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Trouvez la valeur de 𝑘 qui rend 𝑓 continue en 𝑥 égale trois. Étant donné que 𝑓 de 𝑥 est égale à 𝑥 à la puissance moins un moins trois à la puissance moins un sur 𝑥 au carré moins trois au carré, si 𝑥 est différent de trois et 𝑘, si 𝑥 égale trois.
Par définition, la fonction 𝑓 est continue en 𝑐, si la limite de 𝑓 de 𝑥 lorsque 𝑥 tend vers 𝑐 est égale à 𝑓 de 𝑐. Nous voulons rendre notre fonction 𝑓 continue en 𝑥 égale trois. Donc, avec la fonction 𝑓 définie comme ci-dessus, nous avons besoin que la limite de 𝑓 de 𝑥, lorsque 𝑥 tend vers trois, soit 𝑓 de trois. Nous pouvons simplement lire la valeur de 𝑓 de trois dans la définition de la fonction. 𝑓 de 𝑥 est 𝑘 si 𝑥 est trois. Donc, 𝑓 de trois est 𝑘. En échangeant les membres de l’équation, nous voyons que la valeur de 𝑘 qui rend 𝑓 continue en 𝑥 égale trois, est la limite de 𝑓 de 𝑥 lorsque 𝑥 tend vers trois.
Notre tâche devient donc de trouver la valeur de cette limite. Notez que si cette limite n’existe pas pour une raison quelconque, nous ne pouvons pas faire grand-chose. Il n’y a pas de valeur de 𝑘 qui rende 𝑓 continue. Et donc, vraiment, nous avons l’espoir que cette limite existe. Trouvons alors cette limite. La limite de la fonction, lorsque 𝑥 tend vers trois, ne dépend pas de la valeur de la fonction lorsque 𝑥 égale trois, seules les valeurs proches de 𝑥 égales à trois comptent. On peut donc remplacer 𝑓 de 𝑥 à l’intérieur de cette limite par 𝑓 de 𝑥 lorsque 𝑥 est différent de trois.
Ce n’est pas tout à fait écrit sous la forme d’une fonction rationnelle. Notez l’exposant négatif à la puissance 𝑥 au numérateur, ce qui signifie que le numérateur n’est pas un polynôme. Cependant, nous pourrions encore espérer que cette fonction soit continue. Et que nous pourrions évaluer la limite ici, en utilisant la substitution directe. Malheureusement, substituer trois à 𝑥 donne zéro sur zéro, la forme indéterminée. Et donc, ce n’est pas si simple. Nous allons devoir faire de l’algèbre.
La première chose que nous pouvons faire est de transformer les puissances avec un exposant de moins un en fractions. Donc 𝑥 puissance moins un devient un sur 𝑥. Et trois puissance moins un devient un sur trois, ou un tiers. Et dans la même étape, nous pouvons factoriser le dénominateur que nous reconnaissons comme une différence de deux carrés. Nous avons des fractions dans nos fractions. Et nous pouvons nous en débarrasser en multipliant le numérateur et le dénominateur par trois 𝑥. Le dénominateur est facile car il est factorisé. Nous plaçons simplement les trois 𝑥 devant avec le numérateur que nous avons, trois 𝑥 fois un sur 𝑥, qui donne trois, moins trois 𝑥 fois un tiers, qui donne 𝑥.
Maintenant, si nous retirons un facteur de moins un du numérateur, nous obtenons moins un fois 𝑥 moins trois. Et écrire le numérateur de cette manière nous permet de voir un facteur commun que nous simplifions. Après avoir simplifié le facteur commun de 𝑥 moins trois au numérateur et au dénominateur, nous espérons que la substitution directe en 𝑥 égale trois nous donnera quelque chose qui est défini, et non la forme indéterminée zéro sur zéro.
Essayons. Nous substituons trois à 𝑥. Ce faisant, nous obtenons moins un sur trois fois trois fois trois plus trois, ce qui est moins un sur 54. Si nous définissons la fonction 𝑔 par la règle 𝑔 de 𝑥 égale 𝑥 à la puissance moins un moins trois à la puissance moins un sur 𝑥 au carré moins trois au carré, alors 𝑔 n’est pas continue en 𝑥 est égal à trois. En effet, la fonction 𝑔 n’est pas définie pour une valeur d’entrée de trois. Essayer d’évaluer 𝑔 de trois en utilisant la règle donne la forme indéterminée zéro sur zéro.
Mais nous avons vu que nous pouvons définir la fonction 𝑓, où 𝑓 de 𝑥 est juste 𝑔 de 𝑥, si 𝑥 n’est pas égale à trois et 𝑓 de 𝑥 est moins un sur 54, si 𝑥 est égal à trois. Et cette fonction est continue en 𝑥 égale trois. En définissant 𝑓 de 𝑥 comme étant moins un sur 54 lorsque 𝑥 est trois, nous avons réussi à corriger la discontinuité dans 𝑔. Lorsque nous pouvons le faire, nous disons que la discontinuité est amovible. Et donc nous voyons que 𝑔 a une discontinuité amovible en 𝑥 égale trois.
