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Fiche explicative de la leçon: Équations du second degré : coefficients et racines Mathématiques

Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre à identifier la relation entre les coefficients d’une équation du second degré et ses racines.

Commençons par rappeler brièvement comment trouver les racines d’une équation du second degré par factorisation. Soit l’équation 𝑥7𝑥+10=0.

L’expression du membre gauche de l’équation peut être factorisée sous la forme (𝑥2)(𝑥5)=0, nous permettant de déduire que les racines de l’équation sont 𝑥=2 et 𝑥=5. Lorsque nous examinons de plus près ce processus de factorisation, on trouve qu’on a d’abord cherché deux nombres dont le produit est égal au terme constant 10 et dont la somme est égale au coefficient 7. Après la factorisation, ces deux nombres s’avèrent être les opposés des racines de l’équation. Si l’on considère le processus dans le sens inverse, on remarque que les racines 𝑥 et 𝑥 de l’équation doivent vérifier (𝑥)+(𝑥)=7(𝑥)(𝑥)=10.et

En d’autres termes, on présume que les coefficients de l’équation contiennent des informations sur ses racines. Cela se vérifie dans cet exemple;en effet, les racines sont 𝑥=2 et 𝑥=5, et on a (2)+(5)=7(2)(5)=10.et

Mais est-ce vrai pour toute équation du second degré?Quelle est exactement la relation entre les coefficients d’une équation du second degré et ses racines?

Commençons par une équation du second degré simple, 𝑥+𝑏𝑥+𝑐=0, dont le coefficient dominant (c’est-à-dire le coefficient de 𝑥) vaut 1. On note la forme factorisée de cette équation (𝑥𝑥)(𝑥𝑥)=0 pour certaines valeurs de 𝑥 et 𝑥. L’équation 𝑥+𝑏𝑥+𝑐=0 admet donc pour racines 𝑥 et 𝑥. On développe l’expression pour obtenir 𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥+𝑥𝑥=0.

La variable 𝑥 étant un facteur commun aux deux termes du milieu, on peut réécrire l’expression sous la forme 𝑥(𝑥+𝑥)𝑥+𝑥𝑥=0.

Une fois qu’on a terminé le développement, on peut comparer les coefficients de cette équation avec ceux de l’équation d’origine, 𝑥+𝑏𝑥+𝑐=0. En comparant cette équation avec l’équation d’origine, 𝑥+𝑏𝑥+𝑐=0, on constate que 𝑏=(𝑥+𝑥)𝑐=𝑥𝑥.et

Autrement dit, les équations du second degré de la forme 𝑥+𝑏𝑥+𝑐=0 et ayant pour racines 𝑥 et 𝑥 doivent vérifier 𝑥+𝑥=𝑏𝑥𝑥=𝑐.et

Que peut-on en déduire pour les coefficients des équations du second degré dont le coefficient dominant n’est pas forcément égal à 1?Considérons une équation du second degré de la forme 𝑎𝑥+𝑏𝑥+𝑐=0 et ayant pour racines 𝑥 et 𝑥. Étant donné que 𝑎0, on peut diviser chacun des deux membres par 𝑎 pour obtenir 𝑥+𝑏𝑎𝑥+𝑐𝑎=0.

Nous sommes de nouveau dans le cas d’une équation du second degré dont le coefficient dominant vaut 1. D’après les résultats précédents, les coefficients et les racines de cette équation doivent vérifier les équations suivantes.

Théorème : Coefficients et racines d’une équation du second degré

Soit une équation du second degré de la forme 𝑎𝑥+𝑏𝑥+𝑐=0 ayant pour racines 𝑥 et 𝑥. Alors, les racines doivent vérifier 𝑥+𝑥=𝑏𝑎𝑥𝑥=𝑐𝑎.et

Les équations du second degré plus simples de la forme 𝑥+𝑏𝑥+𝑐=0 et ayant pour racines 𝑥 et 𝑥 vérifient quant à elles les formules abrégées 𝑥+𝑥=𝑏𝑥𝑥=𝑐.et

Ces formules sont vraies pour toute équation du second degré, même dans le cas de racines complexes ou doubles. On peut les retrouver en utilisant la formule des racines du second degré.

Prenons par exemple l’équation du second degré 7𝑥+2𝑥+20=0. On sait maintenant trouver la somme et le produit des racines sans résoudre l’équation. Étant donné que 𝑎=7,𝑏=2,𝑐=20, alors, 𝑥+𝑥=𝑏𝑎=27𝑥𝑥=𝑐𝑎=207,et𝑥 et 𝑥 sont les racines de l’équation.

On peut vérifier ces deux résultats en calculant les racines à l’aide de la formule des racines du second degré. On a 𝑥=𝑏±𝑏4𝑎𝑐2𝑎=2±2472027=2±55614=17±𝑖1397.

Par conséquent les racines sont 𝑥=17+𝑖1397𝑥=17𝑖1397.et

Donc 𝑥+𝑥=17+𝑖1397+17𝑖1397=27, ce qui confirme le résultat obtenu en utilisant le théorème.

Par ailleurs, en utilisant l’identité de la différence entre deux carrés, (𝑥+𝑦)(𝑥𝑦)=𝑥𝑦, on peut calculer 𝑥𝑥=17+𝑖139717𝑖1397=17𝑖1397=149𝑖13949=1+13949=14049=207, qui confirme également le résultat obtenu en utilisant le théorème.

Dans notre premier exemple, nous allons montrer comment utiliser le théorème pour déterminer la somme des racines d’une équation du second degré sans la résoudre.

Exemple 1: Relation entre les coefficients d’une équation du second degré et ses racines

Sans résoudre l’équation 3𝑥16𝑥+63=0, déterminez la somme de ses racines.

Réponse

On rappelle que pour toute équation du second degré de la forme 𝑎𝑥+𝑏𝑥+𝑐=0 ayant pour racines 𝑥 et 𝑥, on a 𝑥+𝑥=𝑏𝑎𝑥𝑥=𝑐𝑎.et

L’équation donnée dans l’énoncé étant 3𝑥16𝑥+63=0, alors, on a 𝑎=3,𝑏=16,𝑐=63.

En utilisant la formule ci-dessus, on trouve que la somme des racines est égale à 𝑥+𝑥=𝑏𝑎=163=163.

La somme des racines de notre équation est donc égale à 163.

Il est également possible, grâce à la relation entre les coefficients d’une équation du second degré et ses racines, de déterminer l’expression d’une équation du second degré dont on ne connaît que les racines. Il s’agit du processus inverse à celui utilisé pour trouver les racines d’une équation du second degré. Pour ces types de problèmes, on peut aussi vérifier notre réponse en calculant les racines de l’équation trouvée pour les comparer aux racines données dans l’énoncé.

Pour déterminer une équation du second degré en partant de ses racines, il est plus facile de commencer par rechercher une équation sous la forme la plus simple, 𝑥+𝑏𝑥+𝑐=0, c’est-à-dire avec un coefficient dominant égal à 1. Si le coefficient 𝑏 ou 𝑐 apparaît sous la forme d’une fraction, on peut multiplier les deux membres de l’équation par le dénominateur commun pour la simplifier davantage.

Par exemple, essayons de déterminer l’équation du second degré dont les racines sont 72 et 2. On commence par chercher une équation de la forme 𝑥+𝑏𝑥+𝑐=0;le théorème nous permet alors d’écrire 722=𝑏𝑏=32 et 72(2)=𝑐𝑐=7.

On obtient 𝑏=32 et 𝑐=7, ce qui nous donne l’équation 𝑥32𝑥7=0.

Comme cette équation comporte un coefficient qui n’est pas un entier, 32, on peut la simplifier davantage en multipliant chacun des membres par 2. On obtient alors 2𝑥3𝑥14=0.

Ainsi, l’équation du second degré la plus simple dont les racines sont 72 et 2 est 2𝑥3𝑥14=0.

On peut vérifier notre réponse en résolvant l’équation par la méthode de la factorisation. L’expression du second degré 2𝑥3𝑥14 se factorise sous la forme (2𝑥7)(𝑥+2), donc on a l’équation (2𝑥7)(𝑥+2)=0.

Par conséquent les racines sont 𝑥=72 et 𝑥=2, ce qui correspond bien aux racines données dans l’énoncé. Cela confirme notre réponse.

Passons maintenant à quelques exemples dans lesquels nous allons déterminer l’équation du second degré qui correspond aux racines données dans l’énoncé.

Exemple 2: Relation entre les coefficients d’une équation du second degré et ses racines

Sachant que 1 et 6 sont les solutions de l’équation 𝑥+𝑏𝑥+𝑐=0, déterminez les valeurs de 𝑏 et 𝑐.

Réponse

On rappelle que, pour les équations du second degré de la forme 𝑥+𝑏𝑥+𝑐=0 ayant pour racines 𝑥 et 𝑥, on a 𝑥+𝑥=𝑏𝑥𝑥=𝑐.et

On sait que 𝑥=1 et 𝑥=6 sont les racines de l’équation, donc on a 16=𝑏, et par conséquent 𝑏=7. On a aussi (1)(6)=𝑐 donc 𝑐=6.

On peut vérifier notre réponse en procédant dans le sens inverse, c’est-à-dire en résolvant l’équation par factorisation. Les coefficients que nous avons trouvés nous donnent l’équation 𝑥+7𝑥+6=0.

En factorisant l’équation, (𝑥+1)(𝑥+6)=0, on trouve les racines 𝑥=1 et 𝑥=6. Ces racines correspondent bien à celles données dans l’énoncé.

Par conséquent, on a bien 𝑏=7 et 𝑐=6.

Exemple 3: Déterminer une équation du second degré sous sa forme la plus simple étant données ses racines

Déterminez la forme la plus simple de l’équation du second degré dont les racines sont 3 et 8.

Réponse

Comme on cherche l’équation sous sa forme la plus simple, donc on doit chercher une équation du second degré dont les coefficients sont des entiers. On commence par déterminer une équation de la forme 𝑥+𝑏𝑥+𝑐=0. Si l’un des coefficients s’avère être une fraction, on pourra alors multiplier les deux membres de l’équation par le dénominateur commun pour la simplifier.

On se souvient que si 𝑥 et 𝑥 sont les racines de cette équation, alors 𝑥+𝑥=𝑏𝑥𝑥=𝑐.et

On sait que les racines sont 𝑥=3 et 𝑥=8, donc on a 38=𝑏 et par conséquent 𝑏=11. On a aussi (3)(8)=𝑐 qui nous donne 𝑐=24. Puisque les coefficients 𝑏 et 𝑐 sont des entiers, l’équation n’a pas besoin d’être modifiée davantage. On obtient donc l’équation du second degré 𝑥+11𝑥+24=0.

On peut vérifier notre réponse en résolvant l’équation trouvée par factorisation:𝑥+11𝑥+24=0(𝑥+3)(𝑥+8)=0,donc les racines sont 𝑥=3 et 𝑥=8. Ces racines correspondent bien à celles données dans l’énoncé.

Ainsi, sous sa forme la plus simple, l’équation du second degré dont les racines sont 3 et 8 est 𝑥+11𝑥+24=0.

Exemple 4: Déterminer une équation du second degré sous sa forme la plus simple étant données ses racines

Déterminez la forme la plus simple de l’équation du second degré dont les racines sont 5+2 et 52.

Réponse

On commence par chercher une équation de la forme 𝑥+𝑏𝑥+𝑐=0. Si l’un des coefficients s’avère être une fraction, on pourra multiplier les deux membres de l’équation par le dénominateur commun pour la simplifier. On se souvient que si 𝑥 et 𝑥 sont les racines de cette équation, alors 𝑥+𝑥=𝑏𝑥𝑥=𝑐.et

On sait que 𝑥=5+2 et 𝑥=52 sont les racines, donc 𝑏=5+2+52=(5+5)+22=10,et par conséquent 𝑏=10. De plus, d’après l’identité de la différence entre deux carrés, (𝑥+𝑦)(𝑥𝑦)=𝑥𝑦, on a 𝑐=5+252=52=252=23.

On obtient donc l’équation du second degré 𝑥10𝑥+23=0.

On peut vérifier notre réponse en résolvant l’équation à l’aide de la formule des racines du second degré:𝑥=(10)±(10)412321=10±82=10±222=5±2.

Ces racines correspondent bien à celles données dans l’énoncé.

Ainsi, sous sa forme la plus simple, l’équation du second degré dont les racines sont 5+2 et 52 est 𝑥10𝑥+23=0.

Dans le prochain exemple, nous allons montrer que cette méthode fonctionne aussi lorsque les racines sont complexes.

Exemple 5: Identifier une équation du second degré étant données deux racines complexes

Parmi les équations du second degré suivantes, laquelle a pour racines 𝑥=2±𝑖?

  1. 𝑥4𝑥+5=0
  2. 𝑥+4𝑥+5=0
  3. 𝑥4𝑥+3=0
  4. 𝑥+4𝑥+3=0
  5. 𝑥5𝑥+4=0

Réponse

Comme toutes les équations proposées ont un coefficient dominant qui vaut 1, on commence par chercher une équation de la forme 𝑥+𝑏𝑥+𝑐=0. On se souvient que si 𝑥 et 𝑥 sont les racines de cette équation, alors 𝑥+𝑥=𝑏𝑥𝑥=𝑐.et

On sait que 𝑥=2+𝑖 et 𝑥=2𝑖 sont les racines, donc 𝑏=(2+𝑖)+(2𝑖)=(2+2)+(𝑖𝑖)=4,et par conséquent 𝑏=4. De plus, d’après l’identité de la différence entre deux carrés, (𝑥+𝑦)(𝑥𝑦)=𝑥𝑦, on trouve 𝑐=(2+𝑖)(2𝑖)=2(𝑖)=4(1)=5.

On obtient donc l’équation du second degré 𝑥4𝑥+5=0.

On peut vérifier notre réponse en résolvant l’équation à l’aide de la formule des racines du second degré:𝑥=(4)±(4)41521=4±42=4±2𝑖2=2±𝑖.

Ces racines correspondent bien à celles données dans l’énoncé.

Ainsi, sous sa forme la plus simple, l’équation du second degré dont les racines sont 2+𝑖 et 2𝑖 est 𝑥4𝑥+5=0.

Dans les deux derniers exemples, nous nous intéresserons à des équations du second degré comportant une inconnue. Nous allons résoudre ces problèmes en utilisant la relation entre les coefficients d’une équation du second degré et ses racines.

Exemple 6: Déterminer la valeur d’une inconnue dans une équation du second degré étant donnée l’une de ses racines

Sachant que 𝑥=9 est une racine de l’équation 𝑥+𝑚𝑥=36, déterminez la valeur de 𝑚.

Réponse

On commence par réécrire l’équation sous sa forme développée standard, 𝑥+𝑚𝑥36=0.

On rappelle qu’étant donnée une équation du second degré 𝑥+𝑏𝑥+𝑐=0, 𝑐 est égal au produit des racines. Dans notre exemple, 𝑐=36. On connaît l’une des racines, 𝑥=9, mais pas l’autre;nous notons cette racine inconnue 𝑥.

On peut alors écrire 9𝑥=36𝑥=369=4.

Par conséquent, la seconde racine de l’équation est 𝑥=4.

On rappelle également qu’étant donnée une équation du second degré 𝑥+𝑏𝑥+𝑐=0, 𝑏 est égal à la somme des racines. Dans notre exemple, 𝑏=𝑚. Les racines étant 𝑥=9 et 𝑥=4, on a 9+4=𝑚5=𝑚𝑚=5.

Donc, 𝑚=5.

Exemple 7: Déterminer la valeur d’une expression algébrique en utilisant la relation entre les coefficients d’une équation du second degré et ses racines

Si 𝐿 et 𝑀 sont les racines de l’équation 𝑥+10𝑥+9=0, quelle est la valeur de 𝐿+𝑀?

Réponse

On peut aborder ce problème de deux façons différentes. La première consiste à utiliser la relation entre les coefficients d’une équation du second degré et ses racines pour trouver l’expression demandée. La seconde consiste à déterminer les racines de l’équation, que l’on utilisera ensuite pour calculer l’expression demandée. On va résoudre le problème en utilisant la première approche d’abord puis la seconde.

On rappelle que si 𝑥+𝑏𝑥+𝑐=0 est une équation du second degré ayant pour racines 𝐿 et 𝑀, alors 𝐿+𝑀=𝑏𝐿𝑀=𝑐.et

On observe dans notre équation que 𝑏=10 et 𝑐=9;donc, 𝐿+𝑀=10𝐿𝑀=9.et

On remarque à présent que l’expression demandée 𝐿+𝑀 peut être réécrite comme 𝐿+𝑀=𝐿+𝑀+2𝐿𝑀2𝐿𝑀=(𝐿+𝑀)2𝐿𝑀.

Et comme on sait que 𝐿+𝑀=10 et 𝐿𝑀=9, on a 𝐿+𝑀=(10)29=10018=82.

On trouve donc, avec la première méthode, que 𝐿+𝑀=82.

Passons à la seconde méthode. On commence par factoriser le membre gauche de l’équation 𝑥+10𝑥+9=0, ce qui nous donne (𝑥+1)(𝑥+9)=0,donc les racines sont 𝑥=1 et 𝑥=9. On pose 𝐿=1 et 𝑀=9 (on obtiendrait le même résultat en posant 𝐿=9 et 𝑀=1 car l’expression demandée est 𝐿+𝑀 et l’addition est commutative).

On peut maintenant calculer l’expression demandée:𝐿+𝑀=(1)+(9)=1+81=82.

On trouve donc, avec la seconde méthode également, que 𝐿+𝑀 est égal à 82.

Points clés

  • Les coefficients d’une équation du second degré contiennent des informations sur la somme et le produit de ses racines.
  • Pour les équations de la forme 𝑥+𝑏𝑥+𝑐=0, si les racines sont 𝑥 et 𝑥, alors 𝑥+𝑥=𝑏𝑥𝑥=𝑐.et
  • Pour les équations de la forme générale 𝑎𝑥+𝑏𝑥+𝑐=0, si les racines sont 𝑥 et 𝑥, alors 𝑥+𝑥=𝑏𝑎𝑥𝑥=𝑐𝑎.et
  • Pour déduire une équation de la forme 𝑥+𝑏𝑥+𝑐=0 à partir de ses racines 𝑥 et 𝑥, on peut utiliser les formules abrégées 𝑥+𝑥=𝑏𝑥𝑥=𝑐.et

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