Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre comment calculer des dérivées de fonctions logarithmiques.
Le nombre , connu sous le nom de constante d’Euler (ou plus rarement, de constante de Napier), est une constante mathématique fondamentale. C’est la base du logarithme népérien, , et, en tant que fonctions, et sont inverses l’une de l’autre. Si on trace la courbe d’équation et qu’on en prend le symétrique par rapport à la droite , on obtient la courbe d’équation .
On peut voir sur cette figure que n’est jamais négatif ; c’est-à-dire qu’il n’existe pas de tel que soit négatif ; on peut également remarquer que n’est défini ni en ni pour les valeurs négatives de . Par conséquent, est défini uniquement pour et cela sera le cas tout au long de cette fiche explicative. La fonction a une propriété remarquable en cela que, en tout point de sa courbe, la pente de la courbe est égale à l’ordonnée du point. En termes de fonctions et de dérivées, on a l’égalité
Cette propriété est très utile lorsque nous voulons dériver le logarithme népérien comme suit.
Étant donnée la fonction puisque les fonctions et sont inverses l’une de l’autre, on a
Supposons que nous voulons calculer la dérivée par rapport à . Dans le membre de gauche, l’exposant est une fonction de ; ainsi nous voulons dériver une fonction composée. Par conséquent, pour dériver, nous utilisons le théorème de dérivation des fonctions composées.
Définition : Théorème de dérivation des fonctions composées
La dérivée d’une fonction composée de deux fonctions dérivables, , est donnée par
En appliquant le théorème de dérivation des fonctions composées à notre fonction, on obtient
À présent, puisque et , cela signifie que
Cela donne le résultat suivant.
Théorème : Dérivée de la fonction logarithme népérien
La dérivée du logarithme népérien par rapport à est donnée par
On peut aussi dériver des fonctions plus complexes, ou l’argument du logarithme est, lui-même, une fonction de . Ayant de nouveau affaire à une fonction composée, c’est-à-dire à une fonction de fonction, on peut appliquer le théorème de dérivation des fonctions composées une nouvelle fois pour dériver par rapport à . Illustrons cette méthode au travers d’un exemple.
Exemple 1: Dériver des fonctions logarithmiques grâce au théorème de dérivation des fonctions composées
Calculez la dérivée première de la fonction .
Réponse
On cherche à dériver une fonction de la forme , où est une fonction de ; plus particulièrement . Pour dériver des fonctions composées, on applique le théorème de dérivation des fonctions composées. En d’autres termes, pour une fonction , on a . Dans notre cas, cela nous donne
On rappelle aussi que pour tout , on a . Pour pouvoir calculer complètement la dérivée recherchée, on doit donc calculer la dérivée de par rapport à , c’est-à-dire .
Puisque est une fonction polynomiale en la variable , nous pouvons appliquer la formule de dérivation des puissances pour dériver cette fonction et obtenir
Nous avons ainsi tous les ingrédients pour pouvoir dériver , où . Par conséquent,
On peut mettre en facteur au numérateur et au dénominateur. On peut aussi multiplier le numérateur et le dénominateur par de sorte que
Enfin, en simplifiant par au numérateur et en décrémentant la puissance de au dénominateur, on a une expression de la dérivée première de
Cet exemple illustre la règle générale pour dériver les fonctions logarithmiques. Pour appliquer le théorème de dérivation des fonctions composées, on prend la dérivée de la fonction extérieure et on la multiplie par la dérivée de la fonction intérieure. Dans le cas de fonctions logarithmiques, la fonction extérieure est le logarithme lui-même et sa dérivée est l’inverse de l’argument. La fonction interne est l’argument du logarithme. Ceci nous donne la règle générale pour dériver les fonctions logarithmiques.
Théorème : Formule de dérivation des fonctions logarithmiques
C’est-à-dire
Appliquons maintenant cette formule pour dériver une composée de fonctions logarithmiques afin de calculer la dérivée en un point.
Exemple 2: Calcul de la dérivée en un point d’une composée de fonctions logarithmiques à l’aide du théorème de dérivation des fonctions composées
Si , trouvez .
Réponse
Pour trouver , où , il faut d’abord dériver par rapport à , puis substituer dans l’expression obtenue. Pour dériver la fonction , on remarque que cette fonction est une fonction composée, c’est-à-dire une fonction de fonction : , où . Par conséquent, nous devons appliquer le théorème de dérivation des fonctions composées, et, par ailleurs, nous savons que dans le cas particulier des fonctions logarithmiques, on a
Afin d’appliquer ce résultat, on doit donc d’abord calculer la dérivée , et, puisque , on peut se servir du fait que . Ainsi, nous avons
On peut maintenant utiliser cette expression pour appliquer le théorème de dérivation des fonctions composées pour calculer , de sorte que, la dérivée de est égale à
Enfin, on évalue la dérivée en :
Puisque , cette expression devient
Il est parfois possible, lors de la dérivation des fonctions logarithmiques, d’appliquer d’abord les lois sur les logarithmes à la fonction afin de simplifier la dérivation. Rappelons les lois sur les logarithmes suivantes.
Propriétés : Les lois des logarithmes
Loi du produit pour les logarithmes :
Loi du quotient pour les logarithmes :
Loi des exposants pour logarithmes :
Changement de base des logarithmes :
Voyons un exemple dans lequel on dérive une fonction logarithmique à l’aide du théorème de dérivation des fonctions composées après avoir simplifié l’expression en appliquant les lois des logarithmes à la fonction.
Exemple 3: Dérivation de fonctions logarithmiques en appliquant le théorème de dérivation des fonctions composées et les lois des logarithmes
Calculez , sachant que .
Réponse
La fonction est de la forme , où est une fonction de , en particulier, . Nous pourrions appliquer le théorème de dérivation des fonctions composées immédiatement, puisque est une fonction logarithmique, on trouverait alors . Cependant, cela impliquerait de devoir appliquer le théorème de dérivation des fonctions composées une deuxième fois pour déterminer la dérivée de , puisque est elle-même une fonction composée. Bien que cela ne pose pas de difficultés, il peut être légèrement plus rapide de commencer par simplifier l’expression à l’aide des lois des logarithmes avant de la dériver.
On remarque la présence d’une puissance dans , ainsi, nous pourrions utiliser la loi des exposants pour les logarithmes, à savoir
Dans notre cas, l’exposant est égal à 7, on peut donc mettre la constante 7 en facteur devant le logarithme. Par conséquent,
En appliquant à présent le théorème de dérivation des fonctions composées, avec , nous avons
Dans notre prochain exemple, nous allons appliquer à la fois le théorème de dérivation des fonctions composées et la formule de dérivation d’un produit de fonctions afin de dériver une fonction produit d’un logarithme et d’une fonction polynomiale.
Exemple 4: Dérivation d’un produit de fonction polynomiale et logarithme en appliquant le théorème de dérivation des fonctions composées et la formule de dérivation d’un produit de fonctions
Déterminez la dérivée première de la fonction .
Réponse
On peut commencer par simplifier la fonction , en appliquant les lois des logarithmes. Ici, l’argument du logarithme est un produit et on rappelle la loi du produit des logarithmes
En appliquant cela à , on peut séparer le terme logarithmique en deux, comme suit :
Nous pouvons continuer à simplifier cette expression en utilisant la loi des exposants pour les logarithmes, on a
Ainsi, dans l’expression de , nous pouvons sortir l’exposant 4 de l’argument du logarithme pour le mettre en facteur devant le logarithme, de sorte que
La fonction est maintenant un produit de la forme , où et . On peut donc appliquer la formule de dérivation d’un produit. On rappelle que pour une fonction dérivable , cette formule est donnée par
Nous devons donc calculer les dérivées et ; on commence donc par calculer .
On peut appliquer la formule de dérivation d’une puissance pour calculer la dérivée de , de sorte que
Pour calculer , c’est-à-dire on remarque d’abord que puisque est une constante, sa dérivée est nulle. Quant au second terme, on utilise la formule de dérivation de la fonction logarithme , . Par conséquent,
Nous pouvons maintenant utiliser les expressions trouvées pour appliquer la formule de dérivation d’un produit de fonctions à la fonction originale ; ainsi,
En remarquant que est un facteur commun, nous pouvons le mettre en facteur et réarranger, de sorte que et, en appliquant la loi des exposants (mais dans l’autre sens) dans le deuxième terme dans la parenthèse, on a
Enfin, en appliquant (dans l’autre sens) la loi du produit pour les logarithmes, on obtient la dérivée
Dans notre dernier exemple, nous allons calculer des dérivées d’ordres supérieurs de fonctions logarithmiques.
Exemple 5: Calcul de la dérivée troisième d’une fonction logarithmique
Calculez , sachant que .
Réponse
On commence par remarquer que l’argument du logarithme dans notre fonction est un produit, en particulier , nous pouvons donc utiliser la loi du produit pour les logarithmes afin de séparer le logarithme en deux termes comme suit. On rappelle la loi du produit pour les logarithmes
Pour notre fonction alors on a
Il nous est demandé de calculer la dérivée troisième de la fonction par rapport à , ainsi nous devons dériver la fonction trois fois consécutivement. Il est possible de sortir la constante de la dérivée, et, puisque la dérivée d’une somme est égale à la somme des dérivées, la dérivée première est égale à
Puisque la dérivée d’une constante est nulle, le premier terme est égal à zéro, nous avons
On rappelle que ; ainsi, la dérivée première est égale à
Pour calculer la dérivée seconde , il suffit de dériver la dérivée première ci-dessus par rapport à la variable . Encore une fois, on peut sortir la constante de la dérivée, et on a
Et puisque , on peut réécrire ceci comme
En appliquant la formule de dérivation des puissances, c’est-à-dire en multipliant par l’exposant et en décrémentant ce dernier, on trouve la dérivée seconde
Nous pouvons maintenant aisément calculer la dérivée troisième en dérivant la dérivée seconde, en gardant toujours la constante :
En appliquant de nouveau la règle de dérivation des fonctions puissance, on trouve la dérivée troisième : que nous pouvons réécrire
Dans cet exemple, nous avons rencontré une instance particulière du théorème général suivant pour calculer la dérivée -ième d’une fonction logarithmique où l’argument est une fonction affine de .
Théorème : Dérivées d’ordres supérieurs de fonctions du logarithme népérien
Si , où et sont des constantes et si ; alors la dérivée -ième de est où , c’est-à-dire factorielle -1, et où si est impair et si est pair.
Dans l’exemple ci-dessus, et . Nous concluons cette discussion sur la dérivation des fonctions logarithmiques en rappelant certains points clés.
Points clés
- La fonction logarithme népérien est la fonction inverse de .
- Si , alors .
- Lorsque nous devons calculer des dérivées de fonctions logarithmiques, on peut utiliser les lois sur les logarithmes pour simplifier l’expression au préalable afin de simplifier les calculs. Les lois des logarithmes sont les suivantes :
Loi du produit :
Loi du quotient :
Loi des exposants :
Changement de base : - Nous utilisons les règles de dérivation des fonctions logarithmiques en conjonction avec les formules usuelles de dérivation, c’est-à-dire les formules de dérivation de produits, quotients, et le théorème de dérivation des fonctions composées.
- Si , où , avec et des constantes, et , alors la dérivée -ième de par rapport à est donnée par où , c’est-à-dire factorielle -1, et si est impair et si est pair.
