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Vidéo de la leçon : Équations du second degré - coefficients et racines Mathématiques

Dans cette vidéo, on va apprendre à identifier la relation entre les coefficients d’une équation du second degré et ses racines.

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Transcription de vidéo

Dans cette vidéo, on va apprendre à identifier la relation entre les coefficients d’une équation du second degré et ses racines Rappelez-vous qu’une fonction du second degré est de la forme 𝑓 de 𝑥 égale 𝑎𝑥 carré plus 𝑏𝑥 plus 𝑐, où 𝑎, 𝑏 et 𝑐 sont des nombres réels et 𝑎 est différent de zéro.

Considérons donc une équation du second degré. Elles sont généralement de la forme 𝑎𝑥 carré plus 𝑏𝑥 plus 𝑐 égale zéro. Étudions par exemple l’équation 𝑥 carré moins sept 𝑥 plus 10 égale zéro. On peut résoudre cette équation, c’est-à-dire trouver ses racines, en factorisant le membre gauche. Et comme le coefficient de 𝑥 carré est égal à un, cette opération est relativement simple. On recherche en fait deux nombres dont le produit est 10 et dont la somme est moins sept.

Eh bien, ces deux nombres sont moins deux et moins cinq. Donc le membre gauche peut être factorisé par 𝑥 moins deux fois 𝑥 moins cinq. Et comme le produit des deux expressions entre parenthèses est nul, on peut dire que l’une ou l’autre de ces expressions doit être égale à zéro. En d’autres termes, 𝑥 moins deux égale zéro ou 𝑥 moins cinq égale zéro. Résoudre chaque équation nous donne deux solutions : 𝑥 égale deux et 𝑥 égale cinq.

Mais réfléchissons au processus de factorisation dans l’autre sens. On remarque que le produit des inverses des racines est égal à 10 et que leur somme est moins sept. Donc, en définissant les racines par 𝑥 un et 𝑥 deux, on voit que moins 𝑥 un fois moins 𝑥 deux égale 10 et moins 𝑥 un plus moins 𝑥 deux égale moins sept. On peut donc penser que les coefficients de l’équation du second degré contiennent en fait des informations sur ses racines. Et on peut vérifier que c’est le cas avec cet exemple, puisque nos racines sont 𝑥 un égale deux et 𝑥 deux égale cinq. Moins deux fois moins cinq égale 10 et moins deux plus moins cinq égale moins sept.

Mais est-ce vrai pour toute équation du second degré ? Quelle est la relation entre les coefficients d’une équation du second degré et ses racines ? Commençons par une équation du second degré légèrement plus simple que la forme générale. 𝑥 carré plus 𝑏𝑥 plus 𝑐 égale zéro. Supposons qu’elle peut être factorisée par 𝑥 moins 𝑥 un fois 𝑥 moins 𝑥 deux. Les deux racines de cette équation du second degré sont donc 𝑥 un et 𝑥 deux. Mais développons maintenant les parenthèses. On obtient 𝑥 carré moins 𝑥 deux 𝑥 moins 𝑥 un 𝑥 plus 𝑥 un 𝑥 deux égale zéro. Et on peut regrouper les deux termes du milieu pour obtenir moins 𝑥 fois 𝑥 un plus 𝑥 deux.

Comparons à présent les coefficients de cette équation avec ceux de notre équation d’origine. On voit que 𝑐 est égal à 𝑥 un 𝑥 deux et que 𝑏 est égal à l’opposé de la somme de 𝑥 un et 𝑥 deux. En d’autres termes, les équations du second degré de cette forme dont les racines sont 𝑥 un et 𝑥 deux doivent vérifier 𝑥 un plus 𝑥 deux égale moins b et 𝑥 un fois 𝑥 deux égal 𝑐.

Généralisons cela davantage pour les équations du second degré dont le coefficient dominant est différent de un. On peut les manipuler pour rendre le coefficient de 𝑥 carré égal à un. On obtient ainsi 𝑥 carré plus 𝑏 sur 𝑎 𝑥 plus 𝑐 sur 𝑎 égale zéro. On a simplement divisé par 𝑎. On peut maintenant utiliser le résultat précédent pour relier les coefficients et les racines de n’importe quelle équation du second degré. Pour une équation du second degré 𝑎𝑥 carré plus 𝑏𝑥 plus 𝑐 égale zéro dont les racines sont 𝑥 un et 𝑥 deux, celles-ci doivent vérifier les deux relations 𝑥 un plus 𝑥 deux égale moins 𝑏 sur 𝑎 et 𝑥 un fois 𝑥 deux égale 𝑐 sur 𝑎. Et pour des équations du second degré plus simples où le coefficient de 𝑥 carré est un, ces relations peuvent être simplifiées.

Ces formules sont très utiles car elles sont valables pour toutes les équations du second degré, même lorsque leurs racines sont complexes ou doubles. Et on peut les retrouver en utilisant la formule des racines du second degré. Dans le premier exemple, on va montrer comment ces formules peuvent nous aider à calculer la somme des racines d’une équation sans avoir à la résoudre.

Sans résoudre l’équation moins trois 𝑥 carré moins 16𝑥 plus 63 égale zéro, calculez la somme de ses racines.

On rappelle que pour une équation du second degré de la forme 𝑎𝑥 carré plus 𝑏𝑥 plus 𝑐 égale zéro dont les racines sont 𝑥 un et 𝑥 deux, la somme de ces racines doit être égale à moins 𝑏 sur 𝑎 et leur produit à 𝑐 sur 𝑎. Pour calculer la somme des racines de notre équation du second degré, nous devons donc identifier les valeurs de 𝑏 et 𝑎.

Avec un peu d’observation, nous pouvons voir que le coefficient de 𝑥 au carré nous donne la valeur de 𝑎. Il est égal à moins trois. Et le coefficient de 𝑥 nous donne la valeur de 𝑏. C’est-à-dire moins 16. Et 𝑐 est la constante de l’équation. Soit 63. On cherche la somme des racines de cette équation. En les définissant par 𝑥 un et 𝑥 deux comme dans la formule générale, on sait que leur somme est égale à moins 𝑏 sur 𝑎. Qui est dans ce cas moins moins 16 sur moins trois. Un nombre négatif divisé par un nombre négatif donne un nombre positif. On obtient donc 16 sur trois et on n’oublie pas le signe négatif devant. Donc 𝑥 un plus 𝑥 deux égale moins 16 sur trois. On a ainsi pu calculer la somme des racines sans avoir à résoudre l’équation du second degré. Elle est égale à moins 16 sur trois.

Et cela nous a permis de montrer comment utiliser une équation pour en déduire des informations sur ses racines. Mais il est également possible de faire l’opération inverse. En d’autres termes, si on connaît les racines d’une équation, on peut utiliser la relation entre ses coefficients et ses racines pour retrouver l’équation d’origine. Dans ce cas, il est généralement plus facile de commencer par la forme la plus simple où le coefficient de 𝑥 carré est un, c’est-à-dire par l’équation 𝑥 carré plus 𝑏𝑥 plus 𝑐 égale zéro. Si un des coefficients finaux 𝑏 ou 𝑐 est alors une fraction, on peut simplement multiplier les deux membres de l’équation par un dénominateur commun pour la simplifier davantage et rendre ses coefficients entiers. Voyons une application de cela dans notre prochain exemple.

Sachant que moins un et moins six sont les solutions à l’équation 𝑥 carré plus 𝑏𝑥 plus 𝑐 égale zéro, déterminez les valeurs de 𝑏 et 𝑐.

On peut rappeler que pour une équation du second degré de la forme 𝑥 carré plus 𝑏𝑥 plus 𝑐 égale zéro qui a pour racines 𝑥 un et 𝑥 deux, la somme de ces racines est égale à moins b et leur produit est égal à 𝑐. Maintenant, nous savons que les racines de l’équation sont moins un et moins six. On définit donc 𝑥 un égale moins un et 𝑥 deux égale moins six. Et on sait que la somme de ces deux valeurs nous donne moins 𝑏. On a donc moins un plus moins six égale moins 𝑏. Par conséquent, moins sept égale moins 𝑏, ce qui signifie que 𝑏 est égal à sept.

On peut suivre un raisonnement similaire pour trouver la valeur de 𝑐. Il est cette fois égal au produit des racines. Soit moins un fois moins six. Et moins un fois moins six est tout simplement six. Donc 𝑐 doit être égal à six. Bien que cela ne soit pas demandé, nous pourrions utiliser ces informations pour construire l’équation du second degré d’origine. Son expression est 𝑥 carré plus sept 𝑥 plus six égale zéro.

Et on peut même vérifier nos résultats en résolvant cette équation. Si on factorise le membre gauche, on obtient 𝑥 plus un fois 𝑥 plus six, ce qui nous donne bien les deux racines moins un et moins six, comme attendu. Par conséquent, 𝑏 égale sept et 𝑐 égale six.

Et l’avantage de ce que nous venons de montrer est que cela est valable pour tous les types de racines. Cela est en particulier valable pour les racines complexes. Voyons donc à quoi cela pourrait ressembler.

Quelle équation du second degré a pour racines 𝑥 égale deux plus ou moins 𝑖? Est-ce (A) 𝑥 carré moins quatre 𝑥 plus cinq égale zéro? (B) 𝑥 carré plus quatre 𝑥 plus cinq égale zéro? (C) 𝑥 carré moins quatre 𝑥 plus trois égale zéro? (D) 𝑥 carré plus quatre 𝑥 plus trois égale zéro? Ou (E) 𝑥 carré moins cinq 𝑥 plus quatre égale zéro?

On pourrait ici utiliser des méthodes telles que la complétion du carré ou la formule des racines du second degré pour résoudre chacune de ces équations. Mais rappelez-vous que nous connaissons une formule reliant les coefficients d’une équation du second degré à ses racines. Considérons en particulier une équation du second degré dont le coefficient de 𝑥 carré est un. Supposons que cette équation a pour racines 𝑥 un et 𝑥 deux, que le coefficient de 𝑥 est 𝑏 et que le terme constant est 𝑐. La somme des racines est alors égale à moins 𝑏 et le produit des racines est égal à 𝑐.

À partir d’informations sur les deux racines, nous pouvons donc trouver la valeur de moins b en les additionnant et la valeur de 𝑐 en les multipliant. Plus précisément, moins 𝑏 égale deux plus 𝑖 plus deux moins 𝑖. Et pour additionner deux nombres complexes, il suffit d’additionner leurs parties réelles et imaginaires séparément. On a donc deux plus deux plus 𝑖 moins 𝑖. Mais 𝑖 moins 𝑖 égale zéro, ce qui nous donne une valeur réelle de quatre. Et comme moins 𝑏 est égal à quatre, on peut dire que 𝑏, le coefficient de 𝑥 dans notre équation, doit être égal à moins quatre. C’est une bonne nouvelle car cela nous permet d’écarter tout de suite les réponses (B) et (D). Leur coefficient de 𝑥 est en effet plus quatre.

Calculons à présent le produit des racines pour trouver la valeur de 𝑐. Il est égal à deux plus 𝑖 fois deux moins 𝑖. En développant les parenthèses, on obtient quatre moins deux 𝑖 plus deux 𝑖 moins 𝑖 au carré. Moins deux 𝑖 plus deux 𝑖 égale zéro. Et puisque 𝑖 au carré égale moins un, on peut le simplifier davantage par quatre moins moins un, soit cinq. Nous avons donc une équation du second degré dont le coefficient de 𝑥 au carré est un, le coefficient 𝑏 de 𝑥 est moins quatre et le terme constant 𝑐 est cinq. L’équation est par conséquent 𝑥 carré moins quatre 𝑥 plus cinq égale zéro. Et cela correspond à la réponse (A).

Maintenant que on a vu plusieurs exemples montrant le lien entre les coefficients et les racines d’une équation du second degré, voyons comment nous pouvons résoudre des problèmes plus compliqués impliquant des inconnues.

Sachant que 𝐿 et 𝑀 sont les racines de l’équation 𝑥 carré plus 10𝑥 plus neuf égale zéro, quelle est la valeur de 𝐿 au carré plus 𝑀 au carré ?

Une façon de répondre à ce problème pourrait être de résoudre l’équation ci-dessus. Mais on dispose d’informations sur les racines et connaissons l’expression de l’équation. On peut donc rappeler que pour une équation du second degré dont le coefficient de 𝑥 carré est un et dont les racines sont 𝑥 un et 𝑥 deux, la somme de ces racines est égale à moins 𝑏 et leur produit est égal à 𝑐. Et les racines sont ici 𝐿 et 𝑀. Commençons par calculer leur somme.

Eh bien, le coefficient de 𝑥, c’est-à-dire la valeur de 𝑏, est 10. Donc 𝐿 plus 𝑀 doit être égal à moins 10. De façon similaire, le produit de ces racines doit être égal au terme constant, neuf. On a donc deux équations : 𝐿 plus 𝑀 égale moins 10 et 𝐿𝑀 égale neuf.

Et on essaye de calculer la valeur de 𝐿 au carré plus 𝑀 au carré. Essayons donc de mettre les deux membres de cette première équation au carré et voyons où cela nous mène. On obtient ainsi 𝐿 plus 𝑀 au carré égale moins 10 au carré. Mais si on développe le membre gauche, on obtient l’expression 𝐿 carré plus deux 𝐿𝑀 plus 𝑀 carré. Cela correspond presque à la valeur que nous recherchons. Et moins 10 au carré égale 100. Donc cette expression est égale à 100.

Comme on sait que 𝐿𝑀 est égal à neuf, on peut remplacer deux 𝐿𝑀 par deux fois neuf, soit 18. Et on obtient l’équation 𝐿 carré plus 18 plus 𝑀 carré égale 100. On calcule ensuite 𝐿 carré plus 𝑀 carré en soustrayant 18 aux deux membres. Bien sûr, 100 moins 18 égale 82. Par conséquent, la valeur de 𝐿 au carré plus 𝑀 au carré est 82.

On a ainsi montré de manière assez détaillée dans quelle mesure les coefficients d’une équation du second degré contiennent des informations sur la somme et le produit de ses racines. Récapitulons à présent les concepts clés de cette vidéo.

Dans cette leçon, on a appris que pour une équation du second degré 𝑎𝑥 carré plus 𝑏𝑥 plus 𝑐 égale zéro, si ses racines sont 𝑥 un et 𝑥 deux, alors la somme de ces racines est égale à moins 𝑏 sur 𝑎. Et leur produit est égal à 𝑐 sur 𝑎. Bien sûr, si 𝑎, le coefficient de 𝑥 carré, est égal à un, ces relations se simplifient par 𝑥 un plus 𝑥 deux égale moins 𝑏 et 𝑥 un fois 𝑥 deux égale 𝑐. La réciproque de cette propriété est également vraie. On peut utiliser des informations sur les racines pour trouver les coefficients d’une équation du second degré et donc l’expression de l’équation.

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