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Vidéo de la leçon : Somme d’une suite géométrique finie Mathématiques

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à calculer la somme des termes d’une suite géométrique ayant un nombre fini de termes.

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Transcription de vidéo

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à calculer la somme des termes d’une suite géométrique ayant un nombre fini de termes. Commençons par rappeler la définition d’une suite géométrique finie. Dans une suite géométrique, chaque terme est obtenu en multipliant le terme précédent par une constante, par exemple, la suite deux, six, 18, 54, et ainsi de suite. Pour passer du premier au deuxième terme, du deuxième au troisième terme et du troisième au quatrième terme, on doit multiplier par trois, car deux fois trois égale six, six fois trois égale 18 et 18 fois trois égale 54.

Cette constante ici égale à trois est appelée la raison et est désignée par la lettre q. On désigne le premier terme de toute suite géométrique par la lettre 𝑎 ou 𝑎 un. Quand on le multiplie par la constante q, on obtient le terme suivant, le deuxième terme 𝑎 deux, qui est égal à 𝑎q. Le troisième terme est ensuite égal à 𝑎 fois q au carré. Et ce schéma continue jusqu’au terme de rang 𝑛, qui est égal à 𝑎 fois q puissance 𝑛 moins un. Cela nous donne la formule générale du terme de rang n, ou terme général, d’une suite géométrique. Nous allons maintenant voir comment calculer la somme des termes d’une suite géométrique finie.

La somme des 𝑛 premiers termes d’une suite géométrique peut être écrite comme suit. 𝑆 n égale 𝑎 plus 𝑎q plus 𝑎q au carré, et ainsi de suite, jusqu’aux deux derniers termes, 𝑎 fois q puissance 𝑛 moins deux plus 𝑎 fois q puissance 𝑛 moins un. Appelons cette équation un. Si on multiplie chacun des termes de cette équation par q, on obtient q fois 𝑆 n égale 𝑎q plus 𝑎q au carré plus 𝑎q au cube, et ainsi de suite jusqu’aux deux derniers termes, 𝑎 fois q puissance 𝑛 moins un plus 𝑎 fois q puissance 𝑛. On appelle cette équation deux, puis on soustrait cette équation à l’équation un.

Sur le membre gauche, on a 𝑆 𝑛 moins q fois 𝑆 𝑛. Que l’on peut factoriser par 𝑆 𝑛 et on obtient S 𝑛 fois un moins q. Lors de la soustraction à droite, les termes 𝑎 fois q s’annulent, ainsi que les 𝑎 fois q au carré. En fait, tous les termes s’annulent sauf 𝑎 dans l’équation un et 𝑎 fois q puissance 𝑛 dans l’équation deux. Cela signifie que le membre droit devient 𝑎 moins 𝑎 fois q puissance 𝑛. Et on peut le factoriser par 𝑎.

On divise ensuite les deux membres de l’équation par un moins q. Et on obtient 𝑆 𝑛 égale 𝑎 fois un moins q puissance 𝑛 le tout divisé par un moins q. Cette formule nous permet de calculer la somme des 𝑛 premiers termes d’une suite géométrique finie. Nous allons maintenant étudier quelques exemples où nous devons appliquer cette formule.

Le premier terme d’une suite géométrique est trois et sa raison est cinq. Calculez la somme de ses six premiers termes.

On sait que la somme des 𝑛 premiers termes d’une suite géométrique, 𝑆 𝑛, est égale à 𝑎 fois un moins q puissance 𝑛 sur un moins q. La question nous indique que le premier terme 𝑎 est égal à trois. Que la raison q est égale à cinq. Et nous nous intéressons à la somme des six premiers termes. Donc, 𝑛 est égal à six. En substituant ces valeurs, on obtient 𝑆 six égale trois fois un moins cinq puissance six sur un moins cinq. Cinq puissance six égale 15 625 et un moins cinq égale moins quatre. En entrant cette formule dans une calculatrice, on obtient 11 718. La somme des six premiers termes de la suite géométrique de premier terme trois et de raison cinq est donc 11 718.

Dans le prochain exemple, nous devons calculer la raison et le nombre de termes avant de calculer la somme des termes de la suite.

Calculez la somme des termes de la suite géométrique 16, moins 32, 64, et ainsi de suite jusqu’à 256.

On sait que la somme des termes de toute suite géométrique, 𝑆 𝑛, est égale à 𝑎 fois un moins q puissance 𝑛 sur un moins q. On voit immédiatement dans les valeurs de la suite que le premier terme 𝑎 est égal à 16. Le deuxième terme est égal à 𝑎 fois q et sa valeur est de moins 32. En appelant ces équations un et deux, on peut calculer la valeur de q en divisant l’équation deux par l’équation un. À gauche, on a 𝑎q sur 𝑎, et à droite moins 32 sur 16. Comme 𝑎 est différent de zéro, on peut l’annuler au membre gauche. Et moins 32 sur 16 égale moins deux.

Cette valeur de q est logique car on multiplie le premier terme 16 par moins deux pour obtenir le deuxième terme, moins 32. Cela fonctionne également pour passer du deuxième au troisième terme. Moins 32 fois moins deux égale 64. On sait alors que le terme de rang 𝑛 de toute suite géométrique 𝑎 𝑛 est égal à 𝑎 fois q puissance 𝑛 moins un. Pour calculer la valeur de 𝑛, on peut substituer les valeurs de 𝑎, de q et du terme de rang 𝑛, 256. On obtient l’équation 256 égale 16 fois moins deux puissance 𝑛 moins un. On peut diviser les deux membres par 16 et on obtient 16 égale moins deux puissance 𝑛 moins un.

Or on sait que moins deux puissance quatre est égal à 16. Cela signifie que 𝑛 moins un doit être égal à quatre. En ajoutant un aux deux membres de cette équation, on obtient 𝑛 égale cinq. Nous connaissons donc maintenant les valeurs de 𝑎, q et 𝑛. La somme des cinq premiers termes est alors égale à 16 fois un moins moins deux puissance cinq, le tout divisé par un moins moins deux. Cela se simplifie par 16 fois un plus 32 sur trois. En introduisant ceci dans une calculatrice, on obtient une valeur de 176. La somme des termes de la suite géométrique 16, moins 32, 64, etc., jusqu’à 256 est par conséquent égale à 176.

Dans le prochain exemple, nous devons calculer le nombre de termes d’une suite géométrique.

Le nombre de termes de la suite géométrique dont le premier terme est 729, le dernier terme est un et la somme de tous les termes est égale à 1 093 est … ?

On nous dit que le premier terme de la suite, 𝑎 un ou 𝑎, est 729. Le dernier terme 𝑎 𝑛 est égal à un. Et on sait que 𝑎 𝑛 est égal à 𝑎 fois q puissance 𝑛 moins un. Nous savons de plus que la somme de tous les termes 𝑆 𝑛 est égale à 1 093, où 𝑆 𝑛 égale 𝑎 fois un moins q puissance 𝑛 sur un moins q. Notre objectif est alors de calculer le nombre de termes 𝑛.

En substituant par la valeur de 𝑎, on a 729 fois q puissance 𝑛 moins un égale un. En divisant les deux membres de cette équation par 729, on obtient q puissance 𝑛 moins un égale un sur 729. En utilisant les propriétés des exposants, on peut réécrire le membre gauche par q puissance 𝑛 sur q puissance un, car 𝑥 puissance b moins c égale 𝑥 puissance b sur 𝑥 puissance c. On peut alors multiplier les deux membres de cette équation par q, ce qui nous donne q puissance 𝑛 égale un sur 729 fois q.

Faisons maintenant un peu de place et penchons-nous sur la deuxième formule. On obtient 729 fois un moins un sur 729 fois q divisé par un moins q égale 1 093. On peut distribuer les parenthèses du numérateur sur le membre gauche et obtenir 729 moins q. Multiplier par un moins q nous donne alors 729 moins q égale 1 093 fois un moins q. On peut à nouveau distribuer, ou développer, les parenthèses, ce qui donne 1 093 moins 1 093q. En soustrayant 729 et en ajoutant 1 093 q aux deux membres, on obtient 1092 q égale 364. On peut alors diviser les deux membres par 1 092 et on obtient q égale un sur trois. Nous pouvons maintenant substituer cette valeur pour calculer la valeur de 𝑛.

Un sur trois puissance 𝑛 égale un sur 729 fois un sur trois. Or trois puissance six égale 729. Cela signifie que un sur trois puissance six est égal à un sur 729. On peut donc réécrire le membre droit de l’équation par un sur trois puissance six fois un sur trois. En utilisant à nouveau les propriétés des exposants, on peut additionner les puissances. Six plus un égale sept. Comme un sur trois puissance 𝑛 est égal à un sur trois puissance sept, 𝑛 doit être égal à sept. Par conséquent, la suite géométrique dont le premier terme est 729, le dernier terme est un et la somme de tous les termes est 1 093 a sept termes.

Dans le dernier exemple, nous allons une nouvelle fois calculer la somme des 𝑛 premiers termes d’une suite géométrique.

Calculez la somme des sept premiers termes de la suite géométrique sachant que 𝑎 cinq est égal à moins huit fois 𝑎 deux et que 𝑎 quatre plus 𝑎 six est égal à moins 64.

On sait que le terme de rang 𝑛 de toute suite géométrique, notée 𝑎 𝑛, est égal à 𝑎 fois q puissance 𝑛 moins un. Le cinquième terme de la suite est donc égal à 𝑎 fois q puissance quatre et le deuxième terme, 𝑎 deux, à 𝑎q. De même, le quatrième terme est égal à 𝑎 fois q au cube et le sixième terme 𝑎 six à 𝑎 fois q puissance cinq. On peut donc reformuler les deux équations.

On a d’abord 𝑎 fois q puissance quatre égale moins huit 𝑎q. Comme 𝑎 et q doivent être différents de zéro, on peut diviser par 𝑎 et q. Ce qui nous laisse q au cube égale moins huit. On prend ensuite la racine cubique des deux membres de cette équation et on obtient q égale moins deux. On peut alors substituer cette valeur de q dans la deuxième équation. 𝑎q au cube plus 𝑎q puissance 5 égale moins 64. Moins deux au cube égale moins huit. Donc le premier terme devient moins huit 𝑎. Et moins deux puissance cinq égale moins 32. L’équation est donc moins huit 𝑎 plus moins 32𝑎 égale moins 64.

Le membre gauche se simplifie par moins 40𝑎. On divise ensuite par moins 40 et on obtient 𝑎 égale huit sur cinq. Dont la valeur décimale est 1,6. Nous connaissons donc maintenant la valeur de q, la valeur de 𝑎 et la valeur de 𝑛 qui est sept car nous devons calculer la somme des sept premiers termes. On utilise pour cela la formule 𝑆 𝑛 égale 𝑎 fois un moins q puissance 𝑛 sur un moins q. 𝑆 sept est donc égal à 1,6 ou huit sur cinq fois un moins moins deux puissance sept sur un moins moins deux. En entrant cette formule dans une calculatrice, on obtient une réponse de 344 sur cinq. Dont la valeur décimale est 68,8. La somme des sept premiers termes de la suite géométrique sachant que 𝑎 cinq égale moins huit 𝑎 deux et que 𝑎 quatre plus 𝑎 six égale moins 64 est donc égale à 344 sur cinq ou 68,8.

Nous allons maintenant résumer les points clés de cette vidéo. Une suite géométrique a pour premier terme 𝑎 et pour raison q. Chaque terme est égal au produit résultant de la multiplication du terme précédent par la raison. Le terme de rang 𝑛 de toute suite géométrique 𝑎 𝑛 est égal à 𝑎 fois q puissance 𝑛 moins un. Et la somme des 𝑛 premiers termes d’une suite géométrique 𝑆 𝑛 est égale à 𝑎 fois un moins q puissance n sur un moins q. Nous avons vu dans cette vidéo que nous pouvons utiliser ces formules pour calculer la somme des termes d’une suite géométrique finie.

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