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Fiche explicative de la leçon: Équation d’une sphère Mathématiques

Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre à déterminer l'équation d'une sphère étant donné son centre, et à déterminer le centre et le rayon étant donnée l'équation de la sphère.

Commençons par rappeler la définition d’une sphère.

Définition : Sphère

Une sphère est l’ensemble de tous les points (𝑥;𝑦;𝑧) qui sont à une distance 𝑟 d’un point fixe (𝑎;𝑏;𝑐).

Dans cette définition, 𝑟 est le rayon de la sphère et le point fixe (𝑎;𝑏;𝑐) est le centre de la sphère. On souhaite maintenant utiliser cette définition pour en déduire la forme standard de l’équation d’une sphère.

Tout d’abord, on rappelle que l’on peut calculer la distance entre deux points (𝑥;𝑦;𝑧) et (𝑥;𝑦;𝑧) en utilisant la formule 𝑑=(𝑥𝑥)+(𝑦𝑦)+(𝑧𝑧).

Dans la définition d’une sphère, un ensemble de points (𝑥;𝑦;𝑧) sont à une distance fixe 𝑟 du centre de la sphère (𝑎;𝑏;𝑐). Par conséquent, en substituant dans la formule de la distance, on a 𝑟=(𝑥𝑎)+(𝑦𝑏)+(𝑧𝑐), qui est une équation de la sphère. Ceci cependant, n’est pas la forme standard de l’équation d’une sphère. Si on met au carré les deux membres de l’équation, on obtient 𝑟=(𝑥𝑎)+(𝑦𝑏)+(𝑧𝑐), qui est la forme standard de l’équation d’une sphère de rayon 𝑟 (en notant que 𝑟>0) et de centre (𝑎;𝑏;𝑐).

Définition : Équation d’une sphère sous forme standard

L’équation cartésienne d’une sphère de rayon 𝑟 et de centre (𝑎;𝑏;𝑐), sous forme standard, est (𝑥𝑎)+(𝑦𝑏)+(𝑧𝑐)=𝑟.

Cela signifie que si on connaît les coordonnées du centre d’une sphère ainsi que la longueur de son rayon, ou si on peut calculer ces deux informations, on peut alors déterminer l’équation de la sphère.

En gardant cela à l’esprit, étudions les deux premiers exemples.

Exemple 1: Déterminer l’équation d’une sphère connaissant son centre et son rayon

Donnez la forme standard de l’équation d’une sphère de centre (11;8;5) et de rayon 3.

Réponse

On sait que la forme standard de l’équation d’une sphère est (𝑥𝑎)+(𝑦𝑏)+(𝑧𝑐)=𝑟,(𝑎;𝑏;𝑐) est le centre et 𝑟 est la longueur du rayon. On connaît ici les coordonnées du centre de la sphère et, par conséquent, on peut en déduire que 𝑎=11, 𝑏=8 et 𝑐=5. On sait aussi que 𝑟=3. En substituant ces valeurs, on trouve que (𝑥11)+(𝑦8)+(𝑧+5)=3.

Enfin, en calculant le membre droit on obtient (𝑥11)+(𝑦8)+(𝑧+5)=9.

Exemple 2: Déterminer le centre et le rayon d’une sphère d’après son équation

Sachant que l’équation d’une sphère est (𝑥+5)+(𝑦12)+(𝑧2)289=0, déterminez son centre et son rayon.

Réponse

On sait que la forme standard de l’équation d’une sphère est (𝑥𝑎)+(𝑦𝑏)+(𝑧𝑐)=𝑟,(𝑎;𝑏;𝑐) est le centre et 𝑟 est la longueur du rayon. On doit reformuler l’équation donnée sous cette forme. On ajoute d’abord 289 aux deux membres de l’équation, ce qui donne (𝑥+5)+(𝑦12)+(𝑧2)=289.

On reformule ensuite l’expression entre le premier ensemble de parenthèses pour correspondre à la forme cartsienne de l’équation et on obtient (𝑥(5))+(𝑦12)+(𝑧2).=289.

Enfin, en notant la racine carrée de 289=17, on peut réécrire l’équation une fois de plus pour obtenir (𝑥(5))+(𝑦12)+(𝑧2).=17.

On peut donc déterminer que le centre de la sphère a les coordonnées (5;12;2) et que le rayon est égal à 17.

Étudions maintenant un exemple où nous appliquons ce que nous avons appris sur l’équation d’une sphère pour résoudre un problème géométrique.

Exemple 3: Déterminer les coordonnées de l’extrémité d’un diamètre de sphère connaissant l’autre extrémité et l’équation de la sphère

Soient 𝐴(0;4;4) et 𝐴𝐵 un diamètre de la sphère d’équation (𝑥+2)+(𝑦+1)+(𝑧1)=38, quelles sont les coordonnées du point 𝐵?

Réponse

On peut adopter deux méthodes pour résoudre ce problème. On peut soit résoudre le problème géométriquement en utilisant des vecteurs, soit le résoudre algébriquement en considérant les positions relatives des points que l’on connaît.

Tout d’abord, on rappelle la forme standard de l’équation d’une sphère:(𝑥𝑎)+(𝑦𝑏)+(𝑧𝑐)=𝑟,(𝑎;𝑏;𝑐) est le centre et 𝑟 est la longueur du rayon. En utilisant cela, on peut voir que le centre de la sphère a pour coordonnées (2;1;1) et on peut dessiner un croquis de la sphère pour nous aider à visualiser le problème.

On note que les points 𝐴, 𝐶 et 𝐵 se situent sur la même droite, et comme 𝐴𝐵 est un diamètre de la sphère, on sait que 𝐶 est le milieu de 𝐴𝐵.

Méthode 1

On étudie d’abord comment résoudre le problème de manière algébrique. Comme 𝐴 et 𝐵 sont les extrémités d’un diamètre de la sphère et que 𝐶 en est le centre, on sait que 𝐶 est le milieu de 𝐴𝐵. Pour une droite dans l’espace, le milieu, 𝐶, d’un segment avec les extrémités 𝐴(𝑥;𝑦;𝑧) et 𝐵(𝑥;𝑦;𝑧) peut être calculé à l’aide de la formule 𝐶=𝑥+𝑥2,𝑦+𝑦2,𝑧+𝑧2.

On peut alors en déduire 0+𝑥2,4+𝑦2,4+𝑧2=(2,1,1).

Cela donne trois équations:𝑥2=2,4+𝑦2=1,4+𝑧2=1.

Résoudre ces équations donne 𝑥=4, 𝑦=6 et 𝑧=2. Par conséquent, les coordonnées de 𝐵 sont (4;6;2).

Méthode 2

Par curiosité, si on veut résoudre le problème géométriquement en utilisant des vecteurs, on peut en déduire que 𝐴𝐶=𝐶𝐵;par conséquent, sachant que le point 𝑂 est un centre relatif du système, on a 𝑂𝐵=𝑂𝐶+𝐴𝐶.

On a 𝑂𝐶=(2;1;1) et 𝐴𝐶=𝑂𝐶𝑂𝐴. Par conséquent, 𝐴𝐶=(2,1,1)(0,4,4), ce qui se simplifie par (2,5,3).

On peut maintenant calculer 𝑂𝐵 comme suit:𝑂𝐵=(2,1,1)+(2,5,3), ce qui se simplifie par (4,6,2).

Par conséquent, les coordonnées de 𝐵 sont (4;6;2).

Avant d’étudier notre dernier exemple, rappelons comment déterminer la forme canonique d’une expression du second degré.

Comment : Déterminer la forme canonique d’une expression du second degré

On étudie l’expression 𝑎𝑥+𝑏𝑥+𝑐.

Pour déterminer la forme canonique, on commence par factoriser par 𝑎:𝑎𝑥+𝑏𝑎𝑥+𝑐𝑎.

On considère maintenant l’expression 𝑎𝑥+𝑏2𝑎. Si on développe le carré du binôme, on trouve 𝑎𝑥+𝑏2𝑎=𝑎𝑥+𝑏𝑎𝑥+𝑏(2𝑎), on remarque qu’il s’agit de la même expression que ci-dessus, à l’exception du terme constant.

Par conséquent, on peut réécrire l’expression originale comme suit:𝑎𝑥+𝑏2𝑎𝑏(2𝑎)+𝑐𝑎.

Enfin, multiplier les deux membres par 𝑎 donne 𝑎𝑥+𝑏2𝑎𝑏4𝑎+𝑐.

Il s’agit de la forme canonique de l’expression d’origine.

On peut utiliser la méthode décrite ci-dessus pour convertir la forme générale de l’équation d’une sphère en forme standard. Si on considère la sphère dont l’équation générale est 𝑥+𝑦+𝑧2𝑎𝑥2𝑏𝑦2𝑐𝑧+𝑑=0, on peut alors la convertir sous forme standard en déterminant les formes canoniques des équations du second degré pour chacune des trois variables. Si on commence par reformuler l’équation pour regrouper tous les termes contenant les mêmes variables, on obtient 𝑥2𝑎𝑥+𝑦2𝑏𝑦+𝑧2𝑐𝑧+𝑑=0.

On peut maintenant déterminer la forme canonique de chacune des trois équations du second degré pour obtenir (𝑥𝑎)𝑎+(𝑦𝑏)𝑏+(𝑧𝑐)𝑐+𝑑=0.

Enfin, si on regroupe les termes constants, on peut voir que 𝑟=𝑎+𝑏+𝑐𝑑, et que le centre de la sphère a pour coordonnées (𝑎,𝑏,𝑐).

Pour finir, étudions un exemple où nous devons identifier le centre et le rayon d’une sphère dont l’équation générale est donnée.

Exemple 4: Identifier le centre et le rayon d’une sphère à partir de son équation générale

Donnez le centre et le rayon de la sphère d’équation 𝑥+𝑦+𝑧8𝑥+8𝑦+10𝑧+8=0.

Réponse

On nous donne ici l’équation générale d’une sphère, mais on doit la comparer avec la forme standard de l’équation d’une sphère pour déterminer son centre et son rayon. On rappelle que la forme standard de l’équation d’une sphère est (𝑥𝑎)+(𝑦𝑏)+(𝑧𝑐)=𝑟,(𝑎;𝑏;𝑐) est le centre et 𝑟 est la longueur du rayon.

On regroupe d’abord les termes qui contiennent les mêmes variables:𝑥8𝑥+𝑦+8𝑦+𝑧+10𝑧+8=0.

On doit maintenant déterminer les formes canoniques des équations du second degré pour chacune des trois variables, ce qui donne (𝑥4)16+(𝑦+4)16+(𝑧+5)25+8=0.

Regrouper les termes constants donne (𝑥4)+(𝑦+4)+(𝑧+5)49=0, et ajouter 49 à chaque membre donne (𝑥4)+(𝑦+4)+(𝑧+5)=49.

Enfin, si on compare cela avec la forme standard de l’équation d’une sphère, on peut voir que le centre de la sphère est (4;4;5) et que le rayon de la sphère est 49=7.

Points clés

  • Une sphère est une forme en trois dimensions dont chaque point est à une distance 𝑟 (le rayon de la sphère) du centre.
  • Une sphère centrée sur le point (𝑎;𝑏;𝑐) de rayon 𝑟 possède l’équation (sous forme standard) (𝑥𝑎)+(𝑦𝑏)+(𝑧𝑐)=𝑟. Si l’équation de la sphère n’est pas donnée sous forme standard, on peut la convertir sous cette forme en utilisant des méthodes algébriques, et identifier le centre et le rayon en comparant l’équation résultante à la forme générale.
  • Pour identifier le centre et le rayon d’une sphère dont l’équation est donnée sous forme générale, on peut convertir l’équation sous forme standard en déterminant la forme canonique de chacune des équations du second degré pour chacune des trois variables.

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