Transcription de la vidéo
Dans cette vidéo, nous allons apprendre à déterminer les dérivées de fonctions du logarithme népérien. Nous allons commencer par rappeler les propriétés des logarithmes que nous allons utiliser dans cette vidéo avant de voir comment ces propriétés peuvent nous aider à déterminer la dérivée des fonctions logarithmiques simples. Nous verrons ensuite comment appliquer ces processus en conjonction avec les règles standard de dérivation pour déterminer la dérivée de fonctions logarithmiques plus compliquées. Commençons par rappeler l’une des propriétés clés des logarithmes que nous allons utiliser tout au long de cette vidéo. Il s’agit de log base 𝑎 de 𝑥 puissance 𝑦 égale 𝑦 fois log base 𝑎 de 𝑥.
Puisque le logarithme népérien est simplement log base 𝑒, alors nous pouvons dire que le logarithme népérien de 𝑥 à la puissance 𝑦 est égal à 𝑦 fois le logarithme népérien de 𝑥. Nous allons également nous appuyer fortement sur la règle de de dérivation des fonctions composées, d’un produit et d’un quotient. La règle de de dérivation des fonctions composées dit que si 𝑦 est une fonction de 𝑢 et que 𝑢 elle-même est une fonction de 𝑥, alors d𝑦 sur d𝑥 est égal à d𝑦 sur d𝑢 fois d𝑢 sur d𝑥. La règle du produit dit que, pour deux fonctions dérivables 𝑢 et 𝑣, la dérivée de leur produit 𝑢𝑣 est égale à 𝑢 fois d𝑣 sur d𝑥 plus 𝑣 fois d𝑢 sur d𝑥. Et enfin, rappelons la règle du quotient. La dérivée du quotient de deux fonctions dérivables 𝑢 et 𝑣 est 𝑣 fois d𝑢 sur d𝑥 moins 𝑢 fois d𝑣 sur d𝑥 le tout sur 𝑣 au carré.
Si 𝑦 est égal au logarithme népérien de 𝑥, que vaut d𝑦 sur d𝑥 ?
Il y a deux façons de déterminer la dérivée du logarithme népérien de 𝑥. La première consiste à utiliser la dérivation à partir des règles de base. Alternativement, nous pouvons rappeler les faits suivants sur les fonctions qui sont réciproques l’une de l’autre. Si 𝑓 de 𝑥 et 𝑔 de 𝑥 sont réciproques, on peut dire que 𝑔 prime de 𝑥, la dérivée de notre fonction 𝑔, est égale à un sur 𝑓 prime de 𝑔 de 𝑥. Cela est vraiment utile car nous savons que la fonction exponentielle 𝑒 à la puissance 𝑥 et la fonction logarithmique népérien sont réciproques l’une de l’autre. On peut également citer le résultat général selon lequel la dérivée de 𝑒 à la puissance 𝑥 est simplement 𝑒 à la puissance 𝑥. Donc posons 𝑓 de 𝑥 égale 𝑒 à la puissance 𝑥 et 𝑔 de 𝑥 égale logarithme népérien de 𝑥, alors 𝑔 prime de 𝑥 égale un sur 𝑓 prime de 𝑔 de 𝑥.
Nous avons vu que 𝑓 prime de 𝑥 était égal à 𝑒 puissance 𝑥. Cela signifie donc que 𝑓 prime de 𝑔 de 𝑥 est égal à 𝑒 à la puissance 𝑔 de 𝑥, qui est égale à 𝑒 à la puissance logarithme népérien de 𝑥. Eh bien, 𝑒 à la puissance logarithme népérien de 𝑥 est simplement 𝑥. On obtient donc 𝑔 prime de 𝑥 égale un sur 𝑥. Cela signifie que la dérivée du logarithme népérien de 𝑥 est un sur 𝑥 pour 𝑥 supérieur à zéro. Cette condition sur 𝑥 est nécessaire pour deux raisons. Premièrement, 𝑥 doit être supérieur à zéro pour le logarithme népérien de 𝑥. Il en va donc de même pour sa dérivée. Mais nous savons aussi que si 𝑥 est égal à zéro, notre dérivée est un sur zéro, ce qui est indéfini. Nous pourrions en fait redéfinir cela et dire que la dérivée du logarithme népérien de la valeur absolue de 𝑥 est un sur 𝑥 lorsque 𝑥 n’est pas égal à zéro. Nous citerons ce résultat général dans le reste de cette vidéo.
Déterminez d𝑦 sur d𝑥, sachant que 𝑦 est égal au logarithme népérien de deux 𝑥 plus sept au cube.
Dans cette question, nous avons une fonction d’une fonction, c’est-à-dire une fonction composée. Nous pouvons pour cela utiliser la règle de dérivation des fonctions composées, mais puisque nous travaillons avec le logarithme népérien, il est utile de commencer par manipuler notre expression avant de dériver. Rappelons le résultat général du logarithme népérien d’une puissance. Le logarithme népérien de 𝑥 à la puissance 𝑦 est 𝑦 fois le logarithme népérien de 𝑥. Et nous voyons que nous pouvons maintenant réécrire notre équation comme 𝑦 égale trois fois le logarithme népérien de deux 𝑥 plus sept. Cela est très bien parce que nous savons que la dérivée d’une constante multipliée par une expression de 𝑥 est égale à la constante multipliée par la dérivée de cette expression. En d’autres termes, la dérivée de trois fois le logarithme népérien de deux 𝑥 plus sept est égale à trois fois la dérivée du logarithme népérien de deux 𝑥 plus sept.
Mais comment dériver le logarithme népérien de deux 𝑥 plus sept ? Nous allons citer le résultat général pour la dérivée du logarithme népérien et nous allons utiliser la règle de dérivation des fonctions composées. La règle de dérivation des fonctions composées dit que si 𝑦 est une fonction de 𝑢 et que 𝑢 est une fonction de 𝑥, alors la dérivée de 𝑦 par rapport à 𝑥 est égale à d𝑦 sur d𝑢 fois d𝑢 sur d𝑥. Et nous savons aussi que la dérivée du logarithme népérien de 𝑥 est simplement un sur 𝑥. On pose donc 𝑢 égale deux 𝑥 plus sept de sorte que 𝑦 égale logarithme népérien de 𝑢. Nous savons que d𝑢 sur d𝑥 égale deux et d𝑦 sur d𝑢 égale un sur 𝑢. Alors la dérivée de logarithme népérien de deux 𝑥 plus sept est le produit de cela. Soit deux fois un sur 𝑢. Et nous remplaçons 𝑢 par deux 𝑥 plus sept.
Et nous voyons que la dérivée du logarithme népérien de deux 𝑥 plus sept est deux sur deux 𝑥 plus sept. Rappelons que nous avons dit que la dérivée de trois fois le logarithme népérien de deux 𝑥 plus sept est trois fois la dérivée du logarithme népérien de deux 𝑥 plus sept. Ainsi, la dérivée est trois fois deux sur deux 𝑥 plus sept, ce qui est simplement six sur deux 𝑥 plus sept.
Maintenant, il y a en fait un autre résultat standard que nous pouvons déduire de cet exemple. Si 𝑦 est égal au logarithme népérien d’une fonction de 𝑥, alors d𝑦 sur d𝑥 est égal à 𝑓 prime de 𝑥, la dérivée de cette fonction, sur la fonction elle-même, 𝑓 de 𝑥. Si nous revenons à notre exemple, nous voulions déterminer la dérivée du logarithme népérien de deux 𝑥 plus sept. Nous avons obtenu deux sur deux 𝑥 plus sept. Cela est en effet la dérivée de deux 𝑥 plus sept sur deux 𝑥 plus sept. Prenons un autre exemple.
Si 𝑓 de 𝑥 est égal à trois fois le logarithme népérien de deux 𝑥 plus quatre fois le logarithme népérien de 𝑥, déterminez 𝑓 prime de un.
Ici, nous avons une fonction composée. Et cela signifie que nous pouvons utiliser la règle de dérivation des fonctions composées pour déterminer 𝑓 prime de 𝑥, la dérivée de la fonction. Alternativement, il y a un résultat général que nous pouvons citer. Si 𝑓 de 𝑥 est le logarithme népérien d’une autre fonction 𝑔 de 𝑥, alors la dérivée 𝑓 prime de 𝑥 est égale à 𝑔 prime de 𝑥 sur 𝑔 de 𝑥. Nous pouvons ignorer un instant le facteur trois. Nous savons que la dérivée de trois fois le logarithme népérien de deux 𝑥 plus quatre fois le logarithme népérien de 𝑥 est égale à trois fois la dérivée de cette fonction logarithme népérien. Donc posons 𝑔 de 𝑥 égale deux 𝑥 plus quatre fois le logarithme népérien de 𝑥. Ensuite, nous savons que la dérivée 𝑔 prime de 𝑥 est égale à deux plus quatre fois un sur 𝑥. Et cela parce que la dérivée du logarithme népérien de 𝑥 est simplement un sur 𝑥.
Nous pouvons simplifier cela et nous voyons que 𝑔 prime de 𝑥, la dérivée de deux 𝑥 plus quatre fois le logarithme népérien de 𝑥 est deux plus quatre sur 𝑥. La dérivée de notre fonction, 𝑓 prime de 𝑥 vaut donc trois fois 𝑔 prime de 𝑥 sur 𝑔 de 𝑥. Soit trois fois deux plus quatre sur 𝑥 sur deux 𝑥 plus quatre fois le logarithme népérien de 𝑥. Alors généralement, nous cherchons à simplifier une telle expression. Mais ici, on nous demande de trouver la valeur de 𝑓 prime de un. Nous substituons donc 𝑥 égale un dans notre expression de dérivée. Et nous obtenons trois fois deux plus quatre sur un sur deux fois un plus quatre fois le logarithme népérien de un. Eh bien, nous savons que le logarithme népérien de un vaut zéro. Donc quatre fois le logarithme népérien de un vaut également zéro. Et nous voyons que 𝑓 prime de un devient trois fois six sur deux, soit neuf. 𝑓 prime de un est égal à neuf.
Dans nos exemples suivants, nous verrons comment utiliser d’autres règles de dérivation pour évaluer la dérivée de fonctions logarithmiques.
Déterminez d𝑦 sur d𝑥, sachant que 𝑦 est égal à quatre fois le logarithme népérien de 𝑥 plus trois sur quatre fois le logarithme népérien de 𝑥 moins sept.
Dans cette question, nous avons une fraction ou un quotient. Cela nous indique que nous pouvons utiliser la règle du quotient pour trouver la dérivée d𝑦 sur d𝑥. Cela signifie que la dérivée du quotient de deux fonctions dérivables 𝑢 et 𝑣 est 𝑣 fois d𝑢 sur d𝑥 moins 𝑢 fois d𝑣 sur d𝑥 le tout sur 𝑣 au carré. On pose 𝑢 égale quatre fois le logarithme népérien de 𝑥 plus trois. Et 𝑣 est égal au dénominateur de notre fraction. Soit quatre fois le logarithme népérien de 𝑥 moins sept. Nous citons ensuite le résultat général pour la dérivée du logarithme népérien de 𝑥, c’est-à-dire un sur 𝑥. Et puisque la dérivée d’une constante est zéro, nous voyons que d𝑢 sur d𝑥 est égal à quatre fois un sur 𝑥, soit simplement quatre sur 𝑥. Et de même d𝑣 sur d𝑥 est également quatre sur 𝑥. d𝑦 sur d𝑥 est égal à 𝑣 fois d𝑢 sur d𝑥 moins 𝑢 fois d𝑣 sur d𝑥 le tout sur 𝑣 au carré.
Multiplions le numérateur et le dénominateur de cette fraction par 𝑥 pour simplifier. En faisant cela, nous voyons que d𝑦 sur d𝑥 est égal à quatre fois quatre fois le logarithme népérien de 𝑥 moins sept moins quatre fois quatre fois le logarithme népérien de 𝑥 plus trois, le tout sur 𝑥 fois quatre fois le logarithme népérien de 𝑥 moins sept au carré. Nous développons les parenthèses au numérateur. Et nous voyons que nous avons 16 fois le logarithme népérien de 𝑥 moins 16 fois le logarithme népérien de 𝑥, ce qui s’annule. Et nous avons déterminé la dérivée de notre quotient. Il s’agit de moins 40 sur 𝑥 fois quatre fois le logarithme népérien de 𝑥 moins sept au carré.
Déterminez la dérivée première de la fonction 𝑦 égale moins sept 𝑥 à la puissance quatre fois le logarithme népérien de six 𝑥 à la puissance quatre.
Ici, nous avons le produit de deux fonctions dérivables. La première est moins sept 𝑥 à la puissance quatre et la seconde est le logarithme népérien de six 𝑥 à la puissance quatre. Nous pouvons donc trouver la dérivée première de notre fonction en utilisant la règle du produit. C’est-à-dire la dérivée du produit de deux fonctions dérivables, 𝑢 et 𝑣, est 𝑢 fois d𝑣 sur d𝑥 plus 𝑣 fois d𝑢 sur d𝑥. Si nous posons 𝑢 égale moins sept 𝑥 à la puissance quatre, alors d𝑢 sur d𝑥 est égal à quatre fois moins sept 𝑥 au cube. Soit moins 28𝑥 au cube. On pose alors 𝑣 égale logarithme népérien de six 𝑥 à la puissance quatre.
Alors, comment pouvons-nous obtenir d𝑣 sur d𝑥 ? Eh bien, nous pouvons faire deux choses. Nous pouvons remarquer que nous avons une fonction composée et utiliser la règle de dérivation des fonctions composées. Alternativement, nous pouvons citer le résultat général pour la dérivée du logarithme d’une fonction 𝑓 de 𝑥. C’est-à-dire si 𝑦 est égal au logarithme népérien de cette fonction 𝑓 de 𝑥, alors d𝑦 sur d𝑥 est égal à 𝑓 prime de 𝑥, la dérivée de cette fonction, divisé par la fonction d’origine 𝑓 de 𝑥. Dans ce cas, 𝑓 de 𝑥 est égal à six 𝑥 à la puissance quatre. Donc 𝑓 prime de 𝑥, la dérivée de cela, est quatre fois six 𝑥 au cube, soit 24𝑥 au cube. Donc d𝑣 sur d𝑥 est égal à 24𝑥 au cube, divisé par la fonction d’origine, six 𝑥 à la puissance quatre.
Eh bien, cela se simplifie très bien en quatre sur 𝑥. Et nous pouvons maintenant remplacer tout ce que nous avons dans la formule de la règle du produit. Nous avons d𝑦 sur d𝑥 égale 𝑢 fois d𝑣 sur d𝑥. Soit moins sept 𝑥 à la puissance quatre fois quatre sur 𝑥 plus 𝑣 fois d𝑢 sur d𝑥. Soit le logarithme népérien de six 𝑥 à la puissance quatre fois moins 28𝑥 au cube. Nous simplifions, puis nous factorisons moins 28𝑥 au cube. Et nous obtenons d𝑦 sur d𝑥 égale moins 28𝑥 au cube fois le logarithme népérien de six 𝑥 à la puissance quatre plus un.
Dans notre prochain exemple, nous verrons comment nous pouvons dériver des fonctions combinant fonctions trigonométriques et logarithmiques.
Dérivez 𝑓 de 𝑥 égale cinq fois sin de cinq fois le logarithme népérien de 𝑥.
Ceci est une fonction composée. C’est-à-dire une fonction d’une fonction. Et nous pouvons donc utiliser la règle de dérivation des fonctions composées. Cela signifie que si 𝑦 est une fonction de 𝑢 et que 𝑢 est une fonction de 𝑥, alors d𝑦 sur d𝑥 est égal à d𝑦 sur d𝑢 fois d𝑢 sur d𝑥. Nous allons poser 𝑢 égale cinq fois le logarithme népérien de 𝑥. Et la dérivée du logarithme népérien de 𝑥 est un sur 𝑥. Donc d𝑢 sur d𝑥 est cinq fois cela ; soit cinq fois un sur 𝑥, soit simplement cinq sur 𝑥. Au lieu d’utiliser 𝑓 de 𝑥, utilisons 𝑦. Et cela signifie que 𝑦 est égal à cinq sin de 𝑢. Et la dérivée de sin de 𝑢 est cos de 𝑢. Donc d𝑦 sur d𝑢 vaut cinq cos 𝑢. Et selon la règle de dérivation des fonctions composées, d𝑦 sur d𝑥 est le produit de ces termes.
En revenant à la notation originale, on peut dire que 𝑓 prime de 𝑥, la dérivée, est cinq sur 𝑥 fois cinq cos de 𝑢. Nous allons remplacer 𝑢 par cinq fois le logarithme népérien de 𝑥. Et nous voyons que, en fonction de 𝑥, 𝑓 prime de 𝑥 égale cinq sur 𝑥 fois cinq cos de cinq fois le logarithme népérien de 𝑥. Et puis nous simplifions et nous voyons que 𝑓 prime de 𝑥 égale 25 sur 𝑥 fois cos de cinq fois le logarithme népérien de 𝑥.
Dans notre dernier exemple, nous considérerons la dérivée d’ordre supérieur d’une fonction logarithmique.
Sachant que 𝑓 de 𝑥 égale neuf fois le logarithme népérien de 𝑥, déterminez la dérivée quatrième de 𝑓 de 𝑥.
Cette question nous demande de dériver notre fonction par rapport à 𝑥 quatre fois. Faisons donc cela et voyons si nous pouvons repérer un motif. Nous allons commencer par déterminer la dérivée première, 𝑓 prime de 𝑥. Nous savons que la dérivée du logarithme népérien de 𝑥 est un sur 𝑥, donc 𝑓 prime de 𝑥 vaut neuf fois un sur 𝑥, soit neuf sur 𝑥. Nous pouvons écrire ceci alternativement comme neuf 𝑥 à la puissance moins un, ce qui va nous permettre de trouver la dérivée suivante. Il s’agit de 𝑓 seconde de 𝑥. Et nous rappelons ici la règle de dérivation des fonctions puissance. Nous multiplions l’expression par la puissance, puis soustrayons un de la puissance. Et cela signifie 𝑓 seconde de 𝑥, la dérivée de neuf 𝑥 à la puissance moins un, est égal à moins un fois neuf 𝑥 à la puissance moins deux. Soit moins neuf 𝑥 puissance moins deux.
Nous pouvons continuer et déterminer la dérivée troisième, parfois notée 𝑓 avec trois signes prime ou 𝑓 avec un trois entre parenthèses comme indiqué ici. Cela vaut moins deux fois moins neuf 𝑥 à la puissance moins trois, soit plus 18𝑥 puissance moins trois. Nous répétons ce processus une fois de plus pour trouver la dérivée quatrième. Cela vaut moins trois fois 18𝑥 à la puissance moins quatre. La dérivée quatrième de neuf fois le logarithme népérien de 𝑥 est donc égale à moins 54𝑥 à la puissance moins quatre.
Et cet exemple illustre un résultat général. La dérivée d’ordre 𝑛 de la fonction logarithme népérien peut être exprimée comme moins un à la puissance 𝑛 moins un fois factorielle 𝑛 moins un sur 𝑥 à la puissance 𝑛. Il s’agit d’une bonne formule à repérer, bien qu’il soit également utile de savoir appliquer les processus de dérivation des fonctions du logarithme népérien.
Dans cette vidéo, nous avons appris que la dérivée du logarithme népérien de 𝑥 est égale à un sur 𝑥 lorsque 𝑥 est supérieur à zéro. Nous avons vu que si nous avons le logarithme népérien d’une fonction de 𝑥, nous pouvons utiliser la règle de dérivation des fonctions composées pour trouver sa dérivée ou, alternativement, nous pouvons citer le résultat que d𝑦 sur d𝑥 est égal à 𝑓 prime de 𝑥 sur 𝑓 de 𝑥. Nous avons également vu que ces règles peuvent être utilisées en conjonction avec les règles standard de dérivation, entre autres la règle du produit, la règle du quotient et les règles de recherche de dérivées d’ordre supérieur.
