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Déterminez le coefficient de 𝑥 à la puissance moins six dans le développement de 𝑥 plus un sur 𝑥 au carré à la puissance six.
Dans cette question, nous avons une expression binomiale écrite sous la forme 𝑎 plus 𝑏 à la puissance 𝑛. Nous savons que le terme général désigné par 𝑎 𝑟 plus un est égal à C 𝑛 𝑟 multiplié par 𝑎 puissance 𝑛 moins 𝑟 multiplié par 𝑏 puissance 𝑟. Nous commencerons par réécrire notre expression comme 𝑥 plus 𝑥 à la puissance moins deux élevée à la puissance six. Nous pouvons le faire car un sur 𝑥 puissance 𝑛 est égal à 𝑥 puissance moins 𝑛. Le terme général de ce développement sera donc égal à C six 𝑟 multiplié par 𝑥 puissance six moins 𝑟 multiplié par 𝑥 puissance moins deux puissance 𝑟. Cela peut être réécrit comme C six 𝑟 multiplié par 𝑥 puissance six moins 𝑟 multiplié par 𝑥 puissance moins deux 𝑟.
Nous savons de nos lois sur les exposants que lorsque la base est la même, nous pouvons ajouter les exposants ou les puissances. Notre expression devient C six 𝑟 multiplié par 𝑥 puissance six moins 𝑟 plus moins deux 𝑟. En simplifiant de nouveau on obtient C six 𝑟 multiplié par 𝑥 puissance six moins trois 𝑟. Dans cette question, nous nous intéressons au coefficient lorsque l’exposant de 𝑥 est moins six. Nous devons calculer la valeur de 𝑟 lorsque six moins trois 𝑟 est égal à moins six. Nous pouvons soustraire six des deux membres de cette équation de sorte que moins trois 𝑟 soit égal à moins 12. En divisant les deux membres par moins trois on a 𝑟 égal à quatre. Nous pouvons maintenant remplacer par cette valeur dans l’expression de notre terme.
Cela nous donne C six quatre multiplié par 𝑥 puissance moins six. Le coefficient de ce terme est donc égal à C six quatre. Nous savons que C 𝑛 𝑟 ou 𝑛C𝑟 est égal à factorielle 𝑛 divisée par factorielle 𝑛 moins 𝑟 multipliée par factorielle 𝑟. C six quatre est donc égal à factorielle six divisée par factorielle quatre multipliée par factorielle deux. Factorielle six correspond à six multiplié par cinq multiplié par factorielle quatre. La simplification par factorielle quatre nous donne six multiplié par cinq divisé par factorielle deux. Comme factorielle deux est égale à deux et 30 divisé par deux est 15, C six quatre est égal à 15. Le coefficient de 𝑥 puissance moins six dans le développement est 15.
