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Vidéo de la leçon: Équation d’une sphère Mathématiques

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à déterminer l'équation d'une sphère étant donné son centre, et à déterminer le centre et le rayon étant donnée l'équation de la sphère.

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Transcription de la vidéo

Équation d’une sphère

Dans cette leçon, nous allons apprendre ce qu’est l’équation cartésienne d’une sphère. Et nous allons apprendre à la construire à partir du centre et du rayon de la sphère. Nous verrons également comment trouver le centre et le rayon d’une sphère à partir de son équation cartésienne.

Donc, pour trouver l’équation d’une sphère, nous devons d’abord rappeler exactement ce qu’est une sphère. Une sphère de centre 𝑃 de rayon 𝑟 est l’ensemble de tous les points situés à une distance 𝑟 du point 𝑃. Et il y a beaucoup d’informations importantes dans cette définition. Tout d’abord, les sphères sont des figures en trois dimensions. Par conséquent, tous les points appartenant à la sphère ainsi que le point 𝑃 doivent être exprimés en trois dimensions donc avec trois coordonnées. Et il est important de se rappeler de cela car si on était en deux dimensions, cela correspondrait simplement à la définition d’un cercle.

Ensuite, puisque le rayon 𝑟 représente une longueur ou une distance, il doit être strictement positif. Si le rayon 𝑟 était en effet égal à zéro, alors la sphère serait juste tous les points à une distance nulle de 𝑃. C’est-à-dire uniquement le point 𝑃 lui-même. Et si 𝑟 était négatif, notre définition n’aurait aucun sens. C’est pourquoi 𝑟 doit être strictement positif. Maintenant que nous avons la définition d’une sphère, essayons de trouver son équation. Cela implique plusieurs étapes. On rappelle que pour que l’équation de notre sphère soit correcte, chaque point de la sphère doit vérifier cette équation et chaque point qui vérifie cette équation doit se trouver sur la sphère.

Et nous souhaitons trouver une forme générale pour l’équation d’une sphère. On définit donc le centre de la sphère comme le point 𝑎, 𝑏, 𝑐 et 𝑄 comme le point de coordonnées 𝑥, 𝑦, 𝑧, se trouvant sur la sphère de rayon 𝑟 et de centre 𝑃. Nous allons donc essayer ici de trouver l’équation de cette sphère. Nous pouvons essayer de la trouver en s’inspirant de la méthode utilisée pour trouver l’équation d’un cercle. Celle-ci consiste à représenter le cercle puis à utiliser le théorème de Pythagore pour trouver une équation du cercle. Cette méthode fonctionnerait exactement de la même manière pour une sphère. Elle serait un peu plus compliquée car on l’appliquerait en trois dimensions. Mais elle nous donnerait l’équation correcte de la sphère. Nous disposons cependant d’outils plus puissants qui nous permettent de trouver plus facilement cette équation.

Rappelez-vous que chaque point de la sphère doit être à une distance 𝑟 du point 𝑃. Dans notre cas, le point 𝑄 doit être à une distance 𝑟 du centre 𝑃 de la sphère. Et nous connaissons une formule permettant de calculer la distance entre deux points en trois dimensions. On rappelle que la distance entre le point 𝑥 un, 𝑦 un, 𝑧 un et le point 𝑥 deux, 𝑦 deux, 𝑧 deux, est simplement égale à racine carrée de 𝑥 deux moins 𝑥 un au carré plus 𝑦 deux moins 𝑦 un au carré plus 𝑧 deux moins 𝑧 un au carré. Utilisons donc cette formule pour calculer la distance entre le point 𝑃 et le point 𝑄. Et rappelez-vous que nous savons déjà que cette distance doit être égale à 𝑟. La distance entre le point 𝑃 et le point 𝑄 est donc égale à racine carrée de 𝑥 moins 𝑎 au carré plus 𝑦 moins 𝑏 au carré plus 𝑧 moins 𝑐 au carré. Et nous savons que cela est égal au rayon 𝑟 de notre sphère.

Regardons un instant ce que nous venons de démontrer. Nous avons montré que tout point 𝑄 qui se trouve sur la sphère de rayon 𝑟 et de centre 𝑃 doit vérifier cette équation. Et nous pouvons montrer que la réciproque est également vraie. Que se passe-t-il si le point 𝑥 zéro, 𝑦 zéro, 𝑧 zéro vérifie cette équation ? Cela signifie que l’on peut remplacer x par 𝑥 zéro, 𝑦 par 𝑦 zéro et 𝑧 par 𝑧 zéro dans cette équation. Et que le membre de droite de cette équation sera égal à 𝑟. Mais on peut voir que dans le membre de gauche de cette équation, on calcule simplement la distance entre le point 𝑥 zéro, 𝑦 zéro, 𝑧 zéro et le centre 𝑃 de la sphère. Par conséquent, si le point vérifie cette équation, il doit être à une distance 𝑟 du centre 𝑃 de la sphère, ce qui signifie qu’il se trouve sur la sphère.

Nous avons ainsi réussi à trouver l’équation de la sphère de centre 𝑎, 𝑏, 𝑐 et de rayon 𝑟. Nous avons montré que chaque point de cette sphère doit vérifier cette équation et que chaque point qui vérifie cette équation doit se trouver sur la sphère. Et vous avez peut-être remarqué quelque chose. Il s’agit d’une équation assez compliquée. Mais on peut la simplifier en mettant les deux membres au carré. Nous devons cependant préciser un détail pour cela. Nous pouvons montrer que nous n’obtiendrons pas de solutions supplémentaires dans ce cas, car nous savons que la valeur de 𝑟 est positive. Et tout ce qui se trouve à l’intérieur de la racine carrée dans le membre de gauche est supérieur ou égal à zéro parce que chaque terme est au carré. Ainsi, nous sommes assurés que mettre les deux membres au carré ne créera pas de solutions supplémentaires.

Et cela nous donne l’équation suivante pour notre sphère. On l’appelle la forme cartésienne de l’équation d’une sphère, tout comme on pourrait appeler cette équation la forme cartésienne de l’équation d’un cercle s’il n’y avait pas de troisième terme dans le membre de gauche. Résumons donc ce que nous venons de démontrer Nous avons démontré que l’équation cartésienne d’une sphère centrée au point 𝑎, 𝑏, 𝑐 et de rayon r est 𝑥 moins 𝑎 au carré plus 𝑦 moins 𝑏 au carré plus 𝑧 moins 𝑐 au carré égale 𝑟 au carré. Cela signifie qu’à partir du centre et du rayon d’une sphère, nous pouvons trouver son équation. Et de même, si nous connaissons l’équation cartésienne d’une sphère, nous pouvons déterminer son centre et son rayon. Voyons maintenant quelques exemples d’application de tout cela.

Déterminez l’équation cartésienne de la sphère de centre 11, huit, moins cinq et de rayon trois.

Dans cette question, nous devons trouver l’équation d’une sphère. Et il est précisé qu’elle doit être sous forme cartésienne. La question donne également quelques informations sur la sphère. On sait que son centre est situé en 11, huit, moins cinq et que son rayon est égal à trois. Pour répondre à cette question, commençons par rappeler la définition de l’équation cartésienne d’une sphère. On rappelle qu’une sphère de centre 𝑎, 𝑏, 𝑐 et de rayon 𝑟 a pour équation cartésienne 𝑥 moins 𝑎 au carré plus 𝑦 moins 𝑏 au carré plus 𝑧 moins 𝑐 au carré égale 𝑟 carré.

La question indique que le centre de cette sphère est le point 11, huit, moins cinq et que son rayon est trois. Donc, tout ce que nous devons faire pour répondre à cette question est de remplacer ces valeurs dans l’équation cartésienne d’une sphère. En remplaçant 𝑎 par 11, 𝑏 par huit, 𝑐 par moins cinq et 𝑟 par trois dans l’équation d’une sphère, on obtient 𝑥 moins 11 au carré plus 𝑦 moins huit au carré plus 𝑧 moins moins cinq au carré égale trois au carré.

Et nous pouvons bien sûr simplifier cela. 𝑧 moins moins cinq au carré égale 𝑧 plus cinq au carré et trois au carré égale neuf. Et cela nous donne notre réponse finale. L’équation cartésienne de la sphère de centre 11, huit, moins cinq et de rayon trois est 𝑥 moins 11 au carré plus 𝑦 moins huit au carré plus 𝑧 plus cinq au carré égale neuf.

Étudions maintenant un exemple où nous devons déterminer le centre et le rayon d’une sphère à partir de son équation.

Sachant que l’équation d’une sphère est 𝑥 plus cinq au carré plus 𝑦 moins 12 au carré plus 𝑧 moins deux au carré moins 289 égale zéro, identifiez son centre et son rayon.

Cette question nous donne une équation et nous indique qu’elle représente une sphère. Nous devons déterminer le centre et le rayon de cette sphère. En observant cette équation, nous pouvons voir qu’elle est très similaire à l’équation cartésienne d’une sphère. Commençons donc par rappeler ce qu’est l’équation cartésienne d’une sphère. Une sphère de rayon 𝑟 et de centre 𝑎, 𝑏, 𝑐 a l’équation cartésienne suivante. 𝑥 moins 𝑎 au carré plus 𝑦 moins 𝑏 au carré plus 𝑧 moins 𝑐 au carré égale 𝑟 carré. Par conséquent, si nous pouvons réécrire notre équation sous forme cartésienne, nous pourrons en déduire le centre ainsi que le rayon de la sphère.

Commençons donc par l’équation de la sphère qui nous est donnée dans la question. Dans l’équation cartésienne générale d’une sphère, la constante doit être dans le membre de droite de l’équation. Alors qu’on peut voir qu’elle est dans celui de gauche dans l’équation donnée. La première chose à faire est donc d’ajouter 289 aux deux membres de l’équation. Cela donne 𝑥 plus cinq au carré plus 𝑦 moins 12 au carré plus 𝑧 moins deux au carré égale 289. Et notre équation se rapproche maintenant davantage de la bonne forme. Comme nous souhaitons calculer le rayon de cette sphère, nous allons écrire la constante du membre de droite sous la forme d’un carré. En prenant la racine carrée de 289, on voit que 289 est égal à 17 au carré. On peut donc écrire le membre de droite de cette équation comme 17 au carré.

Notre équation est à présent presque sous forme cartésienne. Dans la forme cartésienne, les constantes à l’intérieur des parenthèses doivent être soustraites. Or, on a par exemple 𝑥 plus cinq entre parenthèses dans le membre de gauche. On peut palier à cela en remarquant que 𝑥 plus cinq est la même chose que 𝑥 moins moins cinq. On reformule donc ce terme par 𝑥 moins moins cinq au carré. Maintenant que cette équation correspond à l’équation cartésienne d’une sphère, nous pouvons trouver le centre et le rayon de cette sphère. Le centre de la sphère sera le point moins cinq, 12, deux parce que ce sont les valeurs de 𝑎, 𝑏 et 𝑐 dans l’équation cartésienne de la sphère. On peut également considérer que ce sont les valeurs de 𝑥, 𝑦 et 𝑧 qui rendent chaque terme du membre de gauche de l’équation égal à zéro. On a aussi le rayon de cette sphère. Il est égal à 17.

Rappelez-vous que le rayon d’une sphère représente une longueur, on peut donc lui donner une unité. On peut ainsi dire qu’il est égal à 17 unités de longueur. Par conséquent, sachant que l’équation de la sphère est 𝑥 plus cinq au carré plus 𝑦 moins 12 au carré plus 𝑧 moins deux au carré moins 289 égale zéro, nous avons pu trouver son centre et son rayon en réécrivant cette équation sous forme cartésienne. Nous avons montré que le centre de la sphère est le point moins cinq, 12, deux et que le rayon de cette sphère mesure 17 unités de longueur.

Étudions maintenant un exemple où nous devons vérifier si une équation est l’équation d’une sphère.

Déterminez si l’équation 𝑥 au carré plus 𝑦 au carré plus 𝑧 au carré plus deux 𝑥 moins deux 𝑦 moins huit 𝑧 plus 19 égale zéro est celle d’une sphère. Si oui, trouvez son rayon et son centre.

Cette question nous fournit une équation. Et nous devons déterminer si cette équation représente une sphère. Et si elle représente bien une sphère, nous devons trouver son centre et son rayon. La façon la plus simple de faire cela est d’essayer d’écrire cette équation sous la forme de l’équation d’une sphère. Commençons donc par la rappeler. Une sphère de centre 𝑎, 𝑏, 𝑐 et de rayon 𝑟 a pour équation l’expression générale écrite ici. 𝑥 moins 𝑎 au carré plus 𝑦 moins 𝑏 au carré plus 𝑧 moins 𝑐 au carré égale 𝑟 carré.

Nous souhaitons donc réécrire l’équation qui nous est donnée dans la question sous une forme similaire. Si nous y arrivons, nous pourrons alors simplement y lire les coordonnées du centre de la sphère et son rayon. Commençons donc par réarranger l’équation qui nous est donnée. On écrit les termes en 𝑥 en premier, suivis des termes en 𝑦, puis des termes en 𝑧. L’équation d’une sphère commence normalement par 𝑥 moins 𝑎 au carré. Mais dans notre équation, nous avons 𝑥 au carré plus deux 𝑥. Pour écrire 𝑥 au carré plus deux 𝑥 sous cette forme, nous allons devoir compléter le carré.

On rappelle que pour compléter le carré, on souhaite écrire ces deux termes sous la forme 𝑥 plus une constante au carré. Et cette constante est égale à la moitié du coefficient en 𝑥. Car 𝑥 plus un au carré est égal à 𝑥 au carré plus deux 𝑥 plus un. Pour que cela soit égal à 𝑥 carré plus deux 𝑥, on doit soustraire un aux deux membres de cette équation. En complétant le carré, nous avons ainsi montré que 𝑥 au carré plus deux 𝑥 est égal à 𝑥 plus un au carré moins un. Nous allons ensuite faire exactement la même chose pour les deux termes suivants. Cette fois, on divise le coefficient de 𝑦 par deux et on obtient moins un. Et si on développe le carré, on obtient 𝑦 moins un au carré égale 𝑦 carré moins deux 𝑦 plus un.

Et encore une fois, puisque nous souhaitons que cela soit égal à 𝑦 carré moins deux 𝑦, nous devons soustraire un des deux côtés de cette équation, ce qui nous donne 𝑦 carré moins deux 𝑦 égale 𝑦 moins un au carré moins un. En complétant le carré, nous avons pu reformuler le terme 𝑦 au carré moins deux 𝑦 par 𝑦 moins un au carré moins un. Il nous reste enfin à traiter les termes en 𝑧. On divise à nouveau le coefficient de 𝑧 par deux, qui est moins huit, pour obtenir la constante dans notre expression entre parenthèses. Cela nous donne 𝑧 moins quatre au carré. Et si on développe ce carré, on obtient 𝑧 au carré moins huit 𝑧 plus 16. Donc, pour que ce soit égal à 𝑧 carré moins huit 𝑧, on doit soustraire 16 des deux côtés de l’équation. Cela nous donne 𝑧 au carré moins huit 𝑧 égale 𝑧 moins quatre au carré moins 16.

Ainsi, nous avons pu reformuler le terme 𝑧 au carré moins huit 𝑧 par 𝑧 moins quatre au carré moins 16. Et pour notre équation, nous devons encore ajouter 19 et la poser égale à zéro. Par conséquent, en faisant apparaître des carrés trois fois, nous avons obtenu l’équation 𝑥 plus un au carré moins un plus 𝑦 moins un au carré moins un plus 𝑧 moins quatre au carré moins 16 plus 19 égale zéro.

Et on peut bien sûr la simplifier. On a moins un moins un moins 16 plus 19. Ce qui est égal à un. Notre équation devient donc ceci. Mais rappelez-vous que dans l’équation cartésienne d’une sphère, la constante doit être sur l’autre membre de l’équation. On soustrait donc un aux deux membres de l’équation. Cela nous donne 𝑥 plus un au carré plus 𝑦 moins un au carré plus 𝑧 moins quatre au carré égale moins un.

Mais si nous supposons maintenant qu’il s’agit de l’équation d’une sphère, nous rencontrons un problème. Si c’était le cas, le rayon serait égal au nombre dont le carré est égal à moins un. Alors que le rayon doit être positif, donc cela n’est pas possible. Il ne semble donc pas que ce soit l’équation d’une sphère. Et nous pouvons le prouver. Sur le membre de droite de l’équation, on a un nombre négatif. Sur le membre gauche de l’équation, on a trois termes au carré. Cela signifie que ces trois termes sont supérieurs ou égaux à zéro. Le membre de gauche de cette équation est ainsi supérieur ou égal à zéro pour toutes valeurs de 𝑥, 𝑦 et 𝑧. Alors que le membre de droite de l’équation est lui toujours négatif.

Par conséquent, non seulement ce n’est pas l’équation d’une sphère mais il n’y a même aucune solution à cette équation. Pour répondre à la question, nous pouvons donc conclure que non, l’équation 𝑥 au carré plus 𝑦 au carré plus 𝑧 au carré plus deux 𝑥 moins deux 𝑦 moins huit 𝑧 plus 19 égale zéro ne décrit pas une sphère.

Voyons maintenant un exemple où nous utilisons l’équation d’une sphère pour en déduire des informations sur un point.

Sachant que 𝐴 est le point zéro, quatre, quatre et que le segment AB est un diamètre de la sphère d’équation 𝑥 plus deux au carré plus 𝑦 plus un au carré plus 𝑧 moins un au carré égale 38, quelles sont les coordonnées du point 𝐵 ?

Cette question nous donne des informations sur une sphère. Nous avons d’abord l’équation cartésienne de la sphère. Nous savons également que le segment AB est un diamètre de cette sphère et nous connaissons les coordonnées du point 𝐴. Nous devons utiliser toutes ces informations pour déterminer les coordonnées du point 𝐵. Nous pouvons employer plusieurs méthodes pour cela. Mais pour des problèmes comme celui-ci, la méthode la plus simple consiste généralement à commencer par récapituler toutes les informations que nous connaissons. Rappelons d’abord la forme générale de l’équation cartésienne d’une sphère. La sphère de rayon 𝑟 et de centre 𝑎, 𝑏, 𝑐 a une équation cartésienne de la forme suivante. 𝑥 moins 𝑎 au carré plus 𝑦 moins 𝑏 au carré plus 𝑧 moins 𝑐 au carré égale 𝑟 carré.

Cela signifie que si on connaît l’équation cartésienne d’une sphère, on peut trouver son centre 𝑎, 𝑏, 𝑐 ainsi que son rayon 𝑟. Or l’équation qui nous est donnée dans la question est bien sous la forme générale; nous pouvons donc l’utiliser pour trouver le centre et le rayon de la sphère. Il y a deux façons de trouver les coordonnées du centre. On peut réécrire les expressions entre parenthèses comme une variable moins une constante. Mais on peut aussi simplement trouver la valeur de la variable qui rend ce terme égal à zéro. Ici donc, la valeur de 𝑎 sera moins deux, la valeur de 𝑏 sera moins un et la valeur de 𝑐 sera un. Ces deux méthodes fonctionnent et celle que vous choisirez dépend uniquement de vos préférences. Dans les deux cas, nous obtenons que le centre de la sphère est le point moins deux, moins un, un.

Nous pouvons alors trouver le rayon de cette sphère en calculant la racine carrée de 38. La dernière chose que nous pouvons maintenant faire est d’utiliser le fait que le segment 𝐴𝐵 est un diamètre de la sphère et que les coordonnées du point 𝐴 sont zéro, quatre, quatre. Et nous pourrions avoir envie de représenter ces informations sur une sphère. Mais ce n’est pas nécessaire. Nous pouvons en fait simplement les représenter sur un cercle car si le segment AB est un diamètre de la sphère, alors c’est aussi un diamètre du cercle de même rayon. La seule information dont nous avons vraiment besoin est que le segment 𝐴𝐵 est un diamètre de la sphère, c’est-à-dire qu’il s’agit d’un segment passant par le centre de la sphère. Et nous savons que les coordonnées du point 𝐴 sont zéro, quatre, quatre et que les coordonnées du centre C sont moins deux, moins un, un.

Nous pouvons à présent combiner toutes ces informations pour trouver les coordonnées du point 𝐵. Tout d’abord, le segment AC et le segment 𝐶𝐵 sont tous les deux des rayons de notre sphère. Ils sont donc tous les deux de longueur 𝑟. Ensuite, comme nous connaissons les coordonnées du point 𝐴 et du point 𝐶, nous pouvons trouver le vecteur de 𝐴 à 𝐶. Et nous observons alors quelque chose d’intéressant. Ce vecteur sera égal au vecteur de 𝐶 à 𝐵 parce qu’ils ont la même norme 𝑟 et les mêmes direction et sens. Utilisons donc ceci pour trouver les coordonnées de 𝐵. On commence par trouver les composantes du vecteur 𝐀𝐂. Pour cela, on soustrait le vecteur 𝐎𝐀 au vecteur OC. Cela nous donne cette expression où peut soustraire composante par composante. On trouve ainsi que le vecteur 𝐀𝐂 est le vecteur moins deux, moins cinq, moins trois. Nous pouvons ensuite ajouter cela sur notre schéma. Et rappelez-vous que le vecteur de 𝐶 à 𝐵 est égal au vecteur de 𝐴 à 𝐶.

On peut à présent calculer les coordonnées de 𝐵 en ajoutant le vecteur 𝐎𝐂 au vecteur 𝐀𝐂. Car le vecteur CB est égal au vecteur 𝐀𝐂. On obtient que le vecteur 𝐎𝐁 est égal au vecteur moins deux, moins un, un plus le vecteur moins deux, moins cinq, moins trois. En les additionnant composante par composante, on trouve que le vecteur 𝐎𝐁 est le vecteur moins quatre, moins six, moins deux. Mais rappelez-vous, la question ne nous demande pas le vecteur 𝐎𝐁. Elle nous demande les coordonnées du point 𝐵. Mais ses coordonnées sont bien sûr simplement égales aux composantes du vecteur O𝐁. On en déduit donc que 𝐵 est le point moins quatre, moins six, moins deux.

Par conséquent, nous avons pu montrer que si 𝐴 est le point zéro, quatre, quatre et si le segment AB est un diamètre de la sphère 𝑥 plus deux au carré plus 𝑦 plus un au carré plus 𝑧 moins un au carré égale 38, alors le point 𝐵 doit avoir les coordonnées moins quatre, moins six, moins deux.

Passons maintenant en revue les points clés de cette vidéo. Nous avons tout d’abord vu qu’une sphère est une figure en trois dimensions dont chacun des points se situe à une distance 𝑟 du centre. Cette valeur 𝑟 est appelée le rayon de la sphère. Comme pour un cercle, nous avons réussi à trouver une équation d’une sphère. Nous avons montré que la sphère centrée au point 𝑎, 𝑏, 𝑐 et de rayon 𝑟 a l’équation suivante. On appelle cette équation l’équation cartésienne de la sphère. L’équation est 𝑥 moins 𝑎 au carré plus 𝑦 moins 𝑏 au carré plus 𝑧 moins 𝑐 au carré égale 𝑟 carré. À partir de l’équation cartésienne d’une sphère, on peut facilement trouver son centre et son rayon.

Pour trouver le centre d’une sphère, le moyen le plus simple est de trouver les valeurs des variables qui rendent chaque terme égal à zéro. Et pour trouver le rayon de cette sphère, il suffit de prendre la racine carrée de la constante du membre de droite de l’équation.

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