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Vidéo de la leçon : Terme général dans la formule du binôme Mathématiques

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à trouver un terme spécifique dans le développement d’un binôme, et à déterminer la relation entre deux termes consécutifs.

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Transcription de vidéo

Dans cette vidéo, nous allons apprendre comment trouver un terme spécifique dans le développement d’un binôme, et comment déterminer la relation entre deux termes consécutifs. Nous allons commencer par examiner la formule du binôme et rappeler ce que représente chacune de ses parties.

Le théorème binomial nous donne une formule générale pour le développement des binômes élevés à de grandes puissances. La formule du binôme dit que 𝑎 plus 𝑏 à la puissance 𝑛 est égal à 𝑛 parmi zéro fois 𝑎 à la puissance 𝑛 plus 𝑛 parmi un fois 𝑎 à la puissance 𝑛 moins un fois 𝑏 à la puissance un, et ainsi de suite. Le terme général du développement est 𝑛 parmi 𝑟 fois 𝑎 à la puissance 𝑛 moins 𝑟 fois 𝑏 à la puissance 𝑟. On passe ensuite au dernier terme 𝑛 parmi 𝑛 fois 𝑏 à la puissance 𝑛. L'exposant ou la puissance de 𝑎 diminue, tandis que la puissance de 𝑏 augmente.

La notation des combinaisons de 𝑛 parmi 𝑟 ou 𝑛 C 𝑟 signifie factorielle 𝑛 divisée par 𝑛 moins factorielle 𝑟 fois factorielle 𝑟. Il y a d'autres façons d'écrire cela comme indiqué, mais nous adhérons à la première notation dans cette vidéo. En plus de la formule générale, nous nous intéressons parfois à un terme spécifique du développement. Ce sera l'objet de la première moitié de cette vidéo. Le terme général que nous pouvons voir dans le développement est 𝑛 C 𝑟 fois 𝑎 à la puissance 𝑛 moins 𝑟 fois 𝑏 à la puissance 𝑟. Le terme général est noté comme 𝑎 indice 𝑟 plus un. En effet, le premier terme apparaît lorsque 𝑟 est égal à zéro, comme le montre notre développement. Il est également important de noter qu'il y aura un total de termes 𝑛 plus un dans tout développement binomial.

Nous allons maintenant voir une question où il faut trouver un terme spécifique dans le développement d’un binôme.

Détermine le troisième terme dans le développement de deux 𝑥 plus cinq sur la racine carrée de 𝑥 à la puissance cinq.

C'est un exemple de développement binomial écrit sous la forme 𝑎 plus 𝑏 à la puissance 𝑛. Nous pourrions écrire tout le développement. Cependant, nous savons que le terme général 𝑎 indice 𝑟 plus un est égal à 𝑛 parmi 𝑟 fois 𝑎 à la puissance 𝑛 moins 𝑟 fois 𝑏 à la puissance 𝑟. Dans cette question, nous voulons trouver le troisième terme 𝑎 indice trois. A l'intérieur des parenthèses, nous avons deux termes. 𝑎, le premier terme, est égal à deux 𝑥. Et 𝑏, le deuxième terme, est égal à cinq sur la racine 𝑥.

L'exposant ou la puissance à laquelle ce terme est élevé est cinq. Donc, 𝑛 est égal à cinq. En essayant de trouver le troisième terme, 𝑟 plus un est égal à trois. En soustrayant un des deux côtés de cette équation, on obtient 𝑟 est égal à deux. Nous pouvons maintenant remplacer avec ces quatre valeurs dans la formule du terme général. Le troisième terme est donc égal à cinq parmi deux fois deux 𝑥 au cube fois cinq sur la racine carrée de 𝑥 au carré.

Nous savons que 𝑛 parmi 𝑟 est égal à factorielle 𝑛 divisée par 𝑛 moins factorielle 𝑟 fois factorielle 𝑟. Cinq parmi deux est donc égal à factorielle cinq divisée par factorielle trois fois factorielle deux. On peut réécrire factorielle cinq comme cinq fois quatre fois factorielle trois. Cela se simplifie en cinq fois quatre divisé par factorielle deux, qui est égal à 10. Cinq parmi deux est égal à 10.

En élevant deux 𝑥 au cube, nous pouvons élever le deux et le 𝑥 au cube séparément. Comme deux au cube est huit, deux 𝑥 au cube est huit 𝑥 au cube. Nous pouvons utiliser une méthode similaire à celle utilisée pour élever une fraction au carré. Nous élevons au carré le numérateur et le dénominateur séparément. Cinq au carré est 25, et la racine carrée de 𝑥 au carré est 𝑥. La racine carrée et l'élévation au carré sont des opérations inverses. Le troisième terme est donc égal à 10 fois huit 𝑥 au cube fois 25 sur 𝑥.

Cela peut être simplifié en 2000𝑥 au carré car 25 fois huit fois 10 est égal à 2000 et 𝑥 au cube divisé par 𝑥 est 𝑥 au carré. Le troisième terme dans l'développement de deux 𝑥 plus cinq sur la racine carrée de 𝑥 à la puissance cinq est 2000𝑥 au carré. Pour gagner du temps, on aurait pu aussi calculer cinq parmi deux sur la calculatrice.

Dans notre question suivante, nous allons examiner deux termes différents dans le développement d’un binôme.

Considérons le développement de 𝑥 à la puissance cinq sur huit moins huit sur 𝑥 le tout à la puissance neuf suivant les puissances décroissantes de 𝑥. Pour quelles valeurs de 𝑥 la somme des deux termes médians est-elle égale à zéro ?

Dans cette question, nous avons une expression binomiale écrite sous la forme 𝑎 plus 𝑏 à la puissance 𝑛. Lorsque nous développons une expression de ce type, nous savons qu'elle comportera 𝑛 plus un termes. Cela signifie que notre développement aura 10 termes, et les deux termes médians sont le cinquième et le sixième. Nous nous intéressons aux termes 𝑎 indice cinq et 𝑎 indice six, le cinquième et le sixième terme du développement.

Nous savons que le terme général de tout développement binomial 𝑎 indice 𝑟 plus un est égal à 𝑛 parmi 𝑟 fois 𝑎 à la puissance 𝑛 moins 𝑟 fois 𝑏 à la puissance 𝑟. Le cinquième terme est donc égal à neuf parmi quatre fois 𝑥 à la puissance cinq sur huit à la puissance cinq fois moins huit sur 𝑥 à la puissance quatre.

D’autre part, le sixième terme est égal à neuf parmi cinq fois 𝑥 à la puissance cinq sur huit à la puissance quatre fois moins huit sur 𝑥 à la puissance cinq. On nous dit que la somme de ces deux termes est égale à zéro. Cela signifie que le cinquième terme est égal à la valeur négative du sixième terme. Nous remarquons que neuf parmi quatre est égal à neuf parmi cinq car ils sont tous deux égaux à factorielle neuf divisée par factorielle cinq fois factorielle quatre.

Nous pouvons donc annuler cela des deux côtés de notre équation. Les deux côtés de l'équation peuvent également être divisés par 𝑥 à la puissance cinq sur huit à la puissance quatre. Cela signifie que le côté gauche devient 𝑥 à la puissance cinq sur huit. Nous pouvons également diviser les deux côtés par moins huit sur 𝑥 à la puissance quatre. Le côté droit devient moins moins huit sur 𝑥. Deux signes négatifs donnent un signe positif.

On peut alors utiliser la règle de trois. Nous pouvons multiplier les deux côtés par huit et 𝑥. Cela nous donne 𝑥 à la puissance six est égale à 64. Nous pouvons alors prendre la sixième racine des deux côtés. Cela nous donne 𝑥 est égal à plus ou moins deux car les deux valeurs élevées à la puissance six nous donnent 64.

Le mot « valeurs » dans la question suggère que nous aurons plus d'une réponse. La somme des deux termes médians est égale à zéro lorsque 𝑥 est égal à moins deux ou deux.

Dans la suite de cette vidéo, nous verrons ce qui se passe lorsque nous envisageons le rapport entre les termes consécutifs du développement d’un binôme.

Considérons le développement de huit 𝑥 plus deux 𝑦 à la puissance 23. Déterminez le rapport entre le huitième et le septième terme.

Nous rappelons que le terme général 𝑎 indice 𝑟 plus un est égal à 𝑛 parmi 𝑟 fois 𝑎 à la puissance 𝑛 moins 𝑟 fois 𝑏 à la puissance 𝑟. Cela signifie que le rapport entre le huitième et le septième terme, 𝑎 huit divisé par 𝑎 sept, est égal à 23 parmi sept fois huit 𝑥 à la puissance 16 fois deux 𝑦 à la puissance sept divisé par 23 parmi six fois huit 𝑥 à la puissance 17 fois deux 𝑦 à la puissance six.

On voit tout de suite qu'on peut diviser le numérateur et le dénominateur par huit 𝑥 à la puissance 16. Il nous reste donc huit 𝑥 au numérateur. Nous constatons que cela était égal au premier terme de notre développement binomial.

Nous pouvons également diviser le numérateur et le dénominateur par deux 𝑦 à la puissance six. Il nous reste donc deux 𝑦 au numérateur, ce qui est égal au deuxième terme de notre développement. Nous rappelons que le rapport des combinaisons consécutives 𝑛 parmi 𝑟 divisé par 𝑛 parmi 𝑟 moins un est donné par 𝑛 moins 𝑟 plus un sur 𝑟. Cela signifie que 23 parmi sept divisé par 23 parmi six est égal à 23 moins sept plus un sur sept. Cela est simplifié en 17 sur sept.

Le rapport du huitième terme divisé par le septième terme est donc égal à 17 fois deux 𝑦 divisé par sept fois huit 𝑥. Cela à son tour est simplifié en 17𝑦 sur 28𝑥. C’est le rapport entre le huitième et le septième terme.

Cet exemple nous amène à une expression simple pour le rapport général entre des termes consécutifs. Si nous avons deux termes consécutifs, 𝑎 indice 𝑟 plus un et 𝑎 indice 𝑟, du développement 𝑎 plus 𝑏 à la puissance 𝑛, alors le rapport de ces deux termes est égal à 𝑛 parmi 𝑟 fois 𝑎 à la puissance 𝑛 moins 𝑟 fois 𝑏 à la puissance 𝑟 le tout divisé par 𝑛 parmi 𝑟 moins un fois 𝑎 à la puissance 𝑛 moins 𝑟 plus un fois 𝑏 à la puissance 𝑟 moins un. Cela simplifie à 𝑛 moins 𝑟 plus un sur 𝑟 fois 𝑏 sur 𝑎. Nous pouvons citer cette formule pour nous aider à résoudre les problèmes liés aux rapports de termes consécutifs dans les développements de binômes.

Dans notre dernière question, nous allons voir le rapport entre les termes non consécutifs.

Déterminez le rapport entre le 15e et le 17e terme dans le développement de 𝑥 moins 12 à la puissance 19.

Afin de répondre à cette question, nous utiliserons deux formules liées au développement d'une expression binomiale de la forme 𝑎 plus 𝑏 à la puissance 𝑛. Nous savons que le terme général de ce développement, 𝑎 indice 𝑟 plus un, est égal à 𝑛 parmi 𝑟 fois 𝑎 à la puissance 𝑛 moins 𝑟 fois 𝑏 à la puissance 𝑟. Nous savons également que le rapport des termes consécutifs d'un développement binomial, 𝑎 indice 𝑟 plus un sur 𝑎 indice 𝑟, est égal à 𝑛 moins 𝑟 plus un sur 𝑟 fois 𝑏 sur 𝑎.

Dans cette question, nous traitons le 15e et le 17e terme du développement. Le 15e terme est égal à 19 parmi 14 fois 𝑥 à la puissance cinq fois moins 12 à la puissance 14. Le 17e terme est égal à 19 parmi 16 fois 𝑥 au cube fois moins 12 à la puissance 16. Nous pouvons diviser 𝑥 à la puissance cinq et 𝑥 au cube par 𝑥 au cube, nous laissant avec 𝑥 au carré au numérateur. De même, en divisant le numérateur et le dénominateur par moins 12 à la puissance 14, on obtient moins 12 au carré au dénominateur. C'est la même chose que 𝑎 au carré sur 𝑏 au carré.

Nous devons maintenant considérer ce qui se passe lorsque nous divisons des combinaisons non consécutives. Comme le 17e terme est deux termes après le 15e terme, nous avons 𝑎 indice 𝑟 sur 𝑎 indice 𝑟 plus deux. La partie des combinaisons sera égale à 𝑛 parmi 𝑟 moins un sur 𝑛 parmi 𝑟 plus un. Lorsqu'on écrit cela comme factorielles, ça semble assez compliqué. Cependant, nous verrons assez rapidement que certains termes s'annulent. Nous pouvons alors utiliser nos propriétés de factorielles, et le fait de savoir que diviser une fraction par une autre fraction revient à multiplier la première fraction par l’inverse de la deuxième. La partie des combinaisons est donc égale à 𝑟 fois 𝑟 plus un divisé par 𝑛 moins 𝑟 plus un fois 𝑛 moins 𝑟.

Nous pouvons maintenant voir le lien entre ce résultat et le rapport des termes consécutifs. Nous pouvons maintenant revenir à notre question pour calculer 19 parmi 14 divisé par 19 parmi 16. Comme 𝑛 est égal à 19 et 𝑟 est égal à 15, nous avons 15 fois 16 divisé par cinq fois quatre. Nous savons que moins 12 au carré est 144. Nous devons donc multiplier la première partie par 𝑥 au carré sur 144. Cela est simplifié en 12𝑥 au carré sur 144. Enfin, nous pouvons diviser le numérateur et le dénominateur par 12 de sorte que le rapport entre le 15e et le 17e terme soit 𝑥 au carré sur 12.

Nous allons maintenant résumer les points clés de cette vidéo. Le terme général dans le développement d’un binôme 𝑎 plus 𝑏 à la puissance 𝑛 est désigné par 𝑎 indice 𝑟 plus un. Ceci est égal à 𝑛 parmi 𝑟 fois 𝑎 à la puissance 𝑛 moins 𝑟 fois 𝑏 à la puissance 𝑟. Les termes consécutifs dans un développement binomial sont reliés par la formule 𝑎 indice 𝑟 plus un sur 𝑎 indice 𝑟 égale 𝑛 moins 𝑟 plus un sur 𝑟 fois 𝑏 sur 𝑎. Nous avons également vu dans notre dernière question que cette formule peut être manipulée lorsqu'il s'agit de rapports de termes non consécutifs.

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