Vidéo : Dérivation des fonctions logarithmiques

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à déterminer les dérivées des fonctions logarithmiques.

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Transcription de vidéo

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à déterminer la dérivée de la fonction logarithme népérien. Nous allons commencer par rappeler les propriétés des logarithmes que nous allons utiliser dans cette vidéo, avant de voir comment ces propriétés peuvent nous aider à trouver la dérivée d’une fonction logarithmique simple. Nous verrons ensuite comment appliquer ces processus aux règles de dérivation pour trouver la dérivée d’une fonction logarithmique plus compliquée. Commençons par rappeler l’une des propriétés clés des logarithmes que nous allons utiliser tout au long de cette vidéo. Celle-ci est log à base 𝑎 de 𝑥 à la puissance 𝑦 est identique à 𝑦 fois log à base 𝑎 de 𝑥.

Puisque le logarithme népérien est juste log à base 𝑒, on peut dire que le logarithme népérien de 𝑥 à la puissance 𝑦 est le même que 𝑦 fois le logarithme népérien de 𝑥. Nous nous appuierons également sur l’utilisation de la règle de la dérivation en chaîne, de la formule de dérivation d’un produit et de la formule de dérivation d’un quotient. La règle de de la dérivation en chaîne dit que si 𝑦 est une fonction dans 𝑢 et que 𝑢 est elle-même une fonction dans 𝑥, alors d𝑦 sur d𝑥 égale d𝑦 sur d𝑢 fois d𝑢 sur d𝑥. La formule de dérivation d’un produit dit que, pour deux fonctions dérivables 𝑢 et 𝑣, la dérivée de leur produit 𝑢𝑣 est égale à 𝑢 fois d𝑣 sur d𝑥 plus 𝑣 fois d𝑢 sur d𝑥. Et enfin, nous rappelons la formule de dérivation d’un quotient. Celle-ci dit que la dérivée du quotient de deux fonctions dérivables 𝑢 et 𝑣 est 𝑣 fois d𝑢 sur d𝑥 moins 𝑢 fois d𝑣 sur d𝑥 le tout sur 𝑣 au carré.

On sait que 𝑦 égale log népérien de 𝑥. Que vaut d𝑦 sur d𝑥 ?

Il existe deux méthodes pour déterminer la dérivée du log népérien de 𝑥. La première consiste à utiliser la dérivation à partir des premiers principes. Alternativement, nous pouvons rappeler les faits suivants sur les fonctions inverses les unes des autres. Si 𝑓 de 𝑥 et 𝑔 de 𝑥 sont des inverses l’une de l’autre, alors nous pouvons dire que 𝑔 prime de 𝑥, la dérivée de notre fonction 𝑔, est égale à un sur 𝑓 prime de 𝑔 de 𝑥. Ceci est vraiment utile car nous savons que la fonction exponentielle 𝑒 à la puissance 𝑥 et la fonction logarithme népérien sont inverses l’une de l’autre. Nous pouvons également citer le résultat général selon lequel la dérivée de 𝑒 à la puissance 𝑥 est simplement 𝑒 à la puissance 𝑥. Soit donc 𝑓 de 𝑥 égale 𝑒 à la puissance 𝑥 et 𝑔 de 𝑥 égale log népérien de 𝑥, alors 𝑔 prime de 𝑥 égale un sur 𝑓 prime de 𝑔 de 𝑥.

Nous avons vu que 𝑓 prime de 𝑥 est égale à 𝑒 à la puissance 𝑥. Cela signifie donc que 𝑓 prime de 𝑔 de 𝑥 est égale à 𝑒 à la puissance 𝑔 de 𝑥, qui est égale à 𝑒 à la puissance log népérien de 𝑥. Eh bien, 𝑒 à la puissance log népérien de 𝑥 est simplement 𝑥. On obtient donc 𝑔 prime de 𝑥 égale un sur 𝑥. Cela signifie que la dérivée du logarithme népérien de 𝑥 est un sur 𝑥, où 𝑥 est strictement supérieur à zéro. Or, cette exigence sur 𝑥 est nécessaire pour deux raisons. Tout d’abord, 𝑥 doit être strictement supérieure à zéro pour le logarithme népérien de 𝑥. Donc, la même chose doit l’être aussi pour sa dérivée. Mais nous savons aussi que si 𝑥 égale zéro, notre dérivée est un sur zéro, ce qui est indéfini. Nous pourrions en fait redéfinir ceci et dire que la dérivée des logarithmes népériens de la valeur absolue de 𝑥 est un sur 𝑥 lorsque 𝑥 n’égale pas zéro. Nous citerons ce résultat général tout au long de la vidéo.

Déterminez d𝑦 sur d𝑥, sachant que 𝑦 égale log népérien de deux 𝑥 plus sept au cube.

Dans cette question, nous avons la fonction d’une fonction, autrement dit une fonction composée. Nous pouvons utiliser la règle de dérivation en chaîne pour déterminer la dérivée d’une fonction composée, mais comme nous travaillons avec le logarithme népérien, il est judicieux de commencer par déterminer si nous pouvons faire quelque chose pour manipuler notre expression avant de dériver. Nous rappelons le résultat général pour le logarithme népérien d’une puissance. Le logarithme népérien de 𝑥 à la puissance 𝑦 est 𝑦 fois le logarithme népérien de 𝑥. Et nous voyons que nous pouvons maintenant réécrire notre équation lorsque 𝑦 égale trois fois le logarithme népérien de deux 𝑥 plus sept. C’est parfait car nous savons que la dérivée d’un multiple constant d’une expression dans 𝑥 est égale au multiple de la dérivée de cette expression. En d’autres termes, la dérivée de trois fois le logarithme népérien de deux 𝑥 plus sept équivaut à trois fois la dérivée du logarithme népérien de deux 𝑥 plus sept.

Mais comment dériver log népérien de deux 𝑥 plus sept ? Nous allons citer le résultat général pour la dérivée du logarithme népérien et nous allons utiliser la règle de dérivation en chaîne. La règle de dérivation en chaîne dit que si 𝑦 est une fonction dans 𝑢 et que 𝑢 est elle-même une fonction dans 𝑥, alors la dérivée de 𝑦 par rapport à 𝑥 est égale à d𝑦 sur d𝑢 fois d𝑢 sur d𝑥. Et nous savons aussi que la dérivée du logarithme népérien de 𝑥 est simplement un sur 𝑥. Donc, on définit 𝑢 égale deux 𝑥 plus sept tel que 𝑦 égale log népérien de 𝑢. Nous savons que d𝑢 sur d𝑥 vaut deux, et d𝑦 sur d𝑢 vaut un sur 𝑢. La dérivée alors du logarithme népérien de deux 𝑥 plus sept est le produit de ces valeurs-ci. C’est deux fois un sur 𝑢. Mais nous remplaçons 𝑢 par deux 𝑥 plus sept.

Et nous voyons que la dérivée du logarithme népérien de deux 𝑥 plus sept est deux sur deux 𝑥 plus sept. Nous rappelons que nous avons dit que la dérivée de trois fois le logarithme népérien de deux 𝑥 plus sept est trois fois la dérivée du logarithme népérien de deux 𝑥 plus sept. Donc, la dérivée est trois fois deux sur deux 𝑥 plus sept, ce qui représente simplement six sur deux 𝑥 plus sept.

À présent, il existe un autre résultat standard que nous pouvons extraire de cet exemple. C’est que si 𝑦 égale log népérien d’une certaine fonction dans 𝑥, alors d𝑦 sur d𝑥 égale 𝑓 prime de 𝑥, la dérivée de cette fonction, sur la fonction elle-même, 𝑓 de 𝑥. Si nous revenons à notre exemple, nous essayions de trouver la dérivée du log népérien de deux 𝑥 plus sept. Nous avons déterminé cela comme étant deux sur deux 𝑥 plus sept. C’est la dérivée de deux 𝑥 plus sept sur deux 𝑥 plus sept. Allons voir un autre exemple.

Si 𝑓 de 𝑥 égale trois fois le logarithme népérien de deux 𝑥 plus quatre fois le logarithme népérien de 𝑥, alors déterminez 𝑓 prime de un.

Ici, nous avons une fonction composée. Et cela signifie que nous pouvons utiliser la règle de dérivation en chaîne pour déterminer 𝑓 prime de 𝑥, la dérivée de la fonction. Alternativement, il existe un résultat général que nous pouvons citer. C’est que si 𝑓 de 𝑥 est le logarithme népérien d’une autre fonction 𝑔 de 𝑥, alors la dérivée 𝑓 prime de 𝑥 égale 𝑔 prime de 𝑥 sur 𝑔 de 𝑥. Maintenant, nous pouvons oublier le trois pour un moment. Nous savons que la dérivée de trois fois le logarithme népérien de deux 𝑥 plus quatre fois le logarithme népérien de 𝑥 sera égale à trois fois la dérivée de cette fonction de logarithme népérien. Définissons donc 𝑔 de 𝑥 égale deux 𝑥 plus quatre fois le logarithme népérien de 𝑥. Nous savons alors que la dérivée 𝑔 prime de 𝑥 est égale à deux plus quatre fois un sur 𝑥. Et c’est parce que la dérivée du logarithme népérien de 𝑥 est simplement un sur 𝑥.

On peut simplifier cela et on voit que 𝑔 prime de 𝑥, la dérivée de deux 𝑥 plus quatre fois le logarithme népérien de 𝑥 est deux plus quatre sur 𝑥. 𝑓 prime de 𝑥, la dérivée de notre fonction, est donc trois fois 𝑔 prime de 𝑥 sur 𝑔 de 𝑥. C’est trois fois deux plus quatre sur 𝑥 sur deux 𝑥 plus quatre fois le logarithme népérien de 𝑥. Nous cherchons généralement à simplifier quelque peu cette expression. Mais ici on nous demande de déterminer la valeur de 𝑓 prime de un. Nous substituons donc 𝑥 égale un dans notre expression pour la dérivée. Et nous obtenons trois fois deux plus quatre sur un sur deux fois un plus quatre fois le logarithme népérien de un. Eh bien, nous savons que log népérien de un est zéro. Donc, quatre fois le logarithme népérien de un égale aussi zéro. Et nous voyons que 𝑓 prime de un devient trois fois six sur deux, ce qui vaut neuf. 𝑓 prime de un est neuf.

Dans nos exemples suivants, nous allons voir comment utiliser d’autres opérations de dérivation pour évaluer la dérivée d’une fonction logarithme népérien.

Déterminez d𝑦 par d𝑥, sachant que 𝑦 égale quatre fois log népérien de 𝑥 plus trois sur quatre fois le log népérien de 𝑥 moins sept.

Dans cette question, nous avons une fraction ou un quotient. Cela nous indique que nous pouvons utiliser la formule de dérivation d’un quotient pour déterminer la dérivée d𝑦 par d𝑥. D’après cette règle, la dérivée du quotient de deux fonctions dérivables 𝑢 et 𝑣 est 𝑣 fois d𝑢 par d𝑥 moins 𝑢 fois d𝑣 par d𝑥 le tout sur 𝑣 au carré. Soit 𝑢 égale quatre fois log népérien de 𝑥 plus trois. Et 𝑣 égale le dénominateur de notre fraction. C’est quatre fois le log népérien de 𝑥 moins sept. Nous citons ensuite le résultat général pour la dérivée du log népérien de 𝑥 ; c’est un sur 𝑥. Et puisque la dérivée d’une constante est zéro, on voit donc que d𝑢 sur d𝑥 égale quatre lots de un sur 𝑥, ce qui correspond simplement à quatre sur 𝑥. De même, d𝑣 par d𝑥 vaut également quatre sur 𝑥. d𝑦 par d𝑥 égale 𝑣 fois d𝑢 par d𝑥 moins 𝑢 fois d𝑣 par d𝑥 le tout sur 𝑣 au carré.

Multiplions le numérateur et le dénominateur de cette fraction par 𝑥 pour simplifier. Ce faisant, nous voyons que d𝑦 sur d𝑥 égale quatre fois quatre fois log népérien de 𝑥 moins sept moins quatre fois quatre fois le logarithme népérien de 𝑥 plus trois le tout sur 𝑥 fois quatre fois le logarithme népérien de 𝑥 moins sept au carré. Nous distribuons les parenthèses sur notre numérateur. Et nous voyons que nous avons 16 fois log népérien de 𝑥 moins 16 fois log népérien de 𝑥, ce qui nous donne zéro. Et nous avons trouvé la dérivée de notre quotient. C’est moins 40 sur 𝑥 fois quatre fois le log népérien de 𝑥 moins sept au carré.

Déterminez la dérivée première de la fonction définie par 𝑦 égale moins sept 𝑥 à la puissance quatre fois log six 𝑥 à la puissance quatre.

Nous avons ici le produit de deux fonctions dérivables. La première est moins sept 𝑥 à la puissance quatre, et la deuxième, log népérien six 𝑥 à la puissance quatre. Nous pouvons donc déterminer la dérivée première de notre fonction en utilisant la formule de dérivation d’un produit. D’après cette règle, la dérivée du produit de deux fonctions dérivables, 𝑢 et 𝑣, est 𝑢 fois d𝑣 sur d𝑥 plus 𝑣 fois d𝑢 sur d𝑥. Si on considère 𝑢 égale moins sept 𝑥 à la puissance quatre, alors d𝑢 sur d𝑥 égale quatre fois moins sept 𝑥 au cube. C’est moins 28𝑥 au cube. On considère ensuite 𝑣 égale log népérien six 𝑥 à la puissance quatre.

Alors, comment pouvons-nous obtenir d𝑣 par d𝑥 ? Eh bien, on peut faire l’une de deux choses. On peut voir qu’on a une fonction composée et utiliser la règle de dérivation en chaîne pour déterminer sa dérivée. Alternativement, nous pouvons citer le résultat général pour la dérivée du logarithme d’une certaine fonction 𝑓 de 𝑥. Cela dit que si 𝑦 égale log népérien de cette fonction 𝑓 de 𝑥, alors d𝑦 par d𝑥 égale 𝑓 prime de 𝑥, la dérivée de cette fonction, divisée par la fonction initiale 𝑓 de 𝑥. Dans ce cas, 𝑓 de 𝑥 égale six 𝑥 à la puissance quatre. Donc 𝑓 prime de 𝑥, la dérivée de cette fonction, est quatre fois six 𝑥 au cube, ce qui donne 24𝑥 au cube. d𝑣 sur d𝑥 égale donc 24𝑥 au cube divisé par la fonction initiale, six 𝑥 à la puissance quatre.

Eh bien, cela est simplifié en quatre sur 𝑥. Et nous pouvons maintenant remplacer par tout ce que nous avons dans la formule de dérivation d’un produit. d𝑦 par d𝑥 est 𝑢 fois d𝑣 par d𝑥. C’est moins sept 𝑥 à la puissance quatre fois quatre sur 𝑥 plus 𝑣 fois d𝑢 sur d𝑥. C’est le logarithme népérien de six 𝑥 à la puissance quatre fois moins 28𝑥 au cube. Nous simplifions et ensuite nous factorisons moins 28𝑥 au cube. Et nous obtenons d𝑦 sur d𝑥 égale moins 28𝑥 au cube fois le logarithme népérien six 𝑥 à la puissance quatre plus un.

Dans notre exemple suivant, nous allons voir comment dériver les fonctions qui sont une combinaison de fonctions trigonométriques et logarithmiques.

Dérivez 𝑓 de 𝑥 égale cinq fois sin cinq fois logarithme népérien de 𝑥.

C’est une fonction composée. C’est-à-dire la fonction d’une fonction. Et nous pouvons donc utiliser la règle de la dérivation en chaîne pour déterminer sa dérivée. D’après cette règle, si 𝑦 est une fonction dans 𝑢 et 𝑢 est une fonction dans 𝑥, alors d𝑦 par d𝑥 égale d𝑦 par d𝑢 fois d𝑢 par d𝑥. Nous allons définir 𝑢 égale cinq fois le logarithme népérien de 𝑥. Et la dérivée du logarithme népérien de 𝑥 est un sur 𝑥. Donc d𝑢 par d𝑥 est cinq fois ceci ; c’est cinq fois un sur 𝑥, ce qui est tout simplement cinq sur 𝑥. Au lieu d’utiliser 𝑓 de 𝑥, utilisons 𝑦. Et cela signifie que 𝑦 égale cinq sin 𝑢. Et la dérivée de sin 𝑢 est cos 𝑢. Donc, d𝑦 sur d𝑢 est cinq cos 𝑢. Et selon la règle de la dérivation en chaîne, d𝑦 par d𝑥 est le produit de celles-ci.

Revenant sur la notation d’origine, nous pouvons dire que 𝑓 prime de 𝑥, la dérivée, est cinq sur 𝑥 fois cinq cos 𝑢. Nous allons remplacer 𝑢 par cinq fois le log népérien de 𝑥. Et nous voyons qu’en fonction de 𝑥, 𝑓 prime de 𝑥 est cinq sur 𝑥 fois cinq cos cinq fois le log népérien de 𝑥. Et puis on simplifie et on voit que 𝑓 prime de 𝑥 est 25 sur 𝑥 fois cosinus cinq fois le logarithme népérien de 𝑥.

Dans notre dernier exemple, nous allons voir la dérivée d’ordre supérieur d’une fonction logarithmique.

Sachant que 𝑓 de 𝑥 égale neuf fois le logarithme népérien de 𝑥, trouvez la dérivée quatrième de 𝑓 de 𝑥.

Dans cette question, on nous demande de dériver notre fonction par rapport à 𝑥 quatre fois. Faisons donc cela et voyons si nous pouvons repérer un modèle. Nous allons commencer par déterminer la dérivée première, 𝑓 prime de 𝑥. Nous savons que la dérivée du logarithme népérien de 𝑥 est un sur 𝑥, donc 𝑓 prime de 𝑥 est neuf fois un sur 𝑥, soit simplement neuf sur 𝑥. Nous pouvons écrire cela alternativement comme neuf 𝑥 à la puissance moins un, ce qui va nous permettre de trouver la dérivée suivante. C’est 𝑓 double prime ou 𝑓 prime prime de 𝑥. Et ici nous rappelons la formule de dérivation d’une puissance. Nous multiplions l’expression par la puissance, puis nous soustrayons un de la puissance. Et cela signifie 𝑓 double prime de 𝑥 et la dérivée de neuf 𝑥 à la puissance moins un égale moins un fois neuf 𝑥 à la puissance moins deux. C’est moins neuf 𝑥 à la puissance moins deux.

Nous pouvons continuer pour déterminer la dérivée troisième, parfois écrite 𝑓 prime prime prime ou 𝑓 avec un trois entre parenthèses, comme indiqué. Celle-ci est moins deux fois moins neuf 𝑥 à la puissance moins trois, ce qui donne plus 18𝑥 à la puissance moins trois. Nous répétons ce processus une fois de plus pour trouver la dérivée quatrième. C’est moins trois fois 18𝑥 à la puissance moins quatre. Et la dérivée quatrième de neuf fois le logarithme népérien de 𝑥 est moins 54𝑥 à la puissance moins quatre.

Cet exemple montre un résultat général. C’est la dérivée d’ordre 𝑛 de la fonction logarithme népérien qui peut être exprimée par moins un à la puissance 𝑛 moins un fois factorielle de 𝑛 moins un le tout sur 𝑥 à la puissance 𝑛. C’est une formule intéressante à repérer, mais il est également utile de bien pouvoir appliquer les processus en dérivant la fonction logarithme népérien.

Dans cette vidéo, nous avons appris que la dérivée du logarithme népérien de 𝑥 est égale à un sur 𝑥 lorsque 𝑥 est strictement supérieur à zéro. Nous avons vu que si nous avons le logarithme népérien d’une fonction de 𝑥, nous pouvons utiliser la règle de dérivation en chaîne pour déterminer la dérivée ou, alternativement, nous pouvons citer le résultat où d𝑦 par d𝑥 égale 𝑓 prime de 𝑥 sur 𝑓 de 𝑥. Nous avons également vu que ces règles peuvent être utilisées conjointement avec les opérations générales de dérivation, notamment la formule de dérivation d’un produit, la formule de dérivation d’un quotient et les règles pour la détermination des dérivées d’ordre supérieur.

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