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Fiche explicative de la leçon : Définition de la dérivée Mathématiques

Dans cette fiche explicative, nous allons apprendre comment calculer la dérivée d’une fonction en utilisant la définition formelle de la dérivée en fonction d’une limite.

Le concept de taux de variation est au cœur de nombreux problèmes bien concrets, on l’utilise par exemple en mécanique et en dynamique des populations, mais aussi pour calculer la décroissance radioactive ou la vitesse d’une réaction chimique. Le développement de la mécanique newtonienne est d’ailleurs intimement lié à l’étude mathématique des taux de variation. La nécessité de pouvoir décrire mathématiquement la mécanique à l’œuvre dans le monde réel a largement contribué à l’essor de l’étude des taux de variation.

Si l’on considère une voiture, d’abord à l’arrêt, puis en train d’accélérer, on voit que sa vitesse augmente. Au départ, sa vitesse est nulle, ensuite, elle atteint 10 milles par heure, puis 20. Mais quand on dit que la voiture roule à telle ou telle vitesse, qu’entend-on exactement par là?Par exemple, si le compteur de la voiture affiche 10 milles par heure, que cela signifie-t-il?On pourrait répondre à cette question en disant que si la voiture continue de rouler à cette vitesse, elle parcourra 10 milles en une heure. Mais on pourrait aussi s’intéresser au nombre de mètres qu’elle parcourra en une seconde, ou même pendant un intervalle de temps encore plus petit. Cependant, si l’on va jusqu’à considérer un intervalle de temps nul, la distance parcourue sera évidemment de zero mètres. Par ailleurs, la voiture ne roule pas à vitesse constante:elle accélère.

En développant le concept de dérivée, de grands mathématiciens du passé tels que Newton et Leibniz ont relevé le défi de formaliser ces problématiques de manière rigoureuse. Dans cette fiche explicative, nous présenterons la définition de la dérivée et nous verrons comment cette définition répond à l’apparente contradiction du concept de taux de variation instantané.

On peut se représenter le concept de dérivée en un point 𝑥 d’une courbe comme le fait de faire une approximation de plus en plus fine de la tangente à la courbe en ce point. Pour cela, on peut considérer la pente de la droite sécante qui passe par 𝑥 et un autre point de la courbe, que l’on rapproche progressivement de 𝑥.

Il apparaît clairement que l’approximation de la pente de la tangente s’améliore au fur et à mesure que se rapproche de 0. La dérivée est définie formellement comme la limite de ce processus.

Définition : Nombre dérivé

Le nombre dérivé d’une fonction au point 𝑥 est définie comme lim𝑓(𝑥+)𝑓(𝑥), si la limite existe. Une définition alternative mais équivalente du nombre dérivé en 𝑥 est lim𝑓(𝑥)𝑓(𝑥)𝑥𝑥, si la limite existe.

Deux notations sont couramment utilisées pour exprimer les dérivées:la notation de Leibniz et la notation prime (parfois appelée notation de Lagrange). Considérons la fonction 𝑦=𝑓(𝑥), pour exprimer sa dérivée, la notation de Leibniz utilise les infinitésimaux d𝑦 et d𝑥, et on écrit dd𝑦𝑥, qui se lit « la dérivée de 𝑦 par rapport à 𝑥 » ou « d𝑦 sur d𝑥 ».

Avec la notation prime, la dérivée de 𝑓(𝑥) par rapport à 𝑥 est notée 𝑓(𝑥) et lue « 𝑓 prime de 𝑥 ».

Il est nécessaire de connaître les deux définitions de la dérivée données ci-dessus et d’être à l’aise avec les deux notations présentées.

La première définition de la dérivée est souvent plus facile à utiliser, même si dans certains cas la seconde l’est tout autant. Dans notre premier exemple, nous montrerons comment utiliser la seconde forme de la définition de la dérivée.

Exemple 1: Calculer le nombre dérivé en un point

Déterminez la dérivée de 𝑓(𝑥)=𝑥 au point 𝑥=2 en utilisant la définition de la dérivée.

Réponse

On rappelle que la définition du nombre dérivé au point 𝑥 est:𝑓(𝑥)=𝑓(𝑥)𝑓(𝑥)𝑥𝑥.lim

On pose 𝑥=2 et 𝑓(𝑥)=𝑥, et l’on a 𝑓(2)=(𝑥)(2)𝑥2=𝑥4𝑥2.limlim

On remarque que le numérateur est la différence de deux carrés que l’on peut factoriser ainsi:𝑓(2)=(𝑥2)(𝑥+2)𝑥2.lim

Étant donné que 𝑥20, on peut éliminer ce facteur commun au numérateur et au dénominateur pour obtenir 𝑓(2)=(𝑥+2).lim

On calcule la limite et on trouve que 𝑓(2)=4.

Nous avons donné plus haut la définition du nombre dérivé. Cependant, on peut aussi considérer la dérivée comme une fonction égale à la pente de la tangente à la courbe en chaque valeur de 𝑥. Dans le prochain exemple, nous montrerons comment procéder pour trouver une fonction dérivée et nous verrons comment utiliser cette fonction pour déterminer la pente de la tangente.

Exemple 2: Trouver la pente de la tangente en utilisant le nombre dérivé

Soit 𝑓(𝑥)=8𝑥6𝑥+9. Utilisez la définition du nombre dérivé pour déterminer 𝑓(𝑥). Quelle est la pente de la tangente à la courbe de la fonction au point (1;2)?

Réponse

Nous utiliserons la définition de la dérivée, 𝑓(𝑥)=𝑓(𝑥+)𝑓(𝑥),lim pour trouver une expression de 𝑓(𝑥). En remplaçant par la fonction donnée dans l’énoncé, on a 𝑓(𝑥)=8(𝑥+)6(𝑥+)+98𝑥6𝑥+9=8(𝑥+)8𝑥6(𝑥+)+6𝑥.limlim

On développe le numérateur et on obtient 𝑓(𝑥)=8𝑥+2𝑥+8𝑥6𝑥6+6𝑥=16𝑥+86.limlim

Étant donné que 0, on peut éliminer ce facteur commun au numérateur et au dénominateur pour obtenir 𝑓(𝑥)=(16𝑥+86).lim

On peut maintenant calculer la limite quand 0, ce qui nous donne 𝑓(𝑥)=16𝑥6.

La valeur de la dérivée en un point étant égale à la pente de la tangente à la courbe en ce point, la pente de la tangente à la courbe en (1;2) est égale à 𝑓(1)=16(1)6=10.

Il est possible de trouver la dérivée de nombreuses fonctions à partir de la définition de la dérivée, pour cela, on utilise un certain nombre de techniques algébriques pour évaluer les limites. Dans les deux prochains exemples, nous utiliserons la définition du nombre dérivé pour trouver la dérivée d’une fonction inverse et d’une fonction racine.

Exemple 3: Trouver la dérivée d’une fonction inverse

Calculez dd𝑥11+𝑥 en utilisant la définition du nombre dérivé.

Réponse

On rappelle la définition de la dérivée:ddlim𝑦𝑥=𝑓(𝑥+)𝑓(𝑥).

On pose 𝑦=11+𝑥 et on a ddlim𝑦𝑥=.()

Commençons par réécrire cette expression en une seule fraction en mettant au même dénominateur:ddlimlimlim𝑦𝑥==1+𝑥(1+𝑥+)(1+(𝑥+))(1+𝑥)=(1+(𝑥+))(1+𝑥).(())()()(())()

Étant donné que 0, on peut l’éliminer au numérateur et au dénominateur pour obtenir ddlim𝑦𝑥=1(1+(𝑥+))(1+𝑥).

On peut maintenant utiliser les propriétés des limites finies pour réécrire notre expression sous la forme ddlimlim𝑦𝑥=1(1+(𝑥+))(1+𝑥)=1(1+𝑥)(1+(𝑥+)).

On calcule la limite quand 0 et on trouve que dd𝑦𝑥=1(1+𝑥).

Voyons maintenant un exemple dans lequel nous trouverons la dérivée d’une fonction racine en utilisant la définition de la dérivée.

Exemple 4: Trouver la dérivée d’une fonction racine

Trouvez la dérivée de la fonction 𝑔(𝑥)=8𝑥+9 en utilisant la définition de la dérivée, puis indiquez l’ensemble de définition de cette fonction et celui de sa dérivée.

Réponse

D’après la définition de la dérivée, 𝑔(𝑥)=𝑔(𝑥+)𝑔(𝑥),lim on a 𝑔(𝑥)=8(𝑥+)+98𝑥+9=8𝑥+98(𝑥+)+9.limlim

Pour être en mesure d’évaluer cette limite, on doit multiplier le numérateur et le dénominateur par la quantité conjuguée du numérateur:𝑔(𝑥)=8𝑥+98(𝑥+)+98𝑥+9+8(𝑥+)+98𝑥+9+8(𝑥+)+9=64(𝑥+9)64((𝑥+)+9)8𝑥+9+8(𝑥+)+9=648𝑥+9+8(𝑥+)+9.limlimlim

Étant donné que 0, on peut l’éliminer au numérateur et au dénominateur pour obtenir 𝑔(𝑥)=648𝑥+9+8(𝑥+)+9.lim

On peut maintenant utiliser les propriétés des limites finies pour réécrire notre expression sous la forme 𝑔(𝑥)=648𝑥+9+8(𝑥+)+9.lim

On calcule la limite quand 0 et on a 𝑔(𝑥)=6416𝑥+9=4𝑥+9.

On doit maintenant déterminer l’ensemble de définition de la fonction et celui de sa dérivée. La racine carrée d’un nombre négatif n’est pas un réel, donc l’ensemble de définition de 𝑔 se limite aux valeurs de 𝑥 pour lesquelles l’expression sous la racine est positive. Par conséquent, l’ensemble de définition de 𝑔 est défini par 𝑥+90.

Ceci est équivalent à 𝑥9, que l’on peut aussi écrire sous la forme de l’intervalle ];9]. On peut voir que cette restriction de l’ensemble de définition doit aussi être appliquée à la dérivée. Cependant, dans le cas de la dérivée, il faut également que le dénominateur soit différent de zéro. Le dénominateur est égal à zéro quand 𝑥=9. Par conséquent, cette valeur n’appartient pas à l’ensemble de définition de la dérivée. Ainsi, l’ensemble de définition de 𝑔(𝑥) est l’intervalle ];9[.

Il est intéressant de remarquer que la dérivée n’est définie que sur un sous-ensemble de l’ensemble de définition de la fonction d’origine. Nous examinerons ceci plus en détail lorsque nous étudierons la dérivabilité d’une fonction.

Exemple 5: Évaluer des limites en utilisant les nombres dérivés

Évaluez lim𝑓(+4)𝑓(2)+𝑓(2)𝑓(4).

Réponse

Quand on nous demande d’évaluer une limite, il peut être utile d’essayer de la rapporter à un autre objet mathématique que l’on connaît. Dans le cas présent, on peut voir que notre limite ressemble à la définition de la dérivée de 𝑓:𝑓(𝑥)=𝑓(𝑥+)𝑓(𝑥).lim

On va réarranger notre expression pour essayer d’y faire apparaître la définition du nombre dérivé de 𝑓 en un point particulier. On écrit donc limlim𝑓(+4)𝑓(2)+𝑓(2)𝑓(4)=(𝑓(+4)𝑓(4))(𝑓(2)+𝑓(2)).

Étant donné que +4=4+, on voit que la première partie de cette expression est le nombre dérivé 𝑓(4). Par conséquent, en utilisant les propriétés des limites, on a limlimlimlim𝑓(+4)𝑓(2)+𝑓(2)𝑓(4)=(𝑓(4+)𝑓(4))𝑓(2)𝑓(2)=𝑓(4)𝑓(2)𝑓(2).

De même, 2=2+, donc on peut réarranger la seconde limite pour faire apparaître le nombre dérivé 𝑓(2). Par conséquent, lim𝑓(+4)𝑓(2)+𝑓(2)𝑓(4)=𝑓(4)𝑓(2).

Lorsque nous avons donné une explication intuitive du concept de dérivée, nous nous sommes appuyés sur le fait que plus on zoome sur une portion de courbe, plus elle ressemble à une droite. Or, ce n’est pas vrai pour toutes les fonctions. Il existe même de nombreuses fonctions pour lesquelles cette affirmation est fausse. Dans le prochain exemple, nous étudierons l’une de ces fonctions.

Exemple 6: Dérivabilité d’une fonction

Soit la fonction 𝑓(𝑥)=|𝑥|.

  1. Trouvez lim𝑓().
  2. Trouvez lim𝑓().
  3. Que peut-on en déduire pour la dérivée de 𝑓(𝑥) en 𝑥=0?

Réponse

Partie 1

On considère la limite à droite, quand tend vers zéro. Comme |𝑥|=𝑥 pour tout 𝑥0, on a limlimlim𝑓()==1=1.

Partie 2

De la même manière, on peut considérer la limite à gauche, quand tend vers zéro. Comme |𝑥|=𝑥 pour tout 𝑥<0, on a limlimlim𝑓()==1=1.

Partie 3

On a montré que la limite à droite et la limite à gauche sont différentes, par conséquent, la limite limlim𝑓()=𝑓()𝑓(0) n’existe pas. On en déduit que la dérivée de 𝑓 n’existe pas en 𝑥=0.

Points clés

  • La dérivée d’une fonction est définie comme lim𝑓(𝑥+)𝑓(𝑥). Une définition alternative mais équivalente de la dérivée est lim𝑓(𝑥)𝑓(𝑥)𝑥𝑥.
  • Deux notations sont couramment utilisées pour exprimer les dérivées:la notation de Leibniz, dd𝑦𝑥, et la notation prime, 𝑓(𝑥).
  • La dérivée définit une fonction égale à la pente de la tangente en chaque point de la courbe.
  • Il est possible que la dérivée d’une fonction ne soit pas définie en un point même si la fonction est continue en ce point.

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