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Sachant que un et 12 sont les racines de l’équation 𝑥 au carré plus 𝑚𝑥 plus 𝑛 est égal à zéro, déterminez les valeurs de 𝑚 et 𝑛.
Selon la question, un et 12 sont les racines, ou les solutions, de l'équation. Et l’équation en question est une expression du second degré sous la forme 𝑥 au carré plus 𝑚𝑥 plus 𝑛 égale zéro. Il existe plusieurs méthodes qui peuvent nous aider à résoudre ce problème. Nous allons donc nous intéresser à la première méthode, qui fait appel à la forme factorisée de notre équation du second degré.
Ce que nous savons, c'est que notre équation sous forme factorisée sera 𝑥 moins un multiplié par 𝑥 moins 12 égale zéro. Vous vous demandez peut-être : "Comment avons-nous obtenu la forme factorisée immédiatement ?". C’est facile, lorsque nous avons une équation du second degré sous forme factorisée, les valeurs de 𝑥 qui rendent chacune des parenthèses égale à zéro sont nos racines. Par exemple, si 𝑥 est égal à un, un moins un est égal à zéro pour la parenthèse de gauche. Et si vous prennez 12 comme valeur de 𝑥, 12 moins 12 est égal à zéro. Et je veux qu'une de nos parenthèses soit égale à zéro parce que membre de droite de l'équation est zéro. Et si vous avez zéro multiplié par quelque chose, ça vous donnera zéro. D’accord, super. Donc, nous avons notre équation du second degré sous forme factorisée. Alors, qu'est-ce qu'on veut faire ensuite ?
Maintenant, afin de calculer ce que valent 𝑚 et 𝑛, nous allons développer notre expression. Donc, nous avons 𝑥 multiplié par 𝑥, qui fait 𝑥 au carré. Puis 𝑥 multiplié par moins 12, ce qui équivaut à moins 12𝑥. Ensuite, nous passons au moins un dans la première paire de parenthèses. Car nous avons commencé par multiplier le 𝑥 par les deux termes de la deuxième parenthèse. Donc, nous avons moins un multiplié par 𝑥. Soit, moins 𝑥. Enfin, il nous reste moins un multiplié par moins 12, ce qui donne plus 12. Donc, nous avons 𝑥 au carré moins 12𝑥 moins 𝑥 plus 12 est égal à zéro.
L'étape suivante consiste à réduire l’équation du second degré, ce que l'on fait en rassemblant les termes semblables. Ainsi, lorsque nous appliquons cela, nous obtenons 𝑥 au carré moins 13𝑥 plus 12 égale zéro. En revenant à notre équation initiale, nous pouvons voir que le coefficient en 𝑥 est notre 𝑚, et que la valeur constante est notre 𝑛. Par conséquent, nous pouvons affirmer que la valeur de 𝑚 est moins 13 et que celle de 𝑛 est 12.
Très bien. Nous avons dit qu'il pourrait y avoir deux méthodes pour résoudre ce problème. C’était la première méthode. Nous allons maintenant en voir une autre. Donc, pour utiliser la seconde méthode, nous regardons notre équation et constatons qu'elle est de la forme 𝑎𝑥 carré plus 𝑏𝑥 plus 𝑐 est égal à zéro. Nous disposons d’une paire de relations sur les racines de l'équation. Les deux relations que nous connaissons sont la somme des racines égale à moins 𝑏 sur 𝑎 et le produit des racines égal à 𝑐 sur 𝑎.
Comme on vient de le dire dans la première méthode, nos racines sont un et 12. Nous pouvons donc déterminer quels sont nos 𝑎, 𝑏 et 𝑐. Puisque nous avons un seul 𝑥 au carré, 𝑎 est égal à un, 𝑏 est égal à 𝑚 et 𝑐 est égal à 𝑛. En utilisant notre première relation, la somme des racines est égale à moins 𝑏 sur 𝑎, nous pouvons affirmer que un plus 12 est égal à moins 𝑚 sur un. Par conséquent, nous pouvons conclure que 13 est égal à moins 𝑚. Donc, si nous divisons par moins un, nous obtenons moins 13 est égal à 𝑚, ce que nous avions obtenu avec notre première méthode. Nous avons trouvé 𝑚, c'est bien. Alors, trouvons maintenant 𝑛.
Pour déterminer 𝑛, nous utilisons la deuxième relation, qui dit que le produit des racines est égal à 𝑐 sur 𝑎. Cela nous donnera un multiplié par 12 égal à 𝑛 sur un. Par conséquent, nous pouvons conclure que 12 est égal à 𝑛. Et, une fois encore, nous avons le même résultat qu’avec notre méthode précédente. Par conséquent, nous pouvons dire que 𝑚 et 𝑛 sont respectivement moins 13 et 12,.
