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Déterminez d𝑦 sur d𝑥 sachant que 𝑦 est égal à neuf 𝑥 divisé par le logarithme népérien de neuf 𝑥.
Dans cette question, on nous demande de déterminer d𝑦 sur d𝑥. C’est la dérivée première de 𝑦 par rapport à 𝑥. Et on peut voir que 𝑦 est le quotient de deux fonctions. C’est le quotient de neuf 𝑥 et du logarithme népérien de neuf 𝑥. Donc on va déterminer cette dérivée en utilisant la règle du quotient. D’après la règle du quotient, si 𝑦 est le quotient de deux fonctions, 𝑢 sur 𝑣 , alors d𝑦 sur d𝑥 est égal à 𝑣 fois d𝑢 sur d𝑥 moins 𝑢 fois d𝑣 sur d𝑥, le tout divisé par 𝑣 au carré.
Donc, pour utiliser la règle du quotient, on va commencer par poser que 𝑢 de 𝑥 est égal à la fonction de notre numérateur, neuf 𝑥, et que 𝑣 de 𝑥 est égal à la fonction de notre dénominateur, le logarithme népérien de neuf 𝑥. Puis on va devoir déterminer des expressions de d𝑢 sur d𝑥 et d𝑣 sur d𝑥. Commençons par d𝑢 sur d𝑥. Il s’agit de la dérivée de neuf 𝑥 par rapport à 𝑥. Neuf 𝑥 est une simple fonction affine. Donc sa dérivée est égale à son coefficient de 𝑥, neuf.
Déterminons à présent une expression de d𝑣 sur d𝑥. Il s’agit de la dérivée par rapport à 𝑥 du logarithme népérien de neuf 𝑥. Et il s’avère que c’est une dérivée usuelle. Ainsi, on sait que pour toute constante positive 𝑎, la dérivée par rapport à 𝑥 du logarithme népérien de 𝑎𝑥 est égale à un divisé par 𝑥. Donc dans notre cas, la dérivée par rapport à 𝑥 du logarithme népérien de neuf 𝑥 est égale à un divisé par 𝑥. Nous sommes maintenant prêts à déterminer d𝑦 sur d𝑥 en utilisant la règle du quotient.
D’après la règle du quotient, d𝑦 sur d𝑥 est égal à 𝑣 fois d𝑢 sur d𝑥 moins 𝑢 fois d𝑣 sur d𝑥 divisé par 𝑣 au carré. En remplaçant 𝑢, 𝑣, d𝑢 sur d𝑥 et d𝑣 sur d𝑥 par nos expressions, on obtient que d𝑦 sur d𝑥 est égal au logarithme népérien de neuf 𝑥 multiplié par neuf, moins neuf 𝑥 fois un sur 𝑥, le tout divisé par le logarithme népérien au carré de neuf 𝑥. Et on peut simplifier cette expression. Tout d’abord, on peut éliminer le 𝑥 multiplié par un sur 𝑥.
Ensuite, on peut factoriser le numérateur par neuf. Cela nous donne neuf multiplié par le logarithme népérien de neuf 𝑥, moins un, le tout divisé par le logarithme népérien au carré de neuf 𝑥. Et c’est notre réponse finale. Par conséquent, on a montré que si 𝑦 est égal à neuf 𝑥 divisé par le logarithme népérien de neuf 𝑥, alors d𝑦 sur d𝑥 est égal à neuf multiplié par le logarithme népérien de neuf 𝑥, moins un, le tout divisé par le logarithme népérien au carré de neuf 𝑥.
