Vidéo : Définition de la dérivée

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à calculer la dérivée d’une fonction en utilisant la définition formelle de la dérivée comme limite.

16:24

Transcription de vidéo

Définition de la dérivée

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à calculer la dérivée d’une fonction en utilisant la définition formelle de sa dérivée comme limite. Nous aborderons plus en détail la définition d’une dérivée, et verrons ensuite quelques exemples. Commençons par la définition d’une dérivée en un point donné.

Nous savons que la dérivée d’une fonction 𝑓 de 𝑥 nous indique le taux de variation de cette fonction en un point donné. Choisissons ce point 𝑥 égale zéro. Et cela pourrait être n’importe quel point. Et nous savons que le taux de variation de la fonction en ce point est égal au coefficient directeur de la fonction en ce point. Par conséquent, nous pouvons trouver une estimation de la dérivée en rapprochant la tangente de la courbe en ce point, puis en déterminant le coefficient directeur de cette tangente. Considérons maintenant une nouvelle représentation graphique d’une différente 𝑓 de 𝑥.

Si nous essayons de trouver la dérivée de 𝑓 de 𝑥 en 𝑥 zéro, alors nous pourrions l’estimer en approchant une tangente en 𝑥 zéro. Une façon de tracer une tangente rapprochée consiste à choisir une autre valeur de 𝑥 qui soit proche de 𝑥 zéro, disons 𝑥 zéro plus ℎ, où ℎ est une constante. Ensuite, nous pouvons dessiner notre tangente rapprochée comme la droite passant par 𝑥 zéro, 𝑓 de 𝑥 zéro et 𝑥 zéro plus ℎ, 𝑓 de 𝑥 zéro plus ℎ. Voici à quoi ressemblerait notre tangente rapprochée. Cependant, ce n’est pas un très bon rapprochement.

Une façon d’améliorer le rapprochement de la tangente en ce point est de diminuer la valeur de ℎ. Disons que nous avons diminué ℎ tel que 𝑥 zéro plus ℎ se trouve en ce point sur notre axe des 𝑥, alors le point 𝑥 zéro plus ℎ, 𝑓 de 𝑥 zéro plus ℎ, serait déplacé ici. Ensuite, notre nouveau rapprochement de la tangente passera par ce point et le point 𝑥 zéro, 𝑓 de 𝑥 zéro. Par conséquent, cela ressemblera à quelque chose comme ceci, qui est un meilleur rapprochement de la tangente de 𝑓 de 𝑥 en 𝑥 zéro.

Nous pourrions améliorer l’approximation encore plus si nous diminuions encore la valeur de ℎ de telle sorte que 𝑥 zéro plus ℎ se trouve en ce point sur notre axe des 𝑥. Cela déplacerait à nouveau le point 𝑥 zéro plus ℎ, 𝑓 de 𝑥 zéro plus ℎ. Et nous pourrions alors tracer un nouveau rapprochement de la tangente en 𝑥 zéro, que nous voyons encore plus proche de la tangente réelle en 𝑥 zéro. Maintenant, ce que cette méthode pour rapprocher la tangente en 𝑥 zéro nous dit, c’est que plus la valeur de ℎ est petite, plus notre tangente approximative se rapproche de la tangente réelle en 𝑥 zéro.

Nous pouvons donc dire que la limite, lorsque ℎ tend vers zéro, de notre tangente rapprochée est en fait équivalente à la tangente réelle de 𝑓 de 𝑥 en 𝑥 égale 𝑥 zéro. Maintenant, si nous rappelons ce qu’est une dérivée, nous nous souviendrons que c’est la valeur du coefficient directeur de la fonction à ce point particulier. Comme le coefficient directeur de la tangente en un point quelconque de notre courbe représente le coefficient directeur de la fonction en ce point, nous pouvons utiliser le coefficient directeur de nos tangentes rapprochées pour nous aider à définir une dérivée.

Rappelons-nous quels étaient les points que nous utilisions pour rapprocher nos tangentes. Nous avons utilisé 𝑥 zéro, 𝑓 de 𝑥 zéro, et 𝑥 zéro plus ℎ, 𝑓 de 𝑥 zéro plus ℎ. Nous savons que le coefficient directeur d’une droite est la variation de 𝑦 sur la variation de 𝑥. Ainsi, le coefficient directeur de n’importe laquelle de nos tangentes peut être donné par 𝑓 de 𝑥 zéro plus ℎ moins 𝑓 de 𝑥 zéro sur 𝑥 zéro plus ℎ moins 𝑥 zéro. Au dénominateur, nous avons 𝑥 zéro plus ℎ moins 𝑥 zéro. Ainsi, les deux 𝑥 zéro s’annulent, nous laissant avec le coefficient directeur de notre tangente égale à 𝑓 de 𝑥 zéro plus ℎ moins 𝑓 de 𝑥 zéro le tout sur ℎ.

Nous allons combiner le coefficient directeur de la tangente avec le fait que lorsque 𝑥 zéro se rapproche de zéro, notre approximation de cette tangente se rapproche de la tangente réelle en 𝑥 zéro afin de définir une dérivée. Et ainsi, nous arrivons à la définition de la dérivée. Nous disons que la dérivée d’une fonction 𝑓 de 𝑥, en un point 𝑥 zéro, est définie comme la limite lorsque ℎ tend vers 𝑥 zéro de 𝑓 de 𝑥 zéro plus ℎ moins 𝑓 de 𝑥 zéro le tout sur ℎ si la limite existe.

Si nous posons 𝑥 un égale 𝑥 zéro plus ℎ, alors nous avons ℎ égale 𝑥 un moins 𝑥 zéro. Et comme ℎ tend vers zéro, donc 𝑥 un moins 𝑥 zéro tend vers zéro, ce qui signifie que 𝑥 un tend vers 𝑥 zéro. Donc, nous pouvons réécrire cette limite en fonction de 𝑥 un et 𝑥 zéro au lieu de 𝑥 zéro et ℎ. Cette définition équivalente est la limite lorsque 𝑥 on tend vers 𝑥 zéro de 𝑓 de 𝑥 un moins 𝑓 de 𝑥 zéro sur 𝑥 un moins 𝑥 zéro. Et ce n’est encore que si la limite existe.

Il y a plusieurs façons de désigner une dérivée. La première c’est d’utiliser la notation prime. Celle-ci est écrite comme 𝑓 prime de 𝑥. On peut dire que c’est la dérivée de 𝑓 par rapport à 𝑥. Une autre façon de désigner une dérivée consiste à utiliser la notation de Leibniz. Qui nous dit que si nous écrivons 𝑓 de 𝑥 comme 𝑦, alors la dérivée est d𝑦 par d𝑥, ce qui signifie également la dérivée de 𝑦 par rapport à 𝑥. Les définitions et les notations ici nous seront très utiles en étudiant l’analyse. Il est donc important pour nous d’être à l’aise avec les deux définitions et les deux ensembles de notations. Voyons maintenant quelques exemples sur la manière dont nous pouvons utiliser la définition pour trouver des dérivés.

Trouvez la dérivée de 𝑓 de 𝑥 qui est égale à 𝑥 au carré au point 𝑥 égale deux à partir des premiers principes.

Dans cette question, ce qu’on veut dire par « à partir des premiers principes » c’est d’utiliser la définition d’une dérivée. On nous dit que la dérivée de 𝑓 par rapport à 𝑥 en 𝑥 zéro est égale à la limite lorsque 𝑥 un tend vers 𝑥 zéro de 𝑓 de 𝑥 un moins 𝑓 de 𝑥 zéro sur 𝑥 un moins 𝑥 zéro. De la question, nous pouvons voir que 𝑓 de 𝑥 égale 𝑥 au carré. Et on nous demande de déterminer la dérivée au point où 𝑥 égale deux. Donc, 𝑥 zéro est égal à deux.

On peut donc en déduire que 𝑓 prime de deux est égale à la limite lorsque 𝑥 un tend vers deux de 𝑥 un au carré moins deux au carré sur 𝑥 un moins deux. Nous pouvons réécrire deux au carré comme quatre. Maintenant, nous voyons qu’au numérateur de notre fraction, nous avons 𝑥 un au carré moins quatre, ce qui correspond à la différence de deux carrés. Et ainsi, on peut factoriser en 𝑥 un moins deux fois 𝑥 un plus deux.

Ici, nous remarquons que nous avons un facteur de 𝑥 un moins deux à la fois au numérateur et au dénominateur. Et comme 𝑥 un moins deux n’égale pas zéro, nous pouvons les annuler ici. Et donc, nous trouvons que 𝑓 prime de deux est égale à la limite lorsque 𝑥 on tend vers deux de 𝑥 un plus deux. En utilisant la substitution directe, on obtient que cela est égal à deux plus deux. Et donc, nous arrivons à notre solution, qui est que la dérivée de 𝑥 au carré au point 𝑥 égale deux est quatre.

Maintenant, si nous nous rappelons de ce qu’on vu tout à l’heure dans cette vidéo, lorsque nous définissions la dérivée, nous avons utilisé les coefficients directeurs des rapprochements des tangentes pour nous rapprocher de plus en plus de la dérivée de la fonction. Dans l’exemple suivant, nous verrons comment utiliser la définition d’une dérivée pour déterminer avec précision le coefficient directeur d’une tangente à une fonction en un point.

On considère la fonction 𝑓 de 𝑥 égale huit 𝑥 au carré moins six 𝑥 plus neuf. Utilisez la définition de la dérivée pour déterminer 𝑓 prime de 𝑥. Quelle est le coefficient directeur de la tangente à sa courbe représentative en le point un, deux ?

La première chose à faire est d’utiliser la définition de la dérivée pour déterminer 𝑓 prime de 𝑥. Nous pouvons rappeler la définition de la dérivée, qui nous dit que 𝑓 prime de 𝑥 est égale à la limite lorsque ℎ tend vers zéro de 𝑓 de 𝑥 plus ℎ moins 𝑓 de 𝑥 le tout sur ℎ. Maintenant, dans notre cas, 𝑓 de 𝑥 est égal à huit 𝑥 au carré moins six 𝑥 plus neuf, donc on peut substituer cela dans notre limite. Nous obtenons 𝑓 prime de 𝑥 est égale à la limite lorsque ℎ tend vers zéro de huit fois 𝑥 plus ℎ au carré moins six fois 𝑥 plus ℎ plus neuf moins huit 𝑥 au carré moins six 𝑥 plus neuf le tout sur ℎ.

Notre prochaine étape consiste à développer les parenthèses. Nous obtenons cette limite ici. Nous remarquons qu’il y a certains éléments que nous pouvons éliminer au numérateur de notre fraction. Nous avons huit 𝑥 au carré et moins huit 𝑥 au carré. Nous avons moins six 𝑥 et six 𝑥. Et nous avons aussi neuf et moins neuf. En supprimant ces six termes, nous nous retrouvons avec la limite lorsque ℎ tend vers zéro de 16ℎ𝑥 plus huit ℎ au carré moins six ℎ le tout sur ℎ.

Et nous remarquons que nous avons un facteur de ℎ à la fois au numérateur et au dénominateur. Puisque ℎ n’égale pas zéro, nous pouvons le supprimer. En nous donnant 𝑓 prime de 𝑥 est égale à la limite lorsque ℎ tend vers zéro de 16𝑥 plus huit ℎ moins six. En appliquant la substitution directe à cette limite, nous arrivons à la solution de la première partie de la question, que 𝑓 prime de 𝑥 égale 16𝑥 moins six. Nous pouvons maintenant passer à la deuxième partie de la question, qui nous demande de déterminer le coefficient directeur de la tangente à sa courbe représentative en le point un, deux.

Nous savons maintenant que la dérivée de 𝑓 nous donnera le coefficient directeur à n’importe quel point de 𝑓. Par conséquent, le coefficient directeur en le point un, deux sera la valeur de 𝑓 prime de 𝑥 lorsque 𝑥 égale un. Donc, nous trouvons 𝑓 prime de un. Cela nous donne 16 fois un moins six, ce qui est simplifié pour nous donner un coefficient directeur de 10.

Dans l’exemple suivant, nous allons voir comment nous pouvons utiliser la définition d’une dérivée pour trouver la dérivée d’une fonction réciproque.

En utilisant la définition de la dérivée, évaluez d par d𝑥 de un sur un plus 𝑥.

On peut rappeler la définition de la dérivée. Et c’est que si nous définissons 𝑦 comme étant égale à 𝑓 de 𝑥, alors d𝑦 par d𝑥 est égale à la limite lorsque ℎ tend vers zéro de 𝑓 de 𝑥 plus ℎ moins 𝑓 de 𝑥 le tout sur ℎ. Maintenant, dans notre cas, 𝑦 égale un sur un plus 𝑥. Ainsi, nous pouvons dire que d𝑦 par d𝑥 est égale à la limite lorsque ℎ tend vers zéro de un sur un plus 𝑥 plus ℎ moins un sur un plus 𝑥 le tout sur ℎ.

Nous devons exprimer notre fraction sous la forme d’une seule fraction sur un dénominateur commun. Et nous pouvons le faire en trouvant un dénominateur commun aux deux fractions du numérateur. Ce dénominateur commun est un plus 𝑥 fois un plus 𝑥 plus ℎ, ce qui nous donne cette limite. Et nous pouvons combiner les deux fractions au numérateur, ce qui nous donne la limite lorsque ℎ tend vers zéro de moins ℎ sur ℎ fois un plus 𝑥 fois un plus 𝑥 plus ℎ. Puisque ℎ n’égale pas zéro, nous pouvons supprimer ℎ au numérateur et au dénominateur.

Ensuite, nous pouvons appliquer les règles des limites. Nous connaissons que la limite d’un quotient est égale au quotient de la limite. Puisque le moins un est une constante, cela nous donne ça. Et nous pouvons simplement appliquer une substitution directe, nous donnant d𝑦 par d𝑥 égale moins un sur un plus 𝑥 fois un plus 𝑥. Et donc, nous arrivons à notre solution, qui est que d par d𝑥 de un sur un plus 𝑥 égale moins un sur un plus 𝑥 au carré.

Dans notre dernier exemple, nous allons voir une différente utilisation de la définition de la dérivée d’une fonction.

Évaluez la limite lorsque ℎ tend vers zéro de 𝑓 de ℎ plus quatre moins 𝑓 de ℎ moins deux plus 𝑓 de moins deux moins 𝑓 de quatre le tout sur ℎ.

Nous pouvons voir ici que la limite qu’on nous demande d’évaluer ressemble beaucoup à la définition de la dérivée. La définition de la dérivée nous dit que 𝑓 prime de 𝑥 est égale à la limite lorsque ℎ tend vers zéro de 𝑓 de 𝑥 plus ℎ moins 𝑓 de 𝑥 le tout sur ℎ. Essayons de réorganiser l’expression dans notre limite pour voir si nous pouvons essayer d’isoler la définition de la dérivée de 𝑓 en un point donné.

La première chose que nous remarquons est qu’au numérateur, nous avons 𝑓 de ℎ plus quatre et 𝑓 de quatre. Nous pouvons donc regrouper ces deux termes ensemble. Nous avons aussi 𝑓 de ℎ moins deux et 𝑓 de moins deux. Nous pouvons également regrouper ces deux termes. Maintenant que nous avons fait ce regroupement au numérateur, nous pouvons ainsi diviser notre fraction en deux, ce qui nous donne la limite lorsque ℎ tend vers zéro de 𝑓 de ℎ plus quatre moins 𝑓 de quatre le tout sur ℎ plus la limite lorsque ℎ tend vers zéro de 𝑓 de moins deux moins 𝑓 de ℎ moins deux le tout sur ℎ.

Nous pouvons remarquer que cette première limite est très semblable à la définition de 𝑓 prime de quatre. Si nous écrivions 𝑓 prime de quatre, nous verrions qu’elle est égale à la limite lorsque ℎ tend vers zéro de 𝑓 de quatre plus ℎ moins 𝑓 de quatre le tout sur ℎ. La seule différence entre cette limite et celle que nous avons trouvée dans la question est que ℎ plus quatre et quatre plus ℎ sont inversées. Cependant, l’ordre d’addition étant sans importance, les deux sont égales. Et par conséquent, la limite lorsque ℎ tend vers zéro de 𝑓 de ℎ plus quatre moins 𝑓 de quatre sur ℎ est, en fait, 𝑓 prime de quatre.

Maintenant, regardons la deuxième limite. Nous pouvons voir dans la définition de la dérivée que nous soustrayons 𝑓 de 𝑥 de 𝑓 de 𝑥 plus ℎ. Cependant, dans notre limite, nous soustrayons 𝑓 de ℎ moins deux de 𝑓 de moins deux. Afin de mettre cela dans le bon ordre, nous devons multiplier notre fraction par moins un. Nous pouvons le faire si nous mettons un signe moins devant notre limite. Nous avons obtenu la limite négative lorsque ℎ tend vers zéro de 𝑓 de ℎ moins deux moins 𝑓 de moins deux sur ℎ.

Maintenant, cela semble très proche de la définition de la dérivée de 𝑓 en 𝑥 égale moins deux, puisque 𝑓 prime de moins deux égale la limite lorsque ℎ tend vers zéro de 𝑓 de moins deux plus ℎ moins 𝑓 de moins deux le tout sur ℎ. Et encore une fois, nous pouvons voir que ceci est identique à notre limite sauf le fait que ℎ et moins deux sont inversés. Mais nous savons que ces deux éléments sont équivalents.

Nous pouvons donc dire que notre deuxième limite est égale à 𝑓 prime de moins deux. Et ainsi, nous sommes arrivés à notre solution. Et c’est que la limite lorsque ℎ tend vers zéro de 𝑓 de ℎ plus quatre moins 𝑓 de ℎ moins deux plus 𝑓 de moins deux moins 𝑓 de quatre le tout sur ℎ est égale à 𝑓 prime de quatre moins 𝑓 prime de moins deux.

Nous avons maintenant couvert la définition d’une dérivée et une variété d’exemples la comprenant. Récapitulons les points clés de la vidéo.

Points clés

La dérivée d’une fonction est définie comme la limite lorsque ℎ tend vers zéro de 𝑓 de 𝑥 plus ℎ moins 𝑓 de 𝑥 le tout sur ℎ. Une définition alternative mais équivalente de la dérivée est la limite lorsque 𝑥 tend vers zéro de 𝑓 de 𝑥 un moins 𝑓 de 𝑥 zéro sur 𝑥 un moins 𝑥 zéro. Il existe deux méthodes communes de désigner les dérivées — la notation prime, qui est 𝑓 prime de 𝑥, et la notation de Leibniz, qui est d𝑦 par d𝑥. La dérivée définit une fonction égale au coefficient directeur de la tangente en chaque point de la courbe.

Nagwa utilise des cookies pour vous garantir la meilleure expérience sur notre site. En savoir plus sur notre Politique de Confidentialité.