Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre à déterminer l'équation d'une sphère étant donné son centre, et à déterminer le centre et le rayon étant donnée l'équation de la sphère.
Commençons par rappeler la définition d’une sphère.
Définition : Sphère
Une sphère est l’ensemble de tous les points qui sont à une distance d’un point fixe .
Dans cette définition, est le rayon de la sphère et le point fixe est le centre de la sphère. On souhaite maintenant utiliser cette définition pour en déduire la forme standard de l’équation d’une sphère.
Tout d’abord, on rappelle que l’on peut calculer la distance entre deux points et en utilisant la formule
Dans la définition d’une sphère, un ensemble de points sont à une distance fixe du centre de la sphère . Par conséquent, en substituant dans la formule de la distance, on a qui est une équation de la sphère. Ceci cependant, n’est pas la forme standard de l’équation d’une sphère. Si on met au carré les deux membres de l’équation, on obtient qui est la forme standard de l’équation d’une sphère de rayon (en notant que ) et de centre .
Définition : Équation d’une sphère sous forme standard
L’équation cartésienne d’une sphère de rayon et de centre , sous forme standard, est
Cela signifie que si on connaît les coordonnées du centre d’une sphère ainsi que la longueur de son rayon, ou si on peut calculer ces deux informations, on peut alors déterminer l’équation de la sphère.
En gardant cela à l’esprit, étudions les deux premiers exemples.
Exemple 1: Déterminer l’équation d’une sphère connaissant son centre et son rayon
Donnez la forme standard de l’équation d’une sphère de centre et de rayon 3.
Réponse
On sait que la forme standard de l’équation d’une sphère est où est le centre et est la longueur du rayon. On connaît ici les coordonnées du centre de la sphère et, par conséquent, on peut en déduire que , et . On sait aussi que . En substituant ces valeurs, on trouve que
Enfin, en calculant le membre droit on obtient
Exemple 2: Déterminer le centre et le rayon d’une sphère d’après son équation
Sachant que l’équation d’une sphère est , déterminez son centre et son rayon.
Réponse
On sait que la forme standard de l’équation d’une sphère est où est le centre et est la longueur du rayon. On doit reformuler l’équation donnée sous cette forme. On ajoute d’abord 289 aux deux membres de l’équation, ce qui donne
On reformule ensuite l’expression entre le premier ensemble de parenthèses pour correspondre à la forme cartsienne de l’équation et on obtient
Enfin, en notant la racine carrée de , on peut réécrire l’équation une fois de plus pour obtenir
On peut donc déterminer que le centre de la sphère a les coordonnées et que le rayon est égal à 17.
Étudions maintenant un exemple où nous appliquons ce que nous avons appris sur l’équation d’une sphère pour résoudre un problème géométrique.
Exemple 3: Déterminer les coordonnées de l’extrémité d’un diamètre de sphère connaissant l’autre extrémité et l’équation de la sphère
Soient et un diamètre de la sphère d’équation , quelles sont les coordonnées du point ?
Réponse
On peut adopter deux méthodes pour résoudre ce problème. On peut soit résoudre le problème géométriquement en utilisant des vecteurs, soit le résoudre algébriquement en considérant les positions relatives des points que l’on connaît.
Tout d’abord, on rappelle la forme standard de l’équation d’une sphère : où est le centre et est la longueur du rayon. En utilisant cela, on peut voir que le centre de la sphère a pour coordonnées et on peut dessiner un croquis de la sphère pour nous aider à visualiser le problème.
On note que les points , et se situent sur la même droite, et comme est un diamètre de la sphère, on sait que est le milieu de .
Méthode 1
On étudie d’abord comment résoudre le problème de manière algébrique. Comme et sont les extrémités d’un diamètre de la sphère et que en est le centre, on sait que est le milieu de . Pour une droite dans l’espace, le milieu, , d’un segment avec les extrémités et peut être calculé à l’aide de la formule
On peut alors en déduire
Cela donne trois équations :
Résoudre ces équations donne , et . Par conséquent, les coordonnées de sont .
Méthode 2
Par curiosité, si on veut résoudre le problème géométriquement en utilisant des vecteurs, on peut en déduire que ; par conséquent, sachant que le point est un centre relatif du système, on a
On a et . Par conséquent, ce qui se simplifie par
On peut maintenant calculer comme suit : ce qui se simplifie par
Par conséquent, les coordonnées de sont .
Avant d’étudier notre dernier exemple, rappelons comment déterminer la forme canonique d’une expression du second degré.
Comment : Déterminer la forme canonique d’une expression du second degré
On étudie l’expression .
Pour déterminer la forme canonique, on commence par factoriser par :
On considère maintenant l’expression . Si on développe le carré du binôme, on trouve on remarque qu’il s’agit de la même expression que ci-dessus, à l’exception du terme constant.
Par conséquent, on peut réécrire l’expression originale comme suit :
Enfin, multiplier les deux membres par donne
Il s’agit de la forme canonique de l’expression d’origine.
On peut utiliser la méthode décrite ci-dessus pour convertir la forme générale de l’équation d’une sphère en forme standard. Si on considère la sphère dont l’équation générale est on peut alors la convertir sous forme standard en déterminant les formes canoniques des équations du second degré pour chacune des trois variables. Si on commence par reformuler l’équation pour regrouper tous les termes contenant les mêmes variables, on obtient
On peut maintenant déterminer la forme canonique de chacune des trois équations du second degré pour obtenir
Enfin, si on regroupe les termes constants, on peut voir que et que le centre de la sphère a pour coordonnées
Pour finir, étudions un exemple où nous devons identifier le centre et le rayon d’une sphère dont l’équation générale est donnée.
Exemple 4: Identifier le centre et le rayon d’une sphère à partir de son équation générale
Donnez le centre et le rayon de la sphère d’équation .
Réponse
On nous donne ici l’équation générale d’une sphère, mais on doit la comparer avec la forme standard de l’équation d’une sphère pour déterminer son centre et son rayon. On rappelle que la forme standard de l’équation d’une sphère est où est le centre et est la longueur du rayon.
On regroupe d’abord les termes qui contiennent les mêmes variables :
On doit maintenant déterminer les formes canoniques des équations du second degré pour chacune des trois variables, ce qui donne
Regrouper les termes constants donne et ajouter 49 à chaque membre donne
Enfin, si on compare cela avec la forme standard de l’équation d’une sphère, on peut voir que le centre de la sphère est et que le rayon de la sphère est .
Points clés
- Une sphère est une forme en trois dimensions dont chaque point est à une distance (le rayon de la sphère) du centre.
- Une sphère centrée sur le point de rayon possède l’équation (sous forme standard) Si l’équation de la sphère n’est pas donnée sous forme standard, on peut la convertir sous cette forme en utilisant des méthodes algébriques, et identifier le centre et le rayon en comparant l’équation résultante à la forme générale.
- Pour identifier le centre et le rayon d’une sphère dont l’équation est donnée sous forme générale, on peut convertir l’équation sous forme standard en déterminant la forme canonique de chacune des équations du second degré pour chacune des trois variables.
