Transcription de la vidéo
Dans cette vidéo, on va apprendre à calculer l’écart-type d’une variable aléatoire discrète.
L’écart-type d’une variable aléatoire est une mesure de dispersion de la distribution de probabilité. Étant donné une variable aléatoire 𝑋, l’écart-type est noté 𝜎 ou 𝜎 𝑋. Son carré, appelé la variance de X, ou var de 𝑋, est défini comme suit: 𝜎 au carré, ou la variance de 𝑋, est égale à 𝐸 de 𝑋 moins 𝐸 de 𝑋 le tout au carré, où 𝐸 de 𝑋 désigne la valeur moyenne de la variable aléatoire 𝑋. L’écart-type 𝜎 est donc obtenu en prenant la racine carrée positive de la variance.
Si on examine cette formule d’un peu plus près, on constate que la variance de 𝑋 est la valeur moyenne de la distance au carré des points de données par rapport à la valeur moyenne. En bref, l’écart-type représente la distance moyenne entre les résultats de la variable aléatoire et la valeur moyenne. On peut démontrer cela graphiquement. Sur cette image, la distribution de probabilité de la variable aléatoire 𝑋 est donnée, où 𝐸 de 𝑋 désigne l’espérance de X ou la moyenne et 𝜎 désigne l’écart-type. Cette formule est compliquée à utiliser en pratique, alors on introduit une variante de celle-ci, que nous allons voir plus tard. Comme cette formule alternative est plus simple à utiliser, c’est elle que nous allons utiliser comme définition.
Étant donné une variable aléatoire 𝑋, la variance de 𝑋 est définie par var de 𝑋 est égale à 𝐸 de 𝑋 au carré moins 𝐸 de 𝑋 le tout au carré où 𝐸 de 𝑋 est l’espérance de X ou la moyenne. On peut donc calculer l’écart-type 𝜎 ou 𝜎 𝑋 en prenant la racine carrée de cette variance de 𝑋. On peut donc résumer le processus de calcul de l’écart-type d’une variable aléatoire discrète en quatre étapes.
La première étape consiste à calculer 𝐸 de 𝑋. Pour toute variable aléatoire discrète 𝑋, avec les valeurs 𝑥 un, 𝑥 deux, et ainsi de suite jusqu’à 𝑥 𝑛, l’espérance de X ou la valeur moyenne de X est égale à 𝑥 un multiplié par la probabilité que 𝑋 soit égal à 𝑥 un plus 𝑥 deux multiplié par la probabilité que 𝑋 soit égal à 𝑥 deux et ainsi de suite jusqu’à 𝑥 𝑛 multiplié par la probabilité que 𝑋 soit égal à 𝑥 𝑛. La deuxième étape consiste à calculer 𝐸 de 𝑋 au carré. On peut calculer cela de la même manière que 𝐸 de 𝑋, mais en utilisant 𝑥 un au carré, 𝑥 deux au carré, et ainsi de suite. On met chaque valeur de 𝑥 au carré avant de les multiplier par les probabilités correspondantes.
La troisième étape consiste à calculer la variance de 𝑋. On le fait avec la formule ci-dessus. La variance de 𝑋 est égale à 𝐸 de 𝑋 au carré moins 𝐸 de 𝑋 le tout au carré. Enfin, on peut calculer l’écart-type 𝜎 en calculant la racine carrée de la variance de 𝑋. On va maintenant voir quelques exemples dans lesquels on suit ces quatre étapes dans différents contextes.
La fonction dans le tableau est une fonction de probabilité d’une variable aléatoire discrète 𝑋. Calculez l’écart-type de 𝑋. Donnez votre réponse au centième près.
Pour répondre à cette question, rappelons le processus à quatre étapes qu’on utilise pour calculer l’écart-type 𝜎. Premièrement, on calcule la moyenne ou l’espérance 𝐸 de 𝑋. Deuxièmement, on calcule 𝐸 de 𝑋 au carré. Troisièmement, on calcule la variance ou var de 𝑋. Ceci est égal à 𝐸 de 𝑋 au carré moins 𝐸 de 𝑋 le tout au carré. Notre quatrième et dernière étape consiste à calculer l’écart-type 𝜎, qui est égal à la racine carrée de var de 𝑋.
On commence par rappeler comment calculer 𝐸 de 𝑋. On multiplie chaque valeur de 𝑋 par la probabilité correspondante, puis on trouve la somme de ces valeurs. On multiplie moins cinq par un tiers. On additionne ensuite le produit de moins quatre et un huitième, moins trois et un quart, et enfin moins un et sept sur vingt-quatre. Bien qu’on puisse calculer chacun des quatre produits individuellement, si on effectue le tout avec une calculatrice on obtiendra moins 77 sur 24.
Notre deuxième étape consiste à calculer 𝐸 de 𝑋 au carré. Pour ce faire, il convient d’ajouter une ligne supplémentaire à notre tableau pour calculer les valeurs 𝑋 au carré. Moins cinq au carré est 25, car la multiplication d’un nombre négatif par un nombre négatif donne un résultat positif. De même, les carrés de moins quatre, moins trois et moins un sont 16, neuf et un. On peut maintenant répéter le processus que nous avons utilisé pour calculer 𝐸 de 𝑋. Cette fois, on multiplie les valeurs de 𝑋 au carré par leurs probabilités correspondantes. Cela nous donne 25 fois un tiers plus 16 fois un huitième plus neuf fois un quart plus un fois sept sur vingt-quatre. Encore une fois, on peut calculer cela directement avec une calculatrice, ce qui nous donne 103 sur huit.
La troisième étape de notre processus consiste à calculer la variance ou var de 𝑋. Cela est égal à 𝐸 de 𝑋 au carré moins 𝐸 de 𝑋 le tout au carré. Lorsqu’on substitue les valeurs que nous avons calculées, on a 103 sur huit moins moins 77 sur 24 au carré. Si on utilise une calculatrice, on obtient 1487 sur 576. Puisque l’écart-type est la racine carrée de la variance, on peut le calculer en prenant la racine carrée de 1487 sur 576. Sachant qu’on doit donner notre réponse au centième près, cela est approximativement égal à 1,61. L’écart-type de notre fonction au centième près est de 1,61.
Dans la prochaine question, l’une des valeurs de 𝑋 dans le tableau sera inconnue.
La fonction dans le tableau donné est une fonction de probabilité d’une variable aléatoire discrète 𝑋. Étant donné que l’espérance de 𝑋 est 6,5, calculez l’écart-type de 𝑋. Donnez votre réponse au centième près.
Dans cette question, on a l’espérance 𝐸 de 𝑋, qui est égale à 6,5. On peut utiliser cela pour identifier facilement le paramètre inconnu 𝐴. Rappelons qu’on peut calculer l’espérance en multipliant chacune de nos valeurs 𝑋 par les probabilités correspondantes. On calcule ensuite la somme de toutes ces valeurs. Cela signifie que 𝐸 de 𝑋 est égal à trois multiplié par 0,2 plus 𝐴 multiplié par 0,1 plus six multiplié par 0,1 plus huit multiplié par 0,6. Lorsqu’on simplifie le côté droit, on a 0,6 plus 0,1𝐴 plus 0,6 plus 4,8. Et nous savons que cela est égal à 6,5. Lorsqu’on soustrait 0,6, 0,6 et 4,8 des deux côtés de notre équation, on obtient 0,5 est égal à 0,1𝐴. On peut alors diviser les deux côtés de cette équation par 0,1 ce qui donne 𝐴 est égal à cinq. La valeur manquante de notre tableau est cinq, de sorte que la probabilité que 𝑋 soit égal à cinq est de 0,1.
Ensuite, on rappelle que pour calculer l’écart-type, on doit suivre quatre étapes. Tout d’abord, on calcule 𝐸 de 𝑋. Deuxièmement, on calcule 𝐸 de 𝑋 au carré. Notre troisième étape consiste à calculer la variance ou var de 𝑋 qui est égale à 𝐸 de 𝑋 au carré moins 𝐸 de 𝑋 le tout au carré. Enfin, on peut calculer l’écart-type 𝜎 en appliquant la racine carrée de la variance de 𝑋.
En créant un peu d’espace, on sait déjà que l’espérance ou la valeur moyenne 𝐸 de 𝑋 est égale à 6,5. On calcule 𝐸 de 𝑋 au carré de la même manière que 𝐸 de 𝑋. Cela est égal à trois au carré multiplié par 0,2 plus cinq au carré multiplié par 0,1 plus six au carré multiplié par 0,1 plus huit au carré multiplié par 0,6. Lorsqu’on calcule cela avec une calculatrice on obtient 46,3. On a maintenant les valeurs de 𝐸 de 𝑋 et 𝐸 de 𝑋 au carré. Var de 𝑋 est égal à 𝐸 de 𝑋 au carré moins 𝐸 de 𝑋 le tout au carré. Donc, dans ce cas, on a 46,3 moins 6,5 au carré. Cela est égal à 4,05. Enfin, on peut calculer l’écart-type en appliquant la racine carrée de cette variance. Au centième près, cela est égal à 2,01. L’écart-type de la fonction dans le tableau donné au centième près est de 2,01.
Avant de voir un dernier exemple, nous allons considérer le coefficient de variation. Le coefficient de variation, écrit 𝐶 𝑉, donne l’écart-type en pourcentage de la valeur moyenne. Si 𝑋 est une variable aléatoire discrète avec la moyenne 𝐸 de 𝑋 et l’écart-type 𝜎 𝑋, si 𝜇 est non-nul, alors le coefficient de variation 𝐶 𝑉 est 𝐶 𝑉 de 𝑋 est égal à 𝜎 𝑋 divisé par 𝐸 de 𝑋 multiplié par 100. On suppose que 𝜇 est non-nul car 𝐶 𝑉 est indéfini lorsque la moyenne est égale à zéro. Étant donné que l’écart-type est toujours positif, le coefficient de variation sera négatif lorsque 𝐸 de 𝑋 est négatif et positif lorsque 𝐸 de 𝑋 est positif.
Il est important de noter que si l’écart-type est une mesure absolue de la dispersion, le coefficient de variation est une mesure relative de la dispersion. Cela est utile car lorsqu’on traite des variables avec des valeurs moyennes plus grandes, elles sont plus susceptibles d’être plus dispersées. Il est donc logique d’utiliser une mesure relative pour comparer les dispersions. Le coefficient de variation est également utile pour comparer des ensembles de données avec des moyennes et des écarts-types différents. Le coefficient de variation représente donc la distance moyenne entre les points de données et la moyenne par rapport à la taille de la moyenne. On va maintenant voir un exemple dans lequel on doit calculer ce coefficient de variation.
Calculez le coefficient de variation de la variable aléatoire 𝑋 dont la distribution de probabilité est indiquée. Donnez votre réponse au pourcentage près.
On sait que notre figure est un graphique de distribution de probabilité. Et on rappelle que le coefficient de variation, écrit 𝐶 𝑉, est égal à l’écart-type 𝜎 divisé par l’espérance ou la moyenne 𝐸 de 𝑋 multiplié par 100 pour cent. Ce coefficient de variation représente la distance moyenne entre les points de données et la moyenne par rapport à la taille de la moyenne. On va commencer par calculer la valeur moyenne ou l’espérance 𝐸 de 𝑋. On le fait en multipliant chacune des valeurs de 𝑋 par la valeur ou la probabilité correspondante de 𝑓 de 𝑥. On calcule alors la somme de tous ces produits.
À partir du graphique, on commence par multiplier un par un dixième. Ensuite, on multiplie trois par deux dixièmes. On doit également multiplier cinq par trois dixièmes et sept par quatre dixièmes. Lorsqu’on calcule chacun de ces produits on a 0,1, 0,6, 1,5 et 2,8. 𝐸 de 𝑋 est donc égal à cinq. Puisqu’on doit également calculer l’écart-type, la prochaine étape consiste à calculer 𝐸 de 𝑋 au carré. Cela est égal à un carré multiplié par un dixième plus trois au carré multiplié par deux dixièmes plus cinq au carré multiplié par trois dixièmes plus sept au carré multiplié par quatre dixièmes. Cela est égal à 0,1 plus 1,8 plus 7,5 plus 19,6. 𝐸 de 𝑋 au carré est donc égal à 29.
Ensuite, on rappelle que la variance ou var de 𝑋 est égal à 𝐸 de 𝑋 au carré moins 𝐸 de 𝑋 le tout au carré. Dans cette question, on a 29 moins cinq au carré. Cela est égal à quatre. En créant un peu d’espace, on obtient les trois valeurs suivantes. On sait que l’écart-type 𝜎 est égal à la racine carrée positive de la variance de 𝑋. Cela signifie que dans cette question, l’écart-type est la racine carrée positive de quatre, ce qui est égal à deux. Nous pouvons maintenant substituer nos valeurs dans la formule du coefficient de variation. On doit multiplier deux cinquièmes ou 0,4 par 100. Cela est égal à 40 pour cent. Le coefficient de variation de la variable aléatoire 𝑋 représentée sur le graphique est de 40 pour cent.
On va maintenant terminer cette vidéo en résumant les points clés. Étant donné la distribution de probabilité d’une variable aléatoire 𝑋, on peut calculer l’écart-type 𝜎 en utilisant les étapes suivantes. (i) Calculer la moyenne ou l’espérance 𝐸 de 𝑋, (ii) calculer 𝐸 de 𝑋 au carré, (iii) calculer la variance, var, de 𝑋, qui est égal à 𝐸 de 𝑋 au carré moins 𝐸 de 𝑋 le tout au carré, et (iv) calculer 𝜎 l’écart-type en calculant la racine carrée positive de var de 𝑋.
On a également vu que le coefficient de variation, 𝐶 𝑉, représente l’écart-type 𝜎 en pourcentage de 𝐸 de 𝑋, la moyenne, telle que 𝐶 𝑉 est égal à 𝜎 divisé par 𝐸 de 𝑋 multiplié par 100 pour cent. On note que l’écart-type est une mesure absolue de la dispersion, et le coefficient de variation est une mesure relative de la dispersion.
