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Fiche explicative de la leçon : Dérivation des fonctions logarithmiques Mathématiques

Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre comment calculer des dérivées de fonctions logarithmiques.

Le nombre 𝑒2,71828, connu sous le nom de constante d’Euler (ou plus rarement, de constante de Napier), est une constante mathématique fondamentale. C’est la base du logarithme népérien, logln=, et, en tant que fonctions, 𝑒 et ln𝑥 sont inverses l’une de l’autre. Si on trace la courbe d’équation 𝑦=𝑒 et qu’on en prend le symétrique par rapport à la droite 𝑦=𝑥, on obtient la courbe d’équation 𝑦=𝑥ln.

On peut voir sur cette figure que 𝑦=𝑒 n’est jamais négatif;c’est-à-dire qu’il n’existe pas de 𝑥 tel que 𝑦 soit négatif;on peut également remarquer que 𝑦=𝑥ln n’est défini ni en 𝑥=0 ni pour les valeurs négatives de 𝑥. Par conséquent, ln𝑥 est défini uniquement pour 𝑥>0 et cela sera le cas tout au long de cette fiche explicative. La fonction 𝑦=𝑒 a une propriété remarquable en cela que, en tout point de sa courbe, la pente de la courbe est égale à l’ordonnée du point. En termes de fonctions et de dérivées, on a l’égalitédd𝑥𝑒=𝑒.

Cette propriété est très utile lorsque nous voulons dériver le logarithme népérien comme suit.

Étant donnée la fonction 𝑦=𝑥,ln puisque les fonctions 𝑒 et ln𝑥 sont inverses l’une de l’autre, on a𝑒=𝑒=𝑥.ln

Supposons que nous voulons calculer la dérivée par rapport à 𝑥. Dans le membre de gauche, l’exposant 𝑦 est une fonction de 𝑥;ainsi nous voulons dériver une fonction composée. Par conséquent, pour dériver, nous utilisons le théorème de dérivation des fonctions composées.

Définition : Théorème de dérivation des fonctions composées

La dérivée d’une fonction composée de deux fonctions dérivables, 𝑓(𝑔(𝑥)), est donnée pardddddd𝑥𝑓(𝑔(𝑥))=𝑓𝑔𝑔𝑥.

En appliquant le théorème de dérivation des fonctions composées à notre fonction, on obtientdddddddd𝑥𝑒=𝑥𝑥𝑦𝑒𝑦𝑥=1.

À présent, puisque dd𝑦𝑒=𝑒 et 𝑒=𝑥, cela signifie que𝑥𝑦𝑥=1𝑦𝑥=1𝑥.dddd

Cela donne le résultat suivant.

Théorème : Dérivée de la fonction logarithme népérien

La dérivée du logarithme népérien 𝑦=𝑥ln par rapport à 𝑥 est donnée parddln𝑥𝑥=1𝑥,𝑥>0.

On peut aussi dériver des fonctions plus complexes, ou l’argument du logarithme est, lui-même, une fonction de 𝑥. Ayant de nouveau affaire à une fonction composée, c’est-à-dire à une fonction de fonction, on peut appliquer le théorème de dérivation des fonctions composées une nouvelle fois pour dériver par rapport à 𝑥. Illustrons cette méthode au travers d’un exemple.

Exemple 1: Dériver des fonctions logarithmiques grâce au théorème de dérivation des fonctions composées

Calculez la dérivée première de la fonction 𝑦=5𝑥+2𝑥ln.

Réponse

On cherche à dériver une fonction de la forme 𝑦=𝑢ln, 𝑢 est une fonction de 𝑥;plus particulièrement 𝑢(𝑥)=5𝑥+2𝑥. Pour dériver des fonctions composées, on applique le théorème de dérivation des fonctions composées. En d’autres termes, pour une fonction 𝑓(𝑔(𝑥)), on a dddddd𝑥𝑓(𝑔(𝑥))=𝑓𝑔𝑔𝑥. Dans notre cas, cela nous donneddlnddlndd𝑥(𝑢)=𝑢(𝑢)𝑢𝑥.

On rappelle aussi que pour tout 𝑢>0, on a ddln𝑢(𝑢)=1𝑢. Pour pouvoir calculer complètement la dérivée recherchée, on doit donc calculer la dérivée de 𝑢 par rapport à 𝑥, c’est-à-dire dd𝑢𝑥.

Puisque 𝑢(𝑥)=5𝑥+2𝑥 est une fonction polynomiale en la variable 𝑥, nous pouvons appliquer la formule de dérivation des puissances pour dériver cette fonction et obtenirdd𝑢𝑥=45𝑥+22𝑥=20𝑥+4𝑥.

Nous avons ainsi tous les ingrédients pour pouvoir dériver 𝑦=𝑢ln, 𝑢(𝑥)=5𝑥+2𝑥. Par conséquent,ddddlndddd𝑦𝑥=𝑢(𝑢)𝑢𝑥=1𝑢𝑢𝑥=15𝑥+2𝑥20𝑥+4𝑥=20𝑥+4𝑥5𝑥+2𝑥.

On peut mettre en facteur 𝑥 au numérateur et 𝑥 au dénominateur. On peut aussi multiplier le numérateur et le dénominateur par 1 de sorte quedd𝑦𝑥=𝑥20𝑥4𝑥(5𝑥2).

Enfin, en simplifiant par 𝑥 au numérateur et en décrémentant la puissance de 𝑥 au dénominateur, on a une expression de la dérivée première dedd𝑦𝑥=20𝑥4𝑥(5𝑥2).

Cet exemple illustre la règle générale pour dériver les fonctions logarithmiques. Pour appliquer le théorème de dérivation des fonctions composées, on prend la dérivée de la fonction extérieure et on la multiplie par la dérivée de la fonction intérieure. Dans le cas de fonctions logarithmiques, la fonction extérieure est le logarithme lui-même et sa dérivée est l’inverse de l’argument. La fonction interne est l’argument du logarithme. Ceci nous donne la règle générale pour dériver les fonctions logarithmiques.

Théorème : Formule de dérivation des fonctions logarithmiques

ddlndd𝑥(𝑓(𝑥))=1𝑓(𝑥)𝑓𝑥.

C’est-à-direddln𝑥(𝑓(𝑥))=1𝑓(𝑥)𝑓(𝑥).

Appliquons maintenant cette formule pour dériver une composée de fonctions logarithmiques afin de calculer la dérivée en un point.

Exemple 2: Calcul de la dérivée en un point d’une composée de fonctions logarithmiques à l’aide du théorème de dérivation des fonctions composées

Si 𝑓(𝑥)=3(2𝑥+4𝑥)lnln, trouvez 𝑓(1).

Réponse

Pour trouver 𝑓(1), 𝑓=𝑓𝑥dd, il faut d’abord dériver 𝑓 par rapport à 𝑥, puis substituer 𝑥=1 dans l’expression obtenue. Pour dériver la fonction 𝑓(𝑥), on remarque que cette fonction 𝑓 est une fonction composée, c’est-à-dire une fonction de fonction:𝑓(𝑥)=𝑓(𝑢(𝑥))=3𝑢(𝑥)ln, 𝑢(𝑥)=2𝑥+4𝑥ln. Par conséquent, nous devons appliquer le théorème de dérivation des fonctions composées, et, par ailleurs, nous savons que dans le cas particulier des fonctions logarithmiques, on addln𝑥(𝑢(𝑥))=1𝑢(𝑥)𝑢(𝑥).

Afin d’appliquer ce résultat, on doit donc d’abord calculer la dérivée 𝑢(𝑥), et, puisque 𝑢(𝑥)=2𝑥+4𝑥ln, on peut se servir du fait que ddln𝑥𝑥=1𝑥. Ainsi, nous avonsdd𝑢𝑥=𝑢(𝑥)=2+4𝑥.

On peut maintenant utiliser cette expression pour appliquer le théorème de dérivation des fonctions composées pour calculer 𝑓, de sorte que, la dérivée de 𝑓(𝑥)=3(2𝑥+4𝑥)lnln est égale àddln𝑓𝑥=𝑓(𝑥)=3𝑢(𝑥)𝑢(𝑥)=32+2𝑥+4𝑥.

Enfin, on évalue la dérivée en 𝑥=1:𝑓(1)=32+(2×1)+41.ln

Puisque ln1=0, cette expression devient𝑓(1)=3(2+4)2=9.

Il est parfois possible, lors de la dérivation des fonctions logarithmiques, d’appliquer d’abord les lois sur les logarithmes à la fonction afin de simplifier la dérivation. Rappelons les lois sur les logarithmes suivantes.

Propriétés : Les lois des logarithmes

Loi du produit pour les logarithmes:logloglog𝑏𝑐=𝑏+𝑐

Loi du quotient pour les logarithmes:logloglog𝑏𝑐=𝑏𝑐

Loi des exposants pour logarithmes:loglog𝑏=𝑐𝑏

Changement de base des logarithmes:logloglog𝑏=𝑏𝑎

Voyons un exemple dans lequel on dérive une fonction logarithmique à l’aide du théorème de dérivation des fonctions composées après avoir simplifié l’expression en appliquant les lois des logarithmes à la fonction.

Exemple 3: Dérivation de fonctions logarithmiques en appliquant le théorème de dérivation des fonctions composées et les lois des logarithmes

Calculez dd𝑦𝑥, sachant que 𝑦=(4𝑥+5)ln.

Réponse

La fonction 𝑦 est de la forme 𝑦=𝑢ln, 𝑢 est une fonction de 𝑥, en particulier, 𝑢(𝑥)=(4𝑥+5). Nous pourrions appliquer le théorème de dérivation des fonctions composées immédiatement, puisque 𝑦 est une fonction logarithmique, on trouverait alors dd𝑦𝑥=1𝑢(𝑥)𝑢(𝑥). Cependant, cela impliquerait de devoir appliquer le théorème de dérivation des fonctions composées une deuxième fois pour déterminer la dérivée de 𝑢(𝑥), puisque 𝑢 est elle-même une fonction composée. Bien que cela ne pose pas de difficultés, il peut être légèrement plus rapide de commencer par simplifier l’expression à l’aide des lois des logarithmes avant de la dériver.

On remarque la présence d’une puissance dans 𝑢, ainsi, nous pourrions utiliser la loi des exposants pour les logarithmes, à savoir loglog𝑏=𝑐𝑏.

Dans notre cas, l’exposant 𝑐 est égal à 7, on peut donc mettre la constante 7 en facteur devant le logarithme. Par conséquent,𝑦=(4𝑥+5)=7(4𝑥+5).lnln

En appliquant à présent le théorème de dérivation des fonctions composées, avec 𝑣(𝑥)=4𝑥+5, nous avons dddd𝑦𝑥=71𝑣(𝑥)𝑣𝑥=71(4𝑥+5)4=284𝑥+5.

Dans notre prochain exemple, nous allons appliquer à la fois le théorème de dérivation des fonctions composées et la formule de dérivation d’un produit de fonctions afin de dériver une fonction produit d’un logarithme et d’une fonction polynomiale.

Exemple 4: Dérivation d’un produit de fonction polynomiale et logarithme en appliquant le théorème de dérivation des fonctions composées et la formule de dérivation d’un produit de fonctions

Déterminez la dérivée première de la fonction 𝑦=7𝑥6𝑥ln.

Réponse

On peut commencer par simplifier la fonction 𝑦, en appliquant les lois des logarithmes. Ici, l’argument du logarithme est un produit et on rappelle la loi du produit des logarithmeslogloglog𝑏𝑐=𝑏+𝑐.

En appliquant cela à 𝑦, on peut séparer le terme logarithmique en deux, comme suit:𝑦=7𝑥6+𝑥.lnln

Nous pouvons continuer à simplifier cette expression en utilisant la loi des exposants pour les logarithmes, on aloglog𝑏=𝑐𝑏.

Ainsi, dans l’expression de 𝑦, nous pouvons sortir l’exposant 4 de l’argument du logarithme pour le mettre en facteur devant le logarithme, de sorte que𝑦=7𝑥[6+4𝑥].lnln

La fonction est maintenant un produit de la forme 𝑦=𝑢(𝑥)𝑣(𝑥), 𝑢(𝑥)=7𝑥 et 𝑣(𝑥)=6+4𝑥lnln. On peut donc appliquer la formule de dérivation d’un produit. On rappelle que pour une fonction dérivable 𝑦(𝑥)=𝑢(𝑥)𝑣(𝑥), cette formule est donnée par dddddd𝑦𝑥=𝑢(𝑥)𝑣𝑥+𝑣(𝑥)𝑢𝑥.

Nous devons donc calculer les dérivées dd𝑣𝑥 et dd𝑢𝑥;on commence donc par calculer dd𝑢𝑥.

On peut appliquer la formule de dérivation d’une puissance pour calculer la dérivée de 𝑢(𝑥)=7𝑥, de sorte quedd𝑢𝑥=4(7)𝑥=28𝑥.

Pour calculer dd𝑣𝑥, c’est-à-direddddlnln𝑣𝑥=𝑥(6+4𝑥), on remarque d’abord que puisque ln6 est une constante, sa dérivée est nulle. Quant au second terme, on utilise la formule de dérivation de la fonction logarithme 𝑔(𝑥)=𝑥ln, dd𝑔𝑥=1𝑥. Par conséquent,dd𝑣𝑥=4𝑥.

Nous pouvons maintenant utiliser les expressions trouvées pour appliquer la formule de dérivation d’un produit de fonctions à la fonction originale 𝑦;ainsi,ddddddlnlnlnln𝑦𝑥=𝑢(𝑥)𝑣𝑥+𝑣(𝑥)𝑢𝑥=7𝑥4𝑥+(6+4𝑥)28𝑥=28𝑥+(6+4𝑥)28𝑥.

En remarquant que 28𝑥 est un facteur commun, nous pouvons le mettre en facteur et réarranger, de sorte que28𝑥(6+4𝑥+1),lnln et, en appliquant la loi des exposants (mais dans l’autre sens) dans le deuxième terme dans la parenthèse, on addlnln𝑦𝑥=28𝑥6+𝑥+1.

Enfin, en appliquant (dans l’autre sens) la loi du produit pour les logarithmes, on obtient la dérivéeddln𝑦𝑥=28𝑥6𝑥+1.

Dans notre dernier exemple, nous allons calculer des dérivées d’ordres supérieurs de fonctions logarithmiques.

Exemple 5: Calcul de la dérivée troisième d’une fonction logarithmique

Calculez dd𝑦𝑥, sachant que 𝑦=584𝑥ln.

Réponse

On commence par remarquer que l’argument du logarithme dans notre fonction est un produit, en particulier 4𝑥, nous pouvons donc utiliser la loi du produit pour les logarithmes afin de séparer le logarithme en deux termes comme suit. On rappelle la loi du produit pour les logarithmeslogloglog𝑏𝑐=𝑏+𝑐.

Pour notre fonction 𝑦=584𝑥ln alors on a𝑦=58[4+𝑥].lnln

Il nous est demandé de calculer la dérivée troisième de la fonction par rapport à 𝑥, ainsi nous devons dériver la fonction trois fois consécutivement. Il est possible de sortir la constante 58 de la dérivée, et, puisque la dérivée d’une somme est égale à la somme des dérivées, la dérivée première est égale àddddlnddln𝑦𝑥=58×𝑥4+58×𝑥𝑥.

Puisque la dérivée d’une constante est nulle, le premier terme est égal à zéro, nous avonsddddln𝑦𝑥=58×𝑥𝑥.

On rappelle que ddln𝑥𝑥=1𝑥;ainsi, la dérivée première est égale àdd𝑦𝑥=58×1𝑥.

Pour calculer la dérivée seconde dd𝑦𝑥, il suffit de dériver la dérivée première ci-dessus par rapport à la variable 𝑥. Encore une fois, on peut sortir la constante 58 de la dérivée, et on adddd𝑦𝑥=58×𝑥1𝑥.

Et puisque 1𝑥=𝑥, on peut réécrire ceci commedddd𝑦𝑥=58×𝑥𝑥.

En appliquant la formule de dérivation des puissances, c’est-à-dire en multipliant par l’exposant et en décrémentant ce dernier, on trouve la dérivée secondedd𝑦𝑥=(1)58𝑥.

Nous pouvons maintenant aisément calculer la dérivée troisième en dérivant la dérivée seconde, en gardant toujours la constante:dddd𝑦𝑥=(1)58×𝑥𝑥.

En appliquant de nouveau la règle de dérivation des fonctions puissance, on trouve la dérivée troisième:dd𝑦𝑥=(2)(1)58𝑥=258𝑥, que nous pouvons réécrire dd𝑦𝑥=54𝑥.

Dans cet exemple, nous avons rencontré une instance particulière du théorème général suivant pour calculer la dérivée 𝑛-ième d’une fonction logarithmique où l’argument est une fonction affine de 𝑥.

Théorème : Dérivées d’ordres supérieurs de fonctions du logarithme népérien

Si 𝑦=(𝑎𝑥+𝑏)ln, 𝑎 et 𝑏 sont des constantes et si 𝑎𝑥+𝑏>0;alors la dérivée 𝑛-ième de 𝑦 estdd𝑦𝑥=(1)𝑎(𝑛1)!(𝑎𝑥+𝑏),((𝑛1))!=𝑛(𝑛1)(𝑛2)21, c’est-à-dire factorielle 𝑛-1, et où (1)=1 si 𝑛 est impair et 1 si 𝑛 est pair.

Dans l’exemple ci-dessus, 𝑏=0 et 𝑛=3. Nous concluons cette discussion sur la dérivation des fonctions logarithmiques en rappelant certains points clés.

Points clés

  • La fonction logarithme népérien 𝑦=𝑥=𝑥logln est la fonction inverse de 𝑦=𝑒.
  • ddln𝑥𝑥=1𝑥,𝑥>0
  • Si 𝑦=𝑓(𝑥)ln, alors dd𝑦𝑥=𝑓(𝑥)𝑓(𝑥).
  • Lorsque nous devons calculer des dérivées de fonctions logarithmiques, on peut utiliser les lois sur les logarithmes pour simplifier l’expression au préalable afin de simplifier les calculs. Les lois des logarithmes sont les suivantes:
    Loi du produit:logloglog𝑏𝑐=𝑏+𝑐
    Loi du quotient:logloglog𝑏𝑐=𝑏𝑐
    Loi des exposants:loglog𝑏=𝑐𝑏
    Changement de base:logloglog𝑏=𝑏𝑎
  • Nous utilisons les règles de dérivation des fonctions logarithmiques en conjonction avec les formules usuelles de dérivation, c’est-à-dire les formules de dérivation de produits, quotients, et le théorème de dérivation des fonctions composées.
  • Si 𝑦=𝑓(𝑥)ln, 𝑓(𝑥)=(𝑎𝑥+𝑏), avec 𝑎 et 𝑏 des constantes, et 𝑎𝑥+𝑏>0, alors la dérivée 𝑛-ième de 𝑦 par rapport à 𝑥 est donnée pardd𝑦𝑥=(1)𝑎(𝑛1)!(𝑎𝑥+𝑏),((𝑛1))!=𝑛(𝑛1)(𝑛2)21, c’est-à-dire factorielle 𝑛-1, et (1)=1 si 𝑛 est impair et 1 si 𝑛 est pair.

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