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Déterminez l’équation de la sphère avec 𝐴 le point de coordonnées neuf, moins six, un et 𝐵 le point de coordonnées moins 16, moins 12, deux sont les extrémités d’un diamètre.
Dans cette question, on nous demande de trouver l’équation d’une sphère. Et pour nous aider à faire cela, on nous donne deux points qui, nous dit-on, sont les extrémités d’un des diamètres de la sphère. Commençons par rappeler l’équation d’une sphère. Nous savons qu’une sphère de centre de coordonnées 𝑎, 𝑏, 𝑐 et de rayon 𝑟 positif a pour équation 𝑥 moins 𝑎 au carré plus 𝑦 moins 𝑏 au carré plus 𝑧 moins 𝑐 au carré égale 𝑟 carré. Ceci est ce qu’on appelle la forme générale de l’équation d’une sphère.
Et pour trouver cette équation pour notre sphère, il nous suffit de connaître son centre et son rayon. Nous devons trouver ces deux informations à partir des deux points qui nous ont été présentés comme les extrémités du diamètre de notre sphère. Nous pouvons trouver cela en rappelant que le diamètre d’une sphère passant par les points 𝐴 et 𝐵 à la surface de notre sphère est un segment passant par le centre de notre sphère. Appelons ce centre 𝐶. Alors le segment 𝐶𝐴 et le segment 𝐶𝐵 seront tous deux des rayons de notre sphère. Ils seront donc de longueur égale.
Cela signifie que le centre de notre sphère sera toujours le milieu des deux extrémités de notre diamètre. Par conséquent, nous pouvons trouver le centre de notre sphère en trouvant le milieu du segment 𝐴𝐵. Et nous pouvons trouver le rayon de la sphère en trouvant la longueur du segment 𝐶𝐴 ou la longueur du segment 𝐶𝐵.
Commençons par trouver les coordonnées du centre de notre sphère. Pour cela, nous devons nous rappeler que pour trouver le milieu de deux points de l’espace, nous devons calculer la moyenne de leurs coordonnées. En d’autres termes, le milieu entre le point 𝑥 un, 𝑦 un, 𝑧 un et le point 𝑥 deux, 𝑦 deux, 𝑧 deux est le point de coordonnées 𝑥 un plus 𝑥 deux sur deux, 𝑦 un plus 𝑦 deux sur deux, 𝑧 un plus 𝑧 deux sur deux. Cela signifie simplement que pour trouver les coordonnées du centre de notre sphère 𝐶, nous devons prendre la moyenne des coordonnées de 𝐴 et de 𝐵.
Le point 𝐶 a donc pour coordonnées neuf plus moins 16 sur deux, moins six plus moins 12 sur deux, un plus deux sur deux. Et si nous calculons chacune des expressions que nous avons pour chaque coordonnée, nous obtenons que 𝐶 est le point moins sept sur deux, moins neuf, trois sur deux. Cela signifie que nous avons trouvé les coordonnées du centre de notre sphère. Il nous reste maintenant à trouver le rayon de cette sphère pour obtenir son équation.
Il existe différentes façons de calculer ce rayon. Nous allons calculer la moitié de la distance entre les deux points 𝐴 et 𝐵. Nous commençons par calculer la longueur de notre diamètre. Cela est la distance entre les points 𝐴 et 𝐵. Pour faire cela, nous rappelons que la distance entre deux points 𝑥 un, 𝑦 un, 𝑧 un et 𝑥 deux, 𝑦 deux, 𝑧 deux est donnée par la racine carrée de 𝑥 un moins 𝑥 deux au carré plus 𝑦 un moins 𝑦 deux au carré plus 𝑧 un moins 𝑧 deux au carré.
La substitution des coordonnées des points 𝐴 et 𝐵 dans cette formule nous donne la longueur du diamètre de notre sphère. Nous l’appellerons 𝑑. Cela est égal à racine carrée de neuf moins moins 16 au carré plus moins six moins moins 12 au carré plus un moins deux au carré. Et bien sûr, rappelez-vous que 𝑑 est égal à deux 𝑟. C’est-à-dire le double du rayon.
Le calcul de l’expression sous la racine nous donne deux 𝑟 égale racine carrée de 662. Nous pouvons alors trouver la valeur exacte du rayon en divisant les deux côtés de cette équation par deux. Nous obtenons 𝑟 est égal à un demi de racine de 662. Par conséquent, nous avons trouvé le rayon de notre sphère. Et nous connaissons déjà le centre de notre sphère. Cela signifie que nous pouvons trouver une équation de notre sphère. Nous pouvons également voir dans cette équation générale de notre sphère que nous avons besoin d’une expression de 𝑟 carré. Nous pouvons trouver cela en mettant au carré notre expression de 𝑟.
Élever au carré les deux côtés de cette expression nous donne 𝑟 au carré égale un demi de racine de 662 le tout au carré. Nous pouvons évaluer cela en distribuant le carré au numérateur et au dénominateur. Cela est égal à racine de 662 au carré divisé par deux au carré, ce qui est bien sûr égal à 662 sur 4.
Nous pouvons simplifier cette expression en 331 sur deux. Tout ce que nous devons faire maintenant c’est substituer les coordonnées du centre de notre sphère et notre expression de 𝑟 carré dans la forme générale de l’équation d’une sphère. Cela nous donne notre réponse finale. L’équation d’une sphère avec les points 𝐴 neuf, moins six, un et 𝐵 moins 16, moins 12, deux comme extrémités d’un diamètre de la sphère est 𝑥 plus sept sur deux au carré plus 𝑦 plus neuf au carré plus 𝑧 moins trois sur deux au carré égale 331 sur deux.
