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Soit 𝑓 de 𝑥 égale huit 𝑥 au carré moins six 𝑥 plus neuf. Utilisez la définition de la dérivée pour déterminer 𝑓 prime de 𝑥. Quelle est le coefficient directeur de la tangente à sa courbe en 𝑥 égale à un ?
Cette question comporte deux parties. Premièrement, nous devons trouver 𝑓 prime de 𝑥 en utilisant la définition de la dérivée. Deuxièmement, nous devons trouver le coefficient directeur, ou la pente, de la tangente en 𝑥 est égal à un. Commençons par rappeler la définition de la dérivée. Elle indique que 𝑓 prime de 𝑥 est égale à la limite lorsque ℎ tend vers zéro de 𝑓 de 𝑥 plus ℎ moins 𝑓 de 𝑥 le tout divisé par ℎ. Nous notons que puisque 𝑓 de 𝑥 est égale à huit 𝑥 au carré moins six 𝑥 plus neuf, alors 𝑓 de 𝑥 plus ℎ est égale à huit fois 𝑥 plus ℎ au carré moins six multiplié par 𝑥 plus ℎ plus neuf.
Avant de substituer ces expressions à la définition de la dérivée, il convient de développer et de réduire l’expression de 𝑓 de 𝑥 plus ℎ. Mettre 𝑥 plus ℎ au carré nous donne 𝑥 au carré plus deux ℎ𝑥 plus ℎ au carré. En multipliant cela par huit, nous avons huit 𝑥 au carré plus 16𝑥ℎ plus huit ℎ au carré. En multipliant moins six par 𝑥 plus ℎ, nous obtenons moins six 𝑥 moins six ℎ. 𝑓 de 𝑥 plus ℎ est donc égale à huit 𝑥 au carré plus 16𝑥ℎ plus huit ℎ au carré moins six 𝑥 moins six ℎ plus neuf.
Nous sommes maintenant en mesure de substituer cette expression avec l’expression de 𝑓 de 𝑥 dans la définition de la dérivée. 𝑓 prime de 𝑥 est égale à la limite lorsque ℎ tend vers zéro de huit 𝑥 au carré plus 16𝑥ℎ plus huit ℎ au carré moins six 𝑥 moins six ℎ plus neuf moins huit 𝑥 au carré moins six 𝑥 plus neuf le tout divisé par ℎ. Nous pouvons simplifier le numérateur en supprimant huit 𝑥 au carré, moins six 𝑥 et neuf. Nous pouvons alors diviser les trois termes restants au numérateur par ℎ. Cela nous laisse avec 𝑓 prime de 𝑥 est égale à la limite lorsque ℎ tend vers zéro de 16𝑥 plus huit ℎ moins six. Enfin, par substitution directe de ℎ est égal à zéro, nous avons 𝑓 prime de 𝑥 est égale à 16𝑥 moins six. Voici la réponse à la première partie de notre question.
Notez que bien qu’on nous ait dit d’utiliser la définition de la dérivée dans cette question, nous aurions pu également trouver une expression pour 𝑓 prime de 𝑥 en utilisant la règle des puissances pour la dérivation. Elle dit que si 𝑓 de 𝑥 est égale à 𝑎 multiplié par 𝑥 à la puissance 𝑛, alors 𝑓 prime de 𝑥 est égale à 𝑛 multiplié par 𝑎 multiplié par 𝑥 à la puissance 𝑛 moins un. Appliquer cette règle pour dériver 𝑓 de 𝑥 terme à terme nous donnerait également 𝑓 prime de 𝑥 égale 16𝑥 moins six.
La deuxième partie de la question nous demandait de trouver la pente de la tangente à la courbe en 𝑥 égale à un. Nous rappelons que 𝑓 prime de 𝑥 nous donne une expression du coefficient directeur de la tangente. Lorsque 𝑥 est égal à un, nous avons 𝑓 prime de un est égale à 16 multiplié par un moins six. Ceci équivaut à 10. Ainsi, lorsque 𝑥 est égal à un, 𝑓 prime de 𝑥 est égale à 10. Nous pouvons donc en conclure que la pente de la tangente en 𝑥 égale un est égale à 10. Nous avons donc répondu aux deux parties de la question.
