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Calculez la somme des six premiers termes de la série géométrique définie par un demi plus un quart plus un huitième plus un seizième et ainsi de suite.
La première chose à faire dans ce type de questions est de penser en effet à ce qu’est une série géométrique? Bien, une série géométrique est en fait une série ayant une raison entre les termes successifs. Cela signifie donc que si je divise un terme par le terme précédent, cela nous donnera la même valeur à chaque fois.
Très bien, nous savons maintenant ce qu’est une suite géométrique. Cependant, comment calculer la somme des six premiers termes ? Bien, pour calculer la somme de plusieurs termes, nous avons en fait une formule. La formule énonce que la somme du nombre de termes - donc 𝑆 𝑛 - est égale à 𝑎, multiplié par un moins 𝑟 à la puissance 𝑛 divisée par un moins 𝑟. Ici, 𝑎 correspond au premier terme et 𝑟 correspond à la raison.
D’accord, nous avons donc cette formule. Utilisons-la pour trouver la somme de nos six premiers termes de la série géométrique. Bien, la première chose que nous devons faire est de savoir ce que sont 𝑎 et 𝑟. 𝑎 va être égal à un demi puisqu’il s’agit de notre premier terme. Nous avons donc 𝑎. Maintenant, que représente 𝑟 ? Bien, comme nous l’avons dit, 𝑟 va être notre raison. Ainsi, pour trouver notre raison, nous devons prendre un terme puis le diviser par le terme précédent. Cela nous donnera notre raison.
Ainsi, je vais prendre nos deuxième et premier termes. Nous allons donc dire que 𝑟 est égal à un quart qui est notre deuxième terme divisé par notre premier terme qui est un demi. Puis, nous pouvons dire que cela équivaut à un quart multiplié par deux sur un, car rappelez-vous que si nous divisons par une fraction, nous multiplions en fait par son inverse. Ainsi, nous pouvons dire que 𝑟 va être égal à deux sur quatre, ce qui est égal à un demi.
Très bien, nous avons maintenant trouvé notre raison. D’accord, maintenant, nous avons trouvé nos 𝑟 et 𝑎. Il y a une autre variable que nous devons connaître avant de substituer dans notre formule. Il s’agit de 𝑛. Bien, nous avons dit que 𝑛 est en fait le nombre de termes. Si nous revenons à la question, nous pouvons voir que le nombre de termes va être six puisque nous voulons trouver la somme des six premiers termes.
Alors maintenant, nous avons toutes les variables que nous devons remplacer dans la formule. Faisons donc cela et trouvons la somme de nos six premiers termes. Nous allons donc obtenir la somme des six premiers termes égale à un demi multiplié par un moins un demi à la puissance six divisé par un moins un demi qui va être égal à un demi multiplié par un moins un sur 64 puis divisé par un demi. Par conséquent, nous pouvons diviser le haut et le bas - donc le numérateur et le dénominateur - par un demi.
Nous pouvons donc dire que la somme des six premiers termes sera égale à 63 sur 64. Nous avons obtenu ceci parce que si vous avez un moins un sur 64, ce sera comme 64 sur 64 moins un sur 64, ce qui nous donne 63 sur 64.
