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Fiche explicative de la leçon : Écart-type d’une variable aléatoire discrète Mathématiques

Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre comment calculer l'écart-type d'une variable aléatoire discrète.

L’écart-type d’une variable aléatoire est une mesure de la dispersion de sa distribution de probabilité. Pour une variable aléatoire 𝑋, l’écart-type est noté 𝜎 ou 𝜎. Son carré, appelé la variance Var(𝑋), est défini par 𝜎=(𝑋)=𝐸(𝑋𝐸(𝑋)),Var𝐸(𝑋) désigne l’espérance de la variable aléatoire 𝑋. L’écart-type 𝜎 s’obtient en prenant la racine carrée positive de la variance. En étudiant de plus près cette formule, on constate que Var(𝑋) est la valeur moyenne de la distance au carré des points de données par rapport à l’espérance. L’unité de cette moyenne est le carré de l’unité de la variable originale, donc on prend la racine carrée pour s’assurer que l’unité est en accord avec la variable originale 𝑋. En résumé, l’écart-type représente la distance, en moyenne, entre les issues de la variable aléatoire et l’espérance.

Sur la figure ci-dessus, la distribution de probabilité de la variable aléatoire 𝑋 est donnée. La notation 𝐸(𝑋) désigne l’espérance et 𝜎 désigne l’écart-type.

La formule de l’écart-type donnée ci-dessus est lourde à utiliser dans la pratique, nous introduisons donc une variante de cette formule. Comme cette formule alternative est plus simple à utiliser, nous l’utiliserons ensuite plutôt que la définition.

Définition : Écart-type

Pour une variable aléatoire 𝑋, la variance de 𝑋 est donnée par Var(𝑋)=𝐸𝑋(𝐸(𝑋)).

L’écart-type est 𝜎=𝜎=(𝑋).Var

L’indice 𝑋 de 𝜎 est utilisé lorsque plus d’une variable aléatoire sont impliquées dans un problème. Pour une variable aléatoire 𝑌, 𝜎 désignera son écart-type. Si une seule variable aléatoire est impliquée, on omet l’indice et on préfère le symbole plus simple 𝜎.

Pour calculer l’écart-type en utilisant cette formule, on doit d’abord calculer les espérances de 𝑋 et 𝑋. Pratiquons cela en utilisant un jet de dé. Soit 𝑋 une variable aléatoire représentant les issues d’un lancer de dé équilibré. On a la distribution de probabilité indiquée ci-dessous.

𝑥123456
𝑃(𝑋=𝑥)161616161616

On rappelle que l’espérance d’une variable aléatoire discrète 𝑋 prenant les valeurs {𝑥,𝑥,,𝑥} est donnée par 𝐸(𝑋)=𝑥𝑃(𝑋=𝑥)+𝑥𝑃(𝑋=𝑥)++𝑥𝑃(𝑋=𝑥).

Comme 𝑋 prend les valeurs {1;2;3;4;5;6}, on a 𝐸(𝑋)=116+216+316+416+516+616=72.

Cela donne une partie de la formule ci-dessus:𝐸(𝑋)=72. On doit ensuite calculer l’espérance de 𝑋. Comme 𝑋 prend les valeurs 1;2;3,,6,𝑋 doit prendre les valeurs 1;4;9,,36. La distribution de probabilité de 𝑋 est héritée de celle de 𝑋. Pour cet exemple, 𝑃𝑋=36=𝑃(𝑋=6)=16, donc la probabilité de la valeur au carré est égale à celle de l’issue originale. De même, on peut voir que la deuxième ligne de la distribution de probabilité de 𝑋 est identique à celle de 𝑋.

𝑥149162536
𝑃𝑋=𝑥161616161616

L’espérance de 𝑋 est calculée par 𝐸𝑋=116+416+916+1616+2516+3616=916.

On note que la formule de 𝐸𝑋 peut être obtenue à partir de celle de 𝐸(𝑋) en substituant les issues {1,,6} avec leurs carrés {1,,6}. En général, pour une variable aléatoire discrète 𝑋 prenant les valeurs {𝑥,,𝑥}, on a 𝐸𝑋=𝑥𝑃(𝑋=𝑥)+𝑥𝑃(𝑋=𝑥)++𝑥𝑃(𝑋=𝑥).

Cette formule est vraie même lorsque deux issues différentes ont les mêmes valeurs au carré (par exemple, 𝑥=1 et 𝑥=1). Cela permet d’omettre l’étape de construction de la distribution de probabilité de 𝑋 afin de calculer 𝐸𝑋. Par conséquent, on obtient Var(𝑋)=𝐸𝑋(𝐸(𝑋))=91672=3512.

En prenant la racine carrée de la variance, on obtient 𝜎=35121,71.

L’écart-type d’un lancer de dé est approximativement égal à 1,71, ce qui signifie qu’en moyenne, un lancer de dé est éloigné d’environ 1,71 de 3,5. On décrit ce processus ci-dessous.

Comment : Calculer l’écart-type d’une variable aléatoire

Soit 𝑋 une variable aléatoire discrète. L’écart-type 𝜎 est obtenu par le procédé suivant:

  1. calculer 𝐸(𝑋);
  2. calculer 𝐸𝑋;
  3. calculer Var(𝑋)=𝐸𝑋(𝐸(𝑋));
  4. calculer 𝜎=(𝑋)Var.

On remarque que l’on a omis l’étape de construction de la distribution de probabilité de 𝑋. Bien qu’il soit avantageux de la garder à l’esprit lors de la réalisation des étapes listées, elle n’est pas nécessaire pour obtenir la réponse finale correcte.

On doit noter cependant que deux issues différentes peuvent avoir la même valeur au carré. Étudions quelques exemples pour nous familiariser avec différents contextes.

Exemple 1: Déterminer l’écart-type d’une variable aléatoire discrète

La fonction dans le tableau ci-dessous est la distribution de probabilité d’une variable aléatoire discrète 𝑋. Déterminez l’écart-type de 𝑋. Donnez votre réponse au centième près.

𝑥5431
𝑓(𝑥)131814724

Réponse

On rappelle le processus en quatre étapes pour obtenir l’écart-type 𝜎:

  1. calculer 𝐸(𝑋);
  2. calculer 𝐸𝑋;
  3. calculer Var(𝑋)=𝐸𝑋(𝐸(𝑋));
  4. calculer 𝜎=(𝑋)Var.

On rappelle que l’espérance de la variable aléatoire discrète 𝑋 prenant les valeurs {𝑥,𝑥,,𝑥} est donnée par 𝐸(𝑋)=𝑥𝑃(𝑋=𝑥)+𝑥𝑃(𝑋=𝑥)++𝑥𝑃(𝑋=𝑥).

On sait que la variable aléatoire 𝑋 prend les valeurs {5;4;3;1}. On peut ensuite calculer 𝐸(𝑋)=(5)13+(4)18+(3)14+(1)724=7724.

On rappelle aussi que si la variable aléatoire discrète 𝑋 prend les valeurs {𝑥,𝑥,,𝑥}, alors 𝐸𝑋 est donnée par 𝐸𝑋=𝑥𝑃(𝑋=𝑥)+𝑥𝑃(𝑋=𝑥)++𝑥𝑃(𝑋=𝑥).

Donc, 𝐸𝑋=2513+1618+914+1724=30924=1038.

On calcule ensuite la variance:Var(𝑋)=𝐸𝑋(𝐸(𝑋))=10387724=1487576.

En prenant la racine carrée, 𝜎=1487576=1,61.aucentièmeprès

Par conséquent, l’écart-type est égal à 1,61 arrondi au centième près.

Exemple 2: Déterminer l’écart-type d’une variable aléatoire discrète à partir d’un énoncé

Soit 𝑋 la variable aléatoire discrète qui peut prendre les valeurs 0, 2, 4 et 6. Sachant que 𝑃(𝑋=0)=17, 𝑃(𝑋=2)=27 et 𝑃(𝑋=4)=27, déterminez l’écart-type de 𝑋 en donnant votre réponse au centième près.

Réponse

On remarque que bien qu’il y ait quatre valeurs possibles pour 𝑋, on connaît les probabilités de seulement trois issues. En particulier, on ne connaît pas la probabilité d’obtenir l’issue 6. En utilisant le fait que la somme des probabilités de toutes les issues doit être égale à 1, on sait que 𝑃(𝑋=0)+𝑃(𝑋=2)+𝑃(𝑋=4)+𝑃(𝑋=6)=1.

Cela signifie 17+27+27+𝑃(𝑋=6)=1, ce qui conduit à 𝑃(𝑋=6)=27.

On rappelle les étapes pour calculer l’écart-type:

  1. calculer 𝐸(𝑋);
  2. calculer 𝐸𝑋;
  3. calculer Var(𝑋)=𝐸𝑋(𝐸(𝑋));
  4. calculer 𝜎=(𝑋)Var.

Donc, on commence par calculer 𝐸(𝑋)=017+227+427+627=247.

On calcule également 𝐸𝑋=017+227+427+627=1127=16.

Puis Var(𝑋)=𝐸𝑋(𝐸(𝑋))=16247=20849.

Enfin, en prenant la racine carrée, 𝜎=(𝑋)=20849=2,06.Varaucentièmeprès

Par conséquent, l’écart-type arrondi au centième près est 2,06.

Dans les deux questions suivantes, nous allons étudier des exemples impliquant des paramètres inconnus dans la distribution de probabilité.

Exemple 3: Déterminer l’écart-type d’une variable aléatoire discrète

Soit 𝑋 une variable aléatoire discrète qui peut prendre les valeurs 0, 2 et 5. Sachant que 𝑋 a une distribution de probabilité définie par la fonction 𝑓(𝑥)=𝑎6𝑥+6, déterminez l’écart-type de 𝑋. Donnez votre réponse au centième près.

Réponse

Dans ce problème, le paramètre inconnu peut être trouvé en utilisant le fait que la somme des probabilités de toutes les issues doit être égale à 1. Sachant que 0, 2 et 5 sont les seules issues possibles, on sait que 𝑓(0)+𝑓(2)+𝑓(5)=1.

Tout d’abord, on trouve la valeur de 𝑓(0), 𝑓(2) et 𝑓(5):𝑓(0)=𝑎6×0+6=𝑎6,𝑓(2)=𝑎6×2+6=𝑎18,𝑓(5)=𝑎6×5+6=𝑎36.

Cela conduit à 𝑎6+𝑎18+𝑎36=1.

En multipliant les deux membres de l’équation par 36, on obtient 6𝑎+2𝑎+𝑎=36.

Cela conduit à 9𝑎=36, donc 𝑎=4. La distribution de probabilité est ensuite donnée par 𝑓(0)=46×0+6=23,𝑓(2)=46×2+6=29,𝑓(5)=46×5+6=19.

On suit les étapes suivantes pour obtenir l’écart-type:

  1. calculer 𝐸(𝑋);
  2. calculer 𝐸𝑋;
  3. calculer Var(𝑋)=𝐸𝑋(𝐸(𝑋));
  4. calculer 𝜎=(𝑋)Var.

On a d’abord 𝐸(𝑋)=0𝑓(0)+2𝑓(2)+5𝑓(5)=229+519=1.

Ensuite, on calcule 𝐸𝑋=0𝑓(0)+2𝑓(2)+5𝑓(5)=429+2519=113.

Puis Var(𝑋)=𝐸𝑋(𝐸(𝑋))=1131=83.

Enfin, en prenant la racine carrée et en arrondissant au centième près, 𝜎=83=1,63.aucentièmeprès

Par conséquent, l’écart-type arrondi au centième près est 1,63.

Exemple 4: Déterminer l’écart-type d’une variable aléatoire discrète

La fonction dans le tableau ci-dessous correspond à la distribution de probabilité d’une variable aléatoire discrète 𝑋. Sachant que l’espérance de 𝑋 est 6,5, déterminez l’écart-type de 𝑋. Donnez votre réponse au centième près.

𝑥3𝐴68
𝑓(𝑥)0,20,10,10,6

Réponse

Dans ce problème, on connaît l’espérance 𝐸(𝑋)=6,5. On peut écrire la formule de l’espérance pour identifier le paramètre inconnu 𝐴:𝐸(𝑋)=30,2+𝐴0,1+60,1+80,6.

En définissant le membre droit égal à 6,5, on obtient 6+0,1𝐴=6,5, ce qui conduit à 𝐴=5.

Pour calculer l’écart-type, on rappelle les étapes à suivre:

  1. calculer 𝐸(𝑋);
  2. calculer 𝐸𝑋;
  3. calculer Var(𝑋)=𝐸𝑋(𝐸(𝑋));
  4. calculer 𝜎=(𝑋)Var.

L’espérance 𝐸(𝑋) est déjà connue, il n’est donc pas nécessaire de répéter cette étape. On a 𝐸𝑋=30,2+50,1+60,1+80,6=46,3.

Puis Var(𝑋)=46,36,5=4,05, ce qui amène à 𝜎=4,05=2,01 au centième près.

Par conséquent, l’écart-type arrondi au centième près est 2,01.

Le coefficient de variation 𝑐 donne l’écart-type comme un pourcentage de l’espérance.

Définition : Coefficient de variation

Soit 𝑋 une variable aléatoire discrète d’espérance 𝐸(𝑋) et d’écart-type 𝜎. On suppose de plus que 𝜇0. Alors, le coefficient de variation 𝑐 est donné par 𝑐=𝑐(𝑋)=𝜎𝐸(𝑋)×100(%).

Évidemment, 𝑐 n’est pas défini lorsque l’espérance est égale à zéro. En outre, le coefficient de variation est négatif lorsque l’espérance est négative, car l’écart-type est toujours positif.

Alors que l’écart-type 𝜎 est une mesure absolue de la dispersion, le coefficient de variation 𝑐 est une mesure relative de celle-ci. Comme les variables avec des espérances plus élevées sont plus susceptibles d’être plus dispersées, il est logique d’utiliser une mesure relative lors de la comparaison des dispersions. Le coefficient de variation représente la distance, en moyenne, entre les points de données et l’espérance, relative à la valeur de l’espérance.

Par exemple, soient 𝑋 et 𝑌 représentant respectivement le nombre d’éléphants et le nombre de cerfs dans une réserve africaine. Si on suppose que 𝑋 et 𝑌 ont les espérances 𝐸(𝑋)=30 et 𝐸(𝑌)=5000 et les écarts-types 𝜎=3 et 𝜎=250. Alors, le coefficient de variation du nombre d’éléphants est 𝑐(𝑋)=𝜎𝐸(𝑋)×100=330×100=10%.

En revanche, le coefficient de variation du nombre de cerfs est 𝑐(𝑌)=𝜎𝐸(𝑌)×100=2505000×100=5%.

Bien que 𝑌 a une plus grande mesure absolue de la dispersion 𝜎 que 𝑋 (250 contre 3), sa mesure relative de la dispersion est plus petite 𝑐 (5%contre 10%). En d’autres termes, bien que le nombre de cerfs soit plus élevé que le nombre d’éléphants en nombres purs, la variabilité du nombre de cerfs est un plus petit pourcentage de leur nombre moyen par rapport au nombre d’éléphants.

Familiarisons-nous avec le coefficient de variation en utilisant les exemples suivants.

Exemple 5: Calculer le coefficient de variation d’une variable aléatoire discrète à partir d’un graphique

Déterminez le coefficient de variation de la variable aléatoire 𝑋 dont la distribution de probabilité est illustrée ci-dessous. Donnez votre réponse au pourcentage près.

Réponse

On connaît la distribution de probabilité sous forme graphique. On rappelle que le coefficient de variation est donné par 𝜎𝐸(𝑋)×100%, 𝜎 est l’écart-type.

On commence par calculer l’espérance:𝐸(𝑋)=1110+3210+5310+7410=5.

Ensuite, on calcule l’écart-type. Comme on a déjà calculé 𝐸(𝑋), on effectue le calcul de 𝐸𝑋 par 10,1+30,2+50,3+70,4=29.

Puis Var(𝑋)=𝐸𝑋(𝐸(𝑋))=295=4, ce qui amène à l’écart-type 𝜎=4=2. En prenant le rapport avec l’espérance, 𝑐=𝜎𝐸(𝑋)×100%=25×100%=40%.

Par conséquent, le coefficient de variation est de 40%.

Exemple 6: Calculer le coefficient de variation d’une variable aléatoire discrète à partir d’un énoncé

Soit 𝑋 une variable aléatoire discrète qui peut prendre les valeurs 2, 3, 5 et 7. Sachant que 𝑃(𝑋=2)=112, 𝑃(𝑋=3)=14, 𝑃(𝑋=5)=13 et 𝑃(𝑋=7)=13, déterminez le coefficient de variation au pourcentage près.

Réponse

On rappelle que le coefficient de variation est donné par 𝜎𝐸(𝑋)×100%, 𝜎 est l’écart-type.

On commence par calculer l’espérance:𝐸(𝑋)=2112+314+513+713=5912.

Ensuite, on calcule l’écart-type. Comme on a déjà calculé 𝐸(𝑋), on effectue le calcul de 𝐸𝑋 par 2112+314+513+713=1094.

Puis Var(𝑋)=109459123,0764, et l’écart-type 𝜎=3,0764=1,75. Enfin, en prenant le rapport avec la moyenne, 𝑐=𝜎𝐸(𝑋)×100=1,75÷5912×10035,67(%).

Arrondi au pourcentage près, le coefficient de variation est de 36%.

Résumons quelques concepts importants de cette fiche explicative.

Points clés

  • Étant donnée la distribution de probabilité d’une variable aléatoire 𝑋, on peut calculer l’écart-type 𝜎 en suivant ces étapes:
    • calculer 𝐸(𝑋);
    • calculer 𝐸𝑋;
    • calculer Var(𝑋)=𝐸𝑋(𝐸(𝑋));
    • calculer 𝜎=(𝑋)Var.
  • La distribution de probabilité de 𝑋 est héritée de celle de 𝑋.
  • Le coefficient de variation 𝑐 représente l’écart-type 𝜎 comme un pourcentage de 𝐸(𝑋):𝑐=𝜎𝐸(𝑋)×100(%).
  • L’écart-type est une mesure absolue de la dispersion, et le coefficient de variation est une mesure relative (en pourcentage) de la dispersion.

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