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Définition de la dérivée
Dans cette vidéo, nous allons apprendre comment calculer la dérivée d’une fonction en utilisant la définition formelle de la dérivée en fonction d’une limite. Nous étudierons en détail la définition de la dérivée, puis nous examinerons quelques exemples. Commençons par explorer la définition de la dérivée en un point donné.
Nous savons que la dérivée d’une fonction 𝑓 de 𝑥 nous donne le taux de variation de cette fonction en un point donné. Notons ce point 𝑥 zéro. Cela pourrait être n’importe quel point de la courbe. Nous savons que le taux de variation de la fonction en ce point est égal à la pente de la fonction en ce point. Par conséquent, nous pouvons estimer la valeur de la dérivée en recherchant une approximation de la tangente à la courbe en ce point et en déterminant la pente de cette tangente. Considérons le graphe d’une autre fonction 𝑓 de 𝑥.
Nous pouvons estimer la dérivée de 𝑓 de 𝑥 en 𝑥 zéro en trouvant une approximation de la tangente en 𝑥 zéro. Une méthode pour dessiner une tangente approximative est de choisir une autre valeur de 𝑥 proche de 𝑥 zéro notée 𝑥 zéro plus ℎ, où ℎ est une constante. Nous obtenons notre tangente approximative en traçant la droite qui passe par les points 𝑥 zéro, 𝑓 de 𝑥 zéro et 𝑥 zéro plus ℎ, 𝑓 de 𝑥 zéro plus ℎ. Notre tangente approximative ressemble alors à ceci. Mais ce n’est pas une très bonne approximation de la tangente réelle.
Pour améliorer notre approximation de la tangente en 𝑥 zéro, nous pourrions diminuer la valeur de ℎ. Si nous diminuons ℎ de sorte que 𝑥 zéro plus ℎ se trouve maintenant ici sur l’axe des 𝑥, alors le point 𝑥 zéro plus ℎ, 𝑓 de 𝑥 zéro plus ℎ se trouve maintenant ici sur la courbe. Notre nouvelle approximation de la tangente passe par ce point et par le point 𝑥 zéro, 𝑓 de 𝑥 zéro. Elle ressemble alors à ceci et constitue par rapport à notre essai précédent une meilleure approximation de la tangente de 𝑓 de 𝑥 en 𝑥 zéro.
Nous pourrions encore améliorer notre approximation en diminuant la valeur de ℎ de manière à ce que 𝑥 zéro plus ℎ se trouve ici sur l’axe des 𝑥. Cela déplacerait à nouveau notre point 𝑥 zéro plus ℎ, 𝑓 de 𝑥 zéro plus ℎ. Nous pourrions alors tracer une nouvelle approximation de la tangente en 𝑥 zéro qui se rapprocherait encore un peu plus de la tangente réelle en 𝑥 zéro. Cette méthode pour trouver une approximation de la tangente en 𝑥 zéro nous montre que plus la valeur de ℎ est petite, plus notre tangente approximative se rapproche de la tangente réelle en 𝑥 zéro.
Nous pouvons donc dire que la limite quand ℎ tend vers zéro de notre tangente approximative est équivalente à la tangente réelle de 𝑓 de 𝑥 en 𝑥 égale 𝑥 zéro. Rappelons alors que la dérivée d’une fonction en un point est la valeur de la pente de la fonction en ce point. Puisque la pente de la tangente en tout point de la courbe représente la pente de la fonction en ce point, nous pouvons utiliser la pente de nos tangentes approximatives pour définir la dérivée.
Souvenons-nous des deux points dont nous avions besoin pour tracer nos tangentes approximatives. Nous utilisions les points 𝑥 zéro, 𝑓 de 𝑥 zéro et 𝑥 zéro plus ℎ, 𝑓 de 𝑥 zéro plus ℎ. Nous savons que la pente d’une droite est égale à la variation de 𝑦 sur la variation de 𝑥. Nous pouvons donc déterminer la pente de n’importe laquelle de nos tangentes en calculant 𝑓 de 𝑥 zéro plus ℎ moins 𝑓 de 𝑥 zéro sur 𝑥 zéro plus ℎ moins 𝑥 zéro. Au dénominateur, nous avons 𝑥 zéro plus ℎ moins 𝑥 zéro. Nous pouvons donc éliminer les deux 𝑥 zéro et la pente de notre tangente devient alors 𝑓 de 𝑥 zéro plus ℎ moins 𝑓 de 𝑥 zéro sur ℎ.
Pour définir la dérivée, nous allons combiner la pente de la tangente avec le fait que notre tangente approximative se rapproche de la véritable tangente en 𝑥 zéro lorsque ℎ se rapproche de zéro. Nous arrivons donc à la définition de la dérivée. La dérivée d’une fonction 𝑓 de 𝑥 en un point 𝑥 zéro est définie comme la limite quand ℎ tend vers zéro de 𝑓 de 𝑥 zéro plus ℎ moins 𝑓 de zéro sur ℎ, si la limite existe.
Si nous posons 𝑥 un égale 𝑥 zéro plus ℎ, alors nous avons ℎ égale 𝑥 un moins 𝑥 zéro. Donc quand ℎ tend vers zéro, 𝑥 un moins 𝑥 zéro tend vers zéro, et donc 𝑥 un tend vers 𝑥 zéro. Nous pouvons donc réécrire cette limite en fonction 𝑥 un et 𝑥 zéro plutôt qu’en fonction de 𝑥 zéro et ℎ. Nous obtenons une nouvelle définition équivalente à la première: la limite quand 𝑥 un tend vers 𝑥 zéro de 𝑓 de 𝑥 un moins 𝑓 de 𝑥 zéro sur 𝑥 un moins 𝑥 zéro. Et comme pour la définition précédente, ce n’est valable que si la limite existe.
Il existe plusieurs manières de noter une dérivée. Nous pouvons par exemple utiliser la notation prime. La dérivée est alors notée 𝑓 prime de 𝑥. 𝑓 prime de 𝑥 est la dérivée de 𝑓 par rapport à 𝑥. Une autre notation couramment utilisée est la notation de Leibniz. Dans cette notation, si la fonction 𝑓 de 𝑥 est notée 𝑦, alors la dérivée s’écrit d𝑦 sur d𝑥, ce qui désigne la dérivée de 𝑦 par rapport à 𝑥. Les différentes définitions et notations de la dérivée que nous venons de voir sont toutes essentielles pour étudier l’analyse. Il est donc important de connaître les deux définitions et d’être à l’aise avec les deux types de notation. Passons maintenant à quelques exemples dans lesquels nous verrons comment utiliser l’une ou l’autre de nos définitions pour calculer des dérivées.
Déterminez la dérivée de 𝑓 de 𝑥 égale 𝑥 au carré au point 𝑥 égale deux en utilisant la définition formelle de la dérivée.
Dans cette question, on nous demande d’utiliser la définition de la dérivée en fonction d’une limite. D’après la définition de la dérivée, nous savons que la dérivée en 𝑥 zéro de 𝑓 par rapport à 𝑥 est égale à la limite quand 𝑥 un tend vers 𝑥 zéro de 𝑓 de 𝑥 un moins 𝑓 de 𝑥 zéro sur 𝑥 un moins 𝑥 zéro. Dans notre cas, 𝑓 de 𝑥 égale 𝑥 au carré. Nous devons déterminer la dérivée au point 𝑥 égale deux. Nous avons donc 𝑥 zéro égale deux.
Nous pouvons alors écrire que 𝑓 prime de deux est égal à la limite quand 𝑥 un tend vers deux de 𝑥 un au carré moins deux au carré sur 𝑥 un moins deux. Deux au carré est égal à quatre. Nous pouvons voir au numérateur que nous avons une différence de deux carrés, 𝑥 un au carré moins quatre. Nous pouvons réécrire cela sous la forme factorisée 𝑥 un moins deux multiplié par 𝑥 un plus deux.
Nous remarquons alors que nous avons un facteur 𝑥 un moins deux au numérateur et au dénominateur. Et puisque 𝑥 un moins deux est différent de zéro, nous pouvons simplifier par ce facteur au numérateur et au dénominateur. Nous obtenons alors que 𝑓 prime de deux est égal à la limite quand 𝑥 un tend vers deux de 𝑥 un plus deux. Nous utilisons la substitution directe pour déterminer que cette limite est égale à deux plus deux. Nous obtenons alors notre solution, qui est que la dérivée de 𝑥 au carré au point 𝑥 égale deux est égale à quatre.
Plus tôt dans cette vidéo, lorsque nous cherchions à définir la dérivée, nous avons utilisé les pentes d’approximations de plus en plus précises de la tangente pour nous rapprocher de la valeur de la dérivée. Dans l’exemple suivant, nous allons voir comment utiliser la définition de la dérivée pour déterminer la pente exacte de la tangente à la courbe d’une fonction en un point donné.
Soit 𝑓 de 𝑥 égale huit 𝑥 au carré moins six 𝑥 plus neuf. Utilisez la définition de la dérivée pour déterminer 𝑓 prime de 𝑥. Quelle est la pente de la tangente à la courbe de 𝑓 de 𝑥 au point un, deux?
Pour commencer, nous devons déterminer 𝑓 prime de 𝑥 en utilisant la définition de la dérivée. Rappelons alors que d’après la définition de la dérivée, 𝑓 prime de 𝑥 est égal à la limite quand ℎ tend vers zéro de 𝑓 de 𝑥 plus ℎ moins 𝑓 de 𝑥, le tout sur ℎ. Dans notre cas, nous savons que 𝑓 de 𝑥 est égal à huit 𝑥 au carré moins six 𝑥 plus neuf, donc nous pouvons remplacer cela dans notre limite. Nous obtenons alors que 𝑓 prime de 𝑥 est égal à la limite quand ℎ tend vers zéro de huit multiplié par 𝑥 plus ℎ au carré moins six multiplié par 𝑥 plus ℎ plus neuf moins huit 𝑥 au carré moins six 𝑥 plus neuf, le tout sur ℎ.
La prochaine étape va être de développer le numérateur. Cela nous donne cette nouvelle limite. Nous remarquons qu’il est possible d’éliminer certains termes au numérateur. Nous pouvons éliminer huit 𝑥 au carré et moins huit 𝑥 au carré. Ainsi que moins six 𝑥 et six 𝑥. Et enfin, neuf et moins neuf. Après avoir éliminé ces six termes, notre limite devient la limite quand ℎ tend vers zéro de 16ℎ𝑥 plus huit ℎ au carré moins six ℎ, le tout sur ℎ.
Nous remarquons un facteur commun ℎ au numérateur et au dénominateur. Puisque ℎ n’est pas égal à zéro, nous pouvons l’éliminer. Nous avons alors que 𝑓 prime de 𝑥 est égal à la limite quand ℎ tend vers zéro de 16𝑥 plus huit ℎ moins six. En utilisant la substitution directe pour calculer la limite, nous déterminons que 𝑓 prime de 𝑥 est égal à 16𝑥 moins six, ce qui répond à la première partie de la question. Nous pouvons ensuite passer à la seconde partie de la question, dans laquelle on nous demande de déterminer la pente de la tangente à la courbe de 𝑓 de 𝑥 au point un, deux.
Nous savons que la dérivée de 𝑓 nous donne la pente en tout point de 𝑓. Par conséquent, la pente au point un, deux est la valeur de 𝑓 prime de 𝑥 quand 𝑥 est égal à un. Donc nous devons calculer 𝑓 prime de un. Nous avons 𝑓 prime de un égale 16 fois un moins six, ce qui nous donne une pente égale à 10.
Dans le prochain exemple, nous verrons comment utiliser la définition de la dérivée pour déterminer la dérivée d’une fonction inverse.
En utilisant la définition de la dérivée, calculez d sur d𝑥 de un sur un plus 𝑥.
Commençons par rappeler la définition de la dérivée. Si nous posons 𝑦 égale 𝑓 de 𝑥, alors d𝑦 sur d𝑥 est égal à la limite quand ℎ tend vers zéro de 𝑓 de 𝑥 plus ℎ moins 𝑓 de 𝑥, le tout sur ℎ. Dans notre cas, 𝑦 est égal à un sur un plus 𝑥. Nous pouvons donc écrire que d𝑦 sur d𝑥 est égal à la limite quand ℎ tend vers zéro de un sur un plus 𝑥 plus ℎ moins un sur un plus 𝑥, le tout sur ℎ.
Nous devons réécrire notre fraction sous la forme d’une seule fraction sur un dénominateur commun. Pour cela, nous recherchons un dénominateur commun aux deux fractions du numérateur. Nous utilisons le dénominateur commun un plus 𝑥 multiplié par un plus 𝑥 plus ℎ et nous obtenons alors ceci. Nous pouvons alors combiner les deux fractions du numérateur pour obtenir la limite quand ℎ tend vers zéro de moins ℎ sur ℎ multiplié par un plus 𝑥 multiplié par un plus 𝑥 plus ℎ. Puisque ℎ n’est pas égal à zéro, nous pouvons simplifier par ℎ au numérateur et au dénominateur.
La prochaine étape va être d’appliquer l’une des propriétés des limites. Nous savons que la limite d’un quotient est égale au quotient des limites. Nous appliquons cette propriété, et puisque moins un est une constante, nous obtenons ceci. Nous pouvons maintenant utiliser la substitution directe au dénominateur pour obtenir d𝑦 sur d𝑥 égale moins un sur un plus 𝑥 multiplié par un plus 𝑥. Nous avons alors notre solution, qui est que d sur d𝑥 de un sur un plus 𝑥 est égal à moins un sur un plus 𝑥 au carré.
Dans le dernier exemple, nous verrons une autre utilisation possible de la définition de la dérivée d’une fonction.
Déterminez la limite quand ℎ tend vers zéro de 𝑓 de ℎ plus quatre moins 𝑓 de ℎ moins deux plus 𝑓 de moins deux moins 𝑓 de quatre, le tout sur ℎ.
Nous pouvons voir que la limite qu’on nous demande de déterminer ressemble beaucoup à la définition de la dérivée. D’après la définition de la dérivée, 𝑓 prime de 𝑥 est égal à la limite quand ℎ tend vers zéro de 𝑓 de 𝑥 plus ℎ moins 𝑓 de 𝑥, le tout sur ℎ. Essayons de réorganiser l’expression à l’intérieur de la limite pour faire apparaître la définition de la dérivée de 𝑓 en un point donné.
Tout d’abord, nous remarquons au dénominateur que nous avons 𝑓 de ℎ plus quatre et 𝑓 de quatre. Nous pouvons regrouper ces deux termes. Nous avons également 𝑓 de ℎ moins deux et 𝑓 de moins deux. Nous regroupons également ces deux termes. Nous pouvons ensuite diviser notre fraction en deux fractions en respectant les deux groupes formés au numérateur, ce qui nous donne la limite quand ℎ tend vers zéro de 𝑓 de ℎ plus quatre moins 𝑓 de quatre sur ℎ plus la limite quand ℎ tend vers zéro de 𝑓 de moins deux moins 𝑓 de ℎ moins deux sur ℎ.
Nous pouvons voir que la première de nos deux limites ressemble énormément à la définition de 𝑓 prime de quatre. Rappelons que par définition, 𝑓 prime de quatre est égal à la limite quand ℎ tend vers zéro de 𝑓 de quatre plus ℎ moins 𝑓 de quatre, le tout sur ℎ. La seule différence entre notre limite et celle de la définition est l’ordre dans lequel nous additionnons ℎ et quatre au numérateur. Mais l’ordre n’a pas d’importance dans une addition, donc ℎ plus quatre est la même chose que quatre plus ℎ. Par conséquent, la limite quand ℎ tend vers zéro de 𝑓 de ℎ plus quatre moins 𝑓 de quatre sur ℎ est égale à 𝑓 prime de quatre.
Examinons maintenant la seconde limite. Nous pouvons voir dans la définition de la dérivée que nous soustrayons 𝑓 de 𝑥 à 𝑓 de 𝑥 plus ℎ. Mais dans notre limite, nous soustrayons 𝑓 de ℎ moins deux à 𝑓 de moins deux. Pour réarranger les termes dans le bon ordre, il suffit de multiplier notre fraction par moins un. Pour ce faire, nous ajoutons un signe moins devant notre limite. Nous avons alors moins la limite quand ℎ tend vers zéro de 𝑓 de ℎ moins deux moins 𝑓 de moins deux sur ℎ.
Notre limite ressemble énormément à la définition de la dérivée de 𝑓 en 𝑥 égale moins deux, car comme nous le savons, 𝑓 prime de moins deux est égal à la limite quand ℎ tend vers zéro de 𝑓 de moins deux plus ℎ moins 𝑓 de moins deux, le tout sur ℎ. Nous constatons une nouvelle fois que notre limite est identique à celle de la définition, à l’exception de l’ordre dans lequel nous additionnons ℎ et moins deux. Mais nous savons que cela revient au même.
Par conséquent, notre seconde limite est égale à 𝑓 prime de moins deux. Nous avons maintenant la solution à la question. La limite quand ℎ tend vers zéro de 𝑓 de ℎ plus quatre moins 𝑓 de ℎ moins deux plus 𝑓 de moins deux moins 𝑓 de quatre, le tout sur ℎ, est égale à 𝑓 prime de quatre moins 𝑓 prime de moins deux.
Dans cette vidéo, nous avons étudié la définition de la dérivée et l’avons utilisée dans plusieurs exemples. Récapitulons les points clés de la vidéo.
Points clés
La dérivée d’une fonction est définie comme la limite quand ℎ tend vers zéro de 𝑓 de 𝑥 plus ℎ moins 𝑓 de 𝑥, le tout sur ℎ. Une autre définition équivalente de la dérivée est la limite quand 𝑥 un tend vers 𝑥 zéro de 𝑓 de 𝑥 un moins 𝑓 de 𝑥 zéro sur 𝑥 un moins 𝑥 zéro. Les deux notations les plus couramment utilisées pour la dérivée sont la notation prime, qui est 𝑓 prime de 𝑥, et la notation de Leibniz, qui est d𝑦 sur d𝑥. La dérivée définit une fonction égale à la pente de la tangente en chaque point de la courbe.
