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La fonction dans le tableau ci-dessous est la distribution de probabilité d’une variable aléatoire discrète 𝑋. Déterminez l’écart-type de 𝑋. Donnez votre réponse au centième près. Quand 𝑥 vaut moins cinq, 𝑓 de 𝑥 égale un tiers. Quand 𝑥 vaut moins quatre, 𝑓 de 𝑥 égale un huitième. Quand 𝑥 vaut moins trois, 𝑓 de 𝑥 égale un quart. Et enfin, quand 𝑥 vaut moins un, 𝑓 de 𝑥 égale sept sur 24.
Pour calculer l'écart-type, on doit passer par quatre étapes. Premièrement, on va calculer 𝐸 de 𝑋. Cela correspond à la somme des 𝑥 fois 𝑓 de 𝑥. Deuxièmement, on va calculer 𝐸 de 𝑋 au carré. Il s'agit de la somme des 𝑥 au carré fois 𝑓 de 𝑥. Troisièmement, on va calculer Var de 𝑋 ou la variance de 𝑋. Il s'agit du 𝐸 de 𝑋 au carré moins le carré de 𝐸 de 𝑋. Et enfin, pour calculer l'écart-type, nous allons utiliser la racine carrée de la variance de 𝑋.
La valeur 𝐸 de 𝑋 est la somme des 𝑥 fois 𝑓 de 𝑥 — c’est-à-dire moins cinq fois un tiers plus moins quatre fois un huitième plus moins trois fois un quart plus moins un fois sept sur 24. Cela correspond à moins 77 sur 24.
La deuxième étape consiste à calculer 𝐸 de 𝑋 au carré. Pour ça, on va d'abord calculer les valeurs de 𝑥 au carré : moins cinq au carré, moins quatre au carré, moins trois au carré et moins un au carré. Eh bien, moins cinq fois moins cinq est 25. Moins quatre fois moins quatre est 16. Moins trois fois moins trois, donne neuf. Et enfin, moins un fois moins un, est égal à un.
Autrement dit, 𝐸 de 𝑋 au carré est égale à 25 fois un tiers plus 16 fois un huitième plus neuf fois un quart plus un fois sept sur 24. Ce qui est égal à 103 sur huit. Ainsi, 𝐸 de 𝑋 au carré est égale à 103 sur huit.
Ensuite, nous allons calculer la variance de 𝑋. Celle-ci est calculée en soustrayant le 𝐸 de 𝑋 le tout au carré du 𝐸 de 𝑋 au carré — dans ce cas 103 sur huit moins moins 77 sur 24 le tout au carré. Ce qui est égal à 1487 divisé par 576.
Enfin, la dernière étape du calcul de l'écart-type consiste à prendre la racine carrée de cette valeur. La valeur ainsi obtenue est égale à 1,61 au centième près. Ainsi, l'écart-type est de 1,61.
