵𝐶𝐷 est un parallélogramme, trouvez la longueur de 𝑌𝑍.

Pour trouver la longueur du côté 𝑌𝑍 du plus petit triangle 𝑋𝑌𝑍 à l’intérieur du parallélogramme, commençons par identifier quelques informations pertinentes sur les deux triangles 𝑋𝑌𝑍 et 𝑋𝐷𝐶. On nous donne que 𝑋𝑌 est égal à 𝑌𝐷 et 𝑋𝑍 est égal à 𝑍𝐶. Nous rappelons également que le théorème de Thalès nous dit que si une droite parallèle à un côté d’un triangle coupe les deux autres côtés, alors la droite divise ces côtés proportionnellement. Inversement, si une droite divise deux côtés d’un triangle en proportions égales, alors cette droite doit être parallèle au troisième côté.

Dans notre cas, puisque les côtés 𝑋𝐷 et 𝑋𝐶 du plus grand triangle 𝑋𝐷𝐶 ont été divisés en proportions égales, nous pouvons appliquer la réciproque du théorème de Thalès pour en déduire que les côtés 𝐷𝐶 et 𝑌𝑍 doivent être parallèles. Maintenant, rappelez-vous également que si une droite parallèle à un côté d’un triangle coupe les deux autres côtés, comme le fait la droite 𝐼𝐽 dans le diagramme, alors le plus petit triangle créé par cette droite, ici le triangle 𝐼𝐽𝐻, est semblable au triangle d’origine 𝐹𝐺𝐻. Dans notre cas, cela signifie que le triangle 𝑋𝑌𝑍 est semblable au triangle 𝑋𝐷𝐶.

Maintenant, puisque les côtés 𝐷𝐶 et 𝐴𝐵 sont des côtés opposés du parallélogramme 𝐴𝐵𝐶𝐷, ils doivent avoir la même longueur. Alors maintenant, nous savons que le côté 𝐷𝐶 a une longueur de 134,9 centimètres. Maintenant, en faisant un peu d’espace, si nous extrayons notre triangle et appelons la longueur 𝑋𝑌 𝑥 minuscule, notre longueur de côté 𝑋𝐷 est égale à deux 𝑥. Étant donné que nos triangles 𝑋𝑌𝑍 et 𝑋𝐷𝐶 sont semblables, nous pouvons former une équation avec les longueurs des côtés telles que les proportions 𝑋𝑌 sur 𝑋𝐷 et 𝑌𝑍 sur 𝐷𝐶 soient égales.

Maintenant, en remplaçant les longueurs des côtés que nous connaissons, nous avons 𝑥 sur deux 𝑥 est égal à 𝑌𝑍 sur 134,9. Nous pouvons diviser le haut et le bas à gauche par 𝑥 pour donner un sur deux est égal à 𝑌𝑍 sur 134,9. En multipliant ensuite par 134,9, nous avons 𝑌𝑍 égal à 134,9 sur deux, ce qui donne 67,45. La longueur est donc de 67,45 centimètres.

Terminons maintenant en récapitulant certains des principaux points que nous avons abordés. Si une droite coupant deux côtés d’un triangle est parallèle au côté restant, alors le plus petit triangle créé par cette droite est semblable au triangle d’origine. Le théorème de Thalès nous dit que si une droite parallèle à un côté d’un triangle coupe les deux autres côtés du triangle, alors la droite divise ces côtés proportionnellement.

Le théorème de Thalès s’étend pour inclure des droites parallèles à l’extérieur d’un triangle. Si une droite à l’extérieur d’un triangle est parallèle à l’un des côtés du triangle et coupe les prolongements des deux autres côtés, alors la droite divise les prolongements de ces côtés proportionnellement. Et enfin, la réciproque du théorème de Thalès stipule que si une droite coupe deux côtés d’un triangle proportionnellement, alors cette droite est parallèle au côté restant.