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Fiche explicative de la leçon : Somme d’une suite géométrique finie Mathématiques

Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre à calculer la somme des termes d’une suite géométrique ayant un nombre fini de termes.

Imaginons une suite telle que chacun de ses termes se calcule en multipliant le terme précédent par une constante, comme par exemple la suite, 2;6;18;54;162;486;.

On appelle ce facteur constant la raison de la suite. On pourrait aussi décrire une telle suite en disant que chaque terme de la suite est égal au terme précédent multiplié par la raison.

Ce type de suite est appelé une suite géométrique, ici de premier terme égal à 2 et de raison 3. Si notre suite se composait uniquement des six termes écrits ci-dessus (ou de n’importe quel autre nombre fini de termes), alors nous dirions qu’il s’agit d’une suite géométrique finie, car elle possèderait un nombre fini de termes. Si au contraire notre suite se poursuivait à l’infini selon le modèle ci-dessus, comme semblent le suggérer les points de suspension, alors nous dirions qu’il s’agit d’une suite géométrique infinie.

Définition : Suite géométrique

Une suite géométrique est une suite dont le rapport des termes consécutifs, donné par la raison, 𝑅, est constant. Le premier terme de la suite est noté 𝑇 ou 𝑇, le deuxième terme est noté 𝑇, le troisième terme 𝑇 et ainsi de suite. Le Nième terme est noté 𝑇.

Chaque terme est égal au terme précédent multiplié par la raison:𝑇=𝑇,𝑇=𝑇×𝑅,𝑇=𝑇×𝑅,,𝑇=𝑇×𝑅.

On peut aussi exprimer chacun des termes de la suite comme étant le premier terme multiplié par une puissance de la raison:𝑇=𝑇,𝑇=𝑇𝑅,𝑇=𝑇𝑅,,𝑇=𝑇𝑅.

Pour revenir à notre suite géométrique initiale ci-dessus, si nous connaissons les nombres dans la suite, nous pouvons calculer la raison en divisant la valeur d’un terme par la valeur du terme précédent. Puisque le rapport entre deux termes consécutifs est constant, peu importe la paire que nous choisissons pour notre calcul.

En effet, le rapport entre le deuxième et le premier terme vaut 6÷2=3, le rapport entre le troisième et le deuxième terme vaut 18÷6=3 et ainsi de suite.

Définition : La raison d’une suite géométrique

On peut exprimer le fait de multiplier un terme par la raison pour obtenir le terme suivant en écrivant 𝑇=𝑇×𝑅, et l’on peut diviser les deux membres de l’équation par 𝑇 pour obtenir 𝑅=𝑇𝑇.

Par ailleurs, en utilisant le fait que par définition, un terme est le résultat de la multiplication du terme précédent par la raison, on trouve que 𝑅=𝑇𝑇.

La somme des termes d'une suite s’appelle une série. La série géométrique correspondant à la suite géométrique 2;6;18;54;162;486;1458;4374;13122;39366 pourrait être représentée ainsi:2+6+18+54+162+486+1458+4374+13122+39366.

Ici, si l’on calcule la somme des 10 premiers termes de la série, on trouve 59‎ ‎048.

Nous allons maintenant tenter d’établir une formule pour calculer la somme des 𝑁 premiers termes d’une suite géométrique.

On considère une suite géométrique de premier terme 𝑇 et de raison 𝑅. On peut noter ses 𝑁 premiers termes 𝑇;𝑇𝑅;𝑇𝑅;;𝑇𝑅 et par conséquent exprimer la somme des 𝑁 premiers termes d’une suite géométrique en écrivant:

𝑆=𝑇+𝑇𝑅+𝑇𝑅++𝑇𝑟+𝑇𝑟.(1)

Si l’on multiplie les deux membres de notre équation par 𝑅, on a

𝑅𝑆=𝑇𝑅+𝑇𝑅+𝑇𝑅++𝑇𝑟+𝑇𝑅.(2)

En soustrayant l’équation (2) à l’équation (1), tous les termes des deux membres de droite s’annulent, à l’exception de 𝑇 et 𝑇𝑅. 𝑆=𝑇+𝑇𝑅+𝑇𝑅++𝑇𝑟+𝑇𝑟.𝑅𝑆=𝑇𝑅+𝑇𝑅+𝑇𝑅++𝑇𝑟+𝑇𝑅.

Donc, 𝑆𝑅𝑆=𝑇𝑇𝑅.

En factorisant par 𝑆 le membre de droite et par 𝑇 le membre de gauche, on obtient une formule pour calculer 𝑆:𝑆(1𝑅)=𝑇1𝑅𝑆=𝑇1𝑅1𝑅.

On aurait aussi pu soustraire l’équation (1) à l’équation (2) pour trouver la formule 𝑆=𝑇𝑅1𝑅1.

Définition : La somme d’une suite géométrique finie

La somme des 𝑁 premiers termes d’une suite géométrique de premier terme 𝑇 et de raison 𝑅, est notée 𝑆 et est donnée par les formules:𝑆=𝑇1𝑅1𝑅𝑆=𝑇𝑅1𝑅1.ou

En règle générale, on utilise la première version si 𝑅<1 et la seconde si 𝑅>1.

Si 𝑅=1, tous les termes de la suite géométrique sont identiques, donc il suffit de multiplier le premier terme par le nombre de termes pour trouver la somme:𝑆=𝑇×𝑁.

Dans le premier exemple, nous calculerons la somme des six premiers termes d’une suite géométrique étant donné sa raison et son premier terme.

Exemple 1: Calcul de la somme de certains termes dans une série géométrique finie

Une série géométrique a un premier terme de 3 et un rapport commun de 5. Calculez la somme des 6 premiers termes.

Réponse

Pour répondre à cette question, nous utilisons la formule du calcul de la somme des 𝑁 premiers termes d’une suite géométrique de premier terme 𝑇 et de raison 𝑅:𝑆=𝑇𝑅1𝑅1.

Il est dit dans l’énoncé que le premier terme est 3, que la raison est 5 et que l’on doit calculer la somme des 6 premiers termes. Ainsi, on pose 𝑇=3, 𝑅=5, et 𝑁=6 et on remplace dans la formule:𝑆=35151𝑆=3(15624)4𝑆=11718.

La somme des 6 premiers termes de la suite géométrique est égale à 11‎ ‎718.

Dans le deuxième exemple, nous utiliserons la formule permettant de trouver le Nième terme d’une suite géométrique finie, ce qui nous permettra de calculer le nombre de termes de la suite en question pour enfin trouver la somme de la série.

Exemple 2: Calculer la somme d’une suite géométrique finie

Calculez la somme de la suite géométrique. (16;32;64;;256).

Réponse

On désigne le premier terme d’une suite géométrique par 𝑇. On a donc ici 𝑇=16.

On peut calculer la valeur de la raison, 𝑅, en divisant un terme par le terme qui le précède:𝑅=3216=2𝑅=6432=2.ou

La raison de la suite est égale à 2. On a donc 𝑅=2.

On sait que le dernier terme de la suite est 256. Si l’on note 𝑁, le nombre de termes de la séquence, on peut alors écrire que 𝑇=256. La valeur du Nième terme d’une suite géométrique de premier terme 𝑇 et de raison 𝑅 est donnée par la formule 𝑇=𝑇𝑅256=16(2)16=(2).

On sait que (2)=16.

Donc, (2)=(2).

Par conséquent, 𝑁1=4𝑁=5.

On peut maintenant utiliser la formule 𝑆=𝑇1𝑅1𝑅 pour calculer la somme de la suite, avec 𝑇=16, 𝑅=2, et 𝑁=5:𝑆=161(2)1(2)𝑆=16(33)3𝑆=176.

La somme de la suite géométrique 16;32;64;;256 est égale à 176.

Dans le prochain exemple, nous devrons d’abord réarranger nos formules avant de pouvoir calculer le nombre de termes de la suite géométrique.

Exemple 3: Déterminer le nombre de termes d’une suite géométrique finie connaissant sa somme

Une suite géométrique, de premier terme 729, de dernier terme 1 et dont la somme des termes est 1‎ ‎093, comporte termes au total.

Réponse

On désigne le premier terme d’une suite géométrique par 𝑇. On a donc ici 𝑇=729.

Étant donné que le dernier terme est 𝑇=1 et que 𝑇=𝑇𝑅 , où 𝑅 est la raison, alors:1=729𝑅1729=𝑅.

En utilisant la règle du quotient de deux puissances d’un même nombre, 𝑋=𝑋𝑋, on peut réécrire le membre de droite de l’équation 1729=𝑅𝑅

1729𝑅=𝑅.(3)

On peut maintenant utiliser la formule permettant de calculer la somme des 𝑁 premiers termes d’une série géométrique, à savoir 𝑆=𝑇1𝑅1𝑅. On sait que 𝑆=1093, donc on peut écrire 1093=7291𝑅1𝑅1093(1𝑅)=7291𝑅.

D’après l’équation (3), on peut écrire 1729𝑅 à la place de 𝑅 dans notre équation:1093(1𝑅)=72911729𝑅10931093𝑅=729𝑅364=1092𝑅𝑅=13.

Ainsi, la raison de la suite est 13 . On peut substituer cette valeur dans l’équation (3) afin de trouver 𝑁:172913=131313=13.

En utilisant la règle du produit de deux puissances d’un même nombre, 𝑋=𝑋×𝑋, on peut réécrire le membre de gauche de l’équation 13=13.

Par conséquent, 𝑁=7.

Ainsi, une suite géométrique de premier terme 729, de dernier terme 1 et dont la somme des termes est 1‎ ‎093 comporte 7 termes au total.

Dans le quatrième exemple, nous trouverons une suite géométrique à partir d’informations sur certaines de ses propriétés.

Exemple 4: Déterminer une suite géométrique connaissant son dernier terme, sa raison et la somme de ses termes

Déterminez la suite géométrique dont la somme des termes est 3‎ ‎339, le dernier terme est 1‎ ‎696 et la raison est 2.

Réponse

On désigne la raison d’une suite géométrique par 𝑅. On a donc ici 𝑅=2.

On sait que le dernier terme est 𝑇=1696 et que 𝑇=𝑇𝑅, 𝑇 est le premier terme de la suite, donc on peut écrire que 1696=𝑇(2).

En utilisant la règle pour le quotient de deux puissances d’un même nombre, 𝑋=𝑋𝑋, on peut réécrire le membre de droite de l’équation 1696=𝑇(2)(2)

3392=𝑇(2).(4)

On sait que la somme des termes de la série est 𝑆=3339 et que 𝑆=𝑇𝑅1𝑅1, donc on a 3339=𝑇(2)121

3339=𝑇(2)𝑇.(5)

On sait d’après l’équation (4) que 𝑇(2)=3392 >, substituons le alors dans l’équation (5) pour écrire une équation d’inconnue 𝑇 que nous pouvons résoudre:3339=3392𝑇𝑇=53.

Par conséquent, le premier terme de la suite est 53 et sa raison est 2.

Il en découle que le deuxième terme de la suite est 53×2=106. De la même manière, le troisième terme est 106×2=212. On trouve chacun des termes suivants en multipliant par 2 le terme qui le précède.

Ainsi, la suite géométrique est 53;106;212;;1696.

Dans le dernier exemple, on nous donne une relation de multiplication entre deux termes non consécutifs d’une suite géométrique, ainsi que la somme de deux de ses termes, également non consécutifs. Nous utiliserons nos connaissances sur les suites géométriques pour commencer par déterminer le premier terme et la raison de la suite, puis trouver la somme d’un nombre fini de termes.

Exemple 5: Trouver la somme des N premiers termes d’une suite géométrique étant donné certaines informations

Trouvez la somme des 7 premiers termes d’une suite géométrique sachant que 𝑇=8𝑇 et 𝑇+𝑇=64.

Réponse

Le Nième terme d’une suite géométrique de premier terme 𝑇 et de raison est 𝑅 est noté 𝑇 et est donné par 𝑇=𝑇𝑅.

Par conséquent 𝑇=𝑇𝑅 et 𝑇=𝑇𝑅.

En substituant ces expressions dans la première équation, 𝑇=8𝑇, on trouve que 𝑇𝑅=8𝑇𝑅.

On sait que la somme de deux des termes de la suite géométrique est non nulle. Il en découle que son premier terme est non nul. Puisque 𝑇 et 𝑅 sont non nuls, on peut diviser chaque membre de l’équation par 𝑇𝑅:𝑅=8𝑅=2.

Maintenant que l’on connait la valeur de la raison, nous pouvons utiliser la seconde équation, 𝑇+𝑇=64, 𝑇=𝑇𝑅 et 𝑇=𝑇𝑅.

Donc, 𝑇𝑅+𝑇𝑅=64.

En substituant 𝑅=2, on a 𝑇(2)+𝑇(2)=648𝑇+(32𝑇)=6440𝑇=64𝑇=85.

Par conséquent, le premier terme de la suite est 85 et sa raison est 2.

On peut maintenant calculer la somme des sept premiers termes de la suite géométrique en utilisant la formule 𝑆=𝑇1𝑅1𝑅.

On remplace par 𝑇=85 et 𝑅=2:𝑆=1(2)1(2)𝑆=(129)3𝑆=3445.

La somme des 7 premiers termes de la suite géométrique est égale à 3445.

Récapitulons les notions essentielles de cette fiche explicative.

Points clés

  • Une suite géométrique finie est de la forme 𝑇;𝑇𝑅;𝑇𝑅;;𝑇𝑅, 𝑇 est le premier terme, 𝑅 est la raison, et 𝑁 est le nombre de termes de la suite.
  • Le Nième terme d’une suite géométrique est donné par 𝑇=𝑇𝑅.
  • La raison, 𝑅, d’une suite géométrique dont le Nième terme est 𝑇 est donnée par 𝑅=𝑇𝑇 ou 𝑅=𝑇𝑇.
  • La somme des termes d’une suite s’appelle « une série ».
  • La somme des 𝑁 premiers termes d’une suite géométrique de premier terme 𝑇 et de raison 𝑅1, est notée 𝑆 et est donnée par 𝑆=𝑇1𝑅1𝑅𝑆=𝑇𝑅1𝑅1.ou

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