Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre comment déterminer un terme spécifique dans le développement d’un binôme, et comment déterminer la relation entre deux termes consécutifs.
La formule du binôme de Newton nous donne une formule générale qui permet de développer des binômes à des puissances arbitrairement grandes. Maîtriser son utilisation se révèle extrêmement utile pour des sujets plus avancés en mathématiques. Commençons par rappeler l’énoncé de la formule du binôme de Newton.
Théorème : Formule du binôme de Newton
Pour un entier , où
Il est important de noter que si vous lisez plus en détail ce sujet, vous rencontrerez peut-être d’autres notations pour , à savoir , , et .
Au-delà de la formule générale, il est parfois intéressant d’étudier un terme particulier dans le développement. Pour cela, nous utilisons la formule du terme général présentée ci-dessous.
Formule : Terme général du développement de binôme
Dans le développement de , le terme général est donné par
Il est important de noter que le premier terme est le terme pour lequel lorsque l’on se réfère aux termes dans l’ordre .
Cette fiche explicative se concentre sur l’utilisation du terme général pour résoudre des problèmes concernant des termes spécifiques du développement de binôme. Pour beaucoup de ces questions, nous pouvons toujours recourir au développement total du binôme. Cependant, cela est souvent laborieux, et l’utilisation du terme général conduit à des solutions plus simples et moins sujettes aux erreurs.
En général, nous devons toujours nous rappeler que le premier terme d’un développement de binôme est le terme pour lequel . C’est une erreur commune de supposer que le premier terme est lorsque . Cependant, cela est incorrect et c’est pourquoi nous avons tendance à définir plutôt que pour renforcer ce fait. Bien que nous puissions écrire les termes d’un développement de binôme dans n’importe quel ordre, il existe un ordre standard qui est présumé dans la plupart des questions demandant le deuxième, troisième ou dixième terme. L’ordre standard pour les termes du développement de est avec des puissances décroissantes de et des puissances croissantes de .
Exemple 1: Déterminer un terme spécifique dans un développement de binôme
Déterminez le troisième terme du développement de .
Réponse
Pour une question comme celle-ci, il serait parfaitement correct d’écrire le développement complet, puis de prendre le coefficient du terme demandé. Cependant, faire appel à la formule avec le terme général simplifie notre calcul. C’est la méthode que nous allons démontrer ici. Rappelons que la formule du terme général pour le développement de est
Nous devons cependant nous rappeler que le premier terme commence à partir de . Le troisième terme sera donc donné par et non par . Ainsi, en définissant , , et , nous avons
Par conséquent, le troisième terme du développement est .
Notons qu’en utilisant le terme général, nous pouvons souvent simplifier les calculs à effectuer. Dans notre deuxième exemple, nous examinerons un concept très similaire, mais avec un binôme élevé à une puissance supérieure.
Exemple 2: Déterminer un terme donné dans un développement de binôme
Déterminez dans le développement de binôme de .
Réponse
Pour le développement de , le terme général est défini comme suit :
Ainsi, en définissant , , et , nous avons
Puisque , on peut réécrire ceci comme
On peut alors simplifier cela en utilisant les lois des puissances comme suit :
Par conséquent, le quatrième terme du développement, , est égal à .
Comme nous l’avons vu dans les deux exemples précédents, nous pouvons utiliser le terme général d’un développement du binôme pour trouver un terme spécifique du développement, mais également, on pourrait nous demander d’identifier le coefficient d’un terme spécifique comme nous le montrerons dans notre exemple suivant.
Exemple 3: Déterminer le coefficient d’un terme spécifié dans un développement du binôme
Déterminez le coefficient de dans le développement de .
Réponse
La première chose à noter dans cet exemple est que nous pouvons réécrire le développement du binôme comme . Nous devons ensuite identifier les termes qui donnent un exposant de . Rappelons que le terme général du développement de est . Nous avons , et , de sorte que la substitution de ces expressions dans le terme général conduit à
En utilisant la loi de puissance, nous pouvons écrire ceci comme
Comme on veut le terme avec , nous voulons que l’exposant de soit égal à . Cela signifie ce qui mène à . On peut le vérifier en substituant dans le terme général :
On voit que le coefficient du terme est exactement . Ainsi, le coefficient de vaut 15.
Dans l’exemple suivant, nous allons voir comment résoudre des problèmes avec des inconnues en utilisant le terme général.
Exemple 4: Utiliser le terme général pour déterminer des inconnues
Les termes du développement de sont ordonnés selon les puissances décroissantes de . Sachant que , déterminez la valeur de .
Réponse
Pour résoudre ce problème, nous pouvons utiliser la formule du terme général du développement de binôme pour trouver une expression alternative de . Nous pourrons alors égaliser les expressions et déterminer . Rappelons que le terme général du développement du binôme est donné par
En définissant , , et , nous avons
Dans la question, il est indiqué que . Nous pouvons ainsi égaliser ces deux expressions de comme suit :
Nous pouvons voir que les deux membres de l’équation contiennent le facteur , et en égalisant les coefficients, on peut écrire
En prenant la racine cubique des deux membres de l’équation, on obtient .
Dans notre prochain exemple, regardons comment nous pouvons utiliser le terme général pour résoudre un problème en plusieurs étapes.
Exemple 5: Utiliser le terme général
Si le coefficient du troisième terme dans le développement de est , déterminez le terme médian du développement.
Réponse
En utilisant la formule du terme général du développement de binôme, nous pouvons trouver une expression du coefficient du troisième terme en fonction de . En utilisant cela, nous pouvons déterminer puis le terme médian du développement. Rappelons que le terme général du développement du binôme est donné par
Puisqu’il y a un signe négatif dans l’expression binomiale, on peut commencer par écrire
Notez que l’expression pour le terme général commence à ; par conséquent, pour calculer le troisième terme, nous devons définir . En remplaçant , et , nous avons
Rappelant que , on peut réécrire ceci comme ce qui se simplifie à
Comme on nous indique que le coefficient de ce terme est , on peut écrire
En multipliant les deux membres de l’équation par 32, nous obtenons
Si l’on soustrait 132 des deux membres de l’équation, cela conduit à l’équation du second degré
Nous pouvons résoudre ce problème pour en factorisant pour trouver
Par conséquent, ou . La formule du binôme ne s’applique qu’au développement d’un binôme élevé à une puissance entière positive. Par conséquent, doit être un entier positif, de sorte que nous pouvons rejeter la solution négative et donc . Nous pouvons maintenant l’utiliser pour déterminer le terme médian du développement. Comme , il y aura treize termes dans le développement, et le terme médian sera le septième terme. Ainsi, nous pouvons utiliser la formule du terme général pour déterminer le septième terme de ce développement. Encore une fois, puisque commence à , le septième terme du développement correspond à . En substituant cette valeur dans la formule du terme général, on obtient
Par conséquent, le terme médian dans le développement est .
Si nous calculons deux termes consécutifs dans un développement de binôme, nous pouvons alors déterminer le rapport entre eux. Pour les termes et , le rapport entre eux est . Nous montrerons comment calculer cela dans notre prochain exemple.
Exemple 6: Déterminer le rapport entre les termes consécutifs
On considère le développement de . Déterminez le rapport entre le huitième et le septième terme.
Réponse
Rappelons que la formule du terme général du développement du binôme est
Ici, représente le terme dans le développement du binôme. Cela signifie que le septième terme, , est obtenu en utilisant , et le huitième terme, , est obtenu en utilisant . On peut écrire le terme général du développement de en définissant , et comme suit :
Comme mentionné précédemment, nous pouvons calculer le septième terme en substituant :
De même, nous pouvons calculer le huitième terme en substituant :
Par conséquent, le rapport entre le huitième et le septième terme est donné par
En utilisant les règles des exposants, nous pouvons simplifier cela pour
Rappelons que le rapport entre des combinaisons consécutives est donné par
Par conséquent,
En le substituant à l’équation ci-dessus, nous avons
Par conséquent, le rapport entre le huitième et le septième terme dans le développement du binôme est .
Dans l’exemple précédent, nous avons considéré le rapport entre deux termes consécutifs. C’est en fait une chose commune à considérer, et il y a une expression simple pour cela en général. On considère les deux termes consécutifs et du développement de ; en utilisant la formule pour le terme général, nous pouvons écrire leur rapport comme suit :
En utilisant les règles des exposants, nous pouvons simplifier cela pour
On peut maintenant utiliser la formule pour les rapports de combinaisons consécutives, pour réécrire cela comme
Formule : Le rapport entre les termes consécutifs d’un développement du binôme
Pour deux termes consécutifs et dans le développement , le rapport entre eux est
Nous pouvons utiliser cette formule pour nous aider à résoudre des problèmes impliquant les rapports de termes consécutifs dans les développements de binôme.
Exemple 7: Utiliser les rapports entre les termes consécutifs pour résoudre les inconnues
On considère le développement de , où est positif. Déterminez les valeurs de , et sachant que , et .
Réponse
L’une des façons les plus simples de résoudre ce problème consiste à considérer les rapports de termes consécutifs. Rappelons que le rapport de deux termes consécutifs et dans le développement de est donné par
En remplaçant et , respectivement, avec les valeurs de , et , on obtient
En considérant le rapport de ces deux rapports, nous pouvons éliminer et et nous retrouver avec une équation en fonction de en divisant l’équation (1) par équation (2). Par conséquent,
Cela équivaut à
En simplifiant cela, on obtient
En substituant aux valeurs de , et , nous avons
Diviser les deux membres par donne
Appliquer le produit en croix par et 6 nous donne
Cela peut être résolu comme suit :
Par conséquent,
En substituant notre valeur de dans l’équation (1), nous avons
Diviser les deux membres de l’équation par conduit à . En multipliant les deux membres de l’équation par a, nous obtenons . On peut maintenant utiliser la formule du terme général pour déterminer la valeur de et comme suit. On peut écrire le terme général en remplaçant et le rendre égal à la valeur donnée :
Puisque , on peut réécrire ceci comme
Rappelons que et par conséquent
Nous avons ce qui se simplifie à
Prendre la 10e racine des deux membres de l’équation mène à . Puisqu’on nous dit que doit être positif, on obtient . Nous savons que ; par conséquent, . Notre réponse finale est et .
Exemple 8: Utiliser le rapport entre des termes consécutifs
On considère le développement du binôme selon les puissances croissantes de . Quand , un des termes du développement est égal à deux fois le terme suivant. Déterminez la position de ces deux termes.
Réponse
Rappelons d’abord que le terme général du développement de est
Cela conduit à un ordre croissant des puissances de quand on substitue et , et qu’on augmente systématiquement la valeur de . La question stipule que lorsque , l’un des termes du développement, organisé en puissances croissantes de , est égal à deux fois son terme suivant. On peut écrire cela algébriquement comme
Par conséquent,
Rappelons que pour le développement du binôme de , le rapport entre termes consécutifs est donné par
En définissant , et , on peut réécrire ceci comme
Étant donné que cela est égal à la moitié lorsque , on peut écrire
Multiplier les deux membres de l’équation par nous donne
En ajoutant aux deux membres de l’équation, nous obtenons
En divisant par 29, on obtient . Par conséquent, les deux termes qui vérifient la condition donnée sont et .
Nous pouvons également calculer des rapports entre des termes non consécutifs en utilisant des méthodes similaires, bien que le processus soit un peu plus compliqué. Nous le démontrerons dans notre dernier exemple.
Exemple 9: Rapports de termes non consécutifs
On considère le développement de , où est une constante positive. Déterminez les valeurs de et , sachant que le rapport entre les coefficients de et est égal à et que le rapport entre les coefficients de et est égal à .
Réponse
Une approche possible de ce problème serait de calculer directement les expressions pour les rapports entre les coefficients des douzième et quatorzième termes et les septième et neuvième termes en appliquant la formule pour les termes consécutifs. Par exemple, pour le rapport entre le douzième et le quatorzième terme, on pourrait utiliser la relation
Cependant, étant donné que nous devons calculer deux rapports et finalement former deux équations, nous commencerons par dériver une expression algébrique pour le rapport des deux termes et puis substituer les valeurs nécessaires de (et les autres variables) pour déterminer les expressions particulières des deux rapports.
Nous pouvons le faire en commençant par la formule pour le rapport de deux termes consécutifs, , qui est
On peut alors former l’équation suivante :
On peut calculer le rapport en remplaçant dans la formule pour le rapport de termes consécutifs :
Par conséquent,
Nous avons des informations sur le rapport entre les coefficients des douzième et quatorzième termes et le rapport entre les coefficients des septième et neuvième termes, nous devons donc commencer par regarder l’inverse de notre équation ci-dessus :
Dans la question, on nous indique le rapport entre les coefficients des douzième et quatorzième termes et de même le rapport entre les coefficients des septième et neuvième termes. En substituant à , et , nous avons
De même, en remplaçant , on obtient
Comme nous connaissons la valeur du rapport des coefficients, nous pouvons retirer la variable des rapports ci-dessus et former les équations suivantes :
Équation de division (3) par équation (4), notant que cela revient à multiplier l’équation (3) par l’inverse de chaque membre de l’équation (4), on note que cela revient à multiplier la première équation par les réciproques de chaque membre de la deuxième équation, on a
Cela se simplifie à
Multiplier par et diviser par nous donne
En multipliant par 87, et en multipliant par les parenthèses, nous avons
En regroupant tous les termes sur le membre gauche, nous avons
Nous pouvons résoudre cette équation en utilisant la formule des racines du second degré dont nous nous souvenons pour le second degré , afin de trouver les solutions et . Puisque doit être un entier positif, on peut rejeter la solution fractionnaire et conclure que . Enfin, nous devons remplacer dans l’une ou l’autre équation (3) ou (4) pour trouver . Nous substituerons à l’équation (4) :
Par conséquent, ce qui donne . On nous dit que est en fait une constante positive qui nous donne une réponse finale de .
Terminons par résumer quelques concepts importants de cette fiche explicative.
Points clés
- Utiliser le terme général pour le développement du binôme simplifie souvent les calculs pour lesquels nous ne sommes intéressés que par des termes spécifiques et leurs coefficients.
- La formule du terme général pour le développement du binôme est En particulier, il faut noter que le premier terme correspond à . Cela signifie que le terme général est obtenu en utilisant sous la forme générale.
- Les termes consécutifs du développement du binôme sont liés par la formule
